全国高中数学竞赛二试模拟训练题(25)
2020全国高中联赛二试
2020全国高中数学联赛二试
一、如图，在等腰三角形ABC 中，AB=BC ，I 为内心，M 为BI 的中点，P 为边AC 上的一点，满足AP=3PC ，PI 延长线上一点H 满足MH ⊥PH ，Q 为△ABC 的外接圆上劣弧AB 的中点，证明：BH ⊥QH
二、给定整数n ≥3，设1232122,,...,,,,...,n n a a a a b b b 是4n 个非负实数，满足
122122......0n n a a a b b b ++=+++>，
且对任意1,2,...,2i n =，有21i i i i a a b b ++≥+，（这里211222211,,n n n a a a a b b +++===），
求122...n a a a +++的最小值。
三、设12121,2,2,3,4,...n n n a a a a a n −−===+=证明：对整数5,n n a ≥必有一个模4余1的素因子
四、给定凸20边形P ，用P 的17条在内部不相交的对角线将P 分割成18个三角形，所得图形成为P 的一个三角形剖分图。
对P 的任意一个三角剖分图T ，P 的20条边以及添加的17条对角线均称为T 的边，T 的任意10条两两无公共端点的边的集合称为T 的一个完美匹配。
当T 取遍P 的所有三角剖分图时，求T 的完美匹配个数的最大值。
B MSC。
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(28)(1)
加试模拟训练题（28）1、 已知△ABC ，设I 是它的内心，角A 、B 、C 的内角平分线别离交其对边于A '、B '、C '． 求证：14＜AI ·BI ·CI AA '·BB '·CC '≤827二、 设函数f ：[0，1] →R 知足：(2)f(1)＝1；(3)f(x)＋f(y)≤f(x ＋y)，x ，y ，x ＋y ∈[0，1]．求出最小的常数c ，使f(x)≤cx 对一切知足上述条件的函数f 及一切x ∈[0，1]都成立，并证明你的结论．3、 在一个圆上给了2000个点，从某点开始标上1，按顺时针方向隔一点标上2，再隔二点标上3(如图)，继续下去，标出1，2，…，1993．有些点会有不只一个数标记在其上，有的点没有标上任何数．问：被标上1993的那个点被标上的数中最小的是多少？ 4．如n 是不小于3的自然数，以)(n f 表示不是n 的因数的最小自然数[例如)(n f =5].若是)(n f ≥3，又可作))((n f f .类似地，若是))((n f f ≥3，又可作)))(((n f f f 等等.若是2)))((( n f f f f ，就把k 叫做n 的“长度”.若是用n l 表示n 的长度，试对任意的自然数n （n ≥3），求n l ，并证明你的结论.加试模拟训练题（28）一、已知△ABC ，设I 是它的内心，角A 、B 、C 的内角平分线别离交其对边于A '、B '、C '．求证：14＜AI ·BI ·CI AA '·BB '·CC '≤827【题说】 第三十二届(1991)年国际数学奥林匹克题1．此题由原苏联提供．【证】 记BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，易知AIAA '＝b ＋c a ＋b ＋c ，BI BB '＝a ＋c a ＋b ＋c ，CI CC '＝a ＋b a ＋b ＋c由均值不等式AI ·BI ·CI AA '·BB '·CC '≤[13(b ＋c a ＋b ＋c ＋a ＋c a ＋b ＋c ＋a ＋b a ＋b ＋c )]3＝827另一方面，记x ＝b ＋ca ＋b ＋c ，y ＝a ＋ca ＋b ＋c ，z ＝a ＋ba ＋b ＋c ，那么AI ·BI ·CIAA '·BB '·CC '＝xyz ，不妨设x ≥y ≥z ，显然x ＋y ＋z ＝2，且z ＞a ＋ba ＋b ＋(a ＋b )＝12熟知正数u 、v (u ≥v )的和一按时，积uv 随v 的减少而减少，因此xyz ＝(2－z －y )yz ＞12(32－12)12＝14 二、 设函数f ：[0，1] →R 知足：(2)f(1)＝1；(3)f(x)＋f(y)≤f(x ＋y)，x ，y ，x ＋y ∈[0，1]．求出最小的常数c ，使f(x)≤cx 对一切知足上述条件的函数f 及一切x ∈[0，1]都成立，并证明你的结论．【证】最小常数c ＝2．第一，咱们证明：若是f 知足(1)－(3)，那么f(x)≤2x 对一切x ∈[0，1]成立．由(3)与(1)，f(x)≤f(x)＋f(y)≤f(x ＋y)，即f(x)在[0，1]上是增函数．对x ∈(0，1]，取非负整数n ，使而由(3)，2f(x)≤f(2x)，因此2n f(x)≤2n－1f(2x)≤2n－2f(22x)≤…≤f(2n x)≤f(1)＝1＜2n＋1xf(x)＜2x又显然有f(0)＋f(1)≤f(0＋1)＝f(1)，因此由(1)，f(0)＝0于是f(x)≤2x，x∈[0，1]．另一方面，令这函数显然知足(1)和(2)f(x)＋f(y)＝f(y)≤f(x＋y)即f(x)知足题述的所有条件．最小常数．3、在一个圆上给了2000个点，从某点开始标上1，按顺时针方向隔一点标上2，再隔二点标上3(如图)，继续下去，标出1，2，…，1993．有些点会有不只一个数标记在其上，有的点没有标上任何数．问：被标上1993的那个点被标上的数中最小的是多少？【题说】第十一届(1993年)美国数学邀请赛题9．标n．因此，两个正整数l、m标记同一个点当且仅当从而，若是标1993的点也标k，那么必需是4000的倍数．因为(1993－k)＋(1994＋k)＝3987不被2与5整除，因此1993－k和1994＋k奇偶不同，且不能同时被5整除．假设k＜1993，那么1994＋k＜32×125＝4000，因此1993－k和1994＋k中一个是125的倍数，另一个是32的倍数．考虑以下两种情形：(1)125|1993－k ，321|1994＋k因为1993＝15·125＋118，因此125|k －118，k ≥118，在k ＝118时，125|1993－k 而且32|1994＋k ．(2)125|1994＋k ，32|1993－k ，因为1994＝15·125＋119，因此k ＝125r －119，1993－k ＝32×62－125r ，从而32|r ，k ≥125×32－119＞118．因此，所求的数是118．4．如n 是不小于3的自然数，以)(n f 表示不是n 的因数的最小自然数[例如)(n f =5].若是)(n f ≥3，又可作))((n f f .类似地，若是))((n f f ≥3，又可作)))(((n f f f 等等.若是2)))(((= n f f f f ，就把k 叫做n 的“长度”.若是用n l 表示n 的长度，试对任意的自然数n （n ≥3），求n l ，并证明你的结论.（第3届全国中学生数学冬令营试题）【解】令m t n m,2=为非负整数，t 为奇数. 当m=0时，2)()(==t f n f ，因此l n =1； 当0≠m 时，设u 是不能整除奇数t 的最小奇数，记).(t g u =（1）假设.2,2))((,)(,2)(1===<+n m l n f f u n f t g 所以则（2）假设.3,2)3()))(((,3)2())((,2)(,2)(111======>+++n m m m l f n f f f f n f f n f t g 所以则故⎪⎩⎪⎨⎧>>==+.,2);)((2)(,,0,2,3;,11其他情形如上且为奇数当为奇数时当t g t g t m t n n l m m n。
全国高中生数学数学竞赛二试模拟训练题(4).pdf
加试模拟训练题（4） 1．给出锐角△ABC，以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于M，N.以AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延长线将于P，Q.求证：M，N，P，Q四点共圆. 2、设是满足的正实数，试证： 3、 有一个十人的会，在他们当中任何三人至少有两人互不相识．证明在这会中有四人，他们没一人认识四人中的其他人． 4、试求不大于100，且使成立的自然数的和。
加试模拟训练题（4） 1．给出锐角△ABC，以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于M，N.以AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延长线将于P，Q.求证：M，N，P，Q四点共圆. 分析：设PQ，MN交于K点，连接AP，AM. 欲证M，N，P，Q四点共圆，须证 MK·KN＝PK·KQ， 即证(MC′-KC′)(MC′+KC′) ＝(PB′-KB′)·(PB′+KB′) 或MC′2-KC′2=PB′2-KB′2 . ① 不难证明 AP=AM，从而有AB′2+PB′2=AC′2+MC′2. 故 MC′2-PB′2=AB′2-AC′2=(AK2-KB′2)-(AK2-KC′2) =KC′2-KB′2. ② 由②即得①，命题得证. 2、设是满足的正实数，试证： 证明： 令 由均值不等式可知： 所以 另证：令 则 而 故 3、 有一个十人的会，在他们当中任何三人至少有两人互不相识．证明在这会中有四人，他们没一人认识四人中的其他人． 【证】 将十个人表示为十个点，视对应的人相识或不相识而用红或蓝线段连结每对点． 已知所得的图中没有红色三角形，要证明图中有4个点，每两点之间的连线为蓝色．第一种情况：至少有4条红线由A点引出．设AB、AC、AD、AE为红线．由已知B、C、D、E中没有两点是用红线连结的，故B、C、D、E即为所求．第二种情况：至多有3条红线由A点引出．即A至少与6个点用蓝线相连，设为B、C、D、E、F、G．若B用红线连接C、D、E、F、G中3个点，不妨设为C、D、E，则A、C．D、E即为所求．若B至多与C、D、E、F、G中2点用红线相连，则B至少与其中3点用蓝线相连，不妨设BC、BD、BE为蓝线．C、D、E中至少一对用蓝线相连，例如CD是蓝线，则A、B、C、D即为所求． 4、试求不大于100，且使成立的自然数的和。
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(26)(1)
加试模拟训练题（26）一、设锐角△ABC 的∠A 平分线交BC 于L ，交外接圆于N ，自点L 别离向AB 和AC 作垂线LK 和LM ，垂足别离为K 和M ．求证：△ABC 的面积等于四边形AKNM 的面积．2. 设),0(,,∞+∈z y x ，且1=xyz ，证明3、假设四位数n abcd =的列位数码,,,a b c d 中，任三个数码皆可组成一个三角形的三条边长，那么称n 为四位三角形数，试求所有四位三角形数的个数．4、若是一个正整数n 在三进制下表示的各数字之和能够被3整除，那么咱们称n 为“好的”，那么前2005个“好的”正整数之和是多少？加试模拟训练题（26） 一、设锐角△ABC 的∠A 平分线交BC 于L ，交外接圆于N ，自点L 别离向AB 和AC 作垂线LK 和LM ，垂足别离为K 和M ．求证：△ABC 的面积等于四边形AKNM 的面积．【题说】第二十八届(1987年)国际数学奥林匹克题 2．此题由原苏联提供．【证】作△ABC 的高AH ，那么A 、K 、H 、L 、M 五点共圆．连结KH 、HM 、HN 、BN 和NC ，便有 ∠KHB ＝∠BAL ＝∠NAC ＝∠HBN∠MHC ＝∠MAN ＝∠NAB ＝∠NCH故知 KH ∥BN ，HM ∥NC ．从而有S △KBH ＝S △KNH ，S △HMC ＝S △HMN由此即得 S △ABC ＝S △AKNM易知△ABL ∽△ANC ，因此AB AL ＝ANAC AB ·AC ＝AN ·ALS △ABC ＝12AB ×ACsinA ＝12AL ×ANsinA＝2×12(AL ×cos A 2)×AN ×sin A 2＝2×12AK ×ANsin A 2＝2S △AKN ＝S AKNM2. 设),0(,,∞+∈z y x ，且1=xyz ，证明.43)1)(1()1)(1()1)(1(333≥++++++++y x z z x y z y x （1998年第39届IMO 预选试题） 分析 可利用均值不等式构造三个同向不等式相加来进行证明，也能够将所证不等式进行等价转化。
2012年全国高中数学联赛模拟试题二及其解答
5050 98
2x50 = S100 – 50 =
150 98
=
7(D)
2、若 sin x sin y A
2 2
tan
B
2 6 ，则 sin(x y) 等于（ ） , cos x cos y 2 2 3 6 C D 1 2 2
x+y 2
解：sinx + siny = 2sin
x+y 2
cos
x –y 2
=
3
2 2
, cosx + cosy = 2cos
x+y 2
cos
x −y 2
=
6 2
,
=
3 3
, sin(x + y) =
2
x2 y2 1 在第一象限上的动点，过点 P 引圆 x 2 y 2 9 的两条切线 PA、PB，切点分 16 9 别为 A、B，直线 AB 与 x 轴、y 轴分别交于点 M、N，则 S MON 的最小值为（ ） 9 9 27 27 3 C 3 A B D 2 4 4 2
2
ω
二、填空题：每小题 9 分，满分 54 分 7、函数 f ( x) 满足：对任意实数 x,y，都有
2 2
f ( x) f ( y ) f ( xy ) x y 2 ，则 f (36) 3
.
解： x = y = 1 时， f(1） − f 1 = 12 , f(1) = 4 ,或 f(1) = - 3 x = y = 0 时， f(0） − f 0 = 6 , f(0) = 3 ,或 f(0) = - 2 9 x = 0 ，y = 1 时， 如 f 1 = 4 , 则 f(0) = 3 ，如 f(1) = - 3 ，则 f（0）= - -4 ∴ 只能 f (1) = 4, f(0) = 3 x = 1, y = 36 时，f(1) = 4 ,则 3 f(36）= 117 , f(36) = 39 ,
全国高中数学联赛模拟试题(三)
全国高中数学联赛模拟试题(三)第一试一、选择题(共36分)1. 化简cos 2π7＋cos 4π7＋cos 6π7的值为 ( )A.－1B.1C.－12D.122. S n 和T n 分别是等差数列{a n }和{b n }的前n 项和，且对任意的自然数n 都满足S n T n ＝7n ＋44n ＋27，那么a 11b 11＝ ( )A.43B.74C.32D.7871 3. 直线xcos θ＋y ＋m ＝0(式中θ是△ABC 的最大角)，则此直线的倾斜角变化范围是( )A.(－arctan 12，π4)B.[0，π4)∪(2π3，π)C.[0，π4]D.[0，π4]∪[π－arctan 12，π]4. 设实数m ，n ，x ，y 满足m 2＋n 2＝a ，x 2＋y 2＝b ，其中a ，b 为正常数且a ≠b ，那么mx＋ny 的最大值为 ( )A.a ＋b 2B.abC.2ab a ＋bD.a 2＋b 225. 如图，平面α中有△ABC 和△A 1B 1C 1分别在直线m 的两侧，它们与m 无公共点，并且关于m 成轴对称，现将α沿m 折成一个直二面角，则A ，B ，C ，A 1，B 1，C 1六个点可以确定的平面个数为 ( ) A.14 B.11 C.17 D.凸n边形的各边为直径作圆，使这个凸n 边形必能被这n个圆面所覆盖，则n 的最大值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6二、填空题(共54分)6. 已知0＜x ＜π2，log sinx cosx 与log cosx tanx 的首数均为零，尾数和为1，则x ＝_________.7. 设＝n 21a a a 222+++ ，其中a 1，a 2，……，a n 是两两不等的非负整数，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝___________.8. 已知不等式a ≤34x 2－3x ＋4≤6的解集为{x|a ≤x ≤b}，其中0＜a ＜b，则b ＝___________.9.已知f(x)＝x2＋(lga＋2)x＋lgb，且f(－1)＝－2，f(x)≥2x对一切x∈R都成立，则a＋b＝_____________.10.正四棱台ABCD－A1B1C1D1的高为25，AB＝8，A1B1＝4，则异面直线A1B与B1C的距离为____.11.方程(x2－x－1)x＋2＝1的解集为_________________.三、解答题(共计60分)12.(设f(x)＝(1＋x＋x2)n＝c0＋c1x＋c2x2＋……＋c2n x2n，则c0＋c3＋c6＋……＝c1＋c4＋c7＋……＝c2＋c5＋c8＋……＝3n－1.13.(已知满足不等式lg(x2)＞lg(a－x)＋1的整数x只有一个，试求常数a的取值范围.14.(设y＝f(x)是定义在R上的实函数，而且满足条件：对任意的a，b∈R，有f[af(b)]＝ab，试求|f()|.第二试一、(50分)如图，D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 上的点，且∠FDE ＝∠A ，∠DEF ＝∠B ，又设△AFE ，△BDF 和△DEF 均为锐角三角形，他们的垂心分别为H 1，H 2，H 3.求证：(1)∠H 2DH 3＝∠FH 1E ；(2)△H 1H 2H 3≌△DEF.二、(50分)设C 0，C 1，C 2，……是坐标平面上的一族圆(周)，其定义如下：(1)C 0是单位圆x 2＋y 2＝1；(2)任取n ∈Z 且n ≥0，圆C n ＋1位于上半平面y ≥0内及C n 的上方，与C n 外切并且与双曲线x 2－y 2＝1相切于两点，C n 的半径记为r n (n ∈Z 且n ≥0) (1)证明：r n ∈Z ； (2)求r n .三、(50分)称自然数为“完全数”，如果它等于自己的所有(不包括自己)的正约数的和，例如，6＝1＋2＋3，如果大于6的“完全数”可以被3整除，证明，它一定可以被9整除.C全国高中数学联赛模拟试题(三)参考答案 第一试一、选择题 1. Ccos 2π7＋cos 4π7＋cos 6π7＝∑∑==π+π=π61k e 61k )]7k 2sin i 7k 2(cos [R 217k 2cos 21令z ＝cos 2π7＋isin 2π7，于是z 7＝1则上式＝12(z ＋z 2＋z 3＋z 4＋z 5＋z 6)＝……＝－122. Aa 11b 11＝21a 1121b 11＝S 21T 21＝7×21＋44×21＋27＝43 3. Dθ∈[π3，π)，cos θ∈(－1，12]，则斜率k ∈[－12，1)4. B由柯西不等式ab ＝(m 2＋n 2)(x 2＋y 2)≥(mx ＋ny)2，当mx ＝ny 时取等号，所以mx ＋ny ≤ab5. B三点确定一个平面，但需除去三组四点共面重复的个数，共确定平面个数为3436C 3C -＋3＝11个6. B注意到：当且仅当∠C ≥90°时，△ABC 能被以AB 为直径的圆覆盖.从而易证n ≤4，当n ＝4时，正方形满足条件. 二、填空题 7.arcsin5－12； log sinx cosx ＋log cosx tanx ＝1 ⇒ log sinx cosx ＝12∴ sinx ＝cos 2x ∴ sin 2＋sinx －1＝0 ∴ sinx ＝5－12(负值舍去) 8.44；＝210＋29＋28＋27＋26＋249.4；分情况讨论得：a ＝43，b ＝410.110；f(－1)＝1＋lgb －(2＋lga)＝－2∴ lga ＝lgb ＋1，而(lga)2－4lgb ≤0∴ (lgb －1)2≤0 ∴ lgb ＝1 ∴ b ＝10，a ＝100 11.4105；过B 1作A 1B 的平行线交AB 于E ，转化为求B 点到平面B 1CE 的距离. 12.{－2，－1，0，2}若x 2－x －1＝1，则x ＝2，－1若x 2－x －1＝－1且x ＋2为偶数，得x ＝0若x ＋2＝0且x 2－x －1≠0得x ＝－2 三、13．令ω＝－12＋32i ，则有f ⑴＝c 0＋c 1＋c 2＋c 4＋c 5＋……＋c 2n ＝3n…………………①f(ω)＝c 0＋ωc 1＋ω2c 2＋c 3＋ωc 4＋ω2c 5＋……＋ω2nc 2n ＝0…………………②f(ω2)＝c 0＋ω2c 1＋ωc 2＋c 3＋ω2c 4＋ωc 5＋……＋ω4nc 2n ＝0…………………③①＋②＋③得3(c 0＋c 3＋c 6＋……)＝3n，∴ c 0＋c 3＋c 6＋……＝3n －1.②－①得c 1＋c 4＋c 7＋……＝c 2＋c 5＋c 8＋……于是c 1＋c 4＋c 7＋......＝c 2＋c 5＋c 8＋......＝c 0＋c 3＋c 6＋ (3)，14．∵ x 2＞0，∴ |x|≤1，∴ x ＝－1或0或1x ＝－1时，lg15＞lg(a ＋1)＋1，∴ －1＜a ＜12x ＝0时，lgga ＋1 ∴ 0＜a ＜2x ＝1时，lg15＞lg(a －1)＋l ∴ 0＜a ＜52又因为满足条件的整数x 只有一个，∴ a 的取值范围是(－1，0]∪[12，1]∪[2，52)15．令a ＝1，则f(f(b))＝b ，∴ f(f(x))＝x∴ f(f(f 2(x)))＝f 2(x)∴ f(f(f 2(a)))＝f 2(a)再令a ＝f(b)，则f(f 2(b)＝bf(b)∴ f(f(f 2(b)))＝f(bf(b))＝b 2.∴ f(f(f 2(a)))＝a 2.∴ f 2(a)＝a 2， ∴ |f(a)|＝|a| ∴ f()＝第二试一、⑴∵ H 1为△AEF 的垂心，∴ ∠EH 1F ＝180°－∠A ＝∠B ＋∠C∠H 2DH 3＝180°－∠H 2DB －∠H 3DC ＝180°－(90°－∠B)－(90°－∠C)＝∠B ＋∠C ∴ ∠EH 1F ＝∠H 2DH 3⑵连结FH 2，EH 3，则FH 2⊥BD ，EH 3⊥BC∴ FH 2∥EH 3 由⑴中所证∠EH 1F ＋∠EOF ＝180° ⇒ E ，D ，F ，H 1四点共圆.同理，E ，D ，H 1，H 2四点共圆，H 1，D ，F ，H 3四点共圆，E ，D ，F ，H 1，H 2，H 3六点共圆. 二圆内接四边形EH 2H 3F 中，EH 2∥FH 3， ∴ EF ＝H 2H 3，同理，DE ＝H 1H 3，DF ＝H 1H 2， ∴ △H 1H 2H 3≌△DEF.二、⑴由对称性可知r n 的圆心在y 轴上，设r n 的方程为x 2＋(y －s n )2＝r n 2，其中s n ＝r 0＋2(r 1＋r 2＋……＋r n －1)＋r n .将x 2＝y 2＋1代入其中得 y 2＋1＋y 2＋s n 2－2ys n －r n 2＝0△＝4s n 28S n 2＋8r n 2－8＝0 ⇒ 2r n 2＝S n 2＋2 从而易得r n ＝6r n －1－r n －2，∵ r 0＝1，r 1＝3，∴ 对任意n ∈N ，有r n ∈N (2)由特征根方程可得r n ＝A(3＋22)n＋B(3－22)n，将r 0＝1，r 1＝3代入其中，得r n ＝12[(3＋22)n ＋(3－22)n]三、设“完全数”等于3n ，其中n 不是3的倍数，于是3n 的所有正约数(包括它自己)可以分为若干个形如d 和3d 的“数对”，其中d 不可被3整除，从而3n 的所有正约数的和(它等于6n)是4的倍数，因此是2的倍数.我们注意到，此时32n ，n ，12n 和1是3n的互不相同的正约数，但它们的和等于3n ＋1＞3n ，从而3n 不可能是“完全数”，得到矛盾.。
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(22)(1)
加试模拟训练题（22）一、已知M 为ABC ∆内一点，由M 别离向,,BC CA AB 作垂线，垂足别离为,,A B C '''。
由 ,,A B C 别离向,,B C C A A B ''''''作垂线，证明这三条垂线交于一点M '。
假设A B C '''∆的外心为O ，那么,,M O M '三点共线，且O 是线段MM '的中点。
二、若a b c R +∈、、，求证：888333111a b c a b c a b c ++++≤ 3、25个人围一圆桌坐，每小时表决一次，回答为是或否．若是一个人第n 次表决时，至少与一个相邻的人回答相同，即么他第n ＋1次表决与第n 次相同．若是第n 次表决时，与两个相邻的人回答均不同，那么他第n ＋1次表决与第n 次不同．证明不论开始时大伙儿如何回答，从某一时刻起，每一个人的回答都可不能改变．4、求证方程243y x x =+无正整数解.加试模拟训练题（22）一、已知M 为ABC ∆内一点，由M 别离向,,BC CA AB 作垂线，垂足别离为,,A B C '''。
由 ,,A B C 别离向,,B C C A A B ''''''作垂线，证明这三条垂线交于一点M '。
假设A B C '''∆的外心为O ，那么,,M O M '三点共线，且O 是线段MM '的中点。
证明 法一 连MO ，并延长至M '，使得O 是线段MM '的中点。
设AM 的中点为O '，那么O '为由,,,A C M B ''所确信的四边形的外接圆的圆心，因此OO B C '''⊥。
又因为AM '∥OO '，因此有AM B C '''⊥。
全国高中生数学数学竞赛二试模拟训练题(30).pdf
加试模拟训练题（30） 1、 设ABCDEF是凸六边形，满足AB＝BC＝CDDE＝EF＝FABCD＝EFA＝60G和H是这六边形内部的两点，使得∠AGB＝DHE∠120o 试证：AG＋GB＋GH＋DH＋HECF． 2. 设求证 3、 设有两个完全相同的齿轮A、B，B被平放在一个水平面上，A放在B上面并使两者完全重合(从而两者在水平面上的投影完全重合)，然后任意去掉四对重合的齿．如果两齿轮各有14个齿，试问：能否将齿轮A绕两齿轮的公共轴旋转一个适当的位置，使得两齿轮在水平面上的投影合为一个完整齿轮的投影？如果两齿轮各原有13个齿，又是怎样呢？请证明你的论断． 4．求出最小正整数n，使其恰有144个不同的正因数，且其中有10个连续整数. 加试模拟训练题（30） 1、 设ABCDEF是凸六边形，满足AB＝BC＝CDDE＝EF＝FABCD＝EFA＝60G和H是这六边形内部的两点，使得∠AGB＝DHE∠120o 试证：AG＋GB＋GH＋DH＋HECF． 【题说】 第三十六届(1995年)国际数学奥林匹克题 5． 【证】 连BD，AE．由于BC＝CDBCD＝60BD＝BC＝ABAE＝ED 连 BE，则 A、D关于 BE对称．设 G、H关于 BE的对称点分别为G'、H'．则△BG'D与△BGA关于BE对称，所以∠BG'D＝BGA＝120G'在正三角形BCD的外接圆上． 熟知 CG'＝DG'＋G'B＝AG＋GB HF＝AH'＋H'E＝DH＋HE AG＋GB＋GH＋DH＋HE＝CG'＋G'H'＋H'FCF 2. 设求证 证明 设数列的通项公式为 . 则 由 得. 故 . 所以数列为单调递增数列,又 . 所以 即 . 3、 设有两个完全相同的齿轮A、B，B被平放在一个水平面上，A放在B上面并使两者完全重合(从而两者在水平面上的投影完全重合)，然后任意去掉四对重合的齿．如果两齿轮各有14个齿，试问：能否将齿轮A绕两齿轮的公共轴旋转一个适当的位置，使得两齿轮在水平面上的投影合为一个完整齿轮的投影？如果两齿轮各原有13个齿，又是怎样呢？请证明你的论断． 【题说】第五届(1990年)全国冬令营选拔赛题5． 【解】将每个断齿赋值“0”，好齿赋值“1”．对A齿轮的每个位置，作两轮对应位置齿值的乘积之和，初始位置除外的13个位置总和为10×9＝90＜13×7，故必有一个位置的和≤6．此时必定任二断齿不相重合． 当齿数为13时，将A、B重合时各对齿依顺时针记为0，1，…，12．锯掉0，1，5，11四对齿．0，1，5，11两两之差恰取遍1，2，…，12(mod 13)．故对A的任一位置总有两个断齿重合，始终得不到完整的投影． 4．求出最小正整数n，使其恰有144个不同的正因数，且其中有10个连续整数. （第26届IMO预选题） 【解】根据题目要求，n是10个连续整数积的倍数，因而必然能被2，3，…，10整数.由于8=23，9=32，10=2×5，故其标准分解式中，至少含有23·32·5·7的因式，因此，若设 则由 而故最多还有一个为使n最小，自然宜取由 ,考虑144的可能分解，并比较相应n的大小，可知合乎要求的（最小） 故所求的。
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加试模拟训练题（25）
1．四边形ABCD 内接于圆，△BCD ，△ACD ，△ABD ，△ABC
的内心依次记为I A ，I B ，I C ，I D .试证：I A I B I C I D 是矩形.
2. 设z y x ,,都是正数,并且12
2
2
=++z y x ,求证:
y
zx
x yz z xy +
+3≥
3. 正五边形的每个顶点对应一个整数使得这五个整数的和为正．若其中三个相连顶点相应的整数依次为x 、y 、z ，而中间的y ＜0，则要进行如下的操作：整数x 、y 、z 分别换为x ＋y 、
A B
C
D
I C
I D
A
I I B
－y 、z ＋y ．只要所得的五个整数中至少还有一个为负时，这种操作就继续进行．问：是否这样的操作进行有限次后必定终止？
4、试证：当112<<n 时，不存在n 个连续自然数，使得它们的平方和是完全平方数.
加试模拟训练题（25）
1．四边形ABCD 内接于圆，△BCD ，△ACD ，△ABD ，△ABC 的内心依次记为I A ，I B ，I C ，I D .试
证：I A I B I C I D 是矩形.
分析：连接AI C ，AI D ，BI C ，BI D 和DI B .易得
D
∠AI C B =90°+
21∠ADB =90°+2
1 ∠ACB =∠AI D B ⇒A ，B ，I D ，I C 四点
共圆.
同理，A ，D ，I B ，I C 四点共圆.此时
∠AI C I D =180°-∠ABI D =180°-21
∠ABC ， ∠AI C I B =180°-∠ADI B =180°-21
∠ADC ，
∴∠AI C I D +∠AI C I B =360°-21(∠ABC +∠ADC )=360°-2
1
×180°=270°.
故∠I B I C I D =90°.
同样可证I A I B I C I D 其它三个内角皆为90°.该四边形必为矩形. 2. 设z y x ,,都是正数,并且12
2
2
=++z y x ,求证:
y
zx
x yz z xy +
+3≥ (根据前苏联第22届数学竞赛试题改编) 分析与证明: 以)(33222z y x ++=
代入原不等式可得齐次不等式:
y
zx x yz z xy ++)(3222z y x ++≥. 因为 =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++2
y zx x yz z xy )(2222222222222z y x y x z x z y z y x +++++
而 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2
2
22222222y x z x z y z y x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+222222x z y z y x +⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+222222y x z x z y +⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+222222y x z z y x )(2222z y x ++≥. 从而原不等式得证. 3. 正五边形的每个顶点对应一个整数使得这五个整数的和为正．若其中三个相连顶点相应的整数依次为x 、y 、z ，而中间的y ＜0，则要进行如下的操作：整数x 、y 、z 分别换为x ＋y 、－y 、z ＋y ．只要所得的五个整数中至少还有一个为负时，这种操作就继续进行．问：是否这样的操作进行有限次后必定终止？第二十七届(1986年)国际数学奥林匹克题 【解】为方便计，把五个数写成一列：v 、w 、x 、y 、z ，并注意v 与z 是相邻的．不妨设y ＜0．操作后，便得v 、w 、x ＋y 、－y 、y ＋z ．它们的和未变．
考虑操作前后各项平方及每相邻两项和的平方之和(称为双平方和)的差． [v 2＋w 2＋(x ＋y)2＋(－y)2＋(y ＋z)2＋(v ＋w)2
＋(w ＋x ＋y)2＋x 2＋z 2＋(y ＋z ＋v)2－[v 2＋w 2
＋x 2＋y 2＋z 2＋(v ＋w)2＋(w ＋x)2＋(x ＋y)2
＋(y ＋z)2＋(z ＋v)2
]
＝2y(v ＋w ＋x ＋y ＋z)
因为y ＜0，v ＋w ＋x ＋y ＋z ＞0，故上述差为负数．这就是说，每操作一次后，各数双平方和变小．但原来5个数的双平方和为一定值，因此这种操作进行有限次后即行停止，即5个数最后都变为正数．
另解：必定终止。
变换前后三个数和虽然不变，但是平方和变小，若不终止，整数的平方和为0，即各整数均为零，还得终止。
注：操作过程中的不变性质和变化的性质是解决问题的关键。
4、试证：当112<<n 时，不存在n 个连续自然数，使得它们的平方和是完全平方数. 解析：设x 是非负整数.假若结论不成立,即存在N y ∈使 ,)()2()1(2222y n x x x =++++++Λ即
22)12)(1(6
1
)1(y n n n x n n nx =+++
++ ① 记).12)(1(6
1
++=
n n n A 则).(mod 2n A y ≡ 当9,4,3=n 时，分别由① 和.|y n 令nz y =，代入①得
,)12)(1(6
1
)1(22nz n n x n x =+++++
即.)1(12
1)21(22
2nz n n x =-+++
把7,5=n 代入后将分别得到).7(mod 03)4(),5(mod 02)3(2
2
≡++≡++x x 但这是不
可能的，故7,5≠n .
当10,8,6=n 时,由①得222)]12(6
1
)[1(y x n n nx x n +=++
++ ② 若,6=n 则由②知,)7(mod 02
2
≡+y x ，由于x 的任意性，所以只能有)7(mod 40,2,1,02
≡x 因此要使)7(mod 02
2
≡+y x 成立,只能)7(mod 0,0≡≡y x ,于是由③知有
137)12)(1(6
1
|
72⨯=++n n n ,这是不可能的,故.6≠n 同理可证.10≠n 若8=n ,则由②可得)9(mod 620417986
1
989222≡≡⨯⨯⨯+⨯+=+x x y x ,这是不
可能的,故.8≠n 综上,命题得证.。