数学建模期末考试2013A试题与答案

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华南农业大学期末考试试卷（A 卷）

201２－2０13学年第 二 学期 考试科目：数学建模 考试类型:（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟

学号 姓名 年级专业

一、(满分12分) 一人摆渡希望用一条船将一只狼,一只羊,一篮白菜从河岸一边带到河岸对面，由于船的限制，一次只能带一样东西过河,绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起，怎样才能将它们安全的带到河对岸去？ 建立多步决策模型，将人、狼、羊、

白菜分别记为i = 1，２,3，4，当i 在此岸时记x i = 1，否则为0;此岸的状态下用s =（ｘ1，ｘ2,x 3

，x 4）表示.该问题中决策为乘船方案，记为d = (u １， u 2, u 3,

ｕ4）,当i 在船上时记u i = 1，否则记u i = 0。

(1） 写出该问题的所有允许状态集合;(３分）

（２) 写出该问题的所有允许决策集合;（3分) (3) 写出该问题的状态转移率。（３分） (４） 利用图解法给出渡河方案． （3分） 解:(1） S ＝｛（1,1,1，1)， （1，１,１，0)， (1，1，0，1）, (1，0，

1,１）， （１，0，1,0）}

及他们的5个反状（3分)

(２) D ＝ ｛(１，1，０，０）， (1，0，1,0)， (1,0，0，1)，

(1,０

,0,0）} (6分)

（３) ｓ k+１ = s k + (-1） k ｄ k (９分)

（４）方法:人先带羊，然后回来,带狼过河,然后把羊带回来,放下羊，带白菜过去，然后再回来把羊带过去.

或： 人先带羊过河,然后自己回来，带白菜过去，放下白菜,带着羊回来,然后放下羊,把狼带过去,最后再回转来,带羊过去。 (12分)

1、 二、(满分１２分) 在举重比赛中，运动员在高度和体重方面差别很大，请

就下面两种假设,建立一个举重能力和体重之间关系的模型： （1） 假设肌肉的强度和其横截面的面积成比例.6分

（2） 假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关,请给出一个改进模型。6

分

解:设体重ｗ(千克）与举重成绩y （千克） （1） 由于肌肉强度(I ）与其横截面积（S ）成比例，所以 y ＩＳ

设h 为个人身高,又横截面积正比于身高的平方，则S µ ｈ

２

再体重正比于身高的三次方，则ｗ µ ｈ3

故举重能力和体重之间关系的模型为:

(６分） （2） 体重中与成年人尺寸无关的重量为a ， 则一个最粗略的模型为

（ １２分）

三、（满分１4分） 某学校规定,运筹学专业的学生毕业时必须至少学习

过两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课。这些课程的编号、名称、学分、所属类别和先修课要求如下表所示。那么，毕业时学生最少可以学习这些课程中哪些课程?

课程编号

课程名称 学分 所属类别 先修课要求 1 微积分 ５ 数学

得分

得分

2

3y kw =2

3

()y k w a =-

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记i ＝1，2,…,9表示9门课程的编号。设i 表示第i 门课程选修，i 表示第i 门课程不选, 建立数学规划模型

（1) 写出问题的目标函数（4分）

（2） 每人至少学习过两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课，如何表示此约束条件? （５分）

（3） 某些课程有先修课要求， 如何表示此约束条件？ (5分）

解

(１) 9

1min i i Z x ==∑ （4

分）

（２) 123452x x x x x ++++≥ 356893x x x x x ++++≥ (9分）

46792x x x x +++≥

(3) 2313,x x x x ≤

≤

47x x ≤

5152,x x x x ≤≤

67x x ≤

9192,x x x x ≤≤

85x x ≤ (14分）

四、（满分10分） 雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有

关，其中粘滞系数的量纲[μ］＝11L MT -- 1

，用量纲分析方法给出速度v 的表达

式。

解:设v ，ρ，μ,g 的关系为(f v ，ρ，μ,g )=0．其量纲表达式为

[v ]=LM 0Ｔ－1

,

［ρ]＝Ｌ—3ＭT 0

,

[μ］=11L MT --

［g ]＝L Ｍ０T —２

,其中L ，Ｍ，T 是基本量纲。 （３分）

量纲矩阵为

Ａ=)

()()()()()()(210101101131g v T M L μρ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----- 齐次线性方程组A ｙ=0 ，即

⎪⎩⎪

⎨⎧==+=+0

2y -y - y -0

y y 0y y -3y -y 431

324321 的基本

解

为

y=

（

-３ ,－ 1 ，１ ，1）

(7分）

由量纲PI 定理 得 g v μρπ1

3

--=. 3ρ

μλg

v =∴，其中λ是无量纲常数． （10分)

五、（满分1２分)设某种群t 时刻的数量为()x t ，初始数量为0x ，

(1) 写出种群数量的指数增长模型并求解;

(2） 设容许的资源环境最大数量为N ， 写出种群数量的阻滞增长模型（ｌog ｉstic)， 并求其平衡点.

解

(1) x rx =

（3分)

0()rx

x t x e =

(6分)

（

２

)

()(1)x

x t rx N

=-

（9分）

(1)0,x

rx N

-

= 平衡点为0x = 和x N = （12分)

六、（满分１0分)设在一个岛屿上栖居着食肉爬行动物和哺乳动物，又长着茂盛的植物。爬行动物以哺乳动物为食,哺乳动物又依赖植物生存，假设食肉爬行动物和哺乳动物独自生存时服从Lo ｇist ｉc 变化规律,植物