2.1平面直角坐标系中的基本公式
2019版高中数学第二章平面直角坐标系中的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式课件
x 0, 所以 即 D(0,4). y 4,
(2)若 BC 为其一条对角线,由 AD 与 BC 的中点重合,则有:
2 5 3 x , x 10, 2 2 所以 即 D(10,0). 2 2 0 y y 0, , 2 2
方法技巧
平行四边形等一些平面图形中与中点有关的图形,可通
过分析图形的特点,利用中点公式求解,即一条线段两个端点及中点,已知
两点坐标,可确定第三个点坐标.
变式训练2-1:一个平行四边形的三个顶点分别为A(-3,0), B(2,-2),
C(5,2),求第四个顶点D的坐标.
解:设 D 点为(x,y),分以下三种情况: (1)若 AC 为平行四边形的一条对角线,由于 AC 与 BD 的中点重合,则有
(3)若 AB 为其一条对角线,由 AB 与 CD 的中点重合,则有:
3 2 5 x , 2 2 所以 x 6, 即 D(-6,-4). 0 2 2 y y 4, , 2 2
综上,D 点坐标为(0,4)或(10,0)或(-6,-4).
2 2 2
类型二 中点公式
【例2】 已知▱ABCD的两个顶点坐标分别为A(4,2),B(5,7),对角线交点为
E(-3,4),求另外两个顶点C,D的坐标.
4 x1 3 , x 10, 2 解:设 C 点坐标为(x1,y1),则由 E 为 AC 的中点得 得 1 y1 6, 4 2 y1 , 2 5 x2 3 , x 11, 2 设 D 点坐标为(x2,y2),则由 E 为 BD 的中点得 得 2 y2 1, 4 7 y2 , 2 故 C 点坐标为(-10,6),D 点坐标为(-11,1).
2019版数学人教B版必修2课件：2.1 平面直角坐标系中的基本公式 .pdf
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2.1 平面直角坐标系中的基本公式
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2.1 平面直角坐标系 中的基本公式
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知识梳理
重难聚焦
典例透析 随堂练习
1.理解实数和数轴上的点的对应关系以及实数与位移向量的对 应关系,理解实数运算在数轴上的几何意义.
2.掌握数轴上、平面内两点间的距离公式与中点坐标公式.
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2.1 平面直角坐标系 中的基本公式
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【做一做2】 求下列两点间的距离: (1)A(-1,0),B(2,3); (2)A(4,3),B(7,-1); (3)A(3,0),B(0,-4).
解(1)∵x1=-1,x2=2,y1=0,y2=3, ∴Δx=x2-x1=2-(-1)=3,Δy=y2-y1=3-0=3.
2.两点间的距离与两点的顺序无关,即|AB|=|BA|.在平面直角坐标
系中,只要两点位置确定了,即点的坐标定了,则它们之间的距离就
可以计算出来.
3.数轴上两点间的距离公式是平面直角坐标系中两点间的距离
公式的特殊情况,即当两点在同一坐标轴上时,平面直角坐标系中
的两点就转化为数轴上的两点.
4.平面内任一点 P(x,y)与原点的距离|OP|= ������2 + ������2.
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典例透析 随堂练习
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2.平面直角坐标系中的基本公式
平面直角坐标系中两点A(x1,y1),B(x2,y2)的距离公式:
d(A,B)= (������2-������1)2 + (������2-������1)2.
名师点拨 1.当x1≠x2,y1≠y2时,|AB|2=(x2-x1)2+(y2-y1)2实质上就是直角 三角形的勾股定理.若AB∥x轴或与x轴重合,则|AB|=|x2-x1|;若 AB∥y轴或与y轴重合,则|AB|=|y2-y1|.
2.1.1-2平面直角坐标系中的基本公式
在一条高速公路上距离出发点的一个以
千米为单位的数就可以确定车的位置，请 问在一个电影院里如何确定你的位置？飞 行员要想和地面指挥指挥中心联系，该如 何报告他的位置？
一维直线
数轴
二维平面
平面直角坐标系
三维空间
空间直角坐标系
第 二 章 用数字或其符号来
平 确定一个点或一个
面 解 析
物体位置的方法叫 坐标方法。相关的
知识点二 位移向量
议一议:如何用数表示数轴上的位移?
如数轴上的一点A沿着轴的正向或负向移到另一点B, 则说点在数轴上作了一次位移,点不动,则说作了零位移. 位移是一个既有大小又有方向的量,通常称为向量.
从点A到点B的向量,记为 AB ,读作“向量AB”，A 为向量的起点，B为向量的终点，线段AB的长度叫做向 量 AB 的长度，也叫做向量的模，记作 AB ，数轴上 同向且等长的向量叫做相等向量，起点和终点重合的向 量叫零向量，零向量没有确定的方向.
几 符号和数称为点的
何 坐标。
初
步
2.1平面直角坐标系 中的基本公式
2.1.1.数轴上的基本公式
知识点1 数轴上的向量 知识点2 数轴上的向量的运算
知识点一 数轴上点的坐标
1.什么叫做数轴?在数轴上，点P与实数x的对应法则
是什么呢？
P
M
-3 -2 -1 0 1 2 3 给出了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴， 或者说在这条直线上建立了直线坐标系.
例1．已知□ABCD的三个顶点A(－3，0)，
B(2，－2)，C(5，2)，求顶点D的坐标.
解：因为平行四边形的 两条对角线的中点相同， 所以它们的坐标也相同。
设D点的坐标为(x，y)，
高中数学必修2-2.1 平面直角坐标系中的基本公式学案
2.1 平面直角坐标系中的基本公式2.2.1 数轴上的基本公式一、 复习：数轴的定义及实数与数轴上的点之间的对应关系。
二、自主学习：自学6765P P -回答：1。
直线坐标系：一条给出了 、 和 的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了 。
2。
实数与数轴上的点之间是 对应关系。
如果点P 与实数x 对应，则称点P 的坐标为 ，记作 。
3。
位移向量（向量）：既有 又有 的量叫做位移向量，简称 。
4。
相等的向量：数轴上 且 的向量叫做相等的向量。
5。
向量的坐标或数量：一般地，轴上向量AB 的坐标是一个实数，实数的绝对值为线段AB 的 ，如果起点指向终点的方向与轴同方向，则这个实数取 ，反之取 。
起点和终点重合的向量是 向量。
6。
位移的和：在数轴上，如果点A 做一次位移到点B ，接着由点B 再做一次位移到点C 则位移AC 叫做位移 和位移 的和。
记作：AC = + 。
对于数轴上任意三点A 、B 、C 都具有关系：AC= + 。
7。
数轴上任意向量的坐标公式：设是数轴上任意一个向量，点A 的坐标为1x ，点B 的坐标为2x ，则AB= 。
8。
数轴上两点间距离公式：d （A ，B ）=︱AB ︱= 。
9。
数轴上两点A （1x ）、B （2x ），线段AB 中点Ｍ（x ）的坐标公式是:x= .三、典型例题：例1.已知A ，B ，C 是数轴上任意三点，（1）、若AB=5，CB=3，求AC ；（2）、证明：AC+CB=AB ；（3）、若,3,5==CB AB 求AC例2.（1）若点)(x A 位于点)2(B 与点C(8)之间，求x 的取值范围；（2）若点)(x A 位于点)8(C 的右侧，求x 的取值范围例3. 设A 、B 、C 、D 为数轴上任意四点，求证：AB+BC+CD+DA=0四、学生练习：6867P P -练习Ａ、Ｂ五、小结：六、作业：1、不在数轴上画点，确定下列各组点中，那一组中的点M 位于点N 的右侧 （ ）（A ）M （-3）和N （-4） （B ）M （3）和N （4）（C ）M （-3）和N （4） （D ）M （-4）和N （-3）2、A ，B 是数轴上两点，B 点坐标B x =-6，且BA= -4，那么点A 的坐标为 （ ）（A ）-10 （B ） -2 （C ） -10或-2 （D ） 103．数轴上三点A 、B 、C ，已知AB=2.5，BC=-3，若A 点坐标为0，则C 点坐标为（ ）（A ）0.5 （B ）-0.5 （C ）5.5 （D ）-5.54、下列说法正确的是 （ ）（A ）零向量有确定的方向 （B ）数轴上等长的向量叫做相等的向量（C ）向量的坐标AB=-BA （D ）AB =５。
2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式
张喜林制2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式教材知识检索考点知识清单1．两点间的距离公式：设),(),(2211y x B y x A 、是平面上的两点，则=||AB2．中点公式：已知),,(),(2211y x B y x A 、设M(x ，y)是线段AB 的中点，则=x =y ,3．平行四边形的两条对角线的平方和等于它的四边的要点核心解读1．两点间的距离公式(1)平面上的点),(y x P 到原点)0,0(O 的距离=),(P O d .22y x +(2)平面上任意两点间的距离公式：设,(),211x B y x A 、（),2y 则.)()(),(212212y y x x B A d -+-=(3)求两点间距离的步骤：①给两点坐标赋值：?,,,,2121====y y x x ？？？②计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即;,1212y y y x x x -=∆-=∆ ③计算;)()(22y x d ∆+∆=④给出两点的距离．2．中点公式已知),,(),(2211y x B y x A 、设点),(y x M 是线段AB 的中点(如图2-1 -2 -1)，过点A 、B 、M 分别向x 轴、y 轴作垂线、、21AA AA ,2121MM MM BB BB 、、、垂足分别为、、、)0,((B )(0,)0,(211211x y A x A )0,(),,0(122x M y B ).,0(2y M 因为M 是线段AB 的中点，所以点1M 和点2M 分别是11B A 和22B A 的中点，即⋅==22221111,B M M A B M M A所以⋅-=--=-y y y y x x x x 2121,即 2,22121y y y x x x +=+= 这就是线段中点坐标的计算公式，简称中点公式．3．解析法的应用解析法是解决解析几何、立体几何等的重要方法，它是把几何问题转化成代数问题，通过建立适当的坐标系加以分析研究解决问题的方法．用解析法解决几何问题的基本步骤如下：(1)选择坐标系：坐标系选择是否恰当，直接关系到以后的论证是否简捷．原则是：选择坐标系要使得问题所涉及的坐标中尽可能多地出现零．为此，常常有以下规律：①将图形一边所在的直线或定直线作为x 轴；②若为对称图形则取对称轴为x 轴或y 轴；③若有直角，则取直角边所在的直线为坐标轴；④可将图形的一个定点或两个定点连线的中点作为原点．(2)标出图形上有关点的坐标，按已知条件用坐标表示图形中的等量关系．(3)通过以上两个程序，把几何问题转化为代数问题来求解．典例分类剖析考点1 平面上两点闻距离的求法及应用命题规律主要强调两点间距离公式的应用，两点间的距离公式作为解析几何的重点之一，常会考查．[例1] (1)已知),3,1()3,6()1,2(C B A 、、求证：△ABC 为直角三角形．(2)已知点A(3，6)，在x 轴上的点P 与点A 的距离为10，求点P 的坐标．[解析] (1)要判断三角形是否为直角三角形，其中一种方法是考虑各边长之间是否满足勾股定理，即需求出三条边长．[答案] 由两点间的距离公式得;20)13()26(),(=-+-=B A d;5)13()21(),(=-+-=C A d;25)33()61(),(22=-+-=C B d,||||||222BC AC AB =+∴∴ △ABC 为直角三角形．(2)设点P 的坐标为（x ，O ），由,10),(=P A d 得,10)60()3(22=-+-x解得11=x 或,5-=x∴ 点P 的坐标为(-5，0)或(11，0)．母题迁移 1．已知等边△ABC 的两个顶点、的坐标为),0,2()0,4(B A 、-试求：(1) C 点的坐标；(2)△ABC 的面积．考点2 中点坐标公式及其应用命题规律考查中点坐标公式及其应用．[例2] △ABC 三个顶点的坐标分别为,2)4,4(（、B A --),2,4()2-C 、求三边中线的长．[答案] 设AB 的中点D 的坐标为D （x,y ）,由中点公式得,1224,1224-=+-=-=+-=y x 即 ⋅--)1,1(D同理，BC 的中点E(3，0)，AC 的中点F(O ，-3)．),(||D C d CD =∴22)]2(1[)41(---+--=;26=),(||E A d AE =)40()43(+++=;65=),(||F B d BF =)23()20(-⋅-+-=.29=母题迁移 2．△ABC 三个顶点的坐标为),1,0(-A ),2,2(),3,1(-C B 求中线AD 的长．考点3 两点问距离公式的几何意义命题规律利用两点间距离公式的几何意义求某些函数的最值．[例3] 求函数++-=3712)(2x x x f 134+-x x 的最小值．[答案] ,1)6(3722+-=+-x x r x ∴+-=+-,9)2(1342x x x 可设,6（A 、、)3,2()1B )0,P(x 则.||||)(PB PA x f +=要求)(x f 的最小值，只需在x 轴上找一点P ，使||||PB PA +最小即可．设B 关于x 轴的对称点为,/B 则)3,2(/-B （如图2 -1 -2-2所示）． |,|||||||||//AB PB PA PB PA ≥+=+,24)13()62(||22/=--+-=AB∴ 当A P B 、、/三点共线时取等号，即||||PB PA +的最小值为,24也就是)(x f 的最小值为.24[点拨] (1)涉及无理式，尤其是含平方的算式，我们可联想到两点间的距离，故构造两点间的距离来解题．(2)本题切忌将两个无理函数最小值的和当作f(x)的最小值．母题迁移 3．求函数1342222+-++-=x x x x y 的最小值．优化分层测讯学业水平测试1．已知),15,2().5,3(B A -则=),(B A d （ ）25.A 135.B 175.C 55.D2．已知两点),,(),(d c B b a A 、且,02222=+-+d c b a 则( )．A ．原点一定是线段AB 的中点 B.A 、B 一定都与原点重合C ．原点一定在线段AB 上但不是中点D ．以上结论都不正确3．点P(2，-1)关于点(3，4)的对称点是( )．)5,1.(A )9,4.(B )3,5(⋅C )4,9.(D4．已知点A(3，6)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于10，则点P 的坐标为5．在△ABC 中，设),5,2()7,3(-B A 、若AC 、BC 的中点都在坐标轴上，则点C 的坐标为6．已知，平面内平行四边形的三个顶点).3,1()1,2(--B A 、),4,3(C 求第四个顶点D 的坐标．高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分x8 =40分）1．以A(5，5)、B(1，4)、C(4，1)为顶点的三角形是( )．A.直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形2．已知△ABC 的三个顶点是)0,()0,(a B a A 、-和),23,2(a aC 则△ABC 的形状是( )． A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．斜三角形3．已知点),2,4()0,2(B A 、若|,|2||BC AC =则C 点的坐标为( )．)1,1(-⋅A ），或（15)1,1(--⋅B )3,1()1,1(或-⋅C D ．无数个 4．已知点A （x ，5）关于点C(l ，y)的对称点是),3,2(--B 则点),(y x P 到原点的距离是( )．4.A 13.B 15.C 17.D5．已知菱形的三个顶点为),0,0(),(),(、、a b b a -则它的第四个顶点是( )．),2(b a A ⋅ ),(b a b a B +-⋅ ),.(a b b a C -+ ),(a b b a D --⋅6．光线从点A （-3，5）射到x 轴上，经过反射后经过点B(2，10)，则光线从A 到B 的距离为( )．25.A 52.B 105.C 510.D7．某县位于山区，居民的居住区域大致呈如图2 -1-2 -3所示的五边形，近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成，若,30,60km CD AE km AB ===为了解决当地人民看电视难的问题，准备建一个电视转播台，理想方案是转播台距五边形各顶点距离的平方和最小，图中4321P P P P 、、、是AC 的五等分点，则转播台应建在( )．1.P A 处2.P B 处3.P C 处4.P D 处8．（2006年福建）对于直角坐标平面内的任意两点).,(11y x A ),,(22y x B 定义它们之间的一种“距离”：+-=||||12x x AB .||12y y -给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则|;|||||AB CB AC =+②在△ABC 中，若,90 =∠C 则;||||||222AB CB AC =+③在△ABC 中，.||||||AB CB AC >+其中真命题的个数为( )．0.A 1.B 2.C 3.D二、填空题（5分x4 =20分）9．已知),,2()6,(b B a A -、点P(2，3)平分线段AB ，则=+b a10．已知),3,0()3,5()1,1(C B A 、、则△ABC 的形状为11．已知),3().2,1(b B A -两点间的距离为,24则=b12.已知两点),2,3()4,1(A P 、-则点A 关于点P 的对称点的坐标为三、解答题（10分x4 =40分）13.求函数84122+-++=x x x y 的最小值．14.已知△ABC 三顶点的坐标为,8)3,11()8,3(--（、、C B A ),2-求BC 边上的高AD 的长度．15.若a 、b 、c 、d 都是实数，试证明≥+++2222db c a .)()(22d c b a +++16.在△ABC 所在平面上求一点P ，使222||||||PC PB PA ++取得最小值.。
高中数学2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式教案新人教B版必修2
2.1.1 数轴上的基本公式示范教案整体设计教学分析这一小节，在教学上往往被忽视．但一维坐标几何是二维、三维坐标几何的基础．教师一定要下些工夫，让学生牢固掌握．首先复习数轴，建立数轴上的点与实数的一一对应关系．然后引入位移向量的概念，建立直线上的向量与实数的一一对应．以往在平面解析几何中，不引入向量的概念，由有向线段代替．对有向线段，也没有引入运算的概念，这样数轴上的基本计算公式，证明起来比较麻烦．现在高中数学中已引入平面向量知识，如果在数轴上引入向量及其加减运算，学生会更好地理解坐标几何基本公式的推导．也为今后进一步的学习坐标几何打下坚实的基础．值得注意的是本节内容比较容易接受，可以指导学生自学完成，或指定一名具有表现力且成绩优秀的学生给同学们讲解．三维目标1．通过对数轴的复习，理解实数与数轴上点的对应关系，提高学生的应用能力．2．理解实数运算在数轴上的几何意义．掌握用数轴上两点的坐标计算两点距离的公式，掌握数轴上向量加法的坐标运算，提高学生的运算能力，培养数形结合的思想．重点难点教学重点：直线坐标系和数轴上两点间的距离公式应用．教学难点：理解向量的有关概念．课时安排1课时教学过程导入新课设计 1.在初中，我们学习了数轴上两点间的距离公式，今天，我们从向量的角度来分析数轴上两点间的距离公式，教师点出课题．设计 2.从本节开始，我们系统学习坐标系，并利用坐标系解决几何问题，今天我们先学习第二章第一大节的第一小节，教师点出课题．推进新课新知探究提出问题什么叫做数轴？如下图所示，在数轴上，点P 与实数x 的对应法则是什么呢？(2)阅读教材，给出向量的有关概念．(3)相等的向量的坐标相等吗？坐标相等的向量相等吗？(4)试讨论AB →＋BC →.(5)对于数轴上的任意一个向量，怎样用它的起点坐标和终点的坐标来计算它的坐标．(6)写出数轴上两点间的距离公式．讨论结果：(1)给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系．点P 与实数x 的对应法则是：在数轴上，点P 与实数x 的对应法则是：如果点P 在原点朝正向的一侧，则x 为正数，且等于点P 到原点的距离；如果点P 在原点朝负向的一侧，则x 为负数，其绝对值等于点P 到原点的距离．原点表示数0.依据这个法则我们就在实数集和数轴上的点之间建立了一一对应关系．即对于数轴上每一个点都有唯一确定的实数与之对应；反之，对于任何一个实数，数轴上也存在一个确定的点与之对应．若点P 与实数x 对应，则称点P 的坐标为x ，记作P(x)．(2)如下图所示．如果数轴上的任意一点A 沿着轴的正向或负向移动到另一点B ，则说点在轴上做了一次位移，点不动则说点做了零位移．位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，本书简称为向量．从点A 到点B 的向量，记作AB →，读作向量AB.点A 叫做向量AB →的起点，点B 叫做向量AB→的终点，线段AB 的长叫做向量AB →的长度，记作|AB →|.数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量．例如图中的AB →＝BC →.我们可用实数表示数轴上的一个向量．例如上图中的向量AB →，即从点A 沿x 轴的正向移动3个单位到达点B ，可用正数3表示；反之，用－3表示B 为起点A 为终点的向量，3和－3分别叫做向量AB →和BA →的坐标或数量．一般地，轴上向量AB →的坐标是一个实数，实数的绝对值为线段AB 的长度，如果起点指向终点的方向与轴同方向，则这个实数取正数；反之取负数．向量坐标的绝对值等于向量的长度．起点和终点重合的向量是零向量，它没有确定的方向，它的坐标为0. 向量AB →的坐标，在本书中用AB 表示．(3)例如在下图中AB ＝4，BA ＝－4，|AB|＝4，|BA|＝4.显然AB ＝－BA 或AB ＋BA ＝0.容易推断，相等的向量，它们的坐标相等；反之，如果数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等．如果把相等的所有向量看作一个整体，作为同一个向量，则实数与数轴上的向量之间是一一对应的．(4)在数轴上，如果点A 做一次位移到点B ，接着由点B 再做一次位移到点C ，则位移AC →叫做位移AB →与位移BC →的和．记作AC →＝AB →＋BC →.。
推荐高中数学2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式知识导
2.1 平面直角坐标系中的基本公式2.1.1 数轴上的基本公式2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式知识梳理1.数轴上的基本公式(1)数轴上任意三点A 、B 、C ，则AB+BC=AC ；(2)数轴上任一个向量，设OB=x 2，OA=x 1，则AB=x 2-x 1；(3)已知数轴上两点A 、B,OB=x 2，OA=x 1，则两点A 、B 的距离公式:d(A,B)=|x 2-x 1|.2.平面直角坐标系中的基本公式(1)平面直角坐标系上两点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)的距离公式:d(A,B)=212212)()(y y x x -+-；(2)中点公式:两点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)的中点M(x ，y),则x=2,22121y y y x x +=+. 知识导学学习数轴上的基本公式要先复习数轴的定义和性质以及与数轴相关的概念,如绝对值、相反数等.学习本节后AB 不再表示线段，而是表示(位移)向量，它的值可正也可负，还可以是0,它不但有长度,而且还有方向.初学数轴上和平面直角坐标系中的基本公式时，一定要先画好数轴和平面直角坐标系，用数形结合的方法理解和掌握基本公式，要动手推导公式,在理解的基础上记忆,不要死记硬背. 疑难突破1.引入数轴上向量的概念有何意义？剖析:教材引入数轴上向量的概念是为了正确地理解基本公式的推导和方程的概念，并为学习解析几何、三角函数和平面向量等后续数学内容打下基础.教材中用AB 表示向量的坐标或数量，用|AB|表示向量的长度，学习中要正确识别这些符号.2.向量AB 和向量BA.剖析:实际上，数轴上的(位移)向量AB 由两部分构成，一是方向，二是长度.与数轴的正方向一致时，它的方向用“+”表示(可以省略不写).当它与数轴的负方向一致时，它的方向用“-”表示.由于AB 表示的是向量，所以AB 和BA 是两个不同的向量，二者不相等.(实)数轴上的向量AB 与实数的构成有非常相似的地方，一个实数由两部分构成,一是(性质)符号;二是绝对值.类比实数的构成可以较容易地理解向量地意义.如图2-1-1所示，在数轴上把向量AB 和向量BA 画出方向，更直观地看到它们确实不相等.图2-1-(1,2)-13.如何表示数轴上两点的相对位置？剖析:数轴上两个点A和B的相对位置，用它们的(位移)向量来表示，即如果AB是负的，则表示从点A指向点B的方向为数轴的负方向，则点A在点B的右方；如果AB是正的，则表示从点A指向点B的方向为数轴的正方向，则点A在点B的左方.数轴上两点的相对位置主要有两个方面，一是方向，谁在左，谁在右;二是距离，即两个点距离多远.将这两个方面回答清楚了，数轴上两个点的相对位置也就清楚了.4.利用中点坐标公式能解决哪些问题？剖析:中点公式及其变形式在实际解题中应用很广泛，所有涉及中点、三等分点及n等分点的问题都可以据此来求.中点坐标公式的作用很大.在角平分线、点关于点的对称点、点关于线的对称点、直线关于点的对称直线、直线关于直线的对称直线等对称问题中都有中点出现，物理中的影像问题也有中点出现.5.探索平面上两点间距离公式时需要注意什么？剖析:平面上两点间距离公式的探索，应该从在数轴上的两点或连线平行轴的两点入手，然后注意研究怎样把两点连线(不平行轴的情况)向上面的简单情况转化.探索中要注意观察或构造直角三角形，以便应用勾股定理.。
平面直角坐标系中的基本公式
平面直角坐标系中的基本公式平面直角坐标系是二维空间中用于描述点位置的系统。
它由两条互相垂直的坐标轴组成，一个是横轴通常称为x轴，另一个是纵轴通常称为y 轴。
坐标轴的交点称为原点，用O表示。
每个点可以通过两个坐标值（x，y）来定义，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。
在平面直角坐标系中，存在一些基本公式，我们将在本文中一一介绍。
1.距离公式：两点间的距离可以使用勾股定理进行计算。
如果有两个点A（x1，y1）和B（x2，y2），它们之间的距离可以使用以下公式计算：AB=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)2.中点公式：两点的中点可通过其坐标的平均值计算。
如果有两个点A（x1，y1）和B（x2，y2），它们的中点C的坐标可以计算如下：C=((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)3.斜率公式：斜率是一条直线在坐标轴上的改变速率。
两点间的斜率可以用下面的公式进行计算：斜率=(y2-y1)/(x2-x1)4.中垂线公式：两条线段在中垂线上的交点被称为它们的垂点。
如果有一条线段AB，在平面直角坐标系中，它的中垂线是与AB垂直并通过AB的中点的直线。
中垂线方程可以使用以下公式计算：中垂线的斜率=-1/斜率中垂线通过点((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)5.垂直平分线公式：两条线段在垂直平分线上的交点称为它们的垂直平分线的中点。
如果有一条线段AB，在平面直角坐标系中，它的垂直平分线将AB划分为两个相等的部分，并且与AB垂直。
垂直平分线的方程可以使用以下公式计算：垂直平分线的斜率=-1/斜率垂直平分线通过点((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)6.直线方程：一个直线的方程可以表示为 y = mx + c 的形式，其中 m 是斜率，c 是 y 轴截距。
7.平行线之间的关系：两条平行线具有相同的斜率。
如果有两条线段AB和CD平行，则它们具有相同的斜率。
8.垂直线之间的关系：两条垂直线的斜率乘积为-1、如果有两条线段AB和CD垂直，则它们的斜率乘积等于-1这些是平面直角坐标系中的一些基本公式。
高中数学平面解析几何2.1坐标法学案含解析
第二章 平面解析几何2．1 坐 标 法必备知识·自主学习1.平面直角坐标系中的基本公式(1)定义：平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式都称为平面直角坐标系中的基本公式．(2)公式：点A ()x 1，y 1 ，B ()x 2，y 2 ，中点M ()x ，y ，则||AB ＝()x 2－x 12＋()y 2－y 12 ，M ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22 . 2．坐标法通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算等解决问题的方法称为坐标法．利用坐标法解决几何问题的前提是什么？提示：建立平面直角坐标系．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)解析几何中，点A 与点B 之间的距离表示为AB.( )(2)已知A(3，0)，B(0，－4)，则AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，2 .( )(3)点A ()x 1，y 1 ，B ()x 2，y 2 ，则||AB ＝ ()x 1－x 22＋()y 1－y 22 .( )提示：(1)×.点A 与点B 之间的距离表示为||AB .(2)×.中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－2 .(3)√.||AB ＝()x 2－x 12＋()y 2－y 12 ＝()x 1－x 22＋()y 1－y 22. 2．(教材例题改编)已知点A(1，2)，B(－3，0)，则线段AB 的中点坐标为( )A ．(－1，1)B ．(－2，2)C ．(－2，－1)D ．(－4，－2)【解析】选A.点A(1，2)，B(－3，0)，则线段AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1－32，2＋02 ，化为(－1，1).3．已知点A(2，0)和点B(－4，2)，则|AB|＝( )A ． 5B ．2 5C ．10D ．210【解析】选D.因为A(2，0)，B(－4，2)，所以|AB|＝（2＋4）2＋（0－2）2 ＝210 . 关键能力·合作学习类型一 数轴上两点之间的距离公式与中点坐标公式(数学运算)1．已知A(－6)，||AB ＝4，则点B 的坐标为( )A ．2B ．－2或－10C ．10D ．2或10【解析】选B.设B 点的坐标为x ，则||AB ＝||x －()－6 ＝4，所以x ＝－2或x ＝－10.2．已知A(a)，B(a 2＋1)，线段AB 的中点C ⎝⎛⎭⎫32 ，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．1或－2D ．－1或2【解析】选C.由题意得，a ＋a 2＋12 ＝32，所以a 2＋a －2＝0，所以a ＝1或－2. 3．已知M ，N ，P 是数轴上三点，若|MN|＝5，|NP|＝3，则||MP ＝________．【解析】因为M ，N ，P 是数轴上三点，|MN|＝5，|NP|＝3，(1)当点P 在点M ，N 之间时(如图所示)，||MP ＝|MN|－|NP|＝5－3＝2.(2)当点P 在点M ，N 之外时(如图所示)，||MP ＝|MN|＋|NP|＝5＋3＝8.综上所述，|MP|＝2或8.答案：2或8数轴上两点之间的距离公式与中点坐标公式的关注点(1)熟练运用公式；(2)求参数的值或取值范围时，若由绝对值的定义去绝对值符号时，一定要分类讨论，从而确定出参数的值或范围．【补偿训练】已知数轴上两点A(a)，B(5).求：当a 为何值时，(1)两点间距离为5?(2)两点间距离大于5?(3)两点间距离小于3?【解析】数轴上两点A ，B 之间的距离为|AB|＝|a －5|.(1)根据题意得|a －5|＝5，解得a ＝0或a ＝10.(2)根据题意得|a －5|>5，即a －5>5或a －5<－5，所以a>10或a<0.(3)根据题意得|a －5|<3，即－3<a －5<3，所以2<a<8.类型二 平面内两点之间距离公式与中点坐标公式(数学运算)两点之间的距离公式【典例】已知点A(2，1)，点B(5, a)，若|AB|＝13 ，则a ＝________．【思路导引】代入距离公式，解方程求a.【解析】点A(2，1)，B(5，a)，则|AB|＝()2－52＋()1－a 2 ＝13 ，解得a ＝－1或3.答案：－1或3本例若改为：已知点A(－1，2)，B(2，7 )，在x 轴上求一点P ，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．【解析】设所求点P(x ，0)，于是由|PA|＝|PB|得（x ＋1）2＋（0－2）2 ＝（x －2）2＋（0－7）2 ，即x 2＋2x ＋5＝x 2－4x ＋11，解得x ＝1.所以所求P 点坐标为(1，0)，|PA|＝（1＋1）2＋（0－2）2 ＝2 2 .中点坐标公式【典例】已知△ABC 的顶点坐标为A(7，8)，B(10，4)，C(2，－4)，则BC 边上的中线AM 的长为( )A ．8B ．13C ．215D ．65【思路导引】先求出BC 的中点，再利用距离公式求值．【解析】选D.由B(10，4)，C(2，－4)，设BC 中点为M(x M ，y M )，得x M ＝10＋22 ＝6，y M ＝4－42＝0， 即M(6，0).又A(7，8)，所以|AM|＝（7－6）2＋（8－0）2 ＝65 .1．关于两点之间的距离公式(1)注意公式特征，一是括号内是对应纵横坐标的差；二是作差的顺序必须一致．(2)运算结果要进行开方化简．2．关于中点坐标公式的应用(1)中点坐标公式体现了两点及其中点坐标之间的关系，三个点的坐标“知二求一”；(2)点A ()x ，y 关于点P ()a ，b 的对称点坐标为()2a －x ，2b －y .1．△ABC 三个顶点的坐标分别为A(－4，－4)，B(2，2)，C(4，－2)，则三角形AB 边上的中线长为( )A ．26B ．65C ．29D ．13【解析】选A.AB 的中点D 的坐标为(－1，－1)，所以|CD|＝（－1－4）2＋[－1－（－2）]2 ＝26 .2．已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)三点，则|AC||CB|的值为( ) A ．13 B ．12C ．3D ．2 【解析】选D.由两点间的距离公式，得|AC|＝[3－（－1）]2＋（4－0）2 ＝4 2 ， |CB|＝（3－5）2＋（4－6）2 ＝2 2 ， 故|AC||CB| ＝4222＝2. 3．已知点A(－2，－1)，B(a ，3)，且|AB|＝5，则a 的值为________．【解析】因为|AB|＝（a ＋2）2＋（3＋1）2 ＝5，所以a ＝－5或a ＝1.答案：1或－5类型三 坐标法的应用(数学直观、逻辑推理)【典例】如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别为BC ，AC ，AB 的中点，用坐标法证明：34 (|AB|2＋|BC|2＋|AC|2)＝|AD|2＋|BE|2＋|CF|2.关于坐标法解决几何问题(1)建系：利用坐标法解决几何问题的前提是建立平面直角坐标系，采用对称建系或使尽可能多的顶点在坐标轴上的方法，使数据运算简单．(2)利用坐标法可以解决线线的垂直、平行，与距离相关的等式等．△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，用坐标法证明|AE|＝|CD|.【证明】如图，以B为坐标原点，直线AC为x轴，建立平面直角坐标系，设△ABD 和△BCE 的边长分别为a ，c ，则A(－a ，0)，C(c ，0)，D ⎝⎛⎭⎫－a 2，32a ，E ⎝⎛⎭⎫c 2，32c ， 则|AE|＝⎣⎡⎦⎤c 2－（－a ）2＋⎝⎛⎭⎫32c －02 ＝a 2＋ac ＋c 2 ，|CD|＝⎝⎛⎭⎫－a 2－c 2＋⎝⎛⎭⎫32a －02 ＝a 2＋ac ＋c 2 ，所以|AE|＝|CD|.课堂检测·素养达标1．已知点(x ，y)到原点的距离等于1，则实数x ，y 满足的条件是( )A ．x 2－y 2＝1B ．x 2－y 2＝0C ．x 2＋y 2 ＝1D ．x 2＋y 2 ＝0【解析】选C.因为点(x ，y)到原点的距离等于1，所以（x －0）2＋（y －0）2 ＝1，即x 2＋y 2 ＝1.2．直线y ＝x 上的两点P ，Q 的横坐标分别是1，5，则|PQ|等于( )A ．4B ．4 2C ．2D ．2 2【解析】选B.由题意知P(1，1)，Q(5，5)，所以|PQ|＝2（5－1）2 ＝4 2 .3．已知点A(－1，2)，点B(2，6)，则线段AB 的长为________．【解析】由两点间距离公式得|AB|＝（2＋1）2＋（6－2）2 ＝5.答案：54．已知三角形的两个顶点A(3，7)，B(－2，5)，两边AC 和BC 的中点分别在x 轴、y 轴上，则顶点C 的坐标是________．【解析】设C(x ，y)，由题意可得：－2＋x 2 ＝0，7＋y 2＝0， 解得x ＝2，y ＝－7.所以C(2，－7).答案：(2，－7)5．已知点A(2，5)，B(4，－1)，若在y 轴上存在一点P ，使|PA|2＋|PB|2最小，求点P 的坐标．【解析】设点P(0，y)，则|PA|2＋|PB|2＝(0－2)2＋(y －5)2＋(0－4)2＋(y ＋1)2＝2y 2－8y ＋46＝2(y －2)2＋38，所以y ＝2时，|PA|2＋|PB|2最小，此时点P(0，2).。
2.1平面直角坐标系中的基本公式ppt课件
第D一(b步,c):建立C(坐a+b,c) 标系，用坐标表
示有关的量。
解析法 | AB |2 a2 | CD|2 a2
A (0,0)
x B (a,0)
| AD|2b2c2 |BC|2b2c2 第二步:进行有
|AC|2(ab)2c2 |BD|2(ba关)2代数c2运算
|A B |2 |C D |2 |A D |2 |B C |2 2 ( a 2 b 2 c 2 )
x21 x24x8 (x 0 )2 (0 1 )2(x 2 )2 (0 2 )2
令A(0，1)，B(2，2)，P(x，0)，
则问题转化为在x轴上求一点P(x，0)，使
得|PA|+|PB|取最小值.
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22
A(0，1)关于x轴的对称点为A’(0，－1)，
∵ (|P A | |P B |)m in |A 'B |1 3
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10
2.1平面直角坐标系 中的基本公式
2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式
1.两点间距离公式
2.中点坐标公式 3.坐标法
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12
1.两点间的距离公式
d(P1,P2)= |P 1P2|(x2x1)2(y2y1)2
特别的：
(1) x1≠x2, y1=y2 |P 1P 2||x2x1|
思考：
在一条高速公路上距离出发点的一个以 千米为单位的数就可以确定车的位置，请问 在一个电影院里如何确定你的位置？飞行员 要想和地面指挥指挥中心联系，该如何报告 他的位置？
一维直线
数轴
二维平面
平面直角坐标系
三维空间
ppt精选版 空间直角坐标系 1
第
二 章
平面直角坐标系中的基本公式
AO 1
M1
B1
因 为 M是 线 段 AB的 中 点 ，
所
以
点
M
和
1
点
M
分
2
别
是
A1B 1和 A 2 B 2的 中 点 ， 即
B
B2
A1M 1 M 1B1, A2M 2 M 2 B 2.
. M
M
2
所 以 x x1 x2 x, y y1 y2 y A
A 2
.即
x x1 x2 , y y1 y2
即 d(O，A)＝d(O，B)．
所以 A、B 到原点 O 的距离相等，
故选项 A、B、C 都错，故选 D.
2020/12/22
2. 已知点 A(－3,4)，B(2， 3)，试在 x 轴上找一点 P，使得
d(P，A)＝d(P，B)，并求出 d(P，A)． 解 设 P(x,0)，由题意得 d(P，A)＝ x＋32＋0－42
显然，当AB平行于坐标轴或在坐标轴上时，公式仍点的坐标赋值：
x 1 ? ,y 1 ? ,x 2 ? ,y 2 ? ;
（2）计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，
即
xx 2 x 1 , y = y 2y 1 ;
（3）计算 d x2 y2
（4）给出两点的距离d.
得 x0
y4
所 以 点 D的 坐 标 为 （ 0， 4） ， 即 D（ 0， 4）
课后作业：
1．已知两点 A(a，b)，B(c，d)，且 a2＋b2－ c2＋d2＝0，
则
( D)
A．原点一定是线段 AB 的中点
B．A、B 一定都与原点重合
C．原点一定在线段 AB 上但不是中点
D．以上结论都不正确 解析 由 a2＋b2－ c2＋d2＝0， 得： a2＋b2＝ c2＋d2，
2-1-2平面直角坐标系中的基本公式
典例剖析
题型 1 考察两点间的坐标公式 例 1 求下列两点间的距离． (1)A(－2,3)，B(－1,7)； (2)A(1,5)，B(4，－1)． 剖析 可根据两点间的距离公式求解，注意计算步骤．
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第二章
§2 .1
§2 .1.2
名师一号 · 新课标B版数学 · 必修2
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§2 .1
§2 .1.2
名师一号 · 新课标B版数学 · 必修2
4．已知 A(8,10)，B(－6，y)，AB 中点坐标为(x,7)，则 x， y 的值分别是( A．1,4 C．－1,4 ) B．1，－4 7 D．1，2
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名师讲解
1.两点间的距离公式 在平面直角坐标系内有两点：A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A， B 两点的距离是 d(A，B)＝ x2－x12＋y2－y12.
2 (1)若 B 点为原点，则 d(A，B)＝d(O，A)＝ x2＋y1； 1
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§2 .1
§2 .1.2
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由(1，－1)是 BD 中点可得： 2＋x2 ＝1， 2 4＋y2 2 ＝－1，
x ＝0， 2 ∴ y2＝－6.
∴C 点坐标为(3，－5)，D 点坐标为(0，－6)．
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§2 .1
高中数学2.1.2平面直角坐标系中的基本公式课件一 新人教B必修2
学习目标
1. 理解两点间的距离的概念，掌握两点间的距 离公式，并会求两点间的距离． 2．理解坐标法的意义，并会用坐标法研究问 题．
课前自主学案 课堂互动讲练 知能优化训练
课前自主学案
温故夯基
平面直角坐标系中点的坐标(初中所学)：在平面直 角坐标系中，有序实数对构成的集合与坐标平面 内点的集合具有一一对应关系．有序实数对(x，y) 与点P对应时，(x，y)叫做点P的坐标．其中x叫做 点P的横坐标．y叫做点P的纵坐标．
7．使用“坐标法”来处理几何问题，体会“数形结 合”的数学思想方法． 8．列方程或方程组求解问题的方法，也是解析 几何中常用的基本方法．
9．两点间距离公式与中点公式是两个重要的基 本公式．公式的推导过程中所使用的“分解”、“ 综合”方法，充分体现了转化思想． 这里所说的“分解”与“综合”方法，是指把坐标平 面上的问题投影到两个坐标轴上，从而分解为两
【点评】 涉及到无理式，其中含二次三项 式的，我们联想到两点间的距离公式，即构 造两点间的距离公式，再结合平面几何知识 求解．
跟踪训练 3 函数 y＝ x2＋1＋ x2－4x＋8的 最小值．
解：∵函数的解析式可化为
y＝ x2＋1＋ x2－4x＋8 ＝ x－02＋0－12＋ x－22＋0－22. 令 A(0,1)，B(2,2)，P(x,0)，则问题转化为在 x 轴上 求一点 P(x,0)，使得|PA|＋|PB|取最小值． ∵A 关于 x 轴的对称点为 A′(0，－1)， ∴(|PA|＋|PB|)min＝|A′B| ＝ 2－02＋2＋12＝ 4＋9＝ 13. 即函数 y＝ x2＋1＋ x2－4x＋8的最小值为 13.
知新益能
1．两点间的距离公式 (1)两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的距离表示为 d(P1， P2)＝___x_2－__x_1__2＋___y_2_－__y_1_2 . ①当 P1P2 平行于 x 轴时，d(P1，P2)＝_|_x_2－__x_1_|_； ②当 P1P2 平行于 y 轴时，d(P1，P2)＝_|_y_2－__y_1_|_； ③当 P2 点是原点时，d(P1，P2)＝__x_21_＋__y_21__. (2)算术平方根 x－a2＋y－b2的几何意义是 表示两点 P1(x，y)，P2(a，b)的距离．
高中数学 2.1 平面直角坐标系中的基本公式 2.1.1 数轴上的基本公式 2.1.2 平面直角坐标
2.1 平面直角坐标系中的基本公式数轴上的基本公式平面直角坐标系中的基本公式自主广场我夯基 我达标1.已知A(3)、B(-2)两点，则AB=_____________，|AB|=_____________.思路解析：由于AB 是向量，因此一定要用终点坐标减去起点坐标，|AB|是向量AB 的长度，因此一定要求向量AB 的数量的绝对值.AB=-2-3=-5；|AB|=|-2-3|=|-5|=5.答案：-5 52.已知点M(2，2)平分线段AB ，且A(x ，3)、B(3，y)，则x=_____________,y=_____________. 思路解析：“点M(2，2)平分线段AB”的含义就是点M 是线段AB 的中点，故可以用中点坐标公式把题意转化为方程组进行求解.∵点M(2，2)平分线段AB ，∴223,223=+=+y x ，解得x=1，y=1.答案：1 13.已知点A(5，12)，在x 轴上求一点P ，使点P 与点A 的距离等于13，则满足条件的点为___________________.思路解析：可以用方程的思想根据平面内两点间的距离公式把题意转化成方程(组)进行求解.设点P 的坐标为(x ，0)，根据题意，得22)012()5(-+-x =13，解得x 1=0，x 2=10. 答案:(0,0)或(10,0)4.已知△ABC 的三个顶点的坐标为A(3，2)、B(0，1)、C(0，3)，则此三角形的形状是_______________.思路解析：判断三角形的形状，首先要知道三角形都有哪些形状.按边分：等边三角形，等腰三角形;按角分：锐角三角形，钝角三角形，直角三角形.所以在判断三角形的形状时，既要考虑到边的情况，也要考虑到角的情况.根据本题的题设我们先要根据平面内两点间的距离公式计算三角形的边长. ∵|AB|=22)12()03(-+-=2,|AC|=22)32()03(-+-=2,|BC|=22)31()00(-+-=2,∴△ABC 为等边三角形.答案：等边三角形5.已知三角形三个顶点的坐标为A(1，1)、B(3，1)、C(2，2)，此三角形的形状是_____________.思路解析：已知三角形的三个顶点的坐标判断三角形的形状，首先要求出各边的边长，然后考查三边的长度是否满足勾股定理,从而判定三角形的形状. ∵|AB|=22)31()11(-+-=2, |AC|=2)21()21(22=-+-,|BC|=2)23()21(22=-+-,∴|AC|=|BC|.又∵AB 2=4,AC 2+BC 2=4,∴AB 2=AC 2+BC 2.∴三角形是等腰直角三角形.答案：等腰直角三角形6.已知ABCD 的三个顶点A(0，0)、B(x 1，y 1)、D(x 2，y 2)，则顶点C 的坐标为___________.思路解析：由于ABCD 的各顶点的顺序已经确定，因此点C 的坐标是唯一确定的.根据平行四边形的性质——对角线互相平分，再根据中点坐标公式的逆向应用，即可求出点C 的坐标. 设顶点C 的坐标为(m,n)，AC 与BD 的交点为O ，则O 为AC 和BD 的中点，根据题意，得点O 的坐标为(212x x +,212y y +). 又∵点O 为AC 的中点，∴20+m =212x x +,20+n =212y y +. 解得m=x 2+x 1,n=y 2+y 1,∴点C 的坐标为(x 1+x 2,y 1+y 2).答案：(x 1+x 2,y 1+y 2)7.判定下列各组点中，哪一个点一定位于另一个点的右侧.(1)M(2x)、N(x)；(2)A(c)、B(c+2)；(3)C(x)、D(x-a)；(4)E(x)、F(x 2).思路解析：∵(1)中的2x与x、(3)中的x与x-a、(4)中的x与x2都无法确定两个数的大小关系，而(2)中的c与c+2大小关系容易确定:c＜c+2，∴B(c+2)一定在A(c)的右侧.答案：(2).8.在数轴上求一点的坐标，使它到点A(-9)的距离等于它到点B(-3)的距离的2倍.思路解析：设所求点为C(x)，则由题意得|x-(-9)|=2·|x-(-3)|，解得x=3或x=-5.∴符合条件的点有两个:C1(3)、C2(-5).答案：C1(3)或C2(-5).9.在数轴上，运用两点间距离的概念和计算公式，解下列方程:(1)|x+3|+|x-1|=5；(2)|x+3|+|x-1|=4；(3)|x+3|+|x-1|=3.思路分析：本题中的三个小题实质上是一道题，即在数轴上求到两个定点A(-3)和B(1)的距离之和分别等于5、4、3的点的坐标.解：(1)∵-3到1的距离等于4，如图所示，到两个定点A(-3)和B(1)的距离之和等于5的点为C(1.5)或C(-3.5)，图2-1-(1,2)-6∴x=-3.5或x=1.5.(2)如图所示，在线段AB上的任意一点到两个定点A(-3)和B(1)的距离之和都等于4，∴-3≤x≤1.(3)在数轴上找不到一点到两个定点A(-3)和B(1)的距离之和等于3，∴方程|x+3|+|x-1|=3无解.综上，(1)x=-3.5或x=1.5;(2)x∈{x|-3≤x≤1};(3)x∈∅.图2-1-(1,2)-7-，0)，B、C在y轴上，10.如图2-1-(1,2)-7，等边△ABC的顶点A的坐标为(3(1)写出B 、C 两点的坐标；(2)求△ABC 的面积和周长.思路分析：根据等边三角形的性质和题设中的条件，可利用两点间距离公式求边长,从而求出顶点B 和C 的坐标，再根据三角形面积公式和周长公式解答问题(2).解：(1)如图2-1-(1,2)-4，∵△ABC 为等边三角形，|AO|=3,∴|OC|=1,|OB|=1, 即B 、C 两点的坐标分别为B(0,-1)、C(0,1).(2)由(1)得|BC|=2,∴△ABC 的周长为6,面积为21×2×3=3. 我综合 我发展11.|x+2|+|x-3|≤a 恒成立，则a 的取值是________________.思路解析：|x+2|表示数轴上的任意一点到点A(-2)的距离，|x-3|表示数轴上的任意一点到点B(3)的距离，那么|x+2|+|x-3|表示数轴上的任意一点C(x)到点A(-2)的距离与到点B(3)的距离之和，即|AC|+|CB|≤|AB|=5.答案：512.如图2-1-(1,2)-8所示，平面中两条直线l 1和l 2相交于点O ，对于平面上任意一点M,若p 、q 分别是M 到直线l 1和l 2的距离，则称有序非负实数对(p,q)是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是(1，2)的点的个数是____________.图2-1-(1,2)-8思路解析：根据题中对“距离坐标”的定义，如果给出平面上的一个点，我们可以测量出它的距离坐标.本题需要逆向应用距离坐标的定义，在平面内找出符合条件“距离坐标为(1，2)的所有点”的个数.因此要把在平面内到这两条直线距离分别为1和2的点都找到，然后取它们的交集，即确定了一个点.把所有这样的点都找到便知这样的点的个数,如图所示.图2-1-(1,2)-9 答案：4 13.函数y=1342222+-++-x x x x 的最小值为______________，此时相应的x 值为______________.思路解析：将函数关系式转化成平面直角坐标系中的两点间的距离公式进行分析.转化后可以发现题意就是在x 轴上求一点，使这点到两个定点的距离之和为最小,并求最小值. y=222222)30()2()10()1(13422-+-+-+-=+-++-x x x x x x ,在x 轴上求一点，使这个点到两定点A(1，1)、B(2，3)的距离之和最小.作点A(1，1)关于x 轴的对称点C(1，-1)，则线段BC 的长度为所求最小值，即y min =|BC|=17)31()21(22=--+-，线段BC 与x 轴的交点即为所求的x 值.直线BC 的函数关系式为y=4x-5,它与x 轴的交点为(45，0)，∴x=45. 答案：1745 14.如图2-1-(1,2)-10，梯形ABCD 在平面直角坐标系中，AD∥BC ，∠ADC=90°，|AB|=|DA|+|CB|，腰DC 在x 轴上，O 是线段DC 的中点，|BO|=4，且∠BOC=60°. 求:(1)A 、B 、C 、D 各点的坐标；(2)梯形ABCD 的面积.图2-1-(1,2)-10思路分析：此题求点B 、C 、D 的坐标并不困难，难点在于求点A 的坐标，此时需要作一条辅助线，即过点A 作AE 垂直BC 于E ，然后用方程的思想求出线段AD 的长.解：(1)如图所示，过点A 作AE⊥BC 于E ，图2-1-(1,2)-11设点A 的纵坐标为y ，根据题意，得A(0,y).∵AD∥BC，∠ADC=90°，∴∠BCD=90°.又∵|BO|=4，且∠BOC=60°，∴|OC|=2，|BC|=32.∴点C 的坐标为(2，0)，点B 的坐标为(2,32).又∵O 为线段DC 的中点，∴|DO|=2.∴点D 的坐标为(-2,0).∴|AE|=|DC|=4，|EC|=|AD|=y ，|BE|=|BC|-|EC|=32-y. ∵|AB|=|DA|+|CB|=y+32,又∵∠BCD=90°,∴AB 2=AE 2+BE 2,即(y+32)2=42+(32-y)2.解得y=332， ∴点A 的坐标为(-2，332). (2)S 梯形ABCD =21×(332+32)×4=3316. 综上，(1)B(2,23)、C(2,0)、D(-2,0)、A(-2,332);(2) 3316. 15.已知等边△ABC 的两个顶点的坐标为A(-4，0)、B(2，0)，试求:(1)C 点的坐标；(2)△ABC 的面积.思路分析：画出图形之后，根据等边三角形的性质用方程的思想求出点C 的坐标，再根据面积公式求出△ABC 的面积.解：(1)如图所示，设点C 的坐标为(x,y)，根据题意，得|AB|=|-4-2|=6，图2-1-(1,2)-12∵△ABC 为等边三角形， ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+--.6)2(,6)4(2222y x y x 解得⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧=-=.33,1,33,12211y x y x 因此，点C 的坐标为(-1,33)或(-1,-33).(2)S △ABC =21×6×33=39. 综上，(1)C(-1, 33)或C(-1,-33);(2)39.。
知识讲解_平面直角坐标系中的基本公式
平面直角坐标系中的基本公式【知识梳理】要点一：直线坐标系(1)定义：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系． 要点诠释：一般地，我们约定数轴水平放置，正方向为从左到右．(2)数轴上的点与实数的对应法则：P ←−−−−→一一对应实数x ． (3)记法：如果点P 与实数x 对应，则称点P 的坐标为x ，记作P (x )．当x ＞0时，点P 位于原点右侧，且点P 与原点O 的距离|OP |＝x ；当x ＜0时，点P 位于原点左侧，且点P 与原点的距离|OP |＝-x要点二：向量及数轴上两点间的距离公式(1)定义：位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，本书简称为向量．从点A 到点B 的向量，记作AB ．点A 、B 分别叫做向量AB 的起点、终点．向量的长度：线段AB 的长叫做向量AB 的长度，记作|AB |．相等的向量：数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量．数量：我们可用实数表示数轴上的一个向量AB ，这个实数叫做向量AB 的坐标或数量．要点诠释：要正确区分向量、向量的长度、向量的坐标（数量）这几个概念，它们分别用AB 、||AB 、AB 来表示；两个向量相等，必须长度和方向都相同；零向量是起点和终点重合的向量，它的长度为0，方向不确定．(2)位移向量的和：在数轴上，如果点A 作一次位移到点B ，接着由点B 再作一次位移到点C ，则位移AC 叫做位移AB 与位移BC 的和，记作AC AB BC =+．要点诠释：作和向量的规律特点：前一个向量的终点是下一个向量的起点(尾首相接)，而和向量是第一个向量的起点指向最后一个向量的终点(首尾相连)．(3)数量和：数轴上任意三点A 、B ，C ，都具有关系AC ＝AB+BC ．要点诠释：①这个公式反映了数轴上向量加法的坐标运算法则，是解析几何的基本公式．②数轴上任意三点．A 、B 、C 都有关系AC ＝AB+BC ，但不一定有|AC |＝|AB |+|BC |，它与A 、B 、C 三个点的相对位置有关．(4)数轴上两点间的距离公式：向量的坐标计算公式：设AB 是数轴上的任意一个向量，点A 的坐标为1x ，点B 的坐标为2x ，则21AB x x =-．一般地，数轴上的任意一个向量的坐标等于它的终点坐标减去起点坐标．用d (A ，B )表示A ，B 两点的距离，可得数轴上两点A ，B 的距离公式是21()||||d A B AB x x ==-，．要点三：平面直角坐标系中两点间的距离公式平面上有两点A (1x ，1y )，B (2x ，2y ) ，则两点间的距离为d (A ，B )＝|AB |＝222121()()x x y y -+-．要点诠释：两点间的距离公式是一个很重要的公式，要熟练地掌握，记住公式的形式，对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可以直接利用距离公式的特殊情况求解．要点四：中点坐标公式若A (1x ，1y )、B (2x ，2y )，则线段AB 的中点M (x ，y )的坐标计算公式为122x x x +=，122y y y +=． 要点诠释：此公式的推导过程中注意把问题向数轴上转化，体现了数学上的转化思想．要点五：坐标法1．通过建立平面直角坐标系，用代数方法来解决几何问题的方法叫做坐标法，其体现的基本思想是数形结合思想．2．用解析法解决几何问题的基本步骤如下：(1)选择坐标系．坐标系的选择是否恰当，直接关系到以后的论证是否简洁．原则：选择坐标系要使得问题所涉及的坐标中尽可能多地出现零．为此，常常有以下约定：①将图形一边所在的直线或定直线作为x 轴．②对称图形，则取对称轴为x 轴或y 轴．③若有直角，则取直角边所在的直线为坐标轴．④可将图形的一个定点或两个定点连线的中点作为原点．(2)标出图形上有关点的坐标，按已知条件用坐标表示等量关系．(3)通过以上两个程序，把几何问题等价转化为代数式来计算．【典型例题】类型一：向量及数轴上点的距离公式例1．已知A 、B 、C 是数轴上任意三点．(1)若AB ＝5，CB ＝3，求AC ；(2)证明：AC+CB ＝AB ；(3)若|AB |＝5，|CB |＝3，求|AC |．【答案】（1）2（2）略（3）2或8【解析】 (1)AC ＝AB+BC ＝AB -CB ＝5-3＝2．(2)证明：设数轴上A 、B 、C 三点的坐标分别为A x 、B x 、C x ，则AC+CB ＝(C A x x -)+(B C x x -)＝B A x x AB -=，故AC+CB ＝AB ．(3)当点C 在A 、B 两点之间时，由下图①可知|AC |＝|AB |-|BC |＝5-3＝2；当点C 在A 、B 两点之外时，由上图②可知|AC |＝|AB |+|BC |＝5+3＝8．综上所述，|AC |＝2或8．【总结升华】 向量及向量长度的计算应熟练地运用公式AB ＝B A x x -，及|AB |＝||||B A A B x x x x -=-进行求解．对于(3)要注意点B (或点C )的位置，若不确定应分类讨论．举一反三：【变式1】已知数轴上A 、B 两点的坐标分别为1x a b =+，2x a b =-．求AB 、BA 、d (A ，B )、d (B ，A )．【答案】2b - 2b 2||b 2||b【解析】 21AB x x =-=()()2a b a b b --+=-，12()()2BA x x a b a b b =-=+--=，d (A ，B )＝21||2||x x b -=，d (B ，A )＝12||2||x x b -=．【变式2】 关于位移向量，下列说法正确的是 ( )A ．数轴上任意一个点的坐标有正负和大小，它是一个位移向量B ．两个相等的向量的起点可以不同C ．每一个实数都对应数轴上的唯一的一个位移向量D ．AB 的大小是数轴上A 、B 两点到原点距离之差的绝对值【答案】 B【解析】 一个点的坐标没有大小，每个实数对应着无数个位移向量。
课件2：2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式
典型例题 题型二 两点间距离公式
例 2 已知 A(3，－4)与 B(a,3)两点间距离为 7 2，求 a 的值． 解：∵d(A，B)＝7 2， ∴(a－3)2＋(3＋4)2＝(7 2)2， ∴a＝10 或 a＝－4.
变式 2 求下列两点间的距离： (1)A(2,5)、B(3，－4)； (2)A( 2－1， 3＋ 2)、B( 2＋1， 3－ 2)； (3)A(a＋1，b)、B(a－2，b)； (4)A(a,2b)、B(a,3b－1)．
自学导引
平面直角坐标系中的基本公式 1．平面上任意两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)之间的 距离d(P1，P2)＝|P1P2|＝__x_2_－__x_1_2＋___y_2_－__y1__2 .
2．平面上任意两点 P1(x1，y1x)1、＋Px(2x2，y2)的中
x＝
2
点 P(x，y)，则
易错疑难辨析
已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(1,1)、(2，－1)、 (－1，－3)，则第四个顶点的坐标为________． 【错解】 (－2，－1) 【辨析】 由于在解题时只考虑了以(1,1)和(－1，－3)为 一条对角线的两端点时的情况，故导致错误．
【正解】 (4,3)或(－2，－1)或(0，－5) ①当(1,1)与(2， －1)为一条对角线的两端点时，第四个顶点的坐标为(4,3)； ②当(1,1)与(－1，－3)为一条对角线的两端点时，第四个 顶点的坐标为(－2，－1)；③当(2，－1)与(－1，－3)为一 条对角线的两端点时，第四个顶点的坐标为(0，－5)． 【答案】 (0，－5)
思想方法技巧 1.转化思想 求函数 y＝ x2＋9＋ x2－10x＋29的最小值．
解：y＝ (x－0)2＋(0－3)2＋ (x－5)2＋(0＋2)2可以看成是 x 轴上的动点 P(x,0)到两定点 A(0,3)、B(5，－2)的距离之和， 如图所示．
平面直角坐标系中的基本公式
3．如果把相等的所有向量看成一个整体， 作为同一个向量，则实数与数轴上的向 量之间是一一对应的。
三. 基本公式
1．位移的和：在数轴上，如果点A作一次
位移到点B，接着由点B再作一次位移到点 C，则位移 AC 叫做位移 AB 与位移 BC 的和，记作 AC AB BC 2．数量的和：对数轴上任意三点A、B、C 都有关系AC=AB+BC；
x 0 解得 y 4
所以点D的坐标是(0，4).
小结 2、两点间的距离公式d(A，B)=|AB| 2 2 （x2 x1 ) ( y2 y1 )
1、数轴上两点的距离公式d(A，B)=|x2－x1|.
A(x1,y1)
B2
B(x2,y2)
A2 O
C
x A1 B1
其中直线BB1和AA2相交于点C。
在直角△ACB中，|AC|=|A1B1|=|x2－x1|， |BC|=|A2B2|=|y2－y1|， 由勾股定理得 |AB|2=|AC|2+|BC|2=|x2－x1|2+|y2－y1|2， 由此得到计算两点间距 离的公式： d(A，B)=|AB|
3．如果点P与实数x对应，则称点P的坐标 为x，记作P(x)；
二. 向量 1．既有大小又有方向的量，叫做位移向 量，简称向量。从点A到点B的向量，记 作 AB ，读作“向量AB”。点A叫做向量 的起点，点B叫做向量的终点；
2．向量 AB 的长度：线段AB的长叫做 向量的长度，记作| AB |；
3．数量的坐标表示： 使 AB 是数轴上的任意一个向量，点 A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则AB=x2 －x1； 4．数轴上两点间的距离公式： 用d(A，B)表示A、B两点间的距离，
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练习
证明直角三角形斜边的中点到三个顶点的距 离相等。
y
B (0,b)
a b M( , ) 2 2
o C (0,0)
x A(a,0)
2
2
| P1 P2 || x2 x1 | | P1 P2 || y2 y1 |
(3) 原点O与任一点P( x, y )的距离 :
2 2 | OP | x y
2. 中点公式
一般地，对于平面上的两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），
线段P1P2的中点是M（x0，y0），则 ： △ABC中A(x1，y1)，B(x2，y2)，
解析法
运算结果翻译成 几何关系。 因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线 的平方和。
| AB |2 | CD |2 | AD |2 | BC |2 2(a2 b2 c2 ) 2 2 2 2 2 | AC | | BD | 2(a b c ) 第三步 2 2 2 2 2 :把代数 2 | AB | | CD | | AD | | BC | | AC | | BD |
C(x3，y3)）求三角形ABC的重心G坐标.
x1 + x2 x0 = 2 y = y1 + y2 0 2
y B(x 2,y 2)
x1 x2 x3 x 3 y y1 y2 y3 3
A(x 1,y 1) M(x ,y) O C(x 3,y 3) x
典例剖析： 例1．已知□ABCD的三个顶点A(－3，0)， B(2，－2)，C(5，2)，求顶点D的坐标.
变式:已知□的三个顶点(－3，0)，
(2，－2)，(5，2)，求第四个顶点的坐标.
若已知点P(x，y)，则点P关于点M(x0，y0)对称的点 坐标为
Q(2x0－. x，2y0－y)
2
例3.求函数y= x2 1 x2 4x 8 的最小值.
2.1平面直角坐标系 中的基本公式
2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式
1.两点间距离公式
2.中点坐标公式 3.坐标法
1.两点间的距离公式
d(P1,P2)= | P1P2 |
特别的： (1) x1≠x2, y1=y2 (2) x1 = x2, y1 ≠ y2
( x2 x1 ) ( y2 y1 )
思考： 在一条高速公路上距离出发点的一个以 千米为单位的数就可以确定车的位置，请 问在一个电影院里如何确定你的位置？飞 行员要想和地面指挥指挥中心联系，该如 何报告他的位置？ 一维直线 二维平面
数轴
平面直角坐标系 空间直角坐标系
三维空间
第 二 章 平 面 解 析 几 何 初 步
用数字或其符号来 确定一个点或一个 物体位置的方法叫 坐标方法。相关的 符号和数称为点的 坐标。
用数字或其符号来确定一个点或物体 的位置的方法叫坐标方法.
用数来刻画形的方法. 用数量关系(方程、函数、不等式) 研究图形性质. 解析法
2.1平面直角坐标系 中的基本公式
2.1.1.数轴上的基本公式
知识点1 数轴上的向量 知识点2 数轴上的向量的运算
知识点1 数轴上的向量
1.什么叫做数轴?在数轴上，点P与实数x的对应法则 是什么呢？ (P) P -3 -2 -1 0 1 2 3 给出了原点，度量单位和正方向的直线叫做数轴， 或者说在这条直线上建立了直线坐标系.
二. 坐标法
坐标法：就是通过建立坐标系（直线坐标
系或者是直角坐标系），将几何问题转化 为代数问题，再通过一步步地计算来解决 问题的方法. 用坐标法证题的步骤
用坐标法证题的步骤
（1）根据题设条件，在适当位置建立坐 标系（直线坐标系或者是直角坐标系）； （2）设出未知坐标； （3）根据题设条件推导出所需未知点的 坐标，进而推导结论.
或
a b
等长同向
依轴上点的坐标定义，OB= x2 , OA= AB= x2 - x1
x1 ,有：
对数轴上任意三点A，B，C，都具有关系：
AC=AB+BC
知识点2 数轴上的向量的运算
位移向量和
(B) C
-3 -2 -1 0
A
1 2
B
3
x 在数轴上，如果点A作一次位移到点 B，接着由点B再作一次位移到点C，则 位移AC叫做位移AB与位移BC的和。
记作： AC=AB+BC
对数轴上任意三点A，B，C，都具有关系
AC=AB+BC
知识点2 数轴上的向量的运算
数轴上两点的距离
A
B
o x1
A
x2
x1
o
B x2
OB=OA+AB
AB=OB - OA
OB=X 2 OA=X 1 AB=X 2 – X 1 A,B两点的距离为:
d(A,B)= X 2 – X 1
解：函数的解析式可化为
x2 1 x2 4 x 8
( x 0) 2 (0 1) 2 ( x 2) 2 (0 2) 2
令A(0，1)，B(2，2)，P(x，0)， 则问题转化为在x轴上求一点P(x，0)，使 得|PA|+|PB|取最小值.
A(0，1)关于x轴的对称点为A’(0，－1)，
∵ (| PA | | PB |)min | A ' B | 13 即函数y=
x 1 x 4x 8
2 2
的最小值为 13
例4.证明平行四边形四条边的平方和和等于两条 对角线的平方和。 证明：以A为原点，AB为x轴 第一步 :建立坐 y (a+b,c) D (b,c) C 建立直角坐标系。 标系，用坐标表 则四个顶点坐标分别为 示有关的量。 A(0,0),B(a,0),D(b,c)C(a+b,c) 2 2 x | AB | a | CD |2 a 2 A (0,0) B (a,0) | AD |2 b2 c2 | BC |2 b2 c2 第二步:进行有 2 2 2 2 2 2 | BD | (b a关代数运算 ) c | AC | (a b) c
长度为零的向量(没有确定方向).表示： 0, | 0 | 0
AB CD
3)相等向量: 长度相等且方向相同的向量. 表示： a b 或
相等的向量
坐标相等
知识点2 数轴上的向量的运算
向量的关系与坐标： 相等向量: 长度相等且方向相同的向量M的坐标为3 记作： 若点P与实数x对应，则称点P的坐 标为x 记作
3. 向量的定义
既有大小又有方向的量叫向量.
4.向量的表示 (1)几何法:用有向线段表示. (2) 代数法:用字母表示 AB A
a
B
向量 AB 的坐标或数量表示为 AB=a.
5.向量的有关概念 1)向量的长度(模): AB 长度表示：| AB | 表示向量 a 的大小，也叫做 a 的长（或模）.记作｜ a｜. 2)两个特殊向量： 零向量: 单位向量: 长度为1个单位长度的向量.
1.口答
判断下列命题的真假：
(假) 1.单位向量都相等； (真) 2.起点不同,但方向相同且模相等的几个向量相等； (假) 3.若 a b 则 a b ； (真) 4.若 a b , b c，则 a c ； (真) 5.零向量有确定的方向； (真) 6.AB=-BA (假) 7.|AB|=BA