17电子和空穴的统计分布.ppt
半导体中电子和空穴的统计平衡分布
半导体中电子和空穴的统计平衡分布作者：侯博伟来源：《硅谷》2010年第08期摘要: 半导体的电导率直接依赖于导带中电子和价带中的空穴的多少。
电子在半导体中各能级上如何分布的问题是个基本的问题。
在热平衡的半导体中,电子和空穴依赖于热激发产生。
平衡时电子在各能级上的分布服从一定的统计规律,它与激发电子和空穴的具体过程无关。
讨论包括有杂质在内的平衡的半导体中电子和空穴的数目及其随温度的变化。
关键词: 半导体;统计;分布;载流子;导带电子;价带空穴中图分类号:TN3文献标识码:A文章编号:1671-7597(2010)0420037-011 费米分布波尔兹曼分布1.1 费米分布。
半导体中的电子数目是很大量的,在某一温度下,这数目众多的电子一方面做共有化运动,另一方面又做无规则的热运动。
所以,每个电子都有不同的能量状态,就对每一个电子来说其能量也是不断变化的。
因此,必须从大量电子的整体来找出其各种参数的统计规律。
费米分布函数描述了热平衡状态下,在一个费米粒子系统中能量为E的一个量子态被一个电子占据的概率。
在费米分布中,EF是一个很重要的物理参数,称为费米能级或费米能量。
EF 与温度、电子系统的性质有关,它可以由系统被所有量子态中被电子占据的量子态数应该等于系统中电子的总数N来决定,即∑f(Ei)=N晶体中作共有化运动的电子的量子能态分裂成能带,能带与能带之间隔着禁带。
通常对金属晶体而言,价电子只能部分地填满最外的异带,因而费米能级的位置在异带中。
而半导体的价电子却填满了价带,而最外的导带是空的,其费米能级的位置在禁带的范围内,而且随着掺杂浓度以及温度的不同而改变了导带和价带的电子浓度,则改变了共有化能量状态被电子占据的概率。
1.2 波尔兹曼分布。
在统计物理中波尔兹曼-麦克斯韦分布是针对非常稀薄的微粒子系统而统计得到的结果。
它与费米粒子系统的最大区别是:当粒子系统中的微粒子非常稀少时,粒子必须遵守的泡利不相容原理自动失去了意义。
2023春半导体物理习题课
2023春半导体物理习题课第二章载流子中的平衡统计分布⚫当E −E F 为1.5k 0T ，4k 0T ，10k 0T 时，分别用费米分布函数和玻尔兹曼分布函数计算电子占据各该能级的概率。
根据量子统计理论，服从泡利不相容原理的电子遵循费米统计律。
对于能量为E 的一个量子态被电子占据的概率f(E)为f E =11+e E−E F k 0T当E −E F ≫k 0T 时，eE−E F k 0T≫1，此时费米分布(简并系统) 可以近似为玻尔兹曼分布(非简并系统)f B E =e −E−E F k 0T当E −E F =1.5k 0T ，f E =0.1824，f B E =0.2231；当E −E F =4k 0T ，f E =0.01799，f B E =0.01832；当E −E F =10k 0T ，f E =4.540×10−5，f B E =4.540×10−5；在半导体中，E F 一般位于禁带中且与允带距离较远，因此一般可以认为E −E F ≫k 0T 。
3-3 电子的统计分布①在室温下，锗的有效状态密度N c=1.05×1019cm−3，N v=3.9×1018cm−3，试求锗的载流子有效质量m n∗，m p∗。
计算77K时的N c和N v。
已知300K时，E g=0.67eV。
77K时E g=0.76eV。
求这两个温度时锗的本征载流子浓度。
以导带有效状态密度N c举例，它是把导带中所有量子态都集中在导带底E c时的状态密度，此时导带中的电子浓度是N c中有电子占据的量子态数，有效状态密度表达式为N c=2(2πm n∗k0T)Τ32ℎ3，N v=2(2πm p∗k0T)Τ32ℎ3由此可算出m n∗=12πk0TN cℎ32Τ23=5.0968×10−31kg=0.5596m0m p∗=12πk0TN vℎ32Τ23=2.6336×10−31kg=0.2892m0①在室温下，锗的有效状态密度N c=1.05×1019cm−3，N v=3.9×1018cm−3，试求锗的载流子有效质量m n∗，m p∗。
空穴 - 电子分析激发态
空穴 - 电子分析激发态
电子分析激发态是空穴电子学领域中一个著名的研究课题，它关注于有效利用电子结构学和量子力学来描述电子状态的发生变化的过程。
其核心思想是，激发态的形成是它隐藏的来源，可以推导出激发态的原子结构组成及各组成成分的样式表示。
求解激发态的方法的最先进的为统计激励方法，有效地减少了精确的方法的计算成本，能够对激发态的特性，即能级，跃迁概率和发射谱和吸收谱等诸多方面进行深入探索。
另外，统计激励理论还可以解释一些特殊的现象，比如衰减、光谱枝结构以及激发态间的耦合等，是研究电子激发态和光谱结构的重要方法。
此外，还有Koopmans定理，它基于把电子结构变化之间的关系简化为简单的数学式，可在准系统的状态下的激发态的频率以及激发态的能级分布都能够得到较好的描述。
基于多体效应和关联效应，空穴电子学领域还研究了多体效应及关联效应的电子分析激发态计算方法。
必须认识到，由于空穴激发态系统的复杂性，多体效应及关联效应的诸多符号都会加剧电子激发态中的复杂性，而能提供有效的模拟方法，能够可视化性地描述它们的形式，并有助于准确地计算它们的物理量。
综上所述，电子分析激发态的研究是空穴电子学领域中的一个重要研究课题，有多种方法可以用来对激发态的特性进行深入研究，但同时，也必须注意由于其复杂性，有必要选择合适的研究方法来获得可靠的研究结果。
§4.2 电子和空穴的统计分布
一. 费密分布函数
半导体中的电子服从费密 —— 狄拉克统计
—— 在金属中，电子填充空带的部分形成导带，相应的费 密能级位于导带中 —— 对于掺杂不太多的半导体，热平衡下，施主电子激发 到导带中，同时价带中还有少量的空穴 —— 半导体中电子的费密能级位于带隙之中
半导体中费密能级位于带隙之中
—— 半导体中的导带能级和价带能级远离费密能级 —— 导带接近于空的，价带接近于满带
图4-5 不同温度的费密分布函数，其中a: T=0; b: kBT=1; c: kBT=2.5
二．平衡态下的载流子浓度
导带底附近的能量
满带顶附近的能量
，
n
EC
f ( E ) NC ( E )dE
4 V * 3/ 2 N C ( E ) 3 (2mn ) E EC h 4 V 3/ 2 NV ( E ) 3 (2m* ) EV E p h
导带中电子的浓度
n
EC
f ( E ) NC ( E )dE
令
2(2 m k T ) n h
* n B 3
3/ 2
e
EC EF k BT
—— 有效能级密度
导带电子浓度
n NC e
EC EF k BT
—— 单位体积中导电电子数就是如同导带底 EC 处的 N 个 能级所应含有的电子数
温度很低时
Ei / kBT 1/ 2
]
—— 很少的施主被电离 温度足够高时
—— 施主几乎全被电离，导带中的电子数接近于施主数
P 型半导体
受主的能级位置: EA 受主浓度: NA —— 足够低的温度下，载流子主要是从受主能级激发到满 带的空穴
电子与空穴优质课件PPT
距Ec越远，也就是越趋向Ei。
6 强电离后，如果温度继续升高，本征激发 也进一步增强，当ni可以与ND比拟时，本征 载流子浓度就不能忽略了，这样的温度区间 称为过渡区。
能带理论
杂质浓度一定时，如果强电离后继续升高温度，施主对载流子 的贡献就基本不变了，但本征激发产生的ni随温度的升高逐渐变得 不可忽视，甚至起主导作用，而EF则随温度升高逐渐趋近Ei。
Thank You
电子与空穴
目录
A 电子和空穴/施主和受主 C 电子占据施主能级的几率
载流子
B
电子和空穴
半导体中有两种载流子:自由电子和空穴，价电子受共价键的束缚， 晶体中不存在自由运动的电子，半导体是不能导电的，某些共价键中的 价电子获得了足够的能量，足以挣脱共价键的束缚，跃迁到导带，成为 自由电子，同时在共价键中留下相同数量的空穴。空穴是半导体中特有 的一种粒子。它带正电，与电子的电荷量相同。把热激发产生的这种跃 迁过程称为本征激发。本征激发所产生的自由电子和空穴数目是相同的。
杂半导体中，施主和受主要么处于未离化的中性态， 要么电离成为离化态。以施主为例，电子占据施主能级时 是中性态，离化后成为正电中心。因为费米分布函数中一 个能级可以容纳自旋方向相反的两个电子，而施主能级上 要么被一个任意自旋方向的电子占据(中性态)，要么没有被 电子占据(离化态)。
电子占据施主能级的几率
施主的离化情况与能级ED和费米能级EF的相对位置有 关:如果ED-EF>>k0T，则未电离施主浓度nD≈0，而电离 施主浓度nD+ ≈ ND，几乎全部电离。如果费米能级EF与 施主能级ED重合时，施主有程 小结
01 电子和空穴 02 半导体载流子 03 电子占据施主能级的几率
光催化基础及应用-本科生
福建省光催化重点实验室
14
FUZHOU UNIVERSITY
晶体中电子的共有化运
动： 电子可以在整个晶体
中运动，在相应的壳层中 转移，最外层电子的共有 化运动较显著。
晶体中电子运动的重要
特征。
福建省光催化重点实验室
15
FUZHOU UNIVERSITY
原子能级分裂为能带(左）以及金刚石型结构价电子能带（右）示意图
福建省光催化重点实验室
11
FUZHOU UNIVERSITY
2-1-1电子的共有化运动与能带的形成
1.1原子结合成晶体的过程 1.理想的孤立原子
H原子中的电子在原子核势场作用下运动， 只能处于某一特定的量子态，可用主量子数n, 角量子数 l，磁量子数ml，自旋量子数ms来表 征。
福建省光催化重点实验室
（2）在一定条件下，电子可以发生从一个量子态转移到 另一个量子态的突变，这种突变称为量子跃迁。原子发生相互 碰撞，或吸收光的能量，都可以使电子从一条轨道跳到另一条 轨道，即发生量子跃迁。
福建省光催化重点实验室
31
FUZHOU UNIVERSITY
我们将看到，半导体中存在各类的量子态： （1）硅、锗中构成共价键的电子属于一类量子态； （2）它们摆脱共价键后在半导休中作自由运动的状态属于另 一类量子态； （3）掺进半导体的杂质原子可以把电子束缚在它四周运动， 则又是一类量子态。
2-1-2电子和空穴的统计分布
我们所要讨论的主要是电子的统计规律。统计规律是大量 的电子在作微观运动时表现出来的。我们知道，电子的微观运 动服从不同于一般力学的量子力学规律，其基本特点包含以下 两种运动形式：
（1）电子做稳恒的运动，具有完全确定的能量。这种稳 恒的运动状态称为量子态。如下面要讲的，电子在原子中象行 星环绕太阳一样作稳恒不变的运动，就是一个量子态。相应的 能量称为能级。
第五章-PN-结PPT课件
降低温度，熔融体开 始凝固，在n型硅片上 形成一含有高浓度铝 的p型硅薄层，它和n 型硅衬底的交界面处 即为p-n结（这时称为 铝硅合金结）。
图5-2 合金法制造p-n结过程
2021
3
突变结的杂质分布
图5-3突变结的杂质分布
xxj, N(x) NA xxj, N(x) ND
2021
nne 0 q(VDV)/kBT Pn
和
n ne 0
0 qVD/kBT
Pn
比较得到
nPnP 0eqV/kBT
—— 外加电场使边界处电子的浓度提高 eqV/kBT 倍
2021
17
边界处非平衡载流子浓度 n P n P 0 n P 0(eq/V kB T 1 )
—— 正向注入的电子在P区边界积累，同时向P区扩散
—— 非平衡载流子边扩散、边复合形成电子电流
2021
18
边界处非平衡载流子浓度 n P n P 0 n P 0(eq/V kB T 1 )
—— 正向注入电子在P区边界积累，同时向P区扩散，非 平衡载流子边扩散、边复合形成电子电流
应用非平衡载流子密度方程
DddN xN0
Dex/L L
边界处 x0 N0nP 0(eqV /kBT1)
1)Dp Lp
PN结总的电流密度 j jn jp j0(eqV /kBT1)
j0
q(Dn Ln
nP0
Dp Lp
pN 0 )
——
肖克莱方程
(
W.
Shockley
)
2021
20
结果讨论
jj0(eqV /kBT1)
1) 当正向电压V增加时，电流增加很快
半导体物理第四章电子和空穴的统计分布复习
N(E) 定义：单位体积的晶体中，单位能量间隔的状态数
mdn
2
1
M 3 m1m2m3 3
，叫做状态密度有效质量。
2。费米分布函数：p73, 4.10式
描述每个量子态被电子占据的几率随能量E的变化 3。费米能级EF的意义，影响费米能级的因素；费米分布函数
的性质 p74 4。能带中电子和空穴的浓度：
p77，4.22式，4.21式 ；p78, 4.25和4.26
p79，4.29式
非简并半导体的条件。
5。本征半导体，电中性条件 本征费米能级：p81, 4.31式 本征载流子浓度：4.32式，4.33, 4.34, 4.35
6。杂质能级： 电子占据杂质能级的几率：p85，4.36－4.40式 杂质能级上的电子浓度和空穴浓度：p86，4.41－4.44式 只含一种杂质的半导体(p87)和有杂质补偿的半导体(p96):
VIP: 电中性条件的具体对应形式及应用
弱电离、饱和电离和本征激发的条件（p89，4.52，4.55) 确定杂质电离能的方法。浓度表达式(p89, 4.54, 4.58)
载流子浓度随温度变化的讨论（杂质半导体）(p91, 图4.5) 费米能级与杂质浓度和温度的关系（p93, 图4.6；p94)
（p95)饱和电离区的范围的标准和应用 7。简并半导体的概念
第2章-费米能级-918ppt课件
单位体积内能量在E0 - E1的量子态的数量可表示为
E1 g ( E )dE E0
不同半导体材料的能带结构不同,态密度函数也不同。
.
16
电子的统计分布规律
如果知道某个能带中的量子态数在能量上的 分布（态密度）以及能量为E的量子态被电子占据的
概率，那么将两者的乘积在能带范围内积分，就可 以得到这个能带中的电子的浓度。
Iq Vj j所 有 被 占 据 的 状 态
q Vj q Vj
j所 有 状 态
j所 有 空 状 态
q Vj j所有空状态 .
=0 满带电子 不参与导带
7
准自由电子、空穴
价带电子的导电 效于 空穴的导电
I q Vj j所有空状态
如果把价带中的空量子态看成是带正电荷的微观 粒子，那么价带电子形成的电流可以等效为这些带正 电荷的粒子形成的电流，称这种虚拟的粒子为空穴。 空穴不是真实存在的粒子，它是为了便于分析问题而构造的
▪ R ∝ 电子浓度 × 空穴浓度
复合需要 1个空穴 + 1个准自由电子
大多数发光器件发光. 的基于此原理。
10
与半导体导电能力有关的两个主要问题
载流子的浓度
n自由电子浓度cm-3
热平衡状态下载流子浓度 p空穴浓度cm-3
本征半导体与杂质半导体
载流子浓度相关的统计规律
非平衡载流子
载流子的运动
半导体中载流子的统计分布
1、状 态 密 度
假设在能带中能量E与E+dE之间的能量间隔dE内有 量子态dZ个，则定义状态密度g（E）为：
g(E) dZ dE
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1. 态密度
1.3.1 电子的统计分布规律
第四章 平衡半导体
n0
Nc
exp
Ec EF
kT
2.8 1019
exp
0.22 0.0259
5.731015 cm3
p0
Nv
exp
Ev
EF kT
1.04 1019
exp
0.90 0.0259
8.43103 cm3
说明：此半导体为 n 型半导体
4. 1. 3 本征载流子浓度
本征半导体中：
说明：在某一温度下的给定半导体材料，n0和 p0的乘积总是一个常数。
另外一种推导方法
n0
Nc
exp
Ec EF
kT
p0
Nv
exp
EF kT
Ev
n0
p0
Nc Nv
exp
Ec Ev
kT
exp
Eg kT
n0 p0 ni2
说明：在某一温度下的给定半导体材料，n0和 p0的乘积总是一个常数。
0.01727ev
ni2 2.81019
1.04 1019
200 300
3
exp
1.12 0.0727
5.9
109
ni 7.68104 cm3
说明：当温度降低100摄氏度时，本征载流子 浓度降低大约六个数量级。
4. 1. 4 本征费米能级位置
电子和空穴浓度相等
Nc
exp
Ec
EFi kT
0.27 0.03453
6.43
1015
cm3
说明：任意温度下的该参数值，都能利用 T=300K 时 Nv 的取值及对应温度的依赖关系求 出
例题分析 III：
计算 T=300k 时硅中的热平衡电子和空穴
第一章 热电子发射 第3讲
(1.46）
19
§ 5 热电子发射的初动量与能量
‘ ’ 用能量表示，将 E P 1.46）得 X X / 2 m 代人是式（
2Leabharlann dN' Ex
D E
' x
E 'x E 4 mKT exp exp 3 h KT KT
, dEx
半导体热电子发射电流密度与金属有所不同，除了 温度T 的关系有差别外，还与杂质浓度ND有关。 N型半导体的逸出功Eφ比金属小，在同样温度下， 半导体有更大的电流发射密度。
16
§ 5 热电子发射的初动量与能量
凡是逸出金属的电子，其能量至少比费米能级EF高出逸 出功Eφ，所以满足麦克斯韦—玻尔兹曼统计分布。
Chapter 1
热电子发射
Thermionic Emission
任课教师：张益军 E-mail：zhangyijun423@ Office：电光学院光电技术系A546 南京理工大学
1
§ 4 半导体的热电子发射公式
前几节解释了自由电子论： 利用索末菲模型，求解薛定谔方程，得出金属中 自由电子的动量和能量是量子化的。较好地解释了金 属的导电和导热问题，推导了金属的热电子发射公式。 由于索末菲模型过于简化， 自由电子论不能解 释半导体和绝缘体的一些问题，需要由能带论来解决。
2
§ 4.1 能带的形成
固体中的电子是多体问题。 单电子近似： 认为按周期性排列的原子核是不动的，对电子 形成周期势场；而离子与离子之间相互作用函数 Vij=0，对N个电子，假设每个电子是在固定的原子 核周期势场及其（N-1）个电子的平均势场中运动，。 用单电子近似将一个多体问题简化为一个电子在 周期性势场中运动的问题。
半导体物理学课件4 半导体中载流子的统计分布
由导带底至导带顶积分就得
到了导带的电子浓度。
半导体中载流子 电子空穴的平衡分布
假设电子空穴有效质量相等，则EF位于禁带中线
半导体中载流子 n0 p0的方程
热平衡时的电子浓度n0 这里假设费米能级始终位于禁带中。
n0 gc E fF E dE
积分下限：Ec；积分上限：这里设为无穷大。
电子占据施主能级E D的几率f D
E
1
1
1
gD E
ED EF
e k0T
1
空穴占据受主能级E A的几率f A
E
1
1
1
gA E
EF EA
e k0T
2
gD E和gA E分别是施主和受主基态简并度
施主浓度:ND 受主浓度: NA
（1）杂质能级上未离化的载流子浓度nD和pA ：
施主能级上的电子浓度nD NDfD E 3
因此对导带或价带中所有量子态来说，电子或 空穴都可以用玻耳兹曼统计分布描述。
由于分布几率随能量呈指数衰减，因此导带绝 大部分电子分布在导带底附近，价带绝大部分 空穴分布在价带顶附近，即起作用的载流子都 在能带极值附近。
例：四个电子处于宽度为a=10埃的一维无 限深势阱中，假设质量为自由电子质量，求 T=0K时的费米能级.
导带中有效电子能态密度：
4
gc E
2mn* h3
32
E - Ec
价带中有效电子能态密度：
4
gv E
2m*p h3
32
Ev - E
3.2 统计力学
在一定温度下，半导体中的大量电子不停地 作无规则热运动，从一个电子来看，它所具 有的能量时大时小，经常变化。但是，从大 量电子的整体来看，在热平衡状态下，电子 按能量大小具有一定的统计分布规律性，即 电子在不同能量的量子态上统计分布几率是 一定的。
电子、空穴和能带概念
第一章电子、空穴和能带概念第一章电子、空穴和能带概念错误!未定义书签。
§ 量子力学基本概念错误!未定义书签。
一、经典物理的缺陷以及量子力学的引入错误!未定义书签。
1. 黑体辐射问题错误!未定义书签。
2. 光电效应错误!未定义书签。
3. 普朗克假设、爱因斯坦的波粒二象性错误!未定义书签。
4. 德布罗衣假说错误!未定义书签。
二、薛定颚方程错误!未定义书签。
三、波函数的统计解释错误!未定义书签。
§ 利用薛定颚方程求解氢原子错误!未定义书签。
§ 能带模型错误!未定义书签。
一、晶格错误!未定义书签。
二、能代理论错误!未定义书签。
1．单电子近似错误!未定义书签。
2．布劳赫定律（Bloch）............................................................................................ 错误!未定义书签。
3．共有化运动和准自由电子......................................................................................... 错误!未定义书签。
4. 布里渊区与能带................................................................................................. 错误!未定义书签。
5、导体、半导体、绝缘体的能带..................................................................................... 错误!未定义书签。
§半导体中电子的运动有效重量错误!未定义书签。
一、半导体中E(k)与k的关系错误!未定义书签。
二、晶体中电子的平均速度加速度错误!未定义书签。
半导体中电子和空穴的统计平衡分布
２２ 载 流 子 密 度 。求 得 了态 密 度 ，就 可 以进 一 步 计算 电子 浓 度 Ｎ ． 。ｆ （￡）ｇ （￡）代表 了电子 按 能量 的分 布 。我们 先把 ｆ 中的Ｅ Ｅ改 作 以带边 和 Ｆ
能量 Ｅ作 基准 计算 。 ｃ 等 效态 密度 №，Ｎ是 温 度 的 函数 ，随 温度 的 增 加而 增加 这一 方 面 因 ｖ 为温 度 越 高载 流子 分布 范 围越 宽 ； 另一 方面 ，温 度 越高 ， 载流 子分 布 的能 量重 心越 高 ，因而 态密 度越 大 。 至此 ，在 完 全没 有涉 及 半 导体 中Ｅ的具 体位 置 及其 如何 变 化 。只 有具 Ｆ 体 知 道 了Ｅ的位 置及 其 随温 度 的变 化 ，我 们 才 能最 后 知道 在 不 同温 度下 载 Ｆ 流予 的浓 度 。但 到 了这 一 步 ，我们 还 可 以指 出下 面 的一 个重 要 结论 ：对 于 任 何 给 定 的 半 导 体材 料 ，在 非 简 并 情 形 下 ，不 论 费米 能 级 的 具体 位 置 如 何 ， 电子 空穴浓 度 的乘积 ｎ 的温度 关 系是确 定 的 。 ｐ
１费米 分布 波尔 兹量 分布
１１ 费米 分布 。半 导体 中 的 电子数 目是 很大 量 的 ，在 某 一温 度 下 ，这 ． 数 目众 多 的 电子 一方 面做 共 有化 运动 ，另一 方 面又 做无 规 则 的热运 动 。所 以 ，每 个 电子 都有 不 同 的能量 状 态 ，就对 每 一个 电子来 说其 能 量也 是 不 断 变 化 的。 因此 ，必须 从大量 电子的整 体来 找 出其各 种参 数 的统计 规律 。 费米 分 布 函数 描 述 了热 平 衡 状 态 下 ，在 一 个 费 米粒 子 系 统 中 能 量 为 Ｅ 一个 量子态 被 一个 电子 占据 的概 率 。在 费米 分布 中 ，Ｅ是 一个 很重 要 的 的 Ｆ 物 理参 数 ，称 为 费米 能级 或 费米 能 量 。Ｅ与 温 度 、 电子 系统 的性 质 有 关 ， Ｆ 它 可 以 由系统被 所 有 量子 态 中被 电子 占据 的 量子 态数 应 该等 于 系统 中 电子 的总数Ｎ 决定 ，即 来
半导体光学26电子与空穴复合
ucosi T 2 2 1 vsini T 2 2 1
e , T
2 2 T2
1
R23T 2 2
usin i T 2 2 1 vcos i T 2 2 1
cos
e
T
22 T2
1
2
R3eq
w R3eq
e
T
2 2 T1
1
sin2
,
R33T 2 2
usin i T 2 2 1 vcos i T 2 2 1
■二能级系统（ TLS ）动力学 ▲近共振下原子跃迁：
0 E2 E1 , E2 E1 . TLS波函数为 t c1t 1 c2 t 2 ,
这里假设态∣1﹥与态∣2﹥之间光跃迁是 偶极跃迁, 光场平行z轴方向.于是,哈密顿 量为
Hˆ Hˆ 0 dˆEz t ,
Hˆ 0
e ,
T
2 2 T2
1
R12T 2 2 R13T 2 2.
R22T 2 2
usin T 2 2 1 vcos T 2 2 1
R12t R120cos it R220sin it eTt2 ,
R22t R120sinit R220cosit eTt2 ,
R32t R3eq
R320 R3eq
e
t T1
,
i
,0 ,.
初始条件 R11 u,v ,w.
R12T 2 2
ucos i T 2 2 1 vsin i T 2 2 1
冲频率相同，传播方向不同。
②非均匀加宽样品
每个振子固有频率0 和T2 都不相同. ③机制
●第一个 2 脉冲入射后，振子开始失相，
●并且每个振子失相情况不同。 ●经历 时间后，第二个 脉冲入射样品， 振子复相，即失相逆过程,结果是所有振 子由经历了 ●时间后位相相 同，发射脉冲
半物第四章电子和空穴的统计分布
§4.1 状态密度
由k空间的状态密度求出导带和价带的状态密度：
k空间单位体积中的状态数
1. 布里渊区体积＝倒原胞体积＝ (2 )3
：原胞体积．
每个布里渊区中含N个状态（不考虑自旋）．
（N: 晶体中的原胞数）
则：单位体积中的状态数为
N/ (2 )3=
N
(2 )3
=
V
(2 )3
（V＝晶体体积)
考虑自旋后，倒空间中单位体积的状态数为： 2V
• 实践证明：半导体的导电性强烈地随着温度及其内部杂质 含量变化，主要是由于半导体中载流子数目随着温度和杂 质含量在变化。
• 本章讨论： 1、热平衡情况下载流子在各种能级上的分布； 2、计算导带电子和价带空穴的数目，分析它们与半导体 中杂质含量和温度的关系。
两个重要概念：(VIP)
费米能级 (Fermi level) 电中性条件
三、载流子浓度的乘积
电子和空穴浓度都是费米能级EF的函数,两者的乘积为
np
NC
NV
exp
EC EV kT
NC
NV
exp
Eg kT
式中Eg=EC-EV为半导体材料的禁带宽度。上式表明，载 流子浓度的乘积np与EF无关，只依赖于温度T 和半导体 材料本身的性质。
REVIEW
晶体中的电子, 在能带中能级上的分布, 服从费米分布.
kT
费米分布函数的性质:
⑴随着能量E的增加,每个量子态被电子占据的几率 f E
逐渐减小,而空着的几率 1 f E则逐渐增大.即电子优
先占据能量较低的能级.
当E等于EF时,有
f EF 1
f EF
1 2
.
被电子占据的几率 与空着的几率相等
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⑤双简并半导体——半导体中存在两个费米能级。(图f ) 两个费米能级使得导带中有自由电子；价带中有空穴。
3. 小结
(1)半导体在热平衡时，一个电子占据能量为E的能级
1 的几率为 fn (E) EEF
e kT 1
(2)在轻掺杂P型半导体中，受主能级使费米能级向下
移动;轻掺杂N型半导体中，施主能级使费米能级向上
移动。
4. 作业思考题
①什么是双简并半导体？
②半导体在热平衡时，电子在能带中的分布， 服从什么分布？
电子和空穴的统计分布
课程名称：激光原理与技术 主讲人：张玄和 单位：浙江工贸职业技术学院
电子和空穴的统计分布
1. 教学目标
使学生明白什么是费米函数、费米能级。
2. 学习内容
统计物理学指出：半导体在热平衡时，电子在能带中的分布
不再服从玻尔兹曼分布，而服从费米分布，一个电子占据能量为
E的能级的几率为
fn(E)
1
E EF
e kT 1
上式称为费米函数。可见，对于某一温度T，电子占据能 级EF的几率为1/2。 EF：费米能级 k: 玻尔兹曼常数
2. 学习内容
杂质半导体中，费米能级的位置与杂质类型及掺杂浓度有密 切关系。为了说明问题，下图给出了温度极低时的情况。
费米能级的位置与杂质类型及掺杂浓度关系
2. 学习内容
①在未掺杂质的本征型半导体中，费米能级居于禁带中央，导带 内的电子或价带内的空穴是非简并化分布(图a)。 ②在轻掺杂P型半导体中，受主能级使费米能级向下移动(图b);轻 掺杂N型半导体中，施主能级使费米能级向上移动(图d)。
③在重掺杂P型半导体中，费米能级向下移到价带中，低于费 米能级的能带被电子填满，高于费米能级的能态都是空的，价 带中出现空穴——P型简并半导体 (图c)。