固体电子学PPT
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单电子近似：假设每一个电子都处在周期性排列且固定不动 的原子实势场和其它自由运动的电子的平均势场中运动，总 的势场具有与晶格同周期的周期性势场。
2.1 晶体结构的周期性
一.晶体结构的特点
构成晶体的基本微粒可以是原子、离子、分子、分子团等。
晶体由基本微粒作有序排列而成，具有严格的周期性或 平移对称性。
固体电子学导论
岳贤军 南通大学电子信息学院电子工程系
第2章 晶体中电子的状态
2.1 晶体结构的周期性 2.2 金属自由电子模型 2.3 周期势场和布洛赫定理 2.4 紧束缚近似模型
晶体中电子状态理论模型
1. 自由电子模型
在费米统计基础上的金属中自由电子气的量子理论。 缺点：不能解释晶体为何有结合力，为何可分为导体、半导 体、绝缘体。 2. 固体能带模型 认为电子在晶体所有格点上的离子和其它所有电子产生的势 场中运动，其势能是位置的函数。
周期性结构是晶体有别于 非晶体的最根本特征。
几何外形 熔点 各向异性
晶体
非晶体
二.晶体结构的周期性的描述
1. 在坐标空间里——空间点阵(正格子) 1) 晶格、格点、空间点阵
晶格：晶体粒子的重心周期性排列所组成的骨架 格点：晶体粒子的重心的位置（结点）
空间点阵：格点的总体
•
2) 晶胞、原胞、基矢
i 1
f
(H m i Ek1 mi )Ci0 0 (m 1,2, f )
i 1
i=1
i=2
i=f
m=1
H11
Ek1
H12
m=2
H 21
H 22 Ek1
m=f H f 1
H f 2
H1f
c1
0
H 2 f
c2 0
0
H ff
Ek1
c
0
f
上式是以系数 Ci0为 未知数的一次齐次方程组，
补充：简并定态微扰
设Hˆ 0的 Ek 能级有f度简并,将f
个波函数记成 i (i=1,2,3…..),
f
0
k
Ci0 i
(1)
i 1
只考虑零级近似波函数与一级能量修正:
(Hˆ 0
Hˆ ) k(0)
(Ek (0)
Ek(1) )
(0) k
(2)
(1)式代入(2)式中, … …
f
f
f
f
Hˆ 0
晶体结构，可看作由格点沿空间三个不同方向，各按一定的距
离周期性的平移而构成。故晶体的周期性又称为平移对称性。 晶胞：晶格中的重复单元(两个特性)；
1、平行堆积可以充满整个晶体
2晶、体任的意物两理个性晶质胞相相同对应的a点2 a上a13，
a1，a2，a3 的选择不具有唯一性
二维的情况： 晶胞：晶格中的重复单元(两个特性)；
11
2) 正、倒格子间的关系
I. ai b j 2 ij i, j 1, 2, 3
II. 倒格子原胞体积是正格子原胞体积的倒数的(2π )3倍。
简证： 倒格子原胞体积
*
b1
(b2
b3
)
(2
)3 (a2
a3
)
[(a3 3
a1 )
(a1
a2
)]
(2 )3
3
(a2
a3 )
{[(a3
a1 )
a2
]a1
[(a3
a1 )
a1 ]a2 }
(2
)3 (a2 a3 ) 3
a1
(2 )3
=0
III. 正格子基矢和倒格子基矢之间的关系
b1 2πa2 a3 b2 2πa3 a1 b3 2πa1 a2
a1 2πb2 b3 a2 2πb3 b1
* *
a3 2πb1 b2 *
2.2 金属自由电子模型
三维情况： a
2
a3 a1
三维原胞呈平行六面体，且每个原胞中仅有一个格点，原胞
的体积等Rn于每n个1a格1点在n空2a间2 占n据3的a3空间。
n1，n2，n3为包括零在内的任意整数
晶体中任一物理量沿基矢方向平移基矢的整数倍，保持性质不 变，体现了平移对称性。
2. 在波矢空间里——倒格子
晶体结构的周期性
每个Ek1j 代入前面的线性方程组都能求出一组
C
0， 从而确定一个
i
k0j 。
H11
Ek1
H 21
H12 H 22 Ek1
H1f
c10
H 2 f
c2 0
0
H f 1
H f 2
H ff
Ek1
cf0
f
0
k
Ci0 i
i 1
Ek Ek0 Ek11 Ek0 Ek12 Ek0 Ek1f
Qr Q r Rl Rl—晶格格矢
晶体物理量 具有相同的周期性
波矢空间中描述方便
Q r CneiKn r
n
Q r Rl CneiKn r Rl n
C e e iKn r iKn Rl n
n
所有波矢 Kn 代表点的集合 构成波矢空间的格子(点阵) ——倒格子
Kn Rl 2 为整数
Ci0i
Ci0Hˆ i
Ci0
Ek(
0) i
Ci0 Ek(1) i
i 1
i 1
i 1
i 1
f
f
Ci0Hˆ i Ci0Ek(1)i
i 1
i 1
两端左乘 m 并积分
f
f
Ci0
* m
Hˆ
i
d
Ci0
E (1) k
*
mi
d
i 1
i 1
f
f
Ci0H m i Ci0Ek(1) mi
i 1
原胞：最小的重复单元
基矢构成的原胞呈平行四边形，且每个原胞中仅有一个格点
基矢：构成原胞的边矢量
二维点阵中， 1、2、3、4均为晶胞， 其中1、2、3是原胞
•• • • •• ••
B
a•2
•
1
•C •
•
2
••
3
•
•
0•a1
•
A
•
•
4
•
•
•
••••••••
格矢：晶格中任一格点的位置矢量
Rn=n1a1+n2a2 (n1,n2为任意 数)
它有非零解的条件是系数行列式为零
H11 Ek1 H 21
H f 1
H12 H 22 Ek1
H f 2
H1f
H 2 f
0
H ff
E (1) k
这是Ek1 的f次方程，称为久期方程。
解此方程可得到 Ek1的f个根（可能有重根）。
Ek11 , Ek12 , Ek1j Ek1f
Ek11 , Ek12 , Ek1j Ek1f
0
k1
0
k2
0
kf
结论：如果每个根 Ek1j 都不相等，则表示原来f重 简生并了的分裂无，微全wk.baidu.com部能消级除E k了0 ，简在并微。扰否的则作，用简下并能只级是发部 分消除，而重根的零级波函数就不能完全确定， 需进一步考虑能量的二级修正。
满足晶体周期性 的波矢选择条件
3. 正、倒格子之间的关系
1) 倒格(基)矢
设某晶体原胞的基矢为 a1 , a2 , a3,
则倒格子基矢的定义为：
b1 2πa2 a3 b2 2πa3 a1 b3 2πa1 a2
a1 (a2 a3 )
——原胞体积
倒格矢：倒格子中任一格点的位置矢量
2.1 晶体结构的周期性
一.晶体结构的特点
构成晶体的基本微粒可以是原子、离子、分子、分子团等。
晶体由基本微粒作有序排列而成，具有严格的周期性或 平移对称性。
固体电子学导论
岳贤军 南通大学电子信息学院电子工程系
第2章 晶体中电子的状态
2.1 晶体结构的周期性 2.2 金属自由电子模型 2.3 周期势场和布洛赫定理 2.4 紧束缚近似模型
晶体中电子状态理论模型
1. 自由电子模型
在费米统计基础上的金属中自由电子气的量子理论。 缺点：不能解释晶体为何有结合力，为何可分为导体、半导 体、绝缘体。 2. 固体能带模型 认为电子在晶体所有格点上的离子和其它所有电子产生的势 场中运动，其势能是位置的函数。
周期性结构是晶体有别于 非晶体的最根本特征。
几何外形 熔点 各向异性
晶体
非晶体
二.晶体结构的周期性的描述
1. 在坐标空间里——空间点阵(正格子) 1) 晶格、格点、空间点阵
晶格：晶体粒子的重心周期性排列所组成的骨架 格点：晶体粒子的重心的位置（结点）
空间点阵：格点的总体
•
2) 晶胞、原胞、基矢
i 1
f
(H m i Ek1 mi )Ci0 0 (m 1,2, f )
i 1
i=1
i=2
i=f
m=1
H11
Ek1
H12
m=2
H 21
H 22 Ek1
m=f H f 1
H f 2
H1f
c1
0
H 2 f
c2 0
0
H ff
Ek1
c
0
f
上式是以系数 Ci0为 未知数的一次齐次方程组，
补充：简并定态微扰
设Hˆ 0的 Ek 能级有f度简并,将f
个波函数记成 i (i=1,2,3…..),
f
0
k
Ci0 i
(1)
i 1
只考虑零级近似波函数与一级能量修正:
(Hˆ 0
Hˆ ) k(0)
(Ek (0)
Ek(1) )
(0) k
(2)
(1)式代入(2)式中, … …
f
f
f
f
Hˆ 0
晶体结构，可看作由格点沿空间三个不同方向，各按一定的距
离周期性的平移而构成。故晶体的周期性又称为平移对称性。 晶胞：晶格中的重复单元(两个特性)；
1、平行堆积可以充满整个晶体
2晶、体任的意物两理个性晶质胞相相同对应的a点2 a上a13，
a1，a2，a3 的选择不具有唯一性
二维的情况： 晶胞：晶格中的重复单元(两个特性)；
11
2) 正、倒格子间的关系
I. ai b j 2 ij i, j 1, 2, 3
II. 倒格子原胞体积是正格子原胞体积的倒数的(2π )3倍。
简证： 倒格子原胞体积
*
b1
(b2
b3
)
(2
)3 (a2
a3
)
[(a3 3
a1 )
(a1
a2
)]
(2 )3
3
(a2
a3 )
{[(a3
a1 )
a2
]a1
[(a3
a1 )
a1 ]a2 }
(2
)3 (a2 a3 ) 3
a1
(2 )3
=0
III. 正格子基矢和倒格子基矢之间的关系
b1 2πa2 a3 b2 2πa3 a1 b3 2πa1 a2
a1 2πb2 b3 a2 2πb3 b1
* *
a3 2πb1 b2 *
2.2 金属自由电子模型
三维情况： a
2
a3 a1
三维原胞呈平行六面体，且每个原胞中仅有一个格点，原胞
的体积等Rn于每n个1a格1点在n空2a间2 占n据3的a3空间。
n1，n2，n3为包括零在内的任意整数
晶体中任一物理量沿基矢方向平移基矢的整数倍，保持性质不 变，体现了平移对称性。
2. 在波矢空间里——倒格子
晶体结构的周期性
每个Ek1j 代入前面的线性方程组都能求出一组
C
0， 从而确定一个
i
k0j 。
H11
Ek1
H 21
H12 H 22 Ek1
H1f
c10
H 2 f
c2 0
0
H f 1
H f 2
H ff
Ek1
cf0
f
0
k
Ci0 i
i 1
Ek Ek0 Ek11 Ek0 Ek12 Ek0 Ek1f
Qr Q r Rl Rl—晶格格矢
晶体物理量 具有相同的周期性
波矢空间中描述方便
Q r CneiKn r
n
Q r Rl CneiKn r Rl n
C e e iKn r iKn Rl n
n
所有波矢 Kn 代表点的集合 构成波矢空间的格子(点阵) ——倒格子
Kn Rl 2 为整数
Ci0i
Ci0Hˆ i
Ci0
Ek(
0) i
Ci0 Ek(1) i
i 1
i 1
i 1
i 1
f
f
Ci0Hˆ i Ci0Ek(1)i
i 1
i 1
两端左乘 m 并积分
f
f
Ci0
* m
Hˆ
i
d
Ci0
E (1) k
*
mi
d
i 1
i 1
f
f
Ci0H m i Ci0Ek(1) mi
i 1
原胞：最小的重复单元
基矢构成的原胞呈平行四边形，且每个原胞中仅有一个格点
基矢：构成原胞的边矢量
二维点阵中， 1、2、3、4均为晶胞， 其中1、2、3是原胞
•• • • •• ••
B
a•2
•
1
•C •
•
2
••
3
•
•
0•a1
•
A
•
•
4
•
•
•
••••••••
格矢：晶格中任一格点的位置矢量
Rn=n1a1+n2a2 (n1,n2为任意 数)
它有非零解的条件是系数行列式为零
H11 Ek1 H 21
H f 1
H12 H 22 Ek1
H f 2
H1f
H 2 f
0
H ff
E (1) k
这是Ek1 的f次方程，称为久期方程。
解此方程可得到 Ek1的f个根（可能有重根）。
Ek11 , Ek12 , Ek1j Ek1f
Ek11 , Ek12 , Ek1j Ek1f
0
k1
0
k2
0
kf
结论：如果每个根 Ek1j 都不相等，则表示原来f重 简生并了的分裂无，微全wk.baidu.com部能消级除E k了0 ，简在并微。扰否的则作，用简下并能只级是发部 分消除，而重根的零级波函数就不能完全确定， 需进一步考虑能量的二级修正。
满足晶体周期性 的波矢选择条件
3. 正、倒格子之间的关系
1) 倒格(基)矢
设某晶体原胞的基矢为 a1 , a2 , a3,
则倒格子基矢的定义为：
b1 2πa2 a3 b2 2πa3 a1 b3 2πa1 a2
a1 (a2 a3 )
——原胞体积
倒格矢：倒格子中任一格点的位置矢量