第五讲环形道路上地行程问题

第五讲环形道路上的行程问题一、知识要点和基本方法1．行程问题中的基本数量关系式：速度×时间＝路程；路程÷时间＝速度；路程÷速度＝时间．2．相遇问题中的数量关系式：速度和×相遇时间＝相遇路程；相遇路程÷速度和＝相遇时间；相遇路程÷相遇时间＝速度和．3．追及问题中的数量关系式：速度差×追及时间＝追及距离；追及距离÷速度差＝追及时间；追及距离÷追及时间＝速度差．4．流水问题中的数量关系式：顺水速度＝船速十水速；逆水速度＝船速一水速；船速＝（顺水速度＋逆水速度）÷2；水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2．5．应该注意到：（1）顺逆风中的行走问题与顺逆水中的航行问题考虑方法类似；（2）在一条路上往返行走与在环形路上行走解题思考方法类似，因此不要机械地去理解环形道路长的行程问题．二、例题精讲例1 李明和王林在周长为400米的环形道路上练习跑步．李明每分钟跑200米，是王林每分钟所跑路程的89．如果两人从同一地点出发，沿同一方向前进，问至少要经过几分钟两人才能相遇？分析由于两人从同一地点同向出发，因此是追及问题，追及距离是400米，可用公式“追及距离÷速度差＝追及时间”．解追及距离＝400米；返及时的速度差＝200÷89－200．由公式列出追及时间＝400÷（200÷89－200）＝400 ÷（225－200）＝400 ÷ 25＝16（分）．答至少经过16分钟两人才能相遇．例2 如图5－1，A、B是圆的直径的两个端点，亮亮在点A，明明在点B，他们同时出发，反向而行．他们在 C点第一次相遇，C点离A点100米；在D 点第二次相遇，D点离B点80米．求这个圆的周长．图5-1分析第一次相遇，两人合起来走了半圈，第二次相遇，两个人合起来又走了一圈，所以从开始出发到第二次相遇，两个人合起来走了一圈半．也就是说，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的3倍，也就是每个人在第二次相遇时所走的行程是第一次相遇时所走的行程的 3倍，所以从A到D（A→C→B→D）的距离应该是从A到C（A直接到C）的距离的3倍．于是有解法如下．解 A 到 D（A→C→B→D）的距离：100 × 3＝300（米）．半个圆圈长：300－80＝220（米）．整个圆圈长：220 × 2＝440（米）．答这个圆的周长是440米．例3 一个圆的周长为1．44米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发，沿圆周相向爬行．l分钟后它们都调头而行，再过3分钟，他们又调头爬行，依次按照1、3、5、7，…（连续奇数）分钟数调头爬行．这两只蚂蚁每分钟分别爬行5．5厘米和3．5厘米．那么经过多少时间它们初次相遇？再次相遇需要多少时间？分析半圆的周长是．．（米）=72（厘米）．1442=072÷先不考虑往返的情况，那么两只蚂蚁从出发到相遇所花时间为÷（．．）= 8（分）．7255+35再考虑往返的情况，则有表5－1．此可求出它们初次相遇和再次相遇的时间．解由题意可知它们从出发到初次相遇经过时间＝1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＝64（分）．第一次相遇时，它们位于下半圆，折返向上半圆爬去，须爬行17分钟，此时，爬行在下半圆的时间仍为8分钟（与上次在下半圆爬行时间相同），爬行在上半圆的时间应为9（＝17－8）分钟，但在上半圆（相向）爬行8分钟就会相遇，此时总时间又用去了16（＝8＋8）分钟，因此，第二次相遇发生在第一次相遇后又经过了16分钟（从总时间计算则为64＋16＝80（分））．此时，相遇位置在上半圆．答它们经过时分钟初次相遇，再经过16分钟再次相遇，例4 一个圆周长70厘米，甲、乙两只爬虫从同一地点，同时出发同向爬行，用以每秒4厘米的速度不停地爬行，乙爬行15厘米后，立即反向爬行，并且速度增加 1倍，在离出发点 30厘米处与甲相遇，问爬虫乙原来的速度是多少？图5－2分析根据题意画出示意图5－2．观察示意图可知：甲共行了70－30＝40（厘米），所需时间是40÷4＝10（秒）．在10秒内，乙按原速度走了15厘米，按2倍的速度走了 15＋30＝45（厘米），假如全按原速走，乙10秒共走15＋45÷2＝37．5（厘米），由此可求出乙原来的速度．解（70－30）÷4＝40 ÷ 4＝10（秒），［（30＋15）÷ 2＋15］÷ 10．÷10＝375?．（厘米/秒）．＝375?答爬虫乙原来的速度是每秒爬3．75厘米例5 如图5-3，沿着边长为90米的正方形，按逆时针方向，甲从A出发，每分钟走65米，乙从B出发，每分钟走72米，当乙第一次追上甲时是在正方形的哪一条边上？图5-3分析这是环形追及问题．这类问题可以先看成“直线”追及问题，求出乙追上甲所需要的时间，再回到“环形”追及问题，根据乙在这段时间内所走路程，推算出乙应在正方形哪一条边上．解设追上甲时乙走了x分钟．依题意，甲在乙前方3 × 90＝270（米），故有72x ＝65x ＋ 270，解得x ＝2707在这段时间内乙走了72×2707＝277717由于正方形边长为90米，共四条边，所以由 277717＝3 0× 90＋7717＝（4× 7＋2）×90＋7717， 可以推算出这时甲和乙应在正方形的AD 边上．答 当乙第一次追上甲时在正方形的AD 边上．例6 150人要赶到90千米外的某地去执行任务．已知步行每小时可行10千米．现有一辆时速为70千米的卡车，可乘50人．请你设计一种乘车及步行的方案，能使这150人在最短的时间内全部赶到目的地．其中，在中途每次换车（上、下车）时间均忽略不计．解 显然，只有人、车不停地向目标前进，车一直不停地往返载人，最后使150人与车同时到达目的地时，所用的时间才会最短．由于这辆车只能乘坐50人，因此将150分为3组，每组50人来安排乘车与步行．图5－4中，实线表示汽车往返路线（AE →EC →CF →FD →DB ），虚线表示步行路段．显然每组乘车、步行的路程都应一样多．所以图5-4AE ＝CF ＝DB ，且AC ＝CD ＝EF ＝FB ．若没AE ＝CF ＝DB ＝x ，AC ＝CD ＝EF ＝FB ＝y ，则290x y +=．且因为汽车在AE 十EC 上所用的时间与步行AC 所用时间相同，所以()7010x x y y +-= 解方程组 290x y += ()7010x x y y +-=得60,15x y ==．则150人全部从A 到B 最短时间为602156370107⨯+=小时 答 方案是50人一组，共分3组，先后分别乘60千米车，先后分段步行30千米，由A 同时出发，最后同时到B ，最短时间是637小时． 例7 甲、乙二人沿椭圆形跑道作变速跑训练：他们从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈。

跑第一圈时，乙速是甲速的23，甲跑第二圈时，速度比第一圈提高了13，乙跑第二圈时速度比第一圈提高了15．已知甲、乙二人第二次相遇点距第一次相遇点190米．问：这个椭圆形跑道周长多少米？分析 可设跑道周长为L ，第一次相遇时，甲跑了35L ，乙跑了25L ．又设甲速为a ，则乙速为23a ，而跑第二圈时，甲速为113a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，乙速为12153a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．利用相向运动公式求出第二个相遇点，利用两个相遇点之差等于190米列方程求L ．解 如图 5－5（1）及图 5－5（2），图5－5（1） 图5－5（2）设跑第一圈甲速为a （米/秒），于是乙速为23a （米/秒）．又设跑道全长为L （米），则甲、乙第一次相遇点在按甲前进的方向距出发点为35L ．甲跑完第一圈（L ），乙跑了23L ．当乙继续跑余下的13L 路程时，甲已折返，且以14133a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的速度跑，所以在乙跑完第一圈时，甲已折返跑了23L 的距离．这时，乙折返以2141355a a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭跑着．从这时起，甲、乙速度比为445:335a a ÷=．所以，甲跑了余下的3L 的58：，而乙跑了余下的3L 的38，即乙跑了折返后的3388L L ⨯=．此时与折返后的甲第二次相遇，因此有3119058L L -= 即1919040L = 所以 L=400（米）．答 跑道周长400米． 练 习 题A 组1. 甲用40秒可绕一环形跑道跑一圈，乙反方向跑，每隔15秒与甲相遇一次．问乙跑完一圈用多少秒？2. 甲、乙从360米长的环形跑道上的同一地点向相同方向跑步．甲每分钟跑305米，乙每分钟跑275米．两人起跑后，问第一次相遇在离起点多少米处？3. 有一条长500米的环形跑道．甲、乙两人同时从跑道上某一点出发，反向而跑，1分钟后相遇；如果两人同向而跑，则10分钟后相遇．已知甲跑得比乙快，问甲、乙两人每分钟各跑多少米？4. 甲、乙两人同时从A 点背向出发，沿400米环形跑道行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走50米，这两人至少用多少分钟再在A 点相遇？5. 小明在360米长的环形跑道上跑了一圈．已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米，那么小明后一半路程用了多少秒？6. 一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶；由乙至甲是逆水行驶．已知船在静水中的速度为每小时8千米，平时逆行与顺行所用时间的比为2：1，某天恰逢暴雨，水流速度为原来的2倍，这条船往返共用9小时，问甲、乙两港相距多少千米？7. 两只小爬虫甲和乙，从图5－6上A 点同时出发，沿长方形ABCD 的边，分别按箭头方向爬行，在离C 点32厘米的E 点它们第一次相遇；在离D 点16厘米的F 点第二次相遇，在离A 点16厘米的 G 点第三次相遇，问长方形的边 AB 长多少厘米？图5－6 图5－78. 周长400米的圆形跑道上，有相距100米的A 、B 两点（如图5－7）．甲、乙两人分别在A 、B 两点相背而跑，两人相遇后乙立即转身与甲同向而跑，当甲又跑到A 地时，乙恰好又跑到B 地．如果以后甲、乙跑的方向和速度都不变，那么甲追上乙时，从出发开始，甲共跑了多少米？B 组9. 绕湖环行一周是2 700米，小张、小王、小李从同一地点出发绕湖行走，小李沿反方向行走，小张的速度是135米/分，小王的速度是 90米/分，小李的速度是 45米/分．当小张和小李相遇后，马上转身反向而行，不久与小王相遇。

问出发后多少时间，小张和小王相遇？10. 小张步行从甲村到乙村去，小李骑自行车从乙村往甲村去，他们同时出发，1小时后在途中相遇，他们分别继续前进，小李到达甲村后就立即返回，在第一次相遇后40分钟，小李追上了小张，他们又分别继续前进，当小李到达乙村后又马上折回，问：追上后多少分钟，他们再次相遇？11. 绕湖一周是24千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发，反向而行，王以 4千米/时的速度每走1小时后休息5分钟J 张以6千米/时的速度每走50分钟后休息10分钟，问两人出发多少时间后第一次相遇？12. 小张、小王、小李同时从湖边同一地点出发，绕湖而走．小张速度是每小时5．4千米，小王速度是每小时4．2千米，他们两人同方向行走，小李与他们反方向行走，半小时后小张与小李相遇，再过5分钟，小李与小王相遇，那么绕湖一周行程是多少千米？13. 游船顺流而下，每小时前进7千米，逆流而上，每小时前进5千米，两条游船同时从同一地方出发，一条顺流而下，然后返回；一条逆流而上，然后返回，结果，1小时后它们同时回到出发点，问在这1小时内有多少时间这两条游船的前进方向相同？14. 在 400米环形跑道上，A 、B 两点相距 100米（如图 5－8所示）．甲、乙两人分别从A 、B 两点同时出发，按逆时针方向跑步．甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人跑100米，都要停10秒钟．那么，甲追上乙需要的时间是多少秒．图 5－8 图5－915. 在图5－9中，正方形ABCD 是一条环形公路．已知汽车在AB 上的速度是 90千米/时，在 BC 上的速度是 120千米/时，在 CD 上的速度是 60千米/时，在 DA 上的速度是 80千米/时．从 CD 上一点P ，同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB 的中点相遇．如果从PC 的中点M ，同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB 上一点 N 处相遇二求A NB N 至的距离至的距离16. 某游艇在一条河流中逆水航行，有一乘客随身带有的空心玻璃球在A 桥处失落于水中，但经过20分钟到C 处才发现；游艇掉头寻找空心玻璃球，直至更下游的B 桥下才拾得．已知A 、B 两桥相距2千米，求河水的流速．测 试 题1. 如图5－10，在一圆形的跑道上，小明从A点，小强从B点同时出发反向行走（如箭头所示）．6分钟后，小明与小强相遇，再过4分钟，小明到达B点．又再过8分钟，小明与小强再次相遇．问：小明环行一周要多少分钟？图 5－10 图 5－112. 如图5－11，一个圆周长90厘米，3个点把这个圆周分成三等分，3只爬虫A、B、C分别在这3个点上．它们同时出发，按顺时针方向沿着圆周爬行．A的速度是10厘米/秒出的速度是5厘米/秒（的速度是3厘米/秒，3只爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置？3. 上午8点08分，小明从家里骑自行车出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他，然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头追小明，再追上他的时候，离家恰好是8千米．问：这时是几点几分？4. 图5－12中，甲、乙两人分别位于周长为400米的正方形水池相邻的两个顶点上，同时开始沿逆时针方向沿池边行走．甲每分钟走50米，乙每分钟走44米，问：甲、乙两人出发后几分钟才能第一次走在正方形的同一条边上（不含甲、乙两人在正方形相邻顶点的情形）？图 5－12 图 5－135. 如图5－13，阴影部分表示学校校园．长方形ABCD表示校园外紧靠围墙的小路．AD—320米，AB—250米．小明、小亮分别从A、C两地同时出发，两人都按顺时针方向跑，速度分别是每秒3．5米和2．5米．问：出发后多久小明才能第一次看见小亮？6. 如图5－14是一座立交桥俯视图，路面宽20米．AB=CD=100米．阴影部分为四个四分之一圆形的草坪．现有甲、乙两车分别在A、D两处按箭头方向行驶，甲车速56千米/时，乙车速50千米/时．问：按行车路线（用虚线表示），甲车要追上乙车需要多少分钟？（甲的行车路线为A→B→C→D→）图5-14。