第五讲环形道路上地行程问题

第五讲

环形道路上的行程问题

一、知识要点和基本方法

1．行程问题中的基本数量关系式：

速度×时间＝路程；路程÷时间＝速度；

路程÷速度＝时间．

2．相遇问题中的数量关系式：

速度和×相遇时间＝相遇路程；

相遇路程÷速度和＝相遇时间；

相遇路程÷相遇时间＝速度和．

3．追及问题中的数量关系式：

速度差×追及时间＝追及距离；

追及距离÷速度差＝追及时间；

追及距离÷追及时间＝速度差．

4．流水问题中的数量关系式：

顺水速度＝船速十水速；

逆水速度＝船速一水速；

船速＝（顺水速度＋逆水速度）÷2；

水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2．

5．应该注意到：

（1）顺逆风中的行走问题与顺逆水中的航行问题考虑方法类似；

（2）在一条路上往返行走与在环形路上行走解题思考方法类似，因此不要机械地去理解环形道路长的行程问题．

二、例题精讲

例1 李明和王林在周长为400米的环形道路上练习跑步．李明每分钟跑200

米，是王林每分钟所跑路程的8

9

．如果两人从同一地点出发，沿同一方向前进，

问至少要经过几分钟两人才能相遇？

分析由于两人从同一地点同向出发，因此是追及问题，追及距离是400米，可用公式“追及距离÷速度差＝追及时间”．

解追及距离＝400米；

返及时的速度差＝200÷8

9

－200．

由公式列出

追及时间＝400÷（200÷8

9

－200）

＝400 ÷（225－200）

＝400 ÷ 25

＝16（分）．

答至少经过16分钟两人才能相遇．

例2 如图5－1，A、B是圆的直径的两个端点，亮亮在点A，明明在点B，他们同时出发，反向而行．他们在 C点第一次相遇，C点离A点100米；在D 点第二次相遇，D点离B点80米．求这个圆的周长．

图5-1

分析第一次相遇，两人合起来走了半圈，第二次相遇，两个人合起来又走了一圈，所以从开始出发到第二次相遇，两个人合起来走了一圈半．也就是说，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的3倍，也就是每个人在第二次相遇时所走的行程是第一次相遇时所走的行程的 3倍，所以从A到D（A→C→B→D）的距离应该是从A到C（A直接到C）的距离的3倍．于是有解法

如下．

解 A 到 D（A→C→B→D）的距离：

100 × 3＝300（米）．

半个圆圈长：300－80＝220（米）．

整个圆圈长：220 × 2＝440（米）．

答这个圆的周长是440米．

例3 一个圆的周长为1．44米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发，沿圆周相向爬行．l分钟后它们都调头而行，再过3分钟，他们又调头爬行，依次按照1、3、5、7，…（连续奇数）分钟数调头爬行．这两只蚂蚁每分钟分别爬行5．5厘米和3．5厘米．那么经过多少时间它们初次相遇？再次相遇需要多少时间？

分析半圆的周长是

．．（米）=72（厘米）．

1442=072

÷

先不考虑往返的情况，那么两只蚂蚁从出发到相遇所花时间为

÷（．．）= 8（分）．

7255+35

再考虑往返的情况，则有表5－1．

此可求出它们初次相遇和再次相遇的时间．

解由题意可知

它们从出发到初次相遇经过时间

＝1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＝64（分）．

第一次相遇时，它们位于下半圆，折返向上半圆爬去，须爬行17分钟，此时，爬行在下半圆的时间仍为8分钟（与上次在下半圆爬行时间相同），爬行在

上半圆的时间应为9（＝17－8）分钟，但在上半圆（相向）爬行8分钟就会相遇，此时总时间又用去了16（＝8＋8）分钟，因此，第二次相遇发生在第一次相遇后又经过了16分钟（从总时间计算则为64＋16＝80（分））．此时，相遇位置在上半圆．

答它们经过时分钟初次相遇，再经过16分钟再次相遇，

例4 一个圆周长70厘米，甲、乙两只爬虫从同一地点，同时出发同向爬行，用以每秒4厘米的速度不停地爬行，乙爬行15厘米后，立即反向爬行，并且速度增加 1倍，在离出发点 30厘米处与甲相遇，问爬虫乙原来的速度是多少？

图5－2

分析根据题意画出示意图5－2．

观察示意图可知：甲共行了70－30＝40（厘米），所需时间是40÷4＝10（秒）．在10秒内，乙按原速度走了15厘米，按2倍的速度走了 15＋30＝45（厘米），假如全按原速走，乙10秒共走15＋45÷2＝37．5（厘米），由此可求出乙原来的速度．

解（70－30）÷4

＝40 ÷ 4

＝10（秒），

［（30＋15）÷ 2＋15］÷ 10

．÷10

＝375?

．（厘米/秒）．

＝375?

答爬虫乙原来的速度是每秒爬3．75厘米

例5 如图5-3，沿着边长为90米的正方形，按逆时针方向，甲从A出发，每分钟走65米，乙从B出发，每分钟走72米，当乙第一次追上甲时是在正方形的哪一条边上？

图5-3

分析这是环形追及问题．这类问题可以先看成“直线”追及问题，求出乙追上甲所需要的时间，再回到“环形”追及问题，根据乙在这段时间内所走路程，推算出乙应在正方形哪一条边上．

解设追上甲时乙走了x分钟．依题意，甲在乙前方

3 × 90＝270（米），

故有

72x ＝65x ＋ 270，

解得

x ＝2707

在这段时间内乙走了

72×2707＝277717

由于正方形边长为90米，共四条边，所以由 277717＝3 0× 90＋7717＝（4× 7＋2）×90＋7717

， 可以推算出这时甲和乙应在正方形的AD 边上．

答 当乙第一次追上甲时在正方形的AD 边上．

例6 150人要赶到90千米外的某地去执行任务．已知步行每小时可行10千米．现有一辆时速为70千米的卡车，可乘50人．请你设计一种乘车及步行的方案，能使这150人在最短的时间内全部赶到目的地．其中，在中途每次换车（上、下车）时间均忽略不计．

解 显然，只有人、车不停地向目标前进，车一直不停地往返载人，最后使150人与车同时到达目的地时，所用的时间才会最短．

由于这辆车只能乘坐50人，因此将150分为3组，每组50人来安排乘车与步行．图5－4中，实线表示汽车往返路线（AE →EC →CF →FD →DB ），虚线表示步行路段．显然每组乘车、步行的路程都应一样多．所以

图5-4

AE ＝CF ＝DB ，且AC ＝CD ＝EF ＝FB ．

若没AE ＝CF ＝DB ＝x ，AC ＝CD ＝EF ＝FB ＝y ，则

290x y +=．

且因为汽车在AE 十EC 上所用的时间与步行AC 所用时间相同，所以

()7010

x x y y +-= 解方程组 290x y += ()7010

x x y y +-=