高三数学二轮复习：极坐标和参数方程

|OP|＝ 3.
(1)求曲线 C1 的普通方程； 押题依据 将椭圆和直线的参数方程、圆和射线的极坐标方程相交汇，
考查相应知识的理解和运用，解题中，需要将已知条件合理转化，灵活
变形，符合高考命题趋势.
押题依据 解答
(2)设直线 l′：xy＝ ＝－3tt， (t 为参数，t≠0)与曲线 C2 交于点 R，若 α＝π3， 求△OPR 的面积.
3.圆锥曲线的参数方程
(1)椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的参数方程为xy＝＝abcsions
θ， θ
(θ 为参数).
(2)抛物线 y2＝2px(p>0)的参数方程为xy＝＝22pptt2， (t 为参数).
例 2 (2018·全国Ⅲ)在平面直角坐标系 xOy 中，⊙O 的参数方程为
x＝cos θ， y＝sin θ
(θ 为参数)，过点(0，－
2)且倾斜角为 α 的直线 l 与⊙O 交
于 A，B 两点.
(1)求 α 的取值范围；
解答
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.
解答
思维升华
(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适 当的消参方法.常见的消参方法有代入消参法、加减消参法、平方消参 法等. (2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、 漏解，若x，y有范围限制，要标出x，y的取值范围.
角坐标系中，以原点为极点，以x轴的正半轴为极轴且取相同的单位长
度建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(1)若曲线C2的参数方程为
x＝tcos α， y＝1＋tsin α
(α为参数)，求曲线C1的直角坐
标方程和曲线C2的普通方程；
解 ∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ，
又∵ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，
∴曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0， 曲线C2的普通方程为x2＋(y－1)2＝t2.
解答
(2)若曲线 C2 的参数方程为xy＝＝t1c＋ostsαi，n α (t 为参数)，A(0,1)，且曲线 C1 与曲线 C2 的交点分别为 P，Q，求|A1P|＋|A1Q|的取值范围.
解答
真题押题精练
x＝
23－3 t，
的参数方程为
y＝
2 3t 3－t
(t 为参数，t>0 且 t≠ 3)，以坐标原点为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝4cos θ. (1)将曲线M的参数方程化为普通方程，并将曲线C的极坐标方程化为直 角坐标方程；
解答
(2)求曲线M与曲线C交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
当cos α≠0时，l的直角坐标方程为y＝tan α·x＋2－tan α，
当cos α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.
解答
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率.
解答
2.(2017·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半 轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4. (1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求 点P的轨迹C2的直角坐标方程；
φ， φ
(φ 为参数)，其中
a>b>0.以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ＝2cos
θ，射线 l：θ＝α(ρ≥0).若射线 l 与曲线 C1 交于点 P，当 α＝0 时，射线 l
与曲线 C2 交于点 Q，|PQ|＝1；当 α＝π2时，射线 l 与曲线 C2 交于点 O，
解答
热点二 参数方程与普通方程的互化
1.直线的参数方程
过定点
M(x0，y0)，倾斜角为
α
的直线
l
的参数方程为xy＝ ＝xy00＋ ＋ttcsions
α， α
(t 为参数).
2.圆的参数方程
圆心为点
M(x0，y0)，半径为
r
的圆的参数方程为xy＝ ＝xy00＋ ＋rrcsions
θ， θ
(θ 为
参数).
即ρ＝10cos θ，
∴点 P 的极坐标方程为 ρ＝10cos θ，θ∈0，π2.
解答
思维升华 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角 的范围，否则点的极坐标将不唯一. (2)在与曲线的直角坐标方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要 注Baidu Nhomakorabea转化的等价性.
跟踪演练 1 (2018·山西省榆社中学模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 M
板块三 专题突破 核心考点
专题七 系列4选讲
第1讲 坐标系与参数方程
[考情考向分析]
高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标 方程、参数方程与普通方程的互化、常见曲线的参数方程及参数 方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要 考查形式，同时考查直线与曲线的位置关系等解析几何知识.
解答
板块三 专题突破 核心考点
专题七 系列4选讲
第2讲 不等式选讲
[考情考向分析]
本部分主要考查绝对值不等式的解法.求含绝对值的函数的值域 及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围、不等式的证明等， 结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、 绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与 推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想.
内容索引
热点分类突破 真题押题精练
热点分类突破
热点一 极坐标与直角坐标的互化
直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中 取相同的长度单位.如图， 设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，
则yx＝＝ρρscions
θ， θ，
押题依据 极坐标方程和参数方程的综合问题一直是高考命题的热点. 本题考查了等价转换思想，代数式变形能力，逻辑推理能力，是一道 颇具代表性的题.
押题依据 解答
(2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，且|AB|＝ 13，求直线的倾斜角 α 的值.
解答
2.在平面直角坐标系
xOy
中，曲线
C1：xy＝＝abcsions
解答
(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值.
解 由 f(x)≤0，得2x－a＋5x≤0，
解得 x≥a2，
或x<a2，
7x－a≤0 3x＋a≤0，
又a>0，
∴不等式的解集为xx≤－a3
，
由题意得－3a＝－1，
解得a＝3.
解答
思维升华
(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤 ①求零点；②划区间、去绝对值符号；③分别解去掉绝对值的不等式； ④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值. (2)用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问 题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法.
例1 (2018·乌鲁木齐模拟)设函数f(x)＝|2x－a|＋5x，其中a>0. (1)当a＝3时，求不等式f(x)≥5x＋1的解集； 解 当a＝3时，不等式f(x)≥5x＋1即为 |2x－3|＋5x≥5x＋1， ∴|2x－3|≥1， 解得x≥2或x≤1. ∴不等式的解集为{x|x≤1或x≥2}.
ρ2＝x2＋y2，
tan
θ＝yxx≠0.
例 1 (2018·东北三省四市模拟)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极
点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1：ρcos θ＝3，曲线 C2：ρ
＝4cos θ0≤θ<π2.
(1)求C1与C2交点的极坐标；
解 联立ρρc＝os4cθo＝s 3θ， ， 得 cos θ＝±23，
∵0≤θ<π2，∴θ＝π6，ρ＝2 3，
∴所求交点的极坐标为2
3，π6.
解答
(2)设点 Q 在 C2 上，O→Q＝23Q→P，求动点 P 的极坐标方程.
解
设
P ρ，θ ，Q ρ ，θ 且
0
0
ρ0＝4cos
θ0，θ0∈0，π2，
由已知O→Q＝23Q→P，得ρθ00＝＝25θρ，，
∴25ρ＝4cos θ，
真题体验 1.(2018·全 国 Ⅱ) 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 曲 线 C 的 参 数 方 程 为
x＝2cos θ， y＝4sin θ
(θ 为参数)，直线 l 的参数方程为xy＝ ＝12＋ ＋ttcsionsαα，
(t 为
参数).
(1)求C和l的直角坐标方程； 解 曲线 C 的直角坐标方程为x42＋1y62 ＝1.
定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等 号成立. 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a －b)(b－c)≥0时，等号成立.
例2 (2018·江西省景德镇市第一中学模拟)已知函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋3|. (1)解不等式f(x)<2x＋10；
内容索引
热点分类突破 真题押题精练
热点分类突破
热点一 含绝对值不等式的解法
含有绝对值的不等式的解法 (1)|f(x)|>a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a. (2)|f(x)|<a(a>0)⇔－a<f(x)<a. (3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值 不等式的几何意义求解.
解答
思维升华
绝对值不等式的成立问题的求解策略 (1)分离参数：根据不等式将参数分离化为a≥f(x)或a≤f(x)的形式. (2)转化最值：f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a；f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a；f(x)>a 有解⇔f(x)max>a；f(x)<a有解⇔f(x)min<a；f(x)>a无解⇔f(x)max≤a；f(x)<a 无解⇔f(x)min≥a. (3)求最值：利用基本不等式或绝对值不等式求最值. (4)得结论.
解答
(2)若不等式f(x)≤m|x＋2|有解，求m的取值范围.
解 ①若x＝－2，显然无解；
②若 x≠－2，则 m≥|x＋1|x|＋＋|22x| ＋3|，
|x＋1|＋|2x＋3| |2x＋3－x＋1|
令 g(x)＝ |x＋2| ≥
|x＋2|
＝1
当且仅当－32≤x≤－1时等号成立，
∴m≥1.即m的取值范围是[1，＋∞).
解答
思维升华
(1)利用参数方程解决问题，要理解参数的几何意义. (2)在解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题时，常常将极坐标方程化为 直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于认识方程所表示的 曲线，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用.
跟踪演练3 (2018·黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学模拟)在平面直
跟踪演练1 (2018·河北省衡水金卷模拟)已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|. (1)解不等式f(x)≤3；
解答
(2)若函数g(x)＝|2x－2 018－a |＋|2x－2 019|，若对于任意的x1∈R， 都存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围.
解答
热点二 绝对值不等式恒成立(存在)问题
解答
(2)设点 A 的极坐标为2，π3，点 B 在曲线 C2 上，求△OAB 面积的最大值.
解答
押题预测
1.已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原
点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是
x＝1＋tcos y＝tsin α
α， (t是参数).
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
解答
(2)求直线l上的点到点M距离最小时的点的直角坐标.
解答
热点三 极坐标、参数方程的综合应用
解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与 参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关 的问题，如最值、范围等.
例 3 (2018·泉州质检)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为
跟踪演练 2 (2018·北京朝阳区模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的 参数方程为xy＝＝26＋t 2t， (t 为参数)，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为 极轴建立极坐标系，点 M 的极坐标是2，43π. (1)求直线 l 的普通方程； 解 直线l的普通方程为3x－y－6＝0.
x＝1＋cos α， y＝sin α
(α 为参数)，直线 l 的参数方程为yx＝＝31＋－tt，
(t 为参数)，
在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 m：θ＝
β(ρ>0).
(1)求 C 和 l 的极坐标方程；
解答
(2)设点 A 是 m 与 C 的一个交点(异于原点)，点 B 是 m 与 l 的交点，求 ||OOAB||的最大值.