二次函数与幂函数的知识点总结与题型归纳

二次函数与幂函数的知识点总结与题型归纳

1．二次函数的定义与解析式

(1) 二次函数的定义

形如：f(x)＝ax2＋bx＋c_(a≠0)的函数叫作二次函数．

(2) 二次函数解析式的三种形式

①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c_(a≠ 0)．

②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠ 0)．

③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)_(a≠ 0)．

2．二次函数的图象和性质

3. 幂函数

形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数．4．幂函数的图象及性质

(1) 幂函数的图象比较

(2) 幂函数的性质比较

1

(1) 已知三个点的坐标时，宜用一般式．

(2) 已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式．

(3) 已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求

f(x)更方便．

2． 幂函数的图象

(1)在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近 x 轴，在 (1，＋ ∞) 上幂函数中指数越大，函数图象越远离 x 轴．

1

(2)函数 y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 2，y ＝x －

1 可作为研究和学习幂函数 图象和性质的代表．

题型一 求二次函数的解析式

例1 已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且 f(x)的最大值是

8， 试确定此二次函数．

思维启迪： 确定二次函数采用待定系数法，有三种形式，可根据条件 灵活运用．

解 方法一 设 f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，

∴所求二次函数解析式为 f(x)＝－4x 2＋4x ＋7.

方法二 设 f(x)＝a(x －m)2＋n ，a ≠ 0.∵f(2)＝f(－1)，

2＋ － 1 1 1 ∴抛物线对称轴为 x ＝ 2 ＝ 2.∴m ＝ 2. 又根据题意函数有最大值为 n ＝ 8，

12

∴y ＝f(x)＝a (x )2 ＋8.

依题意有

4a ＋2b ＋c ＝－1， a －b ＋c ＝－1， 4ac －b 2 4a ＝8， a ＝－4，

解之，得 b ＝4， c ＝7，

∵f(2)＝－1，∴a(x 1) ＋8＝－1，解之，得a＝－ 4.

2

∴f(x)＝－4(x 1)2＋8＝－4x2＋4x＋7.

2

方法三依题意知，f(x)＋1＝0 的两根为

x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，a≠0.

即f(x)＝ax2－ax－2a－1.

4a －2a－1 －a2

又函数有最大值y max＝8，即4a＝8，

解之，得a＝－4或a＝0(舍去)．

∴函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.

探究提高二次函数有三种形式的解析式，要根据具体情况选用：如和对称性、最值有关，可选用顶点式；和二次函数的零点有关，可选用零点式；一般式可作为二次函数的最终结果．

题型二二次函数的图象与性质

例 2 已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈［－4,6］．

(1)当a＝－2 时，求f(x)的最值；

(2)求实数 a 的取值范围，使y＝f(x)在区间［－4,6］上是单调函数；

(3) 当a＝1 时，求f(|x|)的单调区间．

思维启迪：对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于(3)，

应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用．

解：(1)当a＝－2 时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈［－

4,6］，

∴f(x)在［－4,2］上单调递减，在［2,6］上单调递增，

∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.

(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在［－

4,6］上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.

(3) 当a＝1 时，f(x)＝x2＋2x＋3，

∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈［－6,6］，

x2＋2x＋3，x∈0，6］

且f(x)＝2，

x2－2x＋3，x∈［－6，0］

∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6］，

单调递减区间是［－6,0］．

探究提高(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．

题型三二次函数的综合应用

例 3 若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋ c (a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)

＝1.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若在区间［－1,1］上，不等式f(x)>2x＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．

思维启迪：对于(1)，由f(0)＝1可得c，利用f(x＋1)－f(x)＝2x恒成立，

可求出a，b，进而确定f(x)的解析式．对于(2)，可利用函数思想求得．解(1)由f(0)＝1，得c＝1.∴f(x)＝ax2＋bx＋1.

又f(x＋1)－f(x)＝2x，∴ a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝

2x，

2a＝2，a＝1，

即2ax＋a＋b＝2x，∴∴

a＋b＝0，b＝－ 1.

因此，f(x)＝x2－x＋1.

(2)f(x)>2x＋m 等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使

此不等式在［－1,1］上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在［－1,1］上的最小值大于0 即可．

∵g(x)＝x2－3x＋1－m 在［－1,1］上单调递减，

∴g(x)

min ＝g(1) ＝－m－1，由－m－1>0 得，m<－1.

因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．

探究提高二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切