整式除法和因式分解

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课 题 整式除法和因式分解

学习目标与 考点分析 1、 会进行单项式除以单项式以及多项式除以单项式的整式除法运算 2、 熟练掌握因式分解的几种方法做到分解彻底

学习重点 难 点 学习重点：整式的除法以及因式分解几种方法

学习难点：整式除法中的多项式除以单项式，因式分解方法 教学方法

讲练结合，练习反馈

教学过程

1. =÷---+333

6)(m m x x （m 为偶数）

2. 若4=m

a

，1=n a ，则=+n m a （ ）

A. 4

B. 5

C. 8

D. 16 3. 如果a a

a n x

=÷+2

，那么=x （ ）

A. n -3

B. 3-n

C. 3+n

D. 2- 4. 3

)(b a -与3

)(a b -之间的关系是（ ）

A. 相等

B. 只有当0==b a 时相等

C. 互为相反数

D. 无法确定 5. 下列各式能用平方差公式计算的是（ ）

A. ))((x y y x --

B. ))((y x y x ---

C. ))((y x y x --+

D. ))((y x y x ++

6. 下列计算不正确的是（ ）

龙文教育学科导学案

A. 4

4

8

a a a =÷ B. 4)2()2(35=-÷- C. a a a

n n

=÷-122

D. 23210)(x x x x =÷-÷

7. 计算：

（1）)2)(2(c b a c b a +--+ （2）)34)(43(2222m n n m ---

（3）n n n n a a a 412212)2()4(÷⋅-⋅--+（n 为正整数） （4）)8

5

()165161(222542543333c b a c b a c b a c b a -÷+--

整式除法总结：

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)

二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

（1）(a+b)(a -b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a -b)；

(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2； (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)； (4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)． 下面再补充两个常用的公式：

(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)；

例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222

a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ∆的形状是（ ）

A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：2

2

2

2

2

2

222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++

222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：bn bm an am +++

分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：原式=)()(bn bm an am +++

=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！ =))((b a n m ++

例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102

解法一： 解法二：

练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2

2、1+--y x xy

（二）分组后能直接运用公式

例3、分解因式：ay ax y x ++-2

2

分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。 解：原式

例4、分解因式：2

222c b ab a -+-

练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 22

22---

综合练习：抽练（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-2

2 （3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 491262

2

-++- （5）922

3

4

-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+-- （7）222y yz xz xy x ++-- （8）12222

2

++-+-ab b b a a （9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+ （11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++（12）abc c b a 33

3

3

-++

四、十字相乘法.

（一）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。 特点：（1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

思考：十字相乘有什么基本规律？

例5、分解因式：652

++x x

分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。 1 2

解：652

++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5

用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

例6、分解因式：672

+-x x

解：

练习5、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542

-+x x

练习6、分解因式(1)22-+x x (2)1522

--y y (3)24102--x x

（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2

条件：（1）21a a a = 1a 1c

（2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b += 分解结果：c bx ax ++2

=))((2211c x a c x a ++