极值点偏移1-2---极值点偏移定理

极值点偏移1-2---极值点偏移判定定理

一、极值点偏移的判定定理

对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21,x x ，且b x x a <<<21，

（1）若)2()(201x x f x f -<，则021)(2x x x ><+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏；

（2）若)2()(201x x f x f ->，则

021)(2x x x <>+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏.

证明：（1）因为对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f 的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，由于b x x a <<<21，有01x x <，且0202x x x <-，又)2()(201x x f x f -<，故2012)(x x x -><，所以

021)(2

x x x ><+，即函数极（小）大值点0x 右（左）偏；

（2）证明略.

左快右慢（极值点左偏221x x m +<⇔） 左慢右快（极值点右偏221x x m +>⇔）

左快右慢（极值点左偏221x x m +<⇔） 左慢右快（极值点右偏221x x m +>⇔） 二、运用判定定理判定极值点偏移的方法

1、方法概述：

（1）求出函数)(x f 的极值点0x ；

（2）构造一元差函数)()()(00x x f x x f x F --+=；

（3）确定函数)(x F 的单调性；

（4）结合0)0(=F ，判断)(x F 的符号，从而确定)(0x x f +、)(0x x f -的大小关系.

口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.

2、抽化模型

答题模板：若已知函数)(x f 满足)()(21x f x f =，0x 为函数)(x f 的极值点，求证：0212x x x <+.

（1）讨论函数)(x f 的单调性并求出)(x f 的极值点0x ；

假设此处)(x f 在),(0x -∞上单调递减，在),(0+∞x 上单调递增.

（2）构造)()()(00x x f x x f x F --+=；

注：此处根据题意需要还可以构造成)2()()(0x x f x f x F --=的形式. （3）通过求导)('x F 讨论)(x F 的单调性，判断出)(x F 在某段区间上的正负，并得出)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系；

假设此处)(x F 在),0(+∞上单调递增，那么我们便可得出0)()()()(000=-=>x f x f x F x F ，从而得到：0x x >时，)()(00x x f x x f ->+.

（4）不妨设201x x x <<，通过)(x f 的单调性，)()(21x f x f =，)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系得出

结论；

接上述情况，由于0x x >时，)()(00x x f x x f ->+且201x x x <<，)()(21x f x f =，

故)2()]([)]([)()(2002002021x x f x x x f x x x f x f x f -=-->-+==，又因为01x x <，

0202x x x <-且)(x f 在),(0x -∞上单调递减，从而得到2012x x x -<，从而0212x x x <+得证.

（5）若要证明0)2('21<+x x f ，还需进一步讨论221x x +与0x 的大小，得出2

21

x x +所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证. 此处只需继续证明：因为0212x x x <+，故

0212x x x <+，由于)(x f 在),(0x -∞上单调递减，故0)2

('21<+x x f . 【说明】

（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；

（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求)(x f 的单调性、极值点，证明)(0x x f +与)(0x x f -（或)(x f 与)2(0x x f -）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如0212x x x <+或0)2('21<+x x f 的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.

三、对点详析，利器显锋芒

★已知函数)()(R x xe x f x

∈=-.

(1)求函数)(x f 的单调区间和极值；

(2)若21x x ≠，且)()(21x f x f =，证明：221>+x x .

∵12>x ，∴122<-x ，)(x f 在)1,(-∞上单调递增，∴212x x ->，∴221>+x x . ★函数3434)(x x x f -

=与直线)31(->=a a y 交于),(1a x A 、),(2a x B 两点. 证明：221<+x x .

★已知函数2()ln f x x x

=

+，若1x ≠2x ，且)()(21x f x f =，证明：421>+x x . 【解析】由函数2()ln f x x x =+单调性可知：若)()(21x f x f =，则必有212x x <<，。 所以241>-x ，

而)4ln(42ln 2)4()(111111x x x x x f x f -+--+=

--， 令)4ln(ln 422)(x x x

x x h -++--=，则