均值不等式及其应用 PPT

合集下载

均值不等式课件

均值不等式课件

在极值问题中的应用
总结词
在求解函数的极值时,均值不等式可以为我们提供重 要的解题技巧和方法。
详细描述
在求解函数的极值时,均值不等式可以为我们提供重 要的解题技巧和方法
04
均值不等式的推广
柯西不等式的定义与证明
柯西不等式的定义
$||x|| \cdot ||y|| \geqslant ||x \cdot y||$,其中$x, y$为向量,$||\cdot ||$表示向量的模。
要点一
均值不等式的概念
要点二
均值不等式的形式
均值不等式是数学中的一个重要不等 式,表示两个或多个正数的平均数与 它们的几何平均数之间的关系。
常见的均值不等式包括基本均值不等 式、柯西均值不等式、排序均值不等 式等。
要点三
均值不等式的证明
均值不等式的证明方法有多种,包括 利用导数证明、利用矩阵的迹证明、 利用矩阵的行列式证明等。
中等。
在物理中的应用
02
柯西不等式可以用于量子力学中的不确定关系和力学中的最小
作用量原理等。
在经济学中的应用
03
柯西不等式可以用于金融领域中的投资组合理论和风险评估等

柯西不等式的推广
向量形式的推广
对于任意的向量$x_1, x_2, ..., x_n$和$y_1, y_2, ..., y_n$,有$(x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2) \cdot (y_1^2 + y_2^2 + ... + y_n^2) \geqslant (x_1 y_1 + x_2 y_2 + ... + x_n y_n)^2$
在数列求和中的应用

人教B版高中数学必修第一册第二章《均值不等式及其应用》第2课时课件

人教B版高中数学必修第一册第二章《均值不等式及其应用》第2课时课件

新知探究
【探索与研究】用Excel或其他计算机软件,完成下列数学 实验: (1)任取多组三个正教a,b,c,计算 a b c 和 3 abc 运后,比较它
3 们的大小,总结出一般规律;
(2)对四个正数、五个正数做同样的实验,总结出普遍规律.
一般地,a1 a2 n
等号成立.
an ≥ n a1a2
2
2
新知探究
例4 (1)已知a,b,cR,求证:a2+b2+c2≥ab+bc+ca; (2)已知a,b,c为正实数,求证: a2b2 b2c2 c2a2 ≥abc; abc (3)已知a2+b2=1,x2+y2=1,求证:ax+by≤1.
证明: (1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca, 三个不等式相加即能得证;
情境与问题
复习:上节课我们一起学习了均值不等式,请同学们回顾一下 均值不等式的内容,以及我们利用均值不等式可以解决什么样 的问题?
如果a,b都是正数,那么 a b ≥ ab ,当且仅当a=b时,等号成 2
立.利用均值不等式可以求最值、解决实际应用问题等.
问题:我们利用均值不等式还能解决什么问题呢?
新知探究
问题2 我们利用均值不等式可以证明不等式,可以直接利 用 a b ≥ ab(a,b都是正数),也可使用a+b≥ 2 ab .
2 你还有哪些变形呢?
(a b)2 ≥ 4ab ,ab ≤ ( a b)2. 2
新知探究
例1
已知ab>0,求证:ba
a b
≥2,并推导出等号成立的条件.
证明:因为ab>0,所以 b 0 ,a 0 , ab
根据均值不等式,得 b a ≥ 2 b a 2 ,即 b a ≥ 2 ,

《均值不等式及其应用》PPT教学课件 等式与不等式(第2课时均值不等式的应用)

《均值不等式及其应用》PPT教学课件 等式与不等式(第2课时均值不等式的应用)

=1a+b1·(a+2b)
=1+2ab+ab+2=3+2ab+ab≥3+2
2b a a ·b
=3+2 2,
23
栏目导航
24
当且仅当2ab=ab, a+2b=1,
a= 2-1,
即 b=1-
2 2
时等号成立.
∴1a+1b的最小值为3+2 2.
栏目导航
25
法二:1a+1b=a+a2b+a+b2b=1+2ab+ab+2 =3+2ab+ab≥3+2 2,
40
栏目导航
41
课时分层 作 业
点击右图进入…
栏目导航
Thank you for watching !
栏目导航
32
[解] 设将楼房建为 x 层,则每平方米的平均购地费用为
2
126000×0x104=10
800 x.
∴每平方米的平均综合费用
y=560+48x+10 x800=560+48x+22x5. 当 x+22x5取最小值时,y 有最小值.
栏目导航
33
∵x>0,∴x+22x5≥2 x·22x5=30. 当且仅当 x=22x5,即 x=15 时,上式等号成立. ∴当 x=15 时,y 有最小值 2 000 元. 因此该楼房建为 15 层时,每平方米的平均综合费用最少.
栏目导航
[提示] (1)由 a+b≥2 ab可知正确. (2)由 ab≤a+2 b2=4 可知正确. (3) x-x 1不是常数,故错误.
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
37
栏目导航
38
2.若实数 a,b 满足 a+b=2,则 ab 的最大值为( )
A.1
B.2 2
C.2
D.4

新教材人教B版必修第一册 2.2.4 第2课时 均值不等式的应用 课件(29张)

新教材人教B版必修第一册 2.2.4 第2课时 均值不等式的应用 课件(29张)

解析:∵a,b,c>0,∴利用均值不等式可得ab2+b≥2a,bc2+c≥2b, ca2+a≥2c,∴ab2+bc2+ca2+a+b+c≥2a+2b+2c,故ab2+bc2+ca2≥a+b+ c,当且仅当 a=b=c 时,等号成立.
返回导航
第二章 等式与不等式
数学[必修 · 第一册 RJB]
归纳提升:利用均值不等式证明不等式的注意点: (1)多次使用均值不等式时,要注意等号能否成立. (2)累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使 用. (3)对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合,达到使用均值不 等式的条件.
1.无附加条件的不等式的证明 典例 1 已知 a,b,c>0,求证:ab2+bc2+ca2≥a+b+c.
思路探究:由条件中 a,b,c>0 及待证不等式的结构特征知,先用 均值不等式证ab2+b≥2a,bc2+c≥2b,ca2+a≥2c,再进行证明即可.
返回导航
第二章 等式与不等式
数学[必修 · 第一册 RJB]
返回导航
第二章 等式与不等式
数学[必修 · 第一册 RJB]
归纳提升:求实际问题中最值的一般思路 1.读懂题意,设出变量,列出函数关系式. 2.把实际问题转化为求函数的最大值或最小值问题. 3.在定义域内,求函数的最大值或最小值时,一般先考虑用均值不 等式,当用均值不等式求最值的条件不具备时,再考虑利用第三章要学 习的函数的单调性求解. 4.正确地写出答案.
返回导航
第二章 等式与不等式
数学[必修 · 第一册 RJB]
2.有附加条件的不等式的证明 典例 2 已知 a>0,b>0,a+b=1,求证:(1+1a)(1+b1)≥9.
思路探究:本题的关键是把分子的“1”换成 a+b,由均值不等式即可 证明.

人教B版高中数学必修第一册第2章2-2-4第1课时均值不等式课件

人教B版高中数学必修第一册第2章2-2-4第1课时均值不等式课件

3.“x>0,y>0”是“yx+xy≥2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
A [若x>0,y>0,则xy>0,yx>0,此时yx+xy≥2 分性成立.
yx·xy=2,充

y x

x y
≥2,易知x=y=-1时满足不等式,但不满足x>0,y>
点)
01
必备知识·情境导学探新知
知识点1 知识点2 知识点3
如图,是第 24 届国际数学家大会的会标.它依 据我国著名数学家赵爽为研究勾股定理所作的“弦 图”进行设计,颜色的明?
知识点一 重要不等式 对任意实数 a,b,有 a2+b2≥2ab,当且仅当 a=b 时,等号 成立.
9 8
[因为a>0,b>0,所以2a+
1 b
=3≥2
1b,即a=34,b=23时,等号成立,所以ab≤98.]
2a b
,当且仅当2a=
回顾本节知识,自主完成以下问题: 1.试比较不等式 a2+b2≥2ab 与a+2 b≥ ab的区别与联系. [提示] (1)两个不等式 a2+b2≥2ab 与a+2 b≥ ab成立的条件是 不同的.前者要求 a,b 是实数即可,而后者要求 a,b 都是正实数(实 际上后者只要 a>0,b>0 即可).
1.若 x2+y2=4,则 xy 的最大值是( )
A.12
B.1
C.2
D.4
C [xy≤x2+2 y2=2,当且仅当 x=y 时取“=”.]
知识点二 算术平均值与几何平均值
a+b
给定两个正数 a,b,数 2 称为 a,b 的算术平均值;数 ab 称 为 a,b 的几何平均值.
知识点三 均值不等式 1.均值不等式:如果 a,b 都是正数,那么a+2 b≥ ab,当且仅 当 a=b 时,等号成立. 2.几何意义:所有周长一定的矩形中,正方形 的面积最大.

人教B版高中数学必修第一册 2-2-4《均值不等式及其应用》课件PPT

人教B版高中数学必修第一册 2-2-4《均值不等式及其应用》课件PPT

2 +2
值.
另外,在连续使用公式求最值时,取等号的条件很严格,要求同时满足
任何一次等号成立的字母取值存在且一致.
微思考
应用两个重要结论时,要注意哪些事项?
提示:应用时要注意三点:(1)各项或各因式均为正;(2)和或积为定值;(3)各项或各因式能取
得相等的值.即“一正二定三相等”.
即时训练
.
已知x,y>0,且x+4y=1,则xy的最大值为
1
1
1
1
解析:因为 x,y>0,且 x+4y=1,所以 xy=4x·
4y≤4 × 4(x+4y)2=16,当且仅
1
1
1
1
2
2
8
16
当 x=4y= ,即 x= ,y= 时,等号成立.所以 xy 的最大值为 .
1
答案:16
1.对均值不等式的理解
例1 (1)若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是(
答案:B
2.已知a,b∈R,且a2+b2=4,则ab(
)
A.有最大值2,有最小值-2 B.有最大值2,但无最小值
C.有最小值2,但无最大值 D.有最大值2,有最小值0
解析:这里没有限制a,b的正负,则由a2+b2=4,a2+b2≥2|ab|,得|ab|≤2,所以-2≤ab≤2,可知ab
的最大值为2,最小值为-2.

,
反思感悟 通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,利用拼凑法求解最值应注意
以下几个方面的问题:
(1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形.

2.2.4均值不等式及其应用课件高一上学期数学人教B版

2.2.4均值不等式及其应用课件高一上学期数学人教B版
>
c>d
同向
5
同向可加性
6
同向同正可乘性
a>b>0 ⇒ac bd

>
c>d>0
同向
7
可乘方性
a>b>0⇒an > bn(n∈N,n≥2)
同正
8
可开方性
a>b>0⇒ > (n∈N,n≥2)
同正
9
可倒性
a>b⇒
同号
左图是在北京召开的第24届国际数学家大会的
会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图
关定理,经过逐步的逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已
知”看“可知”,逐步推向“未知”.
(2)注意事项:
①多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立;②累加法是不等式证
明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用;③对不能直接使用基本
不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型,再使用.
(1 + x)(3-x) ≤
1+x+3-x
2
,
和定积
最大
3. 补“1”法

1 9
已知 x>0,y>0,且x +y =1,求 x+y 的最小值.
1 9
∵x>0,y>0,x +y =1,
1 9
y 9x


∴x+y= x +y (x+y)=x+ y +10


y 9x
≥6+10=16, 当且仅当 = ,
已知 x>0 时,求 y= x +4x 的最小值,
并说明 x 为何值时 y 取最小值。

∵x>0,∴

人教B版高中数学必修第一册2.2.4《均值不等式及其应用》课件

人教B版高中数学必修第一册2.2.4《均值不等式及其应用》课件
换法 解最值.应用此种方法求解最值时,应把“1”的表
达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商
二、提升新知·注重综合
题型二
利用均值不等式求最值
变式训练
1.[直接利用均值不等式求最值]已知x>0,y>0,且x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值

A.16
( B )
B.25
C.9
解析:因为x>0,y>0,且x+y=8,



++
++
++
(2) + + =
+
+

=+





+

+



+



+


+



⩾ + + + = ,
当且仅当a=b=c=时,等号成立.
二、提升新知·注重综合
题型一
用均值不等式证明不等式
方法总结
利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项
从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等
1.判断正误
(1)对于任意a,b∈R,a2+b2≥2ab,a+b≥2 均成立. ( × )




(2)若a,b同号,则 + ≥2.
(3)若a>0,b>0,则ab≤
+
恒成立.

(4)若a>0,b>0,且a≠b,则a+b>2 .
( √ )
( × )

均值不等式及其应用ppt课件

均值不等式及其应用ppt课件

2
2
2
ab
即 2
0,
ab .
而且,等号成立时,当且仅当 ( a b ) 2 0 ,即a=b.
值得注意的是,均值不等式中的a,b可以是任意正
实数,因此我们可以代入任意满足条件的数或式子,比
67

2
42 一定是正确的.
均值不等式也称为基本不等式(基本不等式中的a,b还
可以为零),其实质是:两个正实数的算术平均值不小于它
4
y 4x
y 4x
y

4 ,当且仅当 y 4 x ,即 x 2 , y 8 时等号成立,所以 x 4 .
4 min

又x
y
m2 3m 有解,所以 m2 3m 4 ,解得 m 1 或 m 4 .故选 D.
4
6.某批救灾物资随 41 辆汽车从某市以 v km / h 的速度匀速直达灾区,已知两地公
用来展示校友的书画作品.它的左、右两侧及顶部和底部都留有宽为 2 米的自由
C)
活动区域,如图所示,则整个书画展区域(大矩形)的最小面积是(
A.360 平方米
B.384 平方米
C.361 平方米
D.400 平方米
解析:设小矩形的一边长为 x 米,其邻边长为 y 米,整个书画展区域(大矩形)
的面积为 S 平方米.由 x 0 , y 0 及 xy 225 ,得 S ( x 4)( y 4) xy 4 y 4 x
1
4
B.4
C.
1
2
D).
D.2
解析: a 0 ,b 0 , 4 2a b 2 2ab (当且仅当 2a b ,即 a 1 ,b 2 时

均值不等式及其应用-高一数学教学课件(人教B版2019必修第一册)

均值不等式及其应用-高一数学教学课件(人教B版2019必修第一册)
2.2.4 均值不等式 及其应用
引入新课
要做一段周长为200米的的栅栏,如何使其面积最大?
新知讲解
思考:一般地,对于任意实数 x、y,我们有
x2 y2 2xy ,当且仅当 x=y 时等号成立.
你能给出它的证明吗?
证明: x2 y2 - 2xy = x;0 ,当 x y 时,等号成立.
sin x
有同学这样解0 x ,sin x 0, 4 0,
sin x
y sin x 4 2 sin x 4 4
sin x
sin x
所以, y sin x 4 最小值为4. sin x
反思:研究函数
最值的处理思路是:
(1)可以用基本不等式求解;(2)不能用基本不等式时就用单 调性求解。
因为 OD CD , 所以 a b ab 2
当且仅当 C 与 O 重合,即 a b 时,等号成立.
D
ab
2
ab
O
C
B
例 1 设 a, b 均为正数,证明不等式
ab
1
2
1
.
ab
证明 因 a, b 均为正数,由基本不等式,可知
11 a b
1
2
ab
也即
ab
1
2
1
,当且仅当 a
b 时,等号成立.
(1)求x,y的函数关系式,并求x的取值范围; (2)问框架的横边长x为多少时用料最省?
x y
反思:根据图形,建立总长L(米)与横边长x(米)之间的函数 关系式,再用数学方法(本例用基本不等式)求最小值,解题 过程中要关注x的取值范围对问题解答的影响。
实际问题 数学问题 实际问题
小结
1.基本不等式的定义和应用; 2. 均值不等式链

2.2.4+均值不等式及其应用+第1课时+课件-高一上学期数学人教B版(2019)必修第一册

2.2.4+均值不等式及其应用+第1课时+课件-高一上学期数学人教B版(2019)必修第一册
②错误.对于③,根据均值不等式的知识可知③正确.故选B.
课中探究
[素养小结]
(1)在理解均值不等式时,要从形式到内涵中理解,特别要关注条件.
(2)运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件,即a + b ≥ 2 ab成立的条
件是a > 0,b > 0,等号成立的条件是a = b;a2 + b2 ≥ 2ab成立的条件是a,
b ∈ ,等号成立的条件是a = b.
课中探究
探究点二 应用均值不等式比较大小
例2
a+1
2
A.
2a
C.
a+1
a+1

2
已知a > 1,则
< a<
2a
a+1
< a<
a+1
2
2a
这三个数的大小关系是(
a+1
a,
故选C.
2a
a+1
≤ a≤
)
B. a <
a+1
2
<
D. a <
2a
a+1
a+1

2
a+b
ab ≤
法正确.
课前预习
(3)当x > 1时,函数y = x +
1
x−1
≥2
x
,所以y的最小值是2
x−1
x
.(
x−1
×)
[解析] 因为当x > 1时,x − 1 > 0,所以
y=x+
x−1=
1
1
1
= x−1 +
+1≥2 x−1 ⋅

均值不等式应用及例题解析(PPT教案)

均值不等式应用及例题解析(PPT教案)

a/4 (x=a/8)
练习3
练习4 :已知2a b 2 求f ( x) 4a 2b的最值及此时的 a和b.
最小值 4 ,当2a=b时 有最小值(a=1/2 b=1)
三不等,改用“单调性”
例11.求函数 y
x2 5 x 4
2
的最小值. 5/2(x=0)
变形:
1 利用对勾函数 y t t
(t>0)的单调性.
练习:( 1 )求函数y (2)求函数y
2
x 5
2
x 1
2
的最小值;
sin x 5
2

sin x 1 1 1 (3)求函数y x 在 , 3上的值域。 x 2
的最小值;
例 12: 用三元均值不等式求最值
构造三 解: 1 x 0, 个数相 1 2 y x (1 x) x x (2 2 x) 加等于 2 定值.
注意:各项必须为正数
一 不 正 , 常 用 a b 2 a b ( a 0, b 0 )
二边乘-1不等式要变号
2x x 3 例8、( 1 )已知函数f(x) (x 0) x 求f ( x)的最大值,以及此时 x的值。
2
解:函数看不出二项相乘为定值,需要变形使它二项相乘为定值 (凑积定)
(拆项时常拆成两个相同项)。
五、错题辨析
阅读下题的各种解法是否正确,若有错, 指出有错误的地方。 1 1 1. 已 知 a, b R , 且 a 2 b 1, 求 的 最 小 值 . a b
1 1 1 1 解法二:由a 2b 1及a、b R , ( a 2b)( ) a b a b 1 1 1 2 2ab 2 , 的最小值为 4 2 . 因为二不定 ab a b

均值不等式课件

均值不等式课件
ຫໍສະໝຸດ 解答0102
03
解答1
解答2
解答3
首先,我们将原不等式$frac{a+b}{2} geq sqrt{ab}$进行平方,得到 $(a+b)^2 geq 4ab$。然后,我们展 开并整理得到$(a-b)^2 geq 0$,由 于平方数总是非负的,所以原不等式 成立。
首先,我们将原不等式$frac{a+b}{2} geq frac{sqrt{a^2+b^2}}{2}$进行 平方,得到$(a+b)^2 geq a^2+b^2$。然后,我们整理得到 $ab geq 0$,由于$a > 0$且$b > 0$,所以$ab geq 0$成立,原不等 式也成立。
CHAPTER
03
均值不等式的证明方法
代数证明方法
代数证明方法是通过代数运算来 证明均值不等式的一种方法。
常用的代数证明方法包括比较法 、反证法、归纳法等。
这些方法通常需要使用基本的代 数公式和不等式性质,通过一系 列的推导和变换来证明均值不等
式。
几何证明方法
几何证明方法是利用几何图形和 面积来证明均值不等式的一种方
均值不等式ppt课件
CONTENTS
目录
• 均值不等式的定义 • 均值不等式的性质 • 均值不等式的证明方法 • 均值不等式的应用 • 均值不等式的变体 • 习题与解答
CHAPTER
01
均值不等式的定义
均值不等式的文字描述
• 均值不等式的文字描述为:“对于任意正数$a_1, a_2, ..., a_n$ ,有$\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n}$,当且仅当$a_1 = a_2 = ... = a_n$ 时取等号。”

高中数学第3章3.2第一课时均值不等式课件新人教B必修5.ppt

高中数学第3章3.2第一课时均值不等式课件新人教B必修5.ppt

上面 3 个不等式相加得 2·bac+2·abc+2·acb≥2a+2b+2c
(当且仅当 a=b=c 时,取等号).
∴bc+ac+ab≥ ab c
a+
b+
c.
【点评】 对于证明多项和的不等式时,可以考 虑先分段应用均值不等式或其变形,然后整体相 加(乘)得结论.另外对于与“三项和”有关的不 等式证明问题常常将“三项和”拆成“六项和” 处理.同时应用均值不等式时要注意看是否符合 条件.
【证明】 ∵a、b、c 是正实数,
∴bac+abc≥2
bc ac a ·b
=2c(当且仅当bac=abc,
即 a=b 时,取等号);
abc+acb≥2 abc·acb=2a(当且仅当abc=acb,即
b=c 时,取等号);
acb+bac≥2
ab bc c ·a
=2b(当且仅当bac=acb,即
a=c 时,取等号).
c2≥1, 3
3(ab+ bc+ ca)≤ a2+ b2+ c2+ 2ab+ 2bc+ 2ac = (a+ b+ c)2= 1, ∴ ab+ bc+ ca≤13. 综上知, a2+ b2+ c2≥1≥ ab+ bc+ ca.
3
【点评】 要想运用均值不等式,必需把题 目中的条件或要解决的问题“化归”到不等 式的形式并让其符合不等式条件.化归的方 法是把题目给的条件配凑变形,或利用一些 基本公式和一些常见的代换,讲究一个巧字, 根据问题的具体情况把待求的数或式拆配的 恰到好处,才能顺利地进行运算.
+ a). 以上三式相加即得 :
c2+ a2≥
2 (c
2
a2+b2+ b2+c2+ c2+a2≥ 2(a+b+c).
当 a=b=c 时取等号.

多元均值不等式及其应用课件

多元均值不等式及其应用课件

VS
Байду номын сангаас
详细描述
矩阵均值不等式主要涉及矩阵的元素、行 列式、特征值和迹等概念。通过矩阵运算 和矩阵的加法、数乘、乘法等性质,可以 推导出矩阵均值不等式的多种形式。这些 形式包括矩阵元素与行列式之间的关系、 特征值与迹之间的关系等。
高阶均值不等式
总结词
高阶均值不等式是多元均值不等式的进一步 推广,它利用高阶张量的性质和运算规则, 推导出高阶张量之间的不等关系。
资源分配问题
总结词
资源分配问题是将有限的资源在不同项目或任务之间进行合理分配,以实现整体效益最大化。多元均值不等式可用于 解决这类问题。
详细描述
资源分配问题通常涉及多种资源的分配,如资金、人力、物资等。通过使用多元均值不等式,可以确定不同项目或任 务之间的资源分配比例,以实现整体效益的最大化。这种方法有助于企业在有限资源条件下实现最优资源配置。
工程学
结构设计
在工程学中,多元均值不等式可以用 于优化结构设计,如桥梁、建筑、航 空航天器等结构的强度、刚度和稳定 性分析。
系统可靠性
通过多元均值不等式,可以评估复杂 系统的可靠性,预测系统在不同条件 下的性能表现,为系统设计和优化提 供依据。
经济 学
资源配置
在经济学中,多元均值不等式可以用于研究资源的优化配置问题,如在有限资源下最大化经济效益或 最小化成本。
详细描述
向量均值不等式主要涉及向量的模长、夹角和内积等概念。通过向量运算和向量的数量积、向量积、混合积等性 质,可以推导出向量均值不等式的多种形式。这些形式包括向量模长的平方与向量内积之间的关系、向量模长的 平方与向量夹角余弦值之间的关系等。
矩阵均值不等式
总结词
矩阵均值不等式是多元均值不等式在矩 阵运算中的推广,它利用矩阵的性质和 运算规则,推导出矩阵之间的不等关系。

均值不等式课件

均值不等式课件

要点二
基于柯西-施瓦茨不等式的证明
考虑两个向量x和y,它们的柯西-施瓦茨不等式为 $\sum_{i=1}^n x_i^2 \cdot \sum_{i=1}^n y_i^2 \geq (\sum_{i=1}^n x_iy_i)^2$。当且仅当存在一个实数k,使 得x=ky时等号成立。将这个不等式两边同时除以4,得到 $\frac{(x+y)^2}{4} \geq (xy)^2$,即$\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$。当且仅当x=y时等号成立。
基于均值不等式的经济模型研究
总结词
经济分析工具
VS
详细描述
在经济模型的研究中,均值不等式常常被 用作一种重要的分析工具。例如,在研究 经济增长、通货膨胀、就业等问题时,可 以通过运用均值不等式来分析这些问题的 内在机制和规律。
基于均值不等式的决策理论研
总结词
决策理论应用
详细描述
在决策理论中,均值不等式被广泛应用于风 险型决策、不确定型决策以及多目标决策等 问题中。通过运用均值不等式,可以获得各 种决策问题的最优解,从而实现决策的科学 化和最优化。
THANKS
感谢观看
应用
柯西不等式在数学多个领域有着广 泛的应用,如几何、分析学等。
贝努利不等式
1 2
内容
贝努利不等式是概率论和统计学中的重要不等式 ,它表述了对于任意实数a,b,有$e^(a+b) \geq e^a+b^b$
公式
$e^(a+b) \geq e^a+b^b$
3
应用
贝努利不等式在概率论、统计学、经济学等领域 有着广泛的应用。
在投资组合理论中,CAPM模型利用均值不等式来衡量投资者对某项资产的预期 收益以及风险厌恶程度。根据均值不等式,资产的预期收益越高,其风险也越高 ,投资者需要根据自身风险承受能力来选择合适的投资策略。
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
答案:B
利用基本不等式时先要确定成立的条件,有的要适 当变形处理。
题型二 利用基本不等式求最值【教材 P73 例 1】 例 2 已知 x>0,求 y=x+1x的最小值,并说明 x 为 何值时 y 取得最小值。
【解析】因为 x>0,所以根据均值不等式有 x+1x≥2 x·1x=2, 其中等号成立当且仅当 x=1x,即 x2=1,解得 x=1 或 x=-1(舍)。 因此 x=1 时,y 取得最小值 2。
均值不等式及其应用
最新课程标准: 掌握基本不等式 ab≤a+2 b(a,b≥0)。结合具体实 例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题。
知识点一 数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公 式
1.数轴上两点之间的距离公式 一般地,如果 A(a),B(b),则线段 AB 的长为_A_B_=_|_a_-_b_|。 2.中点坐标公式 如果线段 AB 的中点 M 的坐标为 x.若 a<b,如图所示,
答案:D
4.已知 x,y 都是正数。 (1)如果 xy=15,则 x+y 的最小值是________。 (2)如果 x+y=15,则 xy 的最大值是________。
解析:(1)x+y≥2 xy=2 15,即 x+y 的最小值是 2 15;当且仅当 x=y= 15时取最小值。
(2)xy≤x+2 y2=1252=2425, 即 xy 的最大值是2245。 当且仅当 x=y=125时 xy 取最大值。 答案:(1)2 15 (2)2245
即若 a>0,b>0,且 ab =P,P 为定值,则 a +b≥2 P,
当且仅当 a =b 时等号成立。
【基础自测】
1.已知 a,b∈R,且 ab>0,则下列结论恒成立 的是( )
A.a2+b2>2ab B.a+b≥2 ab
C.1a+1b>
2 ab
D.ba+ab≥2
解析:对于 A,当 a=b 时,a2+b2=2ab,所以 A 错误;对于 B,C,虽然 ab>0,只能说明 a,b 同号, 当 a,b 都小于 0 时,B,C 错误;对于 D,因为 ab>0,
状元随笔 基本不等式 ab≤a+2 b(a,b∈R+)的
应用:
(1)两个正数的和为定值时,它们的积有最大值,
即若 a>0,b>0,且 a
+b=M,M
为定值,则
M ab≤ 4
2

当且仅当 a=b 时等号成立。即:a +b=M,M 为定值
时,(ab)max=M4
2

(2)两个正数的积为定值时,它们的和有最小值,
1.举反例、基本不等式⇒逐个判断。 2.明确基本不等式成立的条件⇒逐个判断。 【答案】(1)B
(2)给出下列命题: ①若 x∈R,则 x+1x≥2; ②若 a<0,b<0,则 ab+a1b≥2; ③不等式yx+xy≥2 成立的条件是 x>0 且 y>0。其中正 确命题的序号是________。
【解析】(2)只有当 x>0 时,才能由基本不等式得
教材反思 1.利用基本不等式求最值的策略
2.通过消元法利用基本不等式求最值的方法 消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系, 然后代入代数式转化为函数的最值求解。有时会出现多 元的问题,解决方法是消元后利用基本不等式求解。 特别提醒:利用基本不等式求函数最值,千万不要 忽视等号成立的条件。
所以ba>0,ab>0,所以ba+ab≥2 ba·ab,即ba+ab≥2 成立。 答案:D
2.若 a>1,则 a+a-1 1的最小值是(

A.2
B.a
C.a2-a1
D.3
解析:a>1,所以 a-1>0,
所以
a

1 a-1

a

1

1 a-1

1≥2
a-1 ·a-1 1+1=3。
当且仅当 a-1=a-1 1即 a=2 时取等号。
第1课时 基本不等式
题型一 对基本不等式的理解【经典例题】
例 1 (1)下列不等式中,不正确的是( ) A.a2+b2≥2|a||b| B.ab2≥2a-b(b≠0) C.ab2≥2ba-1(b≠0) D.2(a2+b2)≥(a+b)2
Байду номын сангаас
【解析】(1)A 中,a2+b2=|a|2+|b|2≥2|a||b|,所以 A 正确。由 a2+b2≥2ab,得 a2≥2ab-b2。B 中,当 b<0 时,ab2≤2a-b,所以 B 不正确。C 中,b≠0,则ab2≥2ba- 1,所以 C 正确。D 中,由 a2+b2≥2ab,得 2(a2+b2) ≥a2+b2+2ab=(a+b)2,所以 D 正确。
到 x+1x≥2 x·1x=2,故①错误;当 a<0,b<0 时,ab>0, 由基本不等式可得 ab+a1b≥2 ab·a1b=2,故②正确; 由基本不等式可知,当yx>0,xy>0 时,有yx+xy≥2 yx·xy= 2 成立,这时只需 x 与 y 同号即可,故③错误。
基本不等式的两个关注点 (1)正数:指式子中的 a,b 均为正数, (2)相等:即“=”成立的条件。 【答案】(2)②
跟踪训练 1 设 0<a<b,则下列不等式中正确的是( )
A.a<b<
a+b ab< 2
B.a<
a+b ab< 2 <b
C.a<
a+b ab<b< 2
D.
a+b ab<a< 2 <b
解析:0<a<b⇒a2<ab<b2⇒a< ab<b,0<a<b⇒2a<a+ b<2b⇒a<a+2 b<b,又 ab<a+2 b,所以 a< ab<a+2 b<b。
答案:D
3.下列不等式中,正确的是( )
A.a+4a≥4 B.a2+b2≥4ab
C.
a+b ab≥ 2
D.x2+x32≥2 3
解析:a<0,则 a+4a≥4 不成立,故 A 错;a=1,b =1,a2+b2<4ab,故 B 错,a=4,b=16,则 ab<a+2 b, 故 C 错误;由基本不等式可知 D 项正确。
则 M 为__x=__a_+2__b_。
知识点二 基本不等式
(1)重要不等式:对于任意实数 a、b,都有 a2+ b2_a_=_b_2ab,当且仅当____≥____时,等号成立。
(2)基本不等式: ab_≤___a+2 b(a>0,b>0),当 且仅当___a_=_b___时,等号成立。其中a+2 b和 ab分别叫 做正数 a,b 的__算__术_平__均__数___和__几__何__平_均 __数___。
相关文档
最新文档