证明比例线段练习题

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浙教新版九年级上册《4.1 比例线段》2024年同步练习卷(6)+答案解析

浙教新版九年级上册《4.1比例线段》2024年同步练习卷（6）一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如果线段a：：2，且线段b是线段a、c的比例中项，那么c：b等于()A.4：3B.3：2C.2：3D.3：42.已知P是线段AB的黄金分割点，且，那么的值为()A. B. C. D.3.生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近，可以增加视觉美感，若图中，则a约为()A.B.C.D.4.已知如图，线段，，，，请问在D，E，F，三点中，哪一点最接近线段AB的黄金分割点()A.D点B.E点C.F点D.D点或F点5.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，称为黄金比例，如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此，此外，最美人体的头顶至咽喉与咽喉至肚脐的长度之比也是，若某人的身材满足上述两个黄金比例，且头顶至咽喉的长度为26cm，则其身高可能是()A.165cmB.178cmC.185cmD.190cm二、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。

6.据有关实验测定，当气温处于人体正常体温的黄金比值即黄金分割值时，身体感到特别舒适，这个温度大致是______用整数填写7.如图，在五角星中，，且C、D两点都是AB的黄金分割点，，则BC的长是______.8.如图，点C在线段AB上，且，则的数值为______；如果AB的长度与舞台的宽度一样长，那么节目主持人应站在点______的位置最好.三、解答题：本题共4小题，共32分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

9.本小题8分已知线段，延长AB到C，使，M为AC的中点，判断线段AB是不是线段BM和BC的比例中项，并说明理由.10.本小题8分如图，已知线段AB，按照如下方法作图：经过点B作，使；连接AD，在DA上截取；在AB上截取，则点C为线段AB的黄金分割点.11.本小题8分已知线段AB，按照如下的方法作图：以AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA到F，使，以线段AF为边，作正方形AFGH，那么点H是线段AB的黄金分割点吗？请说明理由.12.本小题8分下面我们做一次折叠活动：第一步，在一张宽为2的矩形纸片的一端，利用图的方法折出一个正方形，然后把纸片展平，折痕为MC；第二步，如图，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平，折痕为FA；第三步，折出内侧矩形FACB的对角线AB，并将AB折到图中所示的AD处，折痕为根据以上的操作过程，完成下列问题：求CD的长；求证：四边形ABQD是菱形．答案和解析1.【答案】C【解析】解：线段b是a、c的比例中项，，：：c，：：2，：：2，：：故选：根据线段比例中项的概念，a：：c，再根据a：：2可得b：：2，即可求出答案．此题考查了比例线段，关键是根据比例中项的概念列出算式．注意线段不能是负数．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．利用黄金分割的定义，进行计算即可解答．【解答】解：是线段AB的黄金分割点，且，，，，故选：3.【答案】D【解析】解：雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近，，为3米，约为米．故选：根据雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近，因为图中b为2米，即可求出a的值．本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．4.【答案】C【解析】解：线段，，，，，，，：：，AF：：，点F最接近线段AB的黄金分割点．故选：先计算出，，，则E点为AB的中点，则计算BD：AB和AF：AB，然后把计算的结果与比较，则可判断哪一点最接近线段AB的黄金分割点．本题考查了黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AC和，且使AC是AB和BC的比例中项即AB：：，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中，并且线段AB的黄金分割点有两个．5.【答案】B【解析】【分析】依据黄金分割和题意可得某人的咽喉至肚脐的长度，再根据黄金分割和题意，可得某人的肚脐至足底的长度，最后身高=头顶至咽喉的长度+咽喉至肚脐的长度+肚脐至足底的长度.本题主要考查了黄金分割，利用黄金比例进行计算是解决问题的关键．【解答】解：设某人的咽喉至肚脐的长度为xcm，则，解得，设某人的肚脐至足底的长度为ycm，则，解得，其身高可能是，故选：6.【答案】22【解析】解：根据黄金比的值得：故本题答案为：根据黄金比的值知，身体感到特别舒适的温度应为36度的倍．本题要熟记黄金比的值为7.【答案】【解析】解：、D两点都是AB的黄金分割点，，，，故答案为：利用黄金分割的定义得到，即可求解．本题考查了黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC和，且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中，并且线段AB的黄金分割点有两个．8.【答案】C【解析】解：设，则，：：x，解得：，的数值为，点C是线段AB的黄金分割点，故主持人应站在点C位置最好．故答案为：；假设主持人应站在点C位置最好，即C点为黄金分割点，根据黄金分割的意义，根据AB，AC，BC的关系列出方程求得用AB表示AC即可．本题考查了相似三角形的应用，比例线段，黄金分割，正确的理解黄金分割是解题的关键．9.【答案】解：线段AB是线段BM和BC的比例中项，理由：，，，，为AC的中点，，，，，，，线段AB是线段BM和BC的比例中项．【解析】根据已知条件求得，，由M为AC的中点，得到，进一步得到，由于，，于是得到，即可得到结论．本题考查了线段上两点间距离，比例线段，解题的关键是理解比例中项的含义．10.【答案】解：如图所示：点C即为线段AB的黄金分割点．【解析】根据题意先作出AB的垂直平分线与AB的交点F，经过点B作，使，再连接AD，以D为圆心，DB长为半径，交DA于E，再以A为圆心，AE长为半径，交AB于C，则点C 为线段AB的黄金分割点．本题考查了作图-基本作图，黄金分割点的作法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本作图，逐步操作．11.【答案】解：设正方形ABCD的边长为2a，在中，依题意，得，，由勾股定理知，，；，，，所以点H是线段AB的黄金分割点．【解析】根据黄金分割点的定义，只需证明即可．本题考查黄金分割的概念，勾股定理，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．12.【答案】解：，四边形MNCB是矩形，，矩形MNCB是正方形，，由折叠得：，中，由勾股定理得：，，；由折叠得：，，，，，，，，四边形ABQD是平行四边形，，平行四边形ABQD是菱形．【解析】先证明四边形MNCB为正方形，再利用折叠得：，，所以，可得结论；根据平行线的性质和折叠得：，由等角对等边得：，由一组对边平行且相等可得：四边形ABQD是平行四边形，再由，可得四边形ABQD是菱形．本题是四边形的综合题，难度适中，考查了菱形、正方形、平行四边形、矩形的判定和性质以及折叠的性质，并利用数形结合的思想解决问题．。

九年级上专题复习一：线段比例关系的证明和应用(含答案)

专题复习一线段比例关系的证明和应用证明线段成比例，一般先根据比例式确定相似三角形，然后用相似三角形的性质得出线段成比例.若根据比例式不能确定相似三角形，则利用等量代换进行条件转化．1.如图所示，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 边上的点，DE∥BC，BE 与CD 相交于点F ，则下列结论中，一定正确的是(A ).（第1题）（第2题）（第3题）（第4题）2.如图所示，在△ABC 中，D ，E 分别为AC ，BC 边上的点，AB∥DE，CF 为中线，若AD=5，CD=3，DE=4，则BF 的长为(B ).3.如图所示，弦AB 和CD 相交于⊙O 内一点P ，则下列结论中不一定成立的是(B ). A.PD PA =PB PC B.PA·PD=PB·PC C. PD PB =PAPCD.PA·PB=PC·PD 4.如图所示，在△ABC 中，BF 平分∠ABC，AF⊥BF 于点F ，D 为AB 的中点，连结DF 并延长交AC 于点E.若AB=10，BC=16，则线段EF 的长为(B ). A.2 B.3 C.4 D.55.如图所示，在梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=DC ，P 是AD 边上一点，连结PB ，PC ，且AB 2=AP·PD，则图中有 3 对相似三角形．（第5题）（第6题）（第7题）6.如图所示，在△ABC 中，AD 是角平分线，∠ADE=∠B，若AE=4，AB=5，则AD= 25 .7.如图所示，在Rt△ABC 中，∠C=90°，D 是AB 上一点，作D E⊥BC 于点E ，连结AE ，若BE=AC ，BD=25，DE+BC=10，则线段AE 的长为 42 ．8.如图所示，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，∠AED=∠B，射线AG 分别交线段DE ，BC 于点F ，G ，且AC AD =CGDF.（第8题）（1）求证：△ADF ∽△ACG. （2）若AC AD =21，求FGAF的值. 【答案】(1)∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，∴∠ADF=∠C.又∵AC AD =CGDF，∴△ADF ∽△ACG. (2)∵△ADF ∽△ACG ，∴9.如图所示，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC 是⊙O 的直径，D 是的中点，BD 交AC 于点E ，连结AD ，CD ．（第9题）（1）求证：AD 2=DE·DB．（2）若BC=25，CD=25，求DE 的长．【答案】(1)∵D 是AC 的中点，∴.∴∠ABD=∠DAC.又∠ADB=∠EDA，∴△ABD ∽△EAD.∴DE AD =ADDB .∴AD 2=DE·DB.(2)∵D 是的中点，∴AD=DC.∴DC 2=DE·DB.∵CB 是直径，∴△BCD 是直角三角形.∴BD=.∵DC 2=DE·DB，∴(25)2=5DE ，解得DE=45.10.如图所示，在Rt△ABC 内有边长分别为a ，b ，c 的三个正方形，则a ，b ，c 满足的关系式为(A ).A.b=a+cB.b=acC.b 2=a 2+c 2D.b=2a=2c（第10题）（第11题）（第12题）（第13题）11.如图所示，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，直径AC=6，对角线AC ，BD 交于点E ，且AB=BD ，EC=1，则AD 的长为(A ).12.如图所示，△AOB 是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA ，点A 在反比例函数y=2x 的图象上.若点B 在反比例函数y=xk的图象上，则k 的值为(D ). A.4 B.-4 C.8 D.-813.在四边形ADBC 中，∠ADB=∠ACB，CD 平分∠ACB 交AB 于点E ，且BE=CE.若BC=6，AC=4，则BD= 26 ．14.如图所示，已知CE 是Rt△ABC 斜边AB 上的高线，在EC 的延长线上任取一点P ，连结AP ，BG⊥AP 于点G ，交CE 于点D.求证：CE 2=PE·DE．（第14题）【答案】∵∠ACB=90°，CE⊥AB ，∴∠ACE+∠BCE=90°，∠ACE+∠CAE=90°.∴∠CAE=∠BCE.∴Rt△ACE ∽Rt△CBE.∴BE CE =CEAE .∴CE 2=AE·BE. ∵BG⊥AP，CE⊥AB，∴∠DEB=∠DGP=∠PEA=90°.∵∠GDP=∠EDB，∴∠P=∠DBE. ∴△AEP ∽△DEB.∴BE PE =DEAE .∴PE·DE=AE·BE.∴CE 2=PE·DE. 15.如图所示，在四边形ABCD 中，AD∥BC，AB=CD ，点E 在对角线AC 上，且满足∠ADE=∠BAC. （1）求证：CD·AE=DE·BC.（2）以点A 为圆心、AB 长为半径画弧交边BC 于点F ，连结AF.求证：AF 2=CE·CA.（第15题）【答案】(1)∵AD∥BC，∴∠DAE=∠ACB.又∵∠ADE=∠BAC，∴△ADE ∽△CAB.∴ABDE=BCAE.∴AB·AE=DE·BC.∵AB=CD，∴CD·AE=DE·BC. (2)∵AD∥BC ，AB=CD ，∴∠ADC=∠DAB.∵∠ADE=∠BAC ，又∵∠ADC=∠ADE+∠CDE ，∠DAB=∠BAC+∠CAD，∴∠CDE=∠CAD.又∠DCE=∠ACD,∴△CDE ∽△CAD.∴CA CD =CDCE.∴CD 2=CE·CA.由题意得AB=AF ，AB=CD ，∴AF=CD.∴AF 2=CE·CA.16.如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点E ，交BC 于点D ，连结BE ，AD 交于点P.求证：（第16题）（1）D 是BC 的中点．（2）△BEC ∽△ADC ．（3）AB·CE=2DP·AD．【答案】(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC.∵AB=AC，∴D 是BC 的中点. (2)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB=∠ADB=90°.∴∠CEB=∠CDA=90°.∵∠C=∠C，∴△BEC ∽△ADC.(3)∵AB=AC，BD=CD ，∴∠BAD=∠CAD.∵∠CAD=∠CBE,∴∠BAD=∠CBE.∵∠ADB=∠BEC=90°，∴△ABD ∽△BCE.∴.∵BC=2BD,∴AD AB =BEBD2.∵∠BDP=∠BEC=90°，∠PBD=∠CBE，∴△BPD ∽△BCE.∴.∴AB·CE=2DP·AD.17.如图1所示，在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AD⊥BC 于点D ，O 是AC 边上一点，连结BO 交AD 于点F ，OE⊥OB 交BC 于点E ．（1）求证：△ABF ∽△COE ．（2）如图2所示，当O 为AC 的中点，AB AC =2时，求OEOF的值．（3）当O 为AC 的中点，AB AC =n 时，请直接写出OEOF的值．（第17题）（第17题答图）【答案】(1)∵AD⊥BC，∴∠DAC+∠C=90°.∵∠BAC=90°，∴∠DAC+∠BAF=90°.∴∠BAF=∠C. ∵OE⊥OB，∴∠BOA+∠COE=90°.∵∠BOA+∠ABF=90°，∴∠ABF=∠COE.∴△ABF ∽△COE.(2)如答图所示，过点O 作AC 的垂线交BC 于点H ，则OH∥AB.∵△ABF ∽△COE,∴∠AFB=∠OEC. ∴∠AFO=∠HEO.∵∠BAF=∠C，∴∠FAO=∠EHO.∴△OEH ∽△OFA.∴OF ∶OE=OA ∶OH.∵O 为AC 的中点，OH∥AB，∴OH 为△ABC 的中位线.∴OH=21AB ，OA=OC=21AC.∵ABAC =2，∴OA ∶OH=2∶1.∴OF ∶OE=2∶1，即OEOF=2. (3)OEOF=n.（第18题）18.【株洲】如图所示，若△ABC 内一点P 满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P 为△ABC 的布洛卡点.三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔于1816年首次发现的，但他的发现并未被当时的人们所注意.1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名.已知在等腰直角三角形DEF 中，∠EDF=90°，若点Q 为△DEF 的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ 等于(D ).A.5B.4C.3+2D.2+219.【鞍山】如图所示，△ACE ，△ACD 均为直角三角形，∠ACE=90°，∠ADC=90°，AE 与CD 相交于点P ，以CD 为直径的⊙O 恰好经过点E ，并与AC ，AE 分别交于点B 和点F. （1）求证：∠ADF=∠EAC. （2）若PC=32PA ，PF=1，求AF 的长.（第19题）（第19题答图）【答案】(1)∵∠ADC=90°，∠ACE=90°，∴∠ADF+∠FDC=90°，∠EAC+∠CEF=90°. ∵∠FDC=∠CEF，∴∠ADF=∠EAC.(2)如答图所示，连结FC.∵CD 是圆O 的直径，∴∠DFC=90°.∴∠FDC+∠FCD=90°.∵∠ADF+∠FDC=90°，∠ADF=∠EAC ，∴∠FCD=∠EAC ，即∠FCP=∠CAP.又∠FPC=∠CPA，∴△FPC∽△CPA.∴20.（1）如图1所示，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，B D⊥AC 于点D.求证：AB 2=AD·AC．（2）如图2所示，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，D 为BC 边上的点，BE⊥AD 于点E ，延长BE 交AC 于点F ，BC AB =DC BD =1，求DCBD的值．（3）在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，D 为直线BC 上的动点（不与点B ，C 重合），直线BE⊥AD 于点E ，交直线AC 于点F.若BC AB =DC BD =n ，请探究并直接写出DCBD的所有可能的值（用含n 的代数式表示），不必证明．（第20题）（第20题答图）【答案】(1)∵BD⊥AC ，∠ABC=90°，∴∠ADB=∠ABC.∵∠A=∠A ，∴△ADB ∽△ABC.∴AC AB =ABAD .∴AB 2=AD·AC. (2)如答图所示，过C 作CG⊥AD 交AD 的延长线于点G.∵BE⊥AD，∴∠CGD=∠BED=90°，CG∥BF. ∵BC AB =DCBD=1，∴AB=BC=2BD=2DC，BD=DC.∵∠BDE=∠CDG，∴△BDE ≌△CDG.∴ED=GD=12EG. 由(1)可得：AB 2=AE·AD,BD 2=DE·AD，∴=4.∴AE=4DE.∴EG AE =DEDE24=2.∵CG∥BF，∴FC AF =EGAE=2. (3)D 为直线BC 上的动点（不与点B ，C 重合），有三种情况：①当点D 在线段BC 上时，FCAF =n 2+n. ②当点D 在线段BC 的延长线上时，FC AF =n 2-n.③当点D 在线段CB 的延长线上时，FCAF =n-n 2.。

比例线段证明线段相等

证明线段相等的方法很多，那什么时候选择用比例线段的方法比较合适呢？
1、题目条件中有平行线； 2、题目条件中有线段； 3、题目条件中能证明三角形相似。
具体情况具体分析，多做题多总结多对比。
学生练习： 1、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC， AB⊥BC，点E在边AB上，CE⊥DE，点F在 AE上，且∠ADF=∠EDC。求证：AF=BE。
分析：要证ED=DF，只要构建
ED DF ( a b) a b
例2：已知：在△ABC中，AM是BC边上的中线，D是AM上任意一点，过点D作EF∥BC，分别交 AB、AC于点E、F。求证：ED=DF。
证明：∵ED∥BM，∴ BM AM
ED
AD
DF
∵DF∥MC，∴ MC

AD AM

ED DF BM MC
思考：证明两条线段相等有哪些常用方法？
1、证明这两条线段所在三角形全等； 2、证明这两条线段所在三角形为等腰三角形； 3、找中间项等量代换； 4、证明特殊四边形； 5、求长度直接证明； 6、用比例线段证明。
比例线段证明两条线段相等
主讲：范平
用比例线段证明线段a和线段b相等的常见方法有三种：
方法一：构建
求证：E为AD的中点
分析：要证明AE=ED，只需构建
AE ED a a 或 a a AE ED
图形分解
例2：如图，正方形ABCD中，EF⊥BE交CD于F,∠ABE=∠FBE 求证：E为AD的中点
证明：∵EF⊥BE，∴∠BEF=90° ∵四边形ABCD为正方形，∴∠A=90°，∴∠BEF=∠A ∵∠ABE=∠FBE，∴△ABE∽△EBF ∴
AB BE AE EF AB BE 再由△BAE∽EDF，得出 ED EF AB AB ∴ ∴AE=ED,E即为AD中点 AE ED

（完整版）平行线分线段成比例经典例题与变式练习（含标准答案..

1 / 14平行线分线段成比例知识梳理1. 1. 平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=. l 3l 2l 1FE D CB A2.平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==ABCD E EDC B A3. 平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥BC 。

专题讲解专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。

EDCBA【例2】如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111cab=+.FEDCBA【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：111ABCDEF+=.FEDCBA【巩固】如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论F EDCBA【例3】如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作 EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。

OFED CBA【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。

QPFED CBA专题二、定理及推论与中点有关的问题【例4】（2007年北师大附中期末试卷）（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EFAFFC FD + 的值为（）A.52 B.1 C.32D.2(1)MEDCBA(2)F ED CBA【例5】（2001年河北省中考试卷）如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O .（1）当1A 2AE C =时，求AOAD 的值； E AO（2）当11A 34AE C=、时，求AO AD 的值；（3）试猜想1A 1AE C n =+时AO AD 的值，并证明你的猜想.【例6】（2003年湖北恩施中考题）如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点.（1）如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =；（2）由（1）知，当E 是AD 中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.F E DCBA【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。

求线段比的多种方法(含答案解析)

求线段的比的方法一、利用相似三角形求线段比例题1、如图，在正三角形ABC 的边BC 、CA 上分别有点E 、F ，且满足BE=CF=a ,)(b a b FA EC >==,当BF 平分AE 时，则ba 的值为（225)(215)(225)(215)(++--D C B A在题目现有的条件中，很难找到等量关系.于是由线段比我们联想到相似三角形的相似比，能否构造相似三角形，利用相似比建立等量关系.那么让我们来添加辅助线.容易知道，题目中的点D 是线段AE 的中点.结合相似三角形的一些基本图形、基本知识，由中点自然想到三角形的中位线.于是过点D 作EC 的平行线交AC 于点M,此时DM 是AEC ∆的中位线.这时图中有两对相似三角形：FBC FDM AEC ADM ∆∆∆∆∽,∽，利用前一对相似三角形很容易得到b a b a a MC FC FM b EC DM 2121)(21,2121-=+-=-===,而在第二对相似三角形中，FCFMBC DM =，代入相关数据整理得到022=--b ab a ，解得215+=b a . 类似地，以AC 为第三边构造相似三角形的中位线：过D 作AC 的平行线交EC 于点M,同样出现两对相似三角形，思路同上.另一方面，也可以构造以线段DF 为中位线的三角形.方法：过点E 作EM//DF 交AC 于点M.这三种添加辅助线的方法共同点是：过某个点作某个线段的平行线，从而出现两对相似三角形，并且在某个三角形中含有中位线，具备特殊的数量关系.猜想：是不是只要过某个顶点作某条线段的平行线，都可以解决这个问题？考虑到做平行线后要出现两对相似三角形（全等是特殊的相似），而且能够充分利用题目条件表达出等量关系解决问题，经过筛选，最后得到如下作辅助线的方法（都是平行线）.方法说明：相对于前七种方法，方法八、九做起来更容易.因为通过构造全等三角形实现了已知长度的线段（ＡＦ或ＢＥ）的转移，而这条线段正好出现在相似三角形中，这就为表示相似比提供了方便.总结：这九种方法实质上是体现了下面的基本图形、基本数量关系.如图１，三角形ABC，点D是射线BA上的一个动点，过点D作DE//BC交射线CA于点E,则有：（1）,∽ABCADE∆∆即BCEDACAEABAD==；（2）特殊地，若点D是AB的中点，则点E是AC的中点，即DE是三角形ABC 的中位线，此时有AD=DB,AE=EC,BC=2DE.（3）若点D在线段BA的延长线上，并且有DA=AB,此时ADEABC∆≅∆.基本图1二、面积法解：（面积法）如图，连接CD.EBDABDSSDEAD∆∆=∴=,abSSSSabFCAFCDFADFBCFABF==∴=∆∆∆∆,由等比性质可得a b S S S S CDF BCF ADF ABF =--∆∆∆∆，即abS S BCD ABD =∆∆ （1）又b a a S S BCD BDE +=∆∆即.ba a S S BCD ABD +=∆∆ （2）由（1）（2）可得：整理得：022=--b ab a 结合b a > 解得215+=b a 总结：这种面积法所包含的基本图形、基本数量如下.如图基本图2，三角形ABC ，点D 是BC 边上的一个动点，设BD=b,CD=c.基本图2 则（1）cbS S ACD ABD =∆∆ （2）特殊地，当点D 是BC 的中点时，有ACD ABD S S ∆∆=.练习题：一．选择题（共3小题）1．如图，△ABC 中，D 为BC 中点，E 为AD 的中点，BE 的延长线交AC 于F ，则为（）A ． 1：5B ． 1：4C ． 1：3D ． 1：22．如图，已知△ABC ，，，AD 、BE 交于F ，则的值是（）A ．B ．C ．D ．ba aa b +=AB3．如图，△ABC中，E、D是BC边上的三等分点，F是AC的中点，BF交AD、AE于G、F，则BG：GH：HF等于（）A．1：2：3 B．3：5：2 C．5：3：2 D．5：3：1二．填空题（共4小题）4．如图，△ABC中，点D在BC上，点E在AD上，连结BE并延长，与边AC相交于点F，且，则=_________．5．已知点D，E，F分别在△ABC的三边BC，CA，AB上，G为BE与CF的交点，并且BD=DC=CA=AF，AE=EC=BF，那么的值等于_________．6．如图，AD是BC边上的中线，F是AD上一点，CF的延长线交AB于点E，若，则=_________；若，则=_________．7．（2011•浙江模拟）如图，直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，BC=CD，E为梯形内一点，且∠BEC=90°，将△BEC绕C点旋转90°使B与D重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC=5，CF=3，则DM：MC的值为_________．三．解答题（共23小题）8．（2009•沈阳模拟）△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，把一个三角板的直角顶点放在点D处，将三角板绕点D旋转且使两条直角边分别交AB、AC于E、F．（1）如图1，观察旋转过程，猜想线段AF与BE的数量关系并证明你的结论；（2）如图2，若连接EF，试探索线段BE、EF、FC之间的数量关系，直接写出你的结论（不需证明）；（3）如图3，若将“AB=AC，点D是BC的中点”改为：“∠B=30°，AD⊥BC于点D”，其余条件不变，探索（1）中结论是否成立？若不成立，请探索关于AF、BE的比值．9．（2013•阜宁县一模）在数学学习和研究中经常需要总结运用数学思想方法．如类比、转化、从特殊到一般等思想方法，如下是一个案例，请补充完整．题目：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F在线段AE上，BF的延长线交射线CD于点G，若，求的值．（1）尝试探究在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则易求的值是_________，的值是_________，从而确定的值是_________．（2）类比延伸如图2，在原题的条件下，若（m＞0），则的值是_________．（用含m的代数式表示），写出解答过程．（3）拓展迁移如图3，在梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上的一点，AE和BD相交于F，若，（a＞0，b＞0），则的值是_________．（用含a、b的代数式表示）写出解答过程．10．（2011•青浦区一模）如图，在△ABC中，点D是AB上的一点，过点D作DE∥BC交边AC于点E，过点E作EF∥DC交AD于点F．已知AD=2cm，AB=8cm．求：（1）的值；（2）的值．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE的延长线与BC的延长线交于点F．（1）求证：；（2）若，求的值．12．已知△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且，CD交BE于O，连AO 并延长交BC于F．（1）当时，求的值；（2）当n=1时，求证：BF=CF；（3）当n=_________时，O为AF中点．13．（2011•门头沟区二模）如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD的内部，延长BG交DC于点F．若DC=2DF，则=_________；若DC=nDF，则=_________（用含n的式子表示）．14．在△ABC中，已知AB＞AC，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在DC的延长线上，且，过E作EF∥AB交AC的延长线于F．（1）如图1，当k=1时，求证：AF+EF=AB；（2）如图2，当k=2时，直接写出线段AF、EF、AB之间满足的数量关系：_________；（3）如图3，当时，请猜想线段AF、EF、AB之间满足的数量关系（含k），并证明你的结论．15．（1）如图1，ABCD是一个正方形花园，要在边AD、DC的E、H处开两个门，且DE=CH，要修建两条小路BE、AF．那么这两条小路长度和位置各有什么关系？并证明你的结论；（2）如图2，在（1）的图形中，如果要在正方形四边E、H、F、G处各开一个门，并用小路EF、HG连接起来，如果EF⊥GH，求的值；（3）把（2）中的正方形改为矩形，如图3，AB=a，AD=b，其它条件不变，求的值．16．如图，▱ABCD中，E是AB的中点，在AD上截取2AF=FD，EF交AC于G，求的值．17．如图，F是平行四边形ABCD的边AD上一点，CF交BA的延长线于点E，若，AB=4，求AE的长．18．如图，正方形ABCD，P为BC边上一点，以AP为斜边在正方形ABCD内作等腰Rt△APQ，连接AC交PQ于点E，连接DQ．（1）求证：△ACP∽△ADQ；（2）当P为BC的中点时，求的值；（3）在（2）的条件下，求证：EQ=DQ．19．如图，在正方形ABCD中，点P是BC边上一点（不与点B，C重合），连接PA，将线段PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，PE交边DC于点F，连接CE，AF．（1）求证：△ABP∽△PCF；（2）当的值等于多少时，△APF∽△PCF？请说明理由；（3）当CP=CE时，求cot∠EPC的值．20．2012.惠安县如图，在矩形ABCD中，P是BC边上一点，连接DP并延长，交AB的延长线于点Q，（1）若，求的值．（2）若P为BC边上的任意一点，求证：．21．（2013•浦东新区一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连接AE并延长，交对角线BD于点F、DC的延长线于点G，如果．求的值．22．如图，矩形ABCD中，AD=nAB，E是AB的中点，BF⊥EC于F，连接FD，FG⊥FD 交直线BC于点G．（1）求证：△FBG∽△FCD；（2）当n=1时，求CG：BC的值；（3）当CG：BC=7：8时，求n的值．23．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F（1）求证：．（2）若BD=4，CD=3，求BE•AC的值．24．（2010•武昌区模拟）已知如图，△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，D是BC边上一点，DE⊥AC于E，连BE交AD与F．（1）如果，求的值；（2）如果，求的值；（3）如果，直接写出的值．25．△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的动点，BD=mCD，AE=nEC，AD与BE相交于点O．（1）如图1，当m=2，n=1时，=_________，=_________；（2）当m=1.5时，求证：；（3）如图2，若CO的延长线交AGB于点F，当m、n之间满足关系式_________时，AF=2BF．（直接填写结果，不要求证明）26．如图1，D是△ABC的边BC上一点，AH⊥BC于H，S△ABD=BD•AH，S△ADC=DC•AH，则，因此，利用三角形的面积比可以来表示两条线段的比，甚至用三角形面积的比来证明与线段比有关的命题．请解决下列问题：已知：如图2，直线l与△ABC的边AB、AC交于D、F，与BC的延长线交于E，连接BF、AE．（1）求证：；（2）求证：••=1．27．已知，如图1，直角梯形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=nAD，AE⊥BD于点E，过E作CE的垂线交直线AB于点F．（1）当n=4时，则=_________，=_________；（2）当n=2时，求证：BF=AF；（3）如图2，F点在AB的延长线上，当n=_________时，B为AF的中点；如图3，将图形1中的线段AD沿AB翻折，其它条件不变，此时F点在AB的反向延长线上，当n= _________时，A为BF的中点．28．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC边上一动点，BD=nCD，CE⊥AD 于F，交AB于E．（1）若n=1，则=_________．=_________．（2）若n=2，求的值．（3）当n=_________时，=．29．如图，已知点E是矩形ABCD的边CB延长线上一点，且CE=CA，连接AE，过点C 作CF⊥AE，垂足为点F，连接BF、FD．（1）求证：△FBC≌△FAD；（2）连接BD，若，且AC=10，求FC的值．30．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠BCD=60°，AD=CD．（1）如图1，连接AC，求证：AC是∠BCD的角平分线；（2）线段BC上一点E，将△ABE沿AE翻折，点B落到点F处，射线EF与线段CD交于点M．①如图2，当点M与点D重合时，求证：FM=AB；②如图3，当点M不与点D重合时，求证：FM﹣DM=AB．参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．如图，△ABC中，D为BC中点，E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，则为（）A．1：5 B．1：4 C．1：3 D．1：2考点：相似三角形的判定与性质．分析：过D作BF的平行线，交AC边于G，即：DG∥BF，又D为BC中点可得出：△CDG∽△CBF，即：==，CG=FC=FG；同理可得：△AEF∽△ADG，AF=AG=FG，所以AF=FG=GC，即：==．解答：解：过D作BF的平行线，交AC边于G，如下图所示：∵D为BC中点，DG∥BF∴∠CGD=∠CFB又∵∠C=∠C∴△CDG∽△CBF∴==，即：CG=CF=FG又E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，DG∥BF同理可得：△AEF∽△ADG∴==，即：AF=AG=FG∴AF=FG=GC∴===1：2故选：D．点评：本题主要考查相似三角形的判定与性质，关键在于找出条件判断两个三角形相似，再运用相似三角形的性质求解．2．如图，已知△ABC，，，AD、BE交于F，则的值是（）A．B．C．D．考点：平行线分线段成比例；相似三角形的性质．分析：先过E作EG∥BC，交AD于G，再作DH∥AC交BE于H，由平行线分线段成比例定理的推论，再结合已知条件，可分别求出和的值，相乘即可．解答：解：作EG∥BC交AD于G，∵，，∴=，∴=，∴=，∴=．作DH∥AC交BE于H，则DH=CE=AE，∴==，∴=×=．故选C．点评：此题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，解题时要注意比例式的变形．3．如图，△ABC中，E、D是BC边上的三等分点，F是AC的中点，BF交AD、AE于G、F，则BG：GH：HF等于（）A．1：2：3 B．3：5：2 C．5：3：2 D．5：3：1考点：平行线分线段成比例；三角形中位线定理．分析：作FM∥BC交AE于点M，则根据△BEH∽△FMH，利用BF表示出HF的长度，作DN∥AC交BF于点N，则△BDN∽△BCF且△DNG∽△AFG，依据△BDN∽△BCF 可以用BF表示出BN的长，然后依据△DNG∽△AFG表示出NG的长，则BG，GM，HF都可以利用BF表示出来，则比值即可求解．解答：解：设BC=6a，则BD=DE=EC=2a，作FM∥BC交AE于点M，∵F是AC的中点，∴MF=EC=a，∵FM∥BC，∴△BEH∽△FMH，∴===，则HF=BF，作DN∥AC交BF于点N，设AC=2b，则AF=CF=b，∴△BDN∽△BCF，∴====，∴DN=CF=b，BN=BF，∵DN∥AC，∴△DNG∽△AFG，∴===，∴NG=GF，即NG=NF=（BF﹣BN）=（BF﹣BF）=BF，∴BG=GF+GF=BF，∴GM=BF﹣BG﹣HF=BF﹣BF﹣BF=BF，∴BG：GH：HF=BF：BF：BF=5：3：2．故选C．点评：本题考查了三角形的形似的判定与性质，正确利用相似三角形的性质，利用BF把BG，GM，HF表示出来是关键．二．填空题（共4小题）4．如图，△ABC中，点D在BC上，点E在AD上，连结BE并延长，与边AC相交于点F，且，则=．考点：平行线分线段成比例．分析：先过D作DG∥AC，根据已知得出=，再设EG=x，则EF=2x，GF=3x，再根据=，求出BG和BE的值，即可得出的值．解答：解：过D作DG∥AC交BF于G，∵，∴=，设EG=x，则EF=2x，GF=3x，∵=，∴=，∴BG=1.5x，∴BE=2.5x，∴==；故答案为：．点评：本题主要考查了平行线分线段成比例定理，关键是作出辅助线，表示出BE，EF的长．5．已知点D，E，F分别在△ABC的三边BC，CA，AB上，G为BE与CF的交点，并且BD=DC=CA=AF，AE=EC=BF，那么的值等于．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理．专题：计算题．分析：过E作AB的平行线交CF于M点，则EM是△AFC的中位线，M是中点，利用AAS 求证△BFG≌△EMG然后得EM=BF，所以BG=GE，G是BE的中点，而D是BC 的中点，所以DG是△BEC的中位线，然后即可得出答案．解答：解：过E作AB的平行线交CF于M点，∴EM是△AFC的中位线，M是中点，∴EM=AF=BF，∴△BFG≌△ENG，∴BG=GE，即G是BE的中点，又∵BD=DC，∴DG是△BEC的中位线，∴DG=CE=BD=BC．故答案为：点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质的理解和掌握，解得此题的关键是作“过E作AB的平行线交CF于M点”这一辅助线，然后求证出DG是△BEC的中位线，这是此题的突破点．6．如图，AD是BC边上的中线，F是AD上一点，CF的延长线交AB于点E，若，则=1：6；若，则=1：2n．考点：平行线分线段成比例．专题：应用题．分析：可过点D作GD∥EC交AB于G，由中位线定理可得BG=GE，进而可得AE与BE 的比值，当其比值为时，亦可得出结论．解答：解：过点D作GD∥EC交AB于G，∵点D是BC的中点，∴==1，即BG=GE，又∵GD∥EC，∴==，∴=．同理，当，则=．故答案为：，．点评：本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，能够利用其性质求解一些简单的计算问题．7．（2011•浙江模拟）如图，直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，BC=CD，E为梯形内一点，且∠BEC=90°，将△BEC绕C点旋转90°使B与D重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC=5，CF=3，则DM：MC的值为4：3．考点：直角梯形；旋转的性质．专题：证明题．分析：由旋转的性质易得△BEC≌△DFC，可得∠EBC=∠FDC，CE=CF=3，在直角三角形BEC中即可求得BE=4；已知∠BCD=90°，由∠EBC+∠ECB=90°，且∠BCE+∠ECM=90°，即可得∠EBC=∠ECM，则∠ECM=∠FDC；则可证得△CME∽△DMF即可得DM：MC=DF：CE即可得解．解答：解：连接DF，∵△BEC绕C点旋转90°使B与DC重合，得到△DCF，∴△BEC≌△DFC，∴∠EBC=∠FDC①，BE=DF，CE=CF=3，在直角三角形BEC中，BE==4；已知∠BCD=90°，∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∠BCE+∠ECM=90°，∴∠EBC=∠ECM②，∴由①②得∠ECM=∠FDC；又∵∠CME=∠DMF，∴△CME∽△DMF，∴DM：MC=DF：CE=4：3．故答案为：4：3．点评：本题考查了旋转的性质，直角梯形的性质，相似三角形的判定及性质等知识点，是一道综合性的中档题．三．解答题（共23小题）8．（2009•沈阳模拟）△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，把一个三角板的直角顶点放在点D处，将三角板绕点D旋转且使两条直角边分别交AB、AC于E、F．（1）如图1，观察旋转过程，猜想线段AF与BE的数量关系并证明你的结论；（2）如图2，若连接EF，试探索线段BE、EF、FC之间的数量关系，直接写出你的结论（不需证明）；（3）如图3，若将“AB=AC，点D是BC的中点”改为：“∠B=30°，AD⊥BC于点D”，其余条件不变，探索（1）中结论是否成立？若不成立，请探索关于AF、BE的比值．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．分析：（1）作辅助线：连接AD，利用等腰三角形中的三线合一，即可证得AD=BD=DC=BC，∠ADB=∠ADC=90°，又由同角的余角相等，证得∠5=∠4，则可得△BDE≌△ADF，则AF=BE；（2）由（1）可得AF=BE，AE=CF，又由勾股定理，易得EF2=BE2+FC2；（3）可证得有两角对应相等，所以可得△BDE∽△ADF，利用三角函数即可求得比值．解答：（1）结论：AF=BE．证明：连接AD，∵AB=AC，∠BAC=90°，点D是BC的中点，∴AD=BD=DC=BC，∠ADB=∠ADC=90°，∴∠B=∠C=∠1=∠2=45°．∴∠3+∠5=90°．∵∠3+∠4=90°，∴∠5=∠4，∵BD=AD，∴△BDE≌△ADF．∴BE=AF．（2）根据（1）可得BE=AF，所以AB﹣BE=AC﹣AF，即AE=FC，∵∠BAC=90°，∴EF2=AF2+AE2，∴EF2=BE2+FC2．（3）（1）中的结论BE=AF不成立∵∠B=30°，AD⊥BC于点D，∠BAC=90°，∴∠3+∠5=90°，∠B+∠1=90°．∵∠3+∠4=90°，∠1+∠2=90°∴∠B=∠2，∠5=∠4．∴△BDE∽△ADF．∴．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质．此题图形变化很多，而且图形复杂，属于中等难度的题目，解题时要注意数形结合思想的应用．9．（2013•阜宁县一模）在数学学习和研究中经常需要总结运用数学思想方法．如类比、转化、从特殊到一般等思想方法，如下是一个案例，请补充完整．题目：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F在线段AE上，BF的延长线交射线CD于点G，若，求的值．（1）尝试探究在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则易求的值是3，的值是2，从而确定的值是．（2）类比延伸如图2，在原题的条件下，若（m＞0），则的值是．（用含m的代数式表示），写出解答过程．（3）拓展迁移如图3，在梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上的一点，AE和BD相交于F，若，（a＞0，b＞0），则的值是ab．（用含a、b的代数式表示）写出解答过程．考点：相似形综合题．分析：（1）过E点作平行线，构造相似三角形，利用相似三角形和中位线的性质，分别将各相关线段均统一用EH来表示，最后求得比值；（2）先作EH∥AB交BG于点H，得出△EFH∽△AFB，即可得出==m，再根据AB=CD，表示出CD，根据平行线的性质得出△BEH∽△BCG，即可表示出=，从而得出的值；（3）先过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，得出EH∥AB∥CD，根据EH∥CD，得出△BCD∽△BEH，即可求出CD=bEH，再根据，得出AB=aCD=abEH，再进一步证出△ABF∽△EHF，从而得出的值．解答：解：（1）过点E作EH∥AB交BG于点H，则有△ABF∽△HEF，∴=，∴AB=3EH．∵平行四边形ABCD中，EH∥AB，∴EH∥CD，又∵E为BC中点，∴EH为△BCG的中位线，∴CG=2EH，∴===．故答案为：3，2，．（2）作EH∥AB交BG于点H，则△EFH∽△AFB，∴==m，∴AB=mEH．∵AB=CD，∴CD=mEH．∵EH∥AB∥CD，∴△BEH∽△BCG．∴==2，∴CG=2EH．∴==．故答案为：．（3）过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，则有EH∥AB∥CD，∵EH∥CD，∴△BCD∽△BEH，∴==b，∴CD=bEH．又=a，∴AB=aCD=abEH．∵EH∥AB，∴△ABF∽△EHF，∴===ab；故答案为：ab．点评：此题考查了相似性的综合，用到的知识点是相似形的判定与性质、平行四边形的性质、中位线的性质，解题的关键是根据题意画出图形，再根据有关性质和定理求出各线段的比值．10．（2011•青浦区一模）如图，在△ABC中，点D是AB上的一点，过点D作DE∥BC交边AC于点E，过点E作EF∥DC交AD于点F．已知AD=2cm，AB=8cm．求：（1）的值；（2）的值．考点：平行线分线段成比例．分析：（1）根据平行线分线段成比例即可求出的值；（2）根据平行线分线段成比例求出AF=3cm，从而求出的值．解答：解：（1）∵DE∥BC，∴=，∵AD=2cm，AB=8cm，∴=；（2）∵EF∥DC，∴==，解得AF=3cm，∴=．点评：考查了平行线分线段成比例，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE的延长线与BC的延长线交于点F．（1）求证：；（2）若，求的值．考点：相似三角形的判定与性质．分析：（1）根据直角三角形斜边上中线性质求出DE=EC，推出∠EDC=∠ECD，求出∠FDC=∠B，根据∠F=∠F证△FBD∽△FDC，即可；（2）根据已知和三角形面积公式得出，，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得出，即可求出．解答：（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∵E是AC的中点，∴DE=EC，∴∠EDC=∠ECD，∵∠ACB=90°，∠BDC=90°∴∠ECD+∠DCB=90°，∠DCB+∠B=90°，∴∠ECD=∠B，∴∠FDC=∠B，∵∠F=∠F，∴△FBD∽△FDC，∴=．（2）解：∵，∴，∴，∵△FBD∽△FDC，∴，∴=．点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的面积，注意：相似数据线的面积比等于相似比的平方，题目比较好，有一定的难度．12．已知△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且，CD交BE于O，连AO 并延长交BC于F．（1）当时，求的值；（2）当n=1时，求证：BF=CF；（3）当n=时，O为AF中点．考点：平行线分线段成比例．分析：（1）连接DE交AF于K，根据平行线分线段成比例定理，即可证得DE∥BC，继而可得，，根据比例的性质，即可求得的值；（2）由n=1时，AD=BD，AE=CE，可得O是△ABC的重心，继而可得BF=CF；（3）根据（1）的证明方法，即可求得答案．解答：解：（1）连接DE交AF于K，∵，∴DE∥BC，∴，，∴设OK=a，则OF=3a，∴KF=4a，∴AK=2a，∴OA=AK+OK=3a，∴=1；（2）∵n=1时，AD=BD，AE=CE，∴O是△ABC的重心，∴AF是△ABC的中线，∴BF=CF；（3）∵，∴DE∥BC，∴，，∴设OK=a，则OF=3a，∴KF=4a，∴AK=2a，∴OA=AK+OK=3a，∴=1，∴当n=时，O为AF中点．故答案为：．点评：此题考查了平行线分线段成比例定理与比例的性质．此题难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用与辅助线的作法．13．（2011•门头沟区二模）如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD的内部，延长BG交DC于点F．若DC=2DF，则=；若DC=nDF，则=（用含n的式子表示）．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：综合题；探究型．分析：（1）求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即连接EF，证△EGF≌△EDF 即可；可设DF=x，BC=y；进而可用x表示出DC、AB的长，根据折叠的性质知AB=BG，即可得到BG的表达式，由（1）证得GF=DF，那么GF=x，由此可求出BF的表达式，进而可在Rt△BFC中，根据勾股定理求出x、y的比例关系，即可得到的值；（2）方法同（1）．解答：解：（1）连接EF，则根据翻折不变性得，∠EGF=∠D=90°，EG=AE=ED，EF=EF，∴Rt△EGF≌Rt△EDF，∴GF=DF；设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y∵DC=2DF，∴CF=x，DC=AB=BG=2x，∴BF=BG+GF=3x；在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，即y2+x2=（3x）2∴y=2 x，∴；（2）由（1）知，GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y∵DC=n•DF，∴BF=BG+GF=（n+1）x在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，即y2+[（n﹣1）x]2=[（n+1）x]2∴y=2x，∴．故答案为：；．点评：此题考查了矩形的性质、图形的折叠变换、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用等重要知识，难度适中．14．在△ABC中，已知AB＞AC，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在DC的延长线上，且，过E作EF∥AB交AC的延长线于F．（1）如图1，当k=1时，求证：AF+EF=AB；（2）如图2，当k=2时，直接写出线段AF、EF、AB之间满足的数量关系：AF+EF=2AB；（3）如图3，当时，请猜想线段AF、EF、AB之间满足的数量关系（含k），并证明你的结论．考点：相似形综合题．分析：（1）延长AD、EF交于点G，当k=1时，DE=BD，再根据∠BDA=∠EDG，BD=ED，证出△ABD≌△GED，得出AB=GE，又因为∠BAD=∠DAC，所以∠FGD=∠DAC，AF=GF，即可证出AF+EF=AB；（2）当k=2时，同（1）可得△ABD∽△GED，根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论；（3）当时，同（1）可得△ABD∽△GED，根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．解答：（1）证明：如图1，延长AD、EF交于点G，当k=1时，DE=BD∵EF∥AB，∴∠BAD=∠EGD，在△ABD与△GED中，，∴△ABD≌△GED（AAS），∴AB=GE，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，∴∠FGD=∠DAC，∴AF=GF，∴AF+EF=AB；（2）解：如图2，延长AD、EF交于点G，当k=2时，∵EF∥AB，∴∠BAD=∠EGD，又∵∠BDA=∠EDG，∴△ABD∽△GED，∴==2，即GE=2AB，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，∴∠FGD=∠DAC，∴AF=GF，∴AF+EF=2AB；（3）猜想：AE+EF=kAB．证明：如图3，延长AD、EF交于点G，当=k时，∵EF∥AB，∴∠BAD=∠EGD，又∵∠BDA=∠EDG，∴△ABD∽△GED，∴==k，即GE=kAB，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，∴∠FGD=∠DAC，∴AF=GF，∴AF+EF=kAB．点评：本题考查的是相似三角形综合题，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形，再根据相似三角形的性质求解是解答此题的关键．15．（1）如图1，ABCD是一个正方形花园，要在边AD、DC的E、H处开两个门，且DE=CH，要修建两条小路BE、AF．那么这两条小路长度和位置各有什么关系？并证明你的结论；（2）如图2，在（1）的图形中，如果要在正方形四边E、H、F、G处各开一个门，并用小路EF、HG连接起来，如果EF⊥GH，求的值；（3）把（2）中的正方形改为矩形，如图3，AB=a，AD=b，其它条件不变，求的值．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．分析：（1）关键正方形的性质就可以求出AE=DH，进而可以得出△ABE≌△DAH，再由全等三角形的性质就可以得出结论；（2）如图2，作EN⊥BC于N，交GH于点Q，GM⊥CD于M，根据正方形的性质得出△EFN≌△GHM，就可以得出EF=GH，从而得出结论；（3）如图3，作EN⊥BC于N，交GH于点Q，GM⊥CD于M，根据正方形的性质得出△EFN∽△GHM，就可以得出，从而得出结论；解答：解：（1）BE=AH，BE⊥AH理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠D=90°．∵DE=CH，∴AD﹣DE=CD﹣CH，即AE=DH．∵在△ABE和△DAH中，∴△ABE≌△DAH（SAS），∴∠AEB=∠AHD．BE=AH，∵∠DAH+∠AHD=90°，∴∠DAH+∠AEB=90°．∴∠AFE=90°∴AH⊥BE．∴BE、AH这两条小路长度和位置分别是BE=AH，BE⊥AH；（2）如图2，作EN⊥BC于N，交GH于点Q，GM⊥CD于M，∴∠GMH=∠ENF=90°，AD=GM，EN=CD∴∠EFN+∠NEF=90°，∠MHG+∠HGM=90°．∵EF⊥GH，∴∠EQH=90°．∴∠EPQ+∠PEQ=90°，∠MGQ+∠EPG=90°，∴∠PEQ=∠MGQ．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∴GM=EN．在△ENF和△GMH中，，∴△ENF≌△GMH，∴EF=GH，∴=1；（3）如图3，作EN⊥BC于N，交GH于点Q，GM⊥CD于M，∴∠GMH=∠ENF=90°，AD=GM，EN=CD∴∠EFN+∠NEF=90°，∠MHG+∠HGM=90°．∵EF⊥GH，∴∠EQH=90°．∴∠EPQ+∠PEQ=90°，∠MGQ+∠EPG=90°，∴∠PEQ=∠MGQ．∴△ENF∽△GMH，∴．∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∵EN⊥BC，GM⊥CD，∴EN=AB=a，GM=AD=b，∴．点评：本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，本题是一道由特殊到一般的试题，利用相似三角形的性质是关键．16．如图，▱ABCD中，E是AB的中点，在AD上截取2AF=FD，EF交AC于G，求的值．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：延长FE交CB的延长线于H，如图所示，则再由线段成比例即可证明结论．解答：解：如图所示，延长FE交CB的延长线于H，在△AEF和△BEH中∴△AEF≌△BEH（ASA），∴AF=BH，∵AD∥BC，∴=，又∵2AF=FD，∴=，∴==．点评：本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定及线段的比例问题，应能够熟练掌握．17．如图，F是平行四边形ABCD的边AD上一点，CF交BA的延长线于点E，若，AB=4，求AE的长．考点：平行线分线段成比例；平行四边形的性质．专题：几何综合题．分析：根据已知条件，要求AE的长，结合平行四边形的性质，只需求得AE：CD的值，根据平行线分线段成比例定理，可得AE：CD=AF：DF，从而进行计算．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD∴又∵，AB=4∴∴．点评：此题综合运用了平行四边形的性质和平行线分线段成比例定理．18．如图，正方形ABCD，P为BC边上一点，以AP为斜边在正方形ABCD内作等腰Rt△APQ，连接AC交PQ于点E，连接DQ．（1）求证：△ACP∽△ADQ；（2）当P为BC的中点时，求的值；（3）在（2）的条件下，求证：EQ=DQ．考点：相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质．专题：证明题．分析：（1）根据正方形的性质得∠DAQ+∠QAE=45°，=；根据等腰直角三角形的性质得∠PAC+∠QAE=45°，=，所以∠PAC=∠QAD，=，于是可判断△ACP∽△ADQ；（2）设正方形ABCD的边长为2a，则PB=PC=a，AP=a，AC=2a，由∠APE=∠ACP=45°，∠PAE=∠CAP得到△APE∽△ACP，利用相似比可计算出=；（3）由（2）的结论得PE=a，而PQ=AP=a，则EQ=PQ﹣PE=a，再利用（1）的结论得到=，可计算得到DQ=a，然后求EQ与DQ的比值．解答：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠DAC=45°，即∠DAQ+∠QAE=45°，=，∵△APQ为等腰直角三角形，∴∠QAP=45°，即∠PAC+∠QAE=45°，=，∴∠PAC=∠QAD，=，∴△ACP∽△ADQ；（2）解：设正方形ABCD的边长为2a，则PB=PC=a，∴AP===a，AC=2a，∵∠APE=∠ACP=45°，∠PAE=∠CAP，∴△APE∽△ACP，∴===；（3）证明：∵PC=a，=，∴PE=a，∵PQ=AP=a，∴EQ=PQ﹣PE=a，又∵△ACP∽△ADQ，∴=，即=，∴DQ=a，∴==，∴EQ=DQ．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；有两组对应角相等的两个三角形相似；相似三角形对应边的比等于相等，都等于相似比．也考查了等腰直角三角形的性质和正方形的性质．19．如图，在正方形ABCD中，点P是BC边上一点（不与点B，C重合），连接PA，将线段PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，PE交边DC于点F，连接CE，AF．（1）求证：△ABP∽△PCF；（2）当的值等于多少时，△APF∽△PCF？请说明理由；（3）当CP=CE时，求cot∠EPC的值．考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质．分析：（1）根据正方形的性质和已知条件证明∠PAB=∠EPC，即可证明：△ABP∽△PCF；（2）当=，△APF∽△PCF，设正方形ABCD边长为1，则AB=BC=1，PB=PC=，FC=，根据勾股定理计算AP，EP的值，即可得到，△APF∽△PCF；（3）过点E作EG⊥BC交BC的延长线于点G（如图），则∠EGP=∠B=90°，设EG=CG=x．则CP=CE=x，PG=x+x．在Rt△EPG中，即可求出cot∠EPC的值．解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠B=∠PCD=90°，∴∠PAB+∠APB=90°．∵∠APE=90°，∴∠EPC+∠APB=90°．∴∠PAB=∠EPC．∴△ABP∽△PCF．（2）。

成比例线段练习题及答案

成比例线段练习题及答案一、选择题1. 若线段AB与线段CD成比例，且AB=10cm，CD=8cm，则线段AB与线段CD的比例系数为：A. 0.8B. 1.25C. 1.5D. 2.52. 在比例线段中，若a:b = c:d，且a=6cm，b=3cm，c=4cm，则d的值是：A. 2cmB. 6cmC. 8cmD. 12cm3. 若线段EF与线段GH成比例，且EF=15cm，GH=20cm，求EF:GH的比例系数：A. 0.75B. 3/4C. 4/5D. 5/4二、填空题4. 若线段XY与线段PQ的比例系数为2，且XY=4cm，则PQ的长度是______。

5. 在比例线段中，若x:y = 3:5，且x=9cm，则y的长度是______。

6. 若线段MN与线段RS的比例系数为4/3，且RS=12cm，则MN的长度是______。

三、解答题7. 已知线段AB与线段CD的比例系数为3/2，求证线段AB与线段CD的乘积等于线段AB的平方。

8. 若线段EF与线段GH的比值为4:7，线段EF的长度为16cm，求线段GH的长度。

9. 线段IJ与线段KL成比例，比例系数为5/6，若线段IJ的长度为20cm，求线段KL的长度。

四、证明题10. 已知线段MN与线段OP成比例，比例系数为k，求证线段MN与线段OP的长度之和等于线段MN的长度加上k倍的线段OP的长度。

五、应用题11. 在一个矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，若将矩形ABCD按比例放大，使得AB变为12cm，求放大后的矩形的对角线AC的长度。

12. 某工厂生产零件，原设计零件长度为10cm，现需按比例缩小至5cm，求缩小后零件的面积与原零件面积的比例。

六、综合题13. 在三角形ABC中，AB=5cm，AC=7cm，BC=6cm，若三角形DEF与三角形ABC相似，且DE=10cm，求三角形DEF的边长DF和EF。

14. 已知线段GH与线段IJ的比例系数为3，若线段GH的长度为9cm，求线段IJ的长度，并计算线段GH与线段IJ的面积比。

比例线段黄金分割习题

⽐例线段黄⾦分割习题例1．下列各组中的四条线段成⽐例的是( )A.a =2，b =3，c =2，d =3B.a =4，b =6，c =5，d =10C.a =2，b =5，c =23，d =15D.a =2，b =3，c =4，d =1例2. 已知线段a 、b 、c 、d 满⾜ab =cd ，把它改写成⽐例式，错误的是( )A.a ∶d =c ∶bB.a ∶b =c ∶dC.d ∶a =b ∶cD.a ∶c =d ∶b 例3. 若a =2,b =3,c =33,则a 、b 、c 的第四⽐例项d 为________例4. 若ac =bd ，则下列各式⼀定成⽴的是( )A.dc b a =B.ccb d d a +=+ C.c d b a =22 D.dacd ab = 例5. 已知dcb a =,则下列式⼦中正确的是（） A. a ∶b =c 2∶d 2B. a ∶d =c ∶bC. a ∶b =（a +c ）∶（b +d ）D. a ∶b =（a －d ）∶（b －d ）例6．已知5:4:2::=c b a ，且632=+-a b a ，求c b a 23-+的值。

例7.在⽐例尺为1∶500000的地图上，A 、B 两地的距离是64 cm ，则这两地间的实际距离是______ 例8.在⼀张地图上，甲、⼄两地的图上距离是3 cm,⽽两地的实际距离为1500 m ，那么这张地图的⽐例尺为________.例9．（1）已知ba ab b a x +=+=+=222，求x 的值（2）已知524232xz z y y x -=-=-，求y x z y x -++2的值例10.已知点M 将线段AB 黄⾦分割(AM ＞BM )，则下列各式中不正确的是( ) A ．AM ∶BM =AB ∶AM B.AM =215-AB C.BM =215-AB D.AM ≈0.618AB 例11．如图，线段AB=2，点C 是AB 的黄⾦分割点(AC ＜BC ），点D （不同于C 点）在AB 上，且AB BD AD ?=2，A CDB求：ACCD的值【经典练习】1．如果bc ad =，那么下列⽐例中错误的是（）A 、d b c a =B 、b a d c =C 、b d c a =D 、cd a b =2．若5:6:=y x ，则下列等式中，不正确的是（）A 、511=+y y x B 、51=-y y x C 、6=-yx x D 、5=-x y y3．若2:1:::===d c c b b a ，则=d a :（）A 、1:2B 、1:4C 、1:6D 、1:8 4．若3:2:1::=c b a ，则cb a cb a +---的值为（）A 、-2B 、2C 、3D 、-35．已知875cb a ==，且20=++c b a ，则=-+c b a 2（） A 、11 B 、12 C 、314D 、96．若4:3:2::=c b a ，且5=-+c b a ，则b a -的值是（）A 、5B 、-5C 、20D 、-20 7．若43xx =，则x 等于（） A 、12 B 、32 C 、-32 D 、32± 8．已知AB=1，)15(2 1-=AC ，且BC AB AC ?=2，则BC 的长为（） A 、215- B 、215+ C 、)53(21- D 、)53(21+ 9．已知P 是线段AB 的黄⾦分割点，且15-=AP ，则AB 的长为（）A 、2B 、15+C 、2或15+D 、以上都不对 10．已知572zy x ==，设x z y x C y z x B z y x y A -+=+=++=,,，那么A 、B 、C 的⼤⼩顺序为（） A 、A>B>C B 、AA>B D 、A35=y x ，则=-+)(:)(y x y x 12．如果32=b a ，且3,2≠≠b a ，那么=-++-51b a b a 13．已知a b a 3)(7=-，则=ba14．如果2===c z b y a x ，那么=+-+-cb a z y x 3232 15．已知：2,2,1三个数，请你再填⼀个数，可写成⼀个⽐例式，这个数是 16．把长为5的线段进⾏黄⾦分割，则较短的线段长是17．若65432+==+c b a ,且2a －b +3c =21.试求a ∶b ∶c . 19. 若54,23,43===d c c b b a ，则22db ac+等于多少？20. 已知xbc a x a c b x c b a =+=+=+,,，求x 的值1.如果线段a=3，b=12，那么线段a 、b 的⽐例中项x=___________。

七年级数学上成比例线段练习题

七年级数学上成比例线段练习题
题目1
已知线段AB = 3cm，CD = 4cm，且AB与CD成比例，求线段AB的比例系数。

解题思路1
由题可知，线段AB与CD成比例，设比例系数为k，则有AB = k * CD，代入AB和CD的长度，得到3 = k * 4，解得k = 0.75，所以线段AB的比例系数为0.75。

题目2
在平面直角坐标系中，已知A(-3,4)、B(x,2)，若线段AB与x 轴正半轴成比例，求x的值。

解题思路2
由题可知，线段AB与x轴正半轴成比例，所以线段AB的比例系数等于x轴正半轴上的点到点B的距离与点A到点B的距离之比。

设线段AB的比例系数为k，则有AB = kx，AE = kx，DE = 2 - kx，由勾股定理可得：$AB^2$ = $AE^2$ + $DE^2$，即
($kx$)$^2$ = ($kx$)$^2$ + (2 - $kx$)$^2$，简化得到3$kx^2$ - 4kx + 4 = 0，解得x = 2/3或2，由于点B在第二象限，所以x = 2/3。

题目3
已知线段AB = 6cm，DE = 15cm，且线段AB与DE成比例，求线段DE的长度。

解题思路3
由题可知，线段AB与DE成比例，设比例系数为k，则有AB = k * DE，代入AB和DE的长度，得到6 = k * 15，解得k = 0.4，所以线段DE的长度为15 * 0.4 = 6cm。

比例线段(四大题型总结)(压轴题专项讲练)(北师大版)(原卷版)2024-2025学年九年级数学上册

比例线段（四大题型总结）（压轴题专项讲练）【题型一：比例的性质】1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知线段a 、b 、c 、d 、m ，如果ab =cd ，m ≠0，那么下列各式中成立的是（）A =B ．a―m b=c―m dC ．a+m b+m =cdD ．a 2b =c 2d2．（23-24九年级上·河南郑州·期末）已知2ab+c =2ba+c =2ca+b =k ，则k =（）A ．1B ．±1C ．1或―2D ．23．（23-24九年级上·辽宁丹东·阶段练习）已知ab =cd =ef =5，且b +d +f ≠0，若a +c +e =30，则b +d +f =．4．（2024·四川南充·模拟预测）已知实数a 、b 、c 满足1a+1=2b+2=3c―3，则a ―2b +c 的值为．5．（24-25九年级上·全国·单元测试）根据下列条件求x:y:z 的值．（1）x:y =3:7，y:z =4:7；（2）x:y =13:12，x:z =0.3:0.2．【题型二：比例线段】6．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）下列各组中的四条线段a ，b ，c ，d 是成比例线段的是（）A ．a =1，b =1，c =1，d =5B ．a =1，b =c =d =8C ．a =2，b =c =d =D ．a =b =3，c =2，d =87．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）线段a 、b 、c 、d 成比例，其中b =3cm ，c =2cm ，d =6cm ，则a =cm ．8．（24-25九年级上·全国·单元测试）已知线段a=0.3m，b=60cm，c=12dm．（1）求线段a与线段b的比和线段b与线段c的比；（2）如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长．（3）在比例式a:b=b:c或b2=ac中，我们把b称为a、c的比例中项，那么本题中b是a和c的比例中项吗？为什么？9．（23-24九年级上·山西晋中·阶段练习）如图，一块矩形绸布的长AB=a m，宽AD=2m，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即AE AD =ADAB，那么a的值应当是多少？10．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知点D ，E 分别在边AB ，AC 上，BE ，CD 交于点O ，ADAB =DE BC =DOCO，AB =7，DB =4，BC =9，CD =10．（1）求DE ，CO 的长；（2）若△ABC 的面积为70，求△BOC 的面积．【题型三：黄金分割】11．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）若点C 是线段AB 的黄金分割点，且AB =2，则AC =（）A 1B ．3―CD 1或312．（23-24九年级上·上海长宁·期末）已知点C 在线段AB 上，且满足AC 2=BC ⋅AB ，那么下列式子成立的是（）A ．ACBC =B ．ACAB =C ．BCAB =D ．BCAC =13．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB 为边作正方形ABCD ，取AD 的中点E ，连接BE ，延长DA 至F ，使得EF =BE ，以AF 为边作正方形AFGH ，则点H 即是线段AB 的黄金分割点．若AD =20，记正方形AFGH 的面积为S 1，矩形BCIH 的面积为S 2，则S 1与S 2的和为．14．（2024·四川乐山·一模）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G 将线段MN 分为两线段MG ，GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与较短的一段GN 的比例中项，即满足MGMN =GNMG =“黄金分割”数，把点G 称为线段MN 的“黄金分割”点．如图，在△ABC 中，已知AB =AC =3，BC =4，若D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点，则△ADE 的面积为．15．（23-24八年级下·湖北武汉·0.618）的矩形称为黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊帕特农神庙等．（1）如图，经测量，帕特农神庙的面宽约为31米，那么它的高度大约是______米．（结果取整数）实验操作：折一个黄金矩形第一步，在矩形纸片的一端利用图1的方法折出一个正方形MNCB ，然后把纸片展平；第二步：如图2，将正方形折成两个相等的矩形，再将其展平；第三步：折出内侧矩形的对角线AB ，并将AB 折到图3所示的AD 处；第四步，展平纸片，按照所得的点D 折出DF ，矩形BCDF 就是黄金矩形（如图4）．问题思考：（2）图4中是否还存在其它黄金矩形，请判断并说明理由；（3）以图3中的折痕AQ 为边，构造黄金矩形，若MN =2，则这个矩形的面积是______（直接写出结果）．【题型四：平行线分线段成比例】16．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在△ABC 中，DE∥BC ，DF∥AC ，则下列比例式中正确的是（）A ．BDAD =DF FCB ．DE FB =AEACC ．BF FC =CEAED ．ADFC =AB AC17．（23-24九年级下·江苏南京·自主招生）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别是AD 、BC 中点，试判断BA 、NM 、CD 延长线是否交于一点，并证明．18．（24-25九年级上·上海·假期作业）已知如图，点D 是ΔABC 边BC 上一点，且BD:DC =2:3，过点C 任作一条直线与AB 、AD 分别交于点F 和E ，求证：AEED =5AF3BF ．19．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）如图，将正方形ABCD 沿着BE ，BF 将BC ，AB 翻折，使A ，C 两点恰好落在点P ，过点P 作MN∥BC ，交BF 于点Q ．若QP =12BC ，则FQQB =．20．（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD 如图所示．将小正方形对角线EF 双向延长，分别交边AB ，和边BC 的延长线于点G ，H ．若大正方形与小正方形的面积之比为5，GH =，则大正方形的边长为．。

初中比例线段试题及答案

初中比例线段试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 在比例线段中，如果a:b=c:d，那么下列说法正确的是（）A. a+b=c+dB. a:c=b:dC. a:b=d:cD. a+c=b+d答案：B2. 若线段AB=6cm，线段CD=12cm，且AB:CD=2:3，则线段AB与CD的比例中项是（）A. 4cmB. 8cmC. 9cmD. 10cm答案：A3. 已知线段a、b、c满足a:b=b:c，那么线段a、b、c成（）A. 等差数列B. 等比数列C. 等分线段D. 黄金分割答案：B4. 在比例线段中，如果a:b=c:d且a+b=c+d，那么下列说法错误的是A. a=cB. b=dC. a+c=b+dD. a:c=b:d答案：A5. 线段AB被点C分成两段，AC:CB=2:3，若AB=10cm，则AC的长度是（）A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 10cm答案：A6. 线段DE被点F分成两段，EF:FD=3:2，若DE=15cm，则EF的长度是（）A. 5cmB. 6cmC. 9cmD. 12cm答案：C7. 已知线段MN被点P分成两段，MP:PN=4:5，且MN=20cm，则MP的长度是（）A. 8cmB. 10cmC. 12cm答案：A8. 在比例线段中，如果a:b=c:d且b:d=e:f，则下列说法正确的是（）A. a:c=e:fB. a:e=b:fC. a:b=c:dD. a:e=c:f答案：A9. 线段GH被点I分成两段，GI:IH=5:7，若GH=35cm，则GI的长度是（）A. 15cmB. 17.5cmC. 25cmD. 35cm答案：B10. 已知线段JK被点L分成两段，JL:LK=3:4，且JK=36cm，则JL的长度是（）A. 9cmB. 12cmC. 18cmD. 24cm答案：C二、填空题（每题4分，共20分）1. 若线段XY=18cm，线段PQ=36cm，且XY:PQ=3:6，则线段XY与PQ的比例中项的长度是_______cm。

比例线段练习题及答案

比例线段练习题及答案一、选择题1. 在比例线段中，如果 $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $，那么下列哪个选项是正确的？A. $ a = c $B. $ b = d $C. $ a + b = c + d $D. $ a \cdot d = b \cdot c $2. 如果线段 $ AB = 10 $ 厘米，线段 $ BC = 5 $ 厘米，线段$ AC = 12 $ 厘米，那么线段 $ AB $ 和线段 $ AC $ 的比例中项是多少？A. 6 厘米B. 8 厘米C. 10 厘米D. 12 厘米3. 在一个比例中，如果第一项是 3，第四项是 9，那么第三项和第二项的比例中项分别是多少？A. 3 和 9B. 6 和 6C. 9 和 3D. 无法确定二、填空题4. 如果 $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $ 并且 $ a = 4 $，$ d = 8 $，那么 $ b $ 和 $ c $ 的值分别是 ______ 和______ 。

5. 在一个比例中，如果第二项是 2，第三项是 8，那么第一项和第四项的值分别是 ______ 和 ______ 。

6. 如果 $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $，并且 $ a = 3 $，$ c = 6 $，那么 $ b $ 和 $ d $ 的乘积是 ______ 。

三、解答题7. 在一个三角形中，如果已知 $ AB = 6 $ 厘米，$ AC = 9 $ 厘米，并且 $ \angle A = 90^\circ $，求 $ BC $ 的长度。

8. 已知 $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $，并且 $ a = 2 $，$ b = 3 $，求 $ c $ 和 $ d $ 的值。

平行线分线段成比例八大题型

【变式】如图，已知点 F 在 AB 上，且 AF：BF＝1：2，点 D 是 BC 延长线上一点，BC：CD ＝2：1，连接 FD 与 AC 交于点 M，则 FN：ND＝．
解：过点 F 作 FE∥BD，交 AC 于点 E，
∴=，
∵AF：BF＝1：2，
∴ = 1，
3
∴ = 1，
3
即 FE= 13BC， ∵BC：CD＝2：1，
C l3
【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如 AB ）称为上，位置靠下的称为下，两条线段
上上上上下下
合成的线段称为全，则可以形象的表示为下下，全全，全全．
【题型1 “井”字型】
【例 1】如图，直线 l1∥l2∥l3，直线 AC 和 DF 被 l1，l2，l3 所截，如果 AB＝2，BC＝3，EF ＝2，那么 DE 的长是（）
A．2
B
．4
3
C．1
D．34
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．【解答】解：∵直线 l1∥l2∥l3， ∴=，
∵AB＝2，BC＝3，EF＝2，
∴2 = ，
32
∴DE=
4，
3
故选：B．
【变式】如图，a∥b∥c，两条直线与这三条平行线分别交于点 A，B，C 和 D，E，F．已知 AB＝3，BC＝2，DE＝6，则 DF 等于（）
∵ = = 1，
2
∴BG＝2DG， ∵BE＝4DG， ∴ = 1，
4
故 D 错误，符合题意；故选：D．
【变式】已知，在△ABC 中，点 D 为 AB 上一点，过点 D 作 DE∥BC，DH∥AC 分别交 AC、 BC 于点 E、H，点 F 是 BC 延长线上一点，连接 FD 交 AC 于点 G，则下列结论中错误的是（）

平行线分线段成比例经典例题与变式练习(精选题目)

平行线分线段成比例知识梳理平行线分线段成比例定理及其推论1.平行线分线段成比例定理如下图，如果h // I2 // I3，则BCACABDEACDF2.平行线分线段成比例定理的推论:3.平行的判定定理:AB DEAC12DF，EFDF如图，在三角形中，如果ADDE // BC，贝U --ABAEACDEBC 如上图，如果有ADABAEACDEBC，那么DE // BC专题讲解专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】如图，DE // BC，且DB AE,若AB 5, AC 10，求AE的长。

【例2】如图，已知AB//EF//CD，若AB a , CD b , EF c ,求证：111. cab 【巩固】如图，AB BD，CD BD，垂足分别为B、D，AC和【巩固】如图，找出S ABD、S BED、S BCD之间的关系，并证明你的结论BD相交于点E，EF BD，垂足为F .证明:1 1AB CD1EFA连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则CC （2）如图（2），已知 ABC 中，AE:EB 1:3，BD :DC 2:1，AD 与CE 相交于F ，则EF FCAF FD的值为（）A.|B.1C.【例5】（2001年河北省中考试题）如图，在 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O .【例3】如图，在梯形ABCD 中，AB // CD , AB 12 , CD 9，过对角线交点0作EF // CD 交 AD , BC 于 E , F ，求 EF 的长。

【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形 ABCD 中，AD // BC ，AD a ，BC b ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。

专题二、定理及推论与中点有关的问题【例4】（2007年北师大附中期末试题）1（1）如图（1），在 ABC 中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且AE - AB ，43 2D.2A(1)当AE-时，求AO的值；AC2AD(2)当AE 1 1 口」、—求A0的值；AC 3 4AD(3)试猜想AE 1AC n 1时A0的值，并证明你的猜想AD【例6】（2003年湖北恩施中考题）如图，AD是ABC的中线，点E在AD上，F 是BE延长线与AC的交点.（1）如果E是AD的中点，求证：圧 -；FC 2（2）由（1）知，当E是AD中点时，圧-成立，若E是AD上任意一点（E与A、DFC 2 ED不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD 上的一点，且BE AC，延长BE交AC于F。

浙教新版九年级上册《4.2 由平行线截得比例线段》2024年同步练习卷(3)+答案解析

浙教新版九年级上册《4.2由平行线截得比例线段》2024年同步练习卷（3）一、选择题：本题共1小题，每小题3分，共3分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图，中，D在BC上，F是AD的中点，连CF并延长交AB于E，已知，则等于()A.B.C.D.二、填空题：本题共14小题，每小题3分，共42分。

2.已知，则______；______.3.已知，则______.4.若，则k的值为______.5.若点C是线段AB的黄金分割点，，线段AC的长为2，则______保留根号6.已知点P在线段AB上，且满足，则的值等于______.7.如图中，，，且BD平分交AC于点D，若，则______.8.如图，在中，，，BD平分交AC于点D，则下列结论中①；②：：DC；③；④若，则，其中正确的结论的个数是______个．9.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BC上的黄金分割点，且，AE与BD相交于点那么BF：FD的值为______.10.如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、已知，，，则______.11.已知线段，P、Q是线段AB的黄金分割点，则______.12.如图，AD是的中线，E是AD上一点，且AE：：2，BE的延长线交AC于F，则AF：______.13.黄金分割是指把一条线段分割为两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，其比值等于如图，在正方形ABCD中，点G为边BC延长线上一动点，连接AG交对角线BD于点H，的面积记为，四边形DHCG的面积记为如果点C是线段BG的黄金分割点，则的值为______.14.如图，，AF与BE相交于点G，且，，，那么的值等于______.15.如图，在中，D在AC边上，AD：：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于点E，若，则EC的长为______.三、解答题：本题共4小题，共32分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

九年级数学下册比例线段

九年级数学下册比例线段一．解答题（共30小题）1．已知（a+b）：（b+c）：（c+a）=7：14：9求：①a：b：c②．2．（2014•嘉定区二模）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=∠ABC=90°，E 为CD的中点，联结AE并延长交BC的延长线于F；（1）联结BE，求证：BE=EF．（2）联结BD交AE于M，当AD=1，AB=2，AM=EM时，求CD的长．3．（2014•青浦区一模）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E﹨F分别是边BC，CD上的点，且EF∥BD，AE﹨AF分别交BD与点G和点H，BD=12，EF=8．求：（1）的值；（2）线段GH的长．4．（2013•闵行区三模）已知：如图，△ABC是等边三角形，点D在边BC上，且△ADE是等边三角形．过点E作EF∥BC，EF分别与线段AB﹨AC﹨AD相交于点F﹨G﹨H，联结CE．（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；（2）如果AD⊥BC，求证：BC=2FG．5．（2013•明溪县质检）如图，C是线段AB上一动点，分别以AC﹨BC为边作等边△ACD．等边△BCE，连接AE﹨BD分别交CD﹨CE于M﹨N两．（1）求证：AE=BD；（2）判断直线MN与AB的位置关系；（3）若AB=10，当点C在AB上运动时，是否存在一个位置使MN的长最大？若存在请求出此时AC的长以及MN的长．若不存在请说明理由．6．（2012•贵港）如图，在▱ABCD中，延长CD到E，使DE=CD，连接BE交AD于点F，交AC于点G．（1）求证：AF=DF；（2）若BC=2AB，DE=1，∠ABC=60°，求FG的长．7．（2012•上海模拟）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E﹨F分别是边BC﹨CD的中点，直线EF交边AD的延长线于点M，交边AB的延长线于点N，连接BD．（1）求证：四边形DBEM是平行四边形；（2）连接CM，当四边形ABCM为平行四边形时，求证：MN=2DB．8．（2012•顺义区二模）如图，在矩形ABCD中，E是边CB延长线上的点，且EB=AB，DE 与AB相交于点F，AD=2，CD=1，求AE及DF的长．9．（2012•卢湾区一模）如图，已知梯形ABCD中，AB∥DC，△AOB的面积等于9，△AO D的面积等于6，AB=7，求CD的长．10．（2012•虹口区二模）如图，已知ED∥BC，GB2=GE•GF（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；（2）连接GD，若GB=GD，求证：四边形ABCD为菱形．11．（2012•嘉定区一模）如图，直线l1﹨l2﹨l3分别交直线l4于点A﹨B﹨C，交直线l5于点D ﹨E﹨F，且l1∥l2∥l3，已知EF：DF=5：8，AC=24．（1）求AB的长；（2）当AD=4，BE=1时，求CF的长．12．（2012•卢湾区一模）如图，已知点F在AB上，且AF：BF=1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD=2：1，连接FD与AC交于点N，求FN：ND的值．13．（2011•菏泽）（1）已知一次函数y=x+2与反比例函数，其中一次函数y=x+2的图象经过点P（k，5）．①试确定反比例函数的表达式；②若点Q是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点Q的坐标．（2）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，AD=1，BC=4，E为AB中点，EF∥DC交BC于点F，求EF的长．14．（2011•百色）已知矩形ABCD的对角线相交于点O，M﹨N分别是OD﹨OC上异于O﹨C﹨D的点．（1）请你在下列条件①DM=CN，②OM=ON，③MN是△OCD的中位线，④MN∥AB中任选一个添加条件（或添加一个你认为更满意的其他条件），使四边形ABNM为等腰梯形，你添加的条件是_________ ．（2）添加条件后，请证明四边形ABNM是等腰梯形．15．（2011•辽阳）如图，⊙O经过点B﹨D﹨E，BD是⊙O的直径，∠C=90°，BE平分∠ABC．（1）试说明直线AC是⊙O的切线；（2）当AE=4，AD=2时，求⊙O的半径及BC的长．16．（2011•通州区二模）如图，矩形OABC的面积为，它的对角线OB与双曲线相交于点D，且OB：OD=5：3，则k= _________ ．17．（2011•抚顺一模）如图1，在▱ABCD中，AC﹨BD相交于点O，BM⊥直线AC于M，DN⊥直线AC于N．（1）线段OM﹨ON有什么样的数量关系？直接写出结论；（2）若直线AC绕点A旋转到图2的位置时，其它条件不变，线段OM﹨ON有什么样的数量关系？请给予证明；（3）若直线AC饶点A继续旋转，通过前面问题的解决你会发现什么规律？在备用图中画出一个与图2不同位置的图形，并给予证明．18．（2011•宣城模拟）我们知道连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；通过证明可以得到“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”类似三角形中位线，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图在梯形ABCD中，AD∥B C，点E，F分别是AB﹨CD的中点，观察EF的位置，联想三角形中位线的性质，你能发现梯形的中位线有什么性质？证明你的结论．（2）如果点E分线段AB为=，EF∥BC交CD于F，AD=3，BC=5，请你利用第（1）的结论求出EF= _________ （直接填写结果）；（3）如果点E分线段AB为=，EF∥BC交CD 于F，AD=a，BC=b，求EF的长．19．（2011•安溪县质检）已知：如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC相交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，CF=2，求BE的长．20．（2011•昌平区二模）梯形ABCD中DC∥AB，AB=2DC，对角线AC﹨BD相交于点O，BD=4，过AC的中点H作EF∥BD分别交AB﹨AD于点E﹨F，求EF的长．21．（2011•青浦区一模）如图，在△ABC中，点D是AB上的一点，过点D作DE∥BC交边AC于点E，过点E作EF∥DC交AD于点F．已知AD=2cm，AB=8cm．求：（1）的值；（2）的值．22．（2011•嘉定区二模）如图，已知B是线段AE上一点，ABCD和BEFG都是正方形，连接AG﹨CE．（1）求证：AG=CE；（2）设CE与GF的交点为P，求证：．23．（2011•奉贤区一模）如图：AD∥EG∥BC，EG分别交AB﹨DB﹨AC于点E﹨F﹨G，已知AD=6，BC=10，AE=3，AB=5，求EG﹨FG的长．24．（2011•徐汇区一模）已知：▱ABCD中，E是BA边延长线上一点，CE交对角线DB于点G，交AD边于点F．求证：CG2=GF•GE．25．（2011•嘉定区一模）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB 于点E，DE=4，BC=6，AD=5．求DC与AE的长．26．（2011•徐汇区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=15，，E为线A C上一点（不与A﹨C重合），过点E作ED⊥AC交线段AB于点D，将△ADE沿着直线DE翻折，A的对应点G落在射线AC上，线段DG与线段BC交于点M．（1）若BM=8，求证：EM∥AB；（2）设EC=x，四边形的ADMC的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出定义域．27．（2011•闵行区一模）如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=11，BC=13，AB=12．动点P﹨Q分别在边AD和BC上，且BQ=2DP．线段PQ与BD相交于点E，过点E作EF∥BC，交CD于点F，射线PF交BC的延长线于点G，设DP=x．（1）求的值．（2）当点P运动时，试探究四边形EFGQ的面积是否会发生变化？如果发生变化，请用x的代数式表示四边形EFGQ的面积S；如果不发生变化，请求出这个四边形的面积S．（3）当△PQG是以线段PQ为腰的等腰三角形时，求x的值．28．（2010•济宁）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图1，正方形ABCD的边长为12，P为边BC延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交边DC于M，交边AB 的延长线于N．当CP=6时，EM与EN的比值是多少？经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E作直线平行于BC交DC，AB分别于F，G ，如图2，则可得：，因为DE=EP，所以DF=FC．可求出EF和EG的值，进而可求得EM与EN的比值．（1）请按照小明的思路写出求解过程．（2）小东又对此题作了进一步探究，得出了DP=MN的结论，你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由．29．（2010•大连）如图1，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F，若AC=mBC，CE=kEA，探索线段EF与EG的数量关系，并证明你的结论．说明：如果你反复探索没有解决问题，可以选取（1）或（2）中的条件，选（1）中的条件完成解答满分为7分；选（2）中的条件完成解答满分为5分．（1）m=1（如图2）（2）m=1，k=1（如图3）30．（2010•武汉）已知：线段OA⊥OB，点C为OB中点，D为线段OA上一点．连接AC，B D交于点P．（1）如图1，当OA=OB，且D为OA中点时，求的值；（2）如图2，当OA=OB，且时，求tan∠BPC的值．（3）如图3，当AD：AO：OB=1：n：时，直接写出tan∠BPC的值．比例线段参考答案与试题解析1．已知（a+b）：（b+c）：（c+a）=7：14：9求：①a：b：c②．考点：比例的性质．专题：计算题．分析：根据比例的基本性质可设a+b=7k，b+c=14k，c+a=9k，进而求得a﹨b﹨c的值，再分别代入求值．解答：解：①∵（a+b）：（b+c）：（c+a）=7：14：9设a+b=7k，b+c=14k，c+a=9k，∴a+b+c=15k，∴a=k，b=6k，c=8k，∴a：b：c=1：6：8②==﹣．点评：本题是基础题，考查了比例的基本性质，比较简单．2．（2014•嘉定区二模）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=∠ABC=90°，E 为CD的中点，联结AE并延长交BC的延长线于F；（1）联结BE，求证：BE=EF．（2）联结BD交AE于M，当AD=1，AB=2，AM=EM时，求CD的长．考点：直角梯形；全等三角形的判定与性质；勾股定理；平行线分线段成比例．分析：（1）证明△DAE≌△CFE可得AE=FE，再根据直角三角形的性质可得BE= EF；（2）过D作DH⊥BF于H，证明四边形ABHD为矩形，再由AD=BH，可得AD=CH，进而得到CH=1，然后根据勾股定理可得答案．解答：（1）证明：∵ABCD为直角梯形，∠A=∠ABC=90°，AD∥BC，∴∠DAE=∠CFE，∠ADE=∠FCE，∵E为CD的中点，∴DE=CE，在△DAE和△CFE中，，∴△DAE≌△CFE（AAS），∴AE=FE，AD=FC，在直角三角形ABF中：BE=AE=FE；（2）∵AM=EM，AE=FE，∴AM=FM，∵AD∥BC，∴==，过D作DH⊥BF于H，∴∠DHB=90°，∵∠DAB=∠ABC=90°，∴四边形ABHD为矩形，∵AD=BH，∴AD=CH，在直角三角形CDH中，CH=AD=1，DH=AB=2，CD==．点评：此题主要考查了直角梯形，关键是掌握直角梯形中常用辅助线，作高，构造矩形和直角三角形．3．（2014•青浦区一模）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E﹨F分别是边BC，CD上的点，且EF∥BD，AE﹨AF分别交BD与点G和点H，BD=12，EF=8．求：（1）的值；（2）线段GH的长．考点：平行线分线段成比例；平行四边形的性质．分析：（1）根据EF∥BD，则=，再利用平行四边形的性质即可得出的值；（2）利用DF∥AB，则==，进而得出==，求出GH即可．解答：解：（1）∵EF∥BD，∴=，∵BD=12，EF=8，∴=，∴=，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB= CD，∴=；（2）∵DF∥AB，∴==，∴=，∵EF∥BD，∴==，∴=，∴GH=6．点评：此题主要考查了平行线分线段成比例定理以及平行四边形的性质，熟练根据平行线分线段成比例定理得出GH的长是解题关键．4．（2013•闵行区三模）已知：如图，△ABC是等边三角形，点D在边BC上，且△ADE是等边三角形．过点E作EF∥BC，EF分别与线段AB﹨AC﹨AD相交于点F﹨G﹨H，联结CE．（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；（2）如果AD⊥BC，求证：BC=2FG．考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行线分线段成比例．专题：证明题．分析：（1）通过全等三角形△BAD≌△CAE（SAS）的对应角相等判定∠B=∠A CE=60°．则∠ACE=∠BAC．所以根据平行线的判定知BF∥CE．又EF∥BC，故两组对边互相平行的四边形是平行四边形，即四边形BCEF是平行四边形；（2）由垂直得到直角，即由AD⊥BC，得到∠ADC=90°．然后根据（1）中的平行线得到∠AHE=∠ADC=90°．即EH⊥AD．又△ADE是等边三角形，所以EA=ED．AH=DH．再根据平行线分线段成比例得到．即AF=BF，同理可得AG=CG．故BC=2FG．解答：证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠B=60°．同理可知，AD=AE，∠DAE=60°．即得∠BAC=∠DAE．∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC．即得∠BAD=∠CAE．∴在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE（SAS）．∴∠B=∠ACE=60°．∴∠ACE=∠BAC．∴BF∥CE．又∵EF∥BC，∴四边形BCEF是平行四边形；（2）∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°．又∵EF∥BC，∴∠AHE=∠ADC=90°．即EH⊥AD．又∵△ADE是等边三角形，∴EA=ED．∴AH=DH．∵EF∥BC，∴．∴AF=BF，同理可得AG=CG．∴BC=2FG．点评：本题综合考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例等知识点，综合性比较强，需要同学们对知识有一个系统的掌握．5．（2013•明溪县质检）如图，C是线段AB上一动点，分别以AC﹨BC为边作等边△ACD．等边△BCE，连接AE﹨BD分别交CD﹨CE于M﹨N两．（1）求证：AE=BD；（2）判断直线MN与AB的位置关系；（3）若AB=10，当点C在AB上运动时，是否存在一个位置使MN的长最大？若存在请求出此时AC的长以及MN的长．若不存在请说明理由．考点：平行线分线段成比例；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．专题：几何综合题．分析：（1）根据等边三角形的性质可得DC=AC，EC=BC，∠DCB=∠ACE=120°，然后利用“边角边”证明△DCB和△ACE全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）根据全等三角形对应角相等求出∠NBC=∠MEC，再求出∠NCB=∠MCE=60°，然后利用“角边角”证明△NCB和△MCE全等，根据全等三角形对应边相等可得CN=CM，从而求出△CMN是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠NMC=∠ACD=60°，然后利用内错角相等，两直线平行即可证明；（3）设AC=x，MN=y，根据平行线分线段成比例定理可得=，再表示出EC﹨CN﹨EN，整理得到y﹨x的函数关系式，再根据二次函数的最值问题解答．解答：（1）证明：∵△ACD和△BCE均为等边三角形，∴DC=AC，EC=BC，且∠DCB=∠ACE=120°，∵在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE（SAS），∴AE=BD；（2）MN∥AB．理由如下：由（1）可知△DCB≌△ACE，∴∠NBC=∠MEC，又∵∠MCE=180°﹣60°﹣60°=60°，∴∠NCB=∠MCE=60°，∵在△NCB和△MCE中，，∴△NCB≌△MCE（ASA），∴CN=CM，又∵∠MCE=60°，∴△CMN是等边三角形，∴∠NMC=∠ACD=60°，∴MN∥AB；（3）设AC=x，MN=y，∵MN∥AB，∴=，又∵CB=EC=10﹣x，CN=y，EN=10﹣x﹣y，∴=，整理得，y=﹣x2+x，配方得y=﹣（x﹣5）2+2.5（0＜x＜10），∴当x=5cm时，线段MN有最大值2.5cm．点评：本题考查了平行线分线段成比例定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，综合性较强，难度较大，准确识图，找出全等三角形的条件是解题关键．6．（2012•贵港）如图，在▱ABCD中，延长CD到E，使DE=CD，连接BE交AD于点F，交AC于点G．（1）求证：AF=DF；（2）若BC=2AB，DE=1，∠ABC=60°，求FG的长．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理；平行线分线段成比例．专题：证明题．分析：（1）连接AE﹨BD﹨根据AB∥CD，AB=CD=DE，得出平行四边形ABDE，即可推出答案；（2）在BC上截取BN=AB=1，连接AN，推出△ANB是等边三角形，求出CN=1=AN，根据三角形的内角和定理求出∠BAC=90°，由勾股定理求出AC，根据△AGB∽△CGE，得出==，求出AG，在△BGA中，由勾股定理求出BG，求出GE﹨BE，根据平行四边形BDEA求出BF，即可求出答案．解答：（1）证明：连接BD﹨AE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵DE=CD，∴AB∥DE，AB=DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AF=DF．（2）解：在BC上截取BN=AB=1，连接AN，∵∠ABC=60°，∴△ANB是等边三角形，∴AN=1=BN，∠ANB=∠BAN=60°，∵BC=2AB=2，∴CN=1=AN，∴∠ACN=∠CAN=×60°=30°，∴∠BAC=90°，由勾股定理得：AC==，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△AGB∽△CGE，∴==，∴=，AG=，在△BGA中，由勾股定理得：BG==，∵=，∴GE=，BE=+=2，∵四边形ABDE是平行四边形，∴BF=BE=，∴FG=﹣=．点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，勾股定理等，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力，题目比较好，综合性比较强．7．（2012•上海模拟）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E﹨F分别是边BC﹨CD的中点，直线EF交边AD的延长线于点M，交边AB的延长线于点N，连接BD．（1）求证：四边形DBEM是平行四边形；（2）连接CM，当四边形ABCM为平行四边形时，求证：MN=2DB．考点：平行线分线段成比例；平行四边形的判定与性质；梯形．分析：（1）首先根据三角形中位线定理可得EF∥BD，再有条件AD∥BC，可根据两边互相平行的四边形是平行四边形，可判定四边形DBEM是平行四边形；（2）首先根据平行线分线段成比例定理可得=，再根据BE=CE，可得BN=CM，进而得到AB=BN，再由EF∥BD，可得=，进而得到MN=2DB．解答：证明：（1）∵点E﹨F分别是边BC﹨CD的中点，∴EF∥BD，又∵AD∥BC，∴四边形DBEM是平行四边形；（2）∵四边形ABCM为平行四边形，∴AB=CM，AB∥CM，∴=，∵BE=CE，∴BN=CM，∴AB=BN，∵EF∥BD，∴=．∴MN=2DB．点评：此题主要考查了三角形中位线定理，以及平行四边形的判定﹨平行线分线段成比例定理，关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理：定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．定理2：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．定理3：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．8．（2012•顺义区二模）如图，在矩形ABCD中，E是边CB延长线上的点，且EB=AB，DE 与AB相交于点F，AD=2，CD=1，求AE及DF的长．考点：平行线分线段成比例；勾股定理；矩形的性质．分析：利用矩形的性质﹨勾股定理求得AE的长度；然后在Rt△DCE中根据平行线分线段成比例可知EF﹨DF间的数量关系；最后利用线段ED与EF﹨DF间的和差关系即可求得DF的长度．解答：解：∵四边形ABCD是矩形，且AD=2，CD=1，∴BC=AD=2，AB=CD=1，∠ABC=∠C=90°，AB∥DC．∴EB=AB=1．在Rt△ABE中，；在Rt△DCE中，；∵AB∥DC，∴．设EF=x，则DF=2x．∵EF+DF=DE，∴x+2x=∴x=，∴DF=2x=．点评：本题考查了勾股定理﹨矩形的性质以及平行线分线段成比例．利用平行线分线段成比例定理时，要找准对应关系．9．（2012•卢湾区一模）如图，已知梯形ABCD中，AB∥DC，△AOB的面积等于9，△AO D的面积等于6，AB=7，求CD的长．考点：平行线分线段成比例．分析：根据△AOB的面积等于9，△AOD的面积等于6，可知OB：OD的值，再根据平行线分线段成比例即可求解．解答：解：∵AB∥DC，∴=，…（3分）∵△AOB的面积等于9，△AOD的面积等于6，∴=，（3分）∴==，∵AB=7，∴CD=．点评：本题主要考查了平行线分线段成比例和等高三角形的面积的比等于对应底边的比的性质，熟练掌握性质是解题的关键．10．（2012•虹口区二模）如图，已知ED∥BC，GB2=GE•GF（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；（2）连接GD，若GB=GD，求证：四边形ABCD为菱形．考点：平行线分线段成比例；平行四边形的判定；菱形的判定．专题：证明题．分析：（1）根据平行线分线段成比例定理可以得到：，然后根据GB2=GE •GF变形得到：，则，然后利用平行线分线段成比例定理的逆定理即可证得AB∥CD，根据平行四边形的定义即可证得；（2）根据平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，得到O是BD的中点，再根据GB=GD，利用等腰三角形的性质即可得到BD⊥AC，利用菱形的判定定理即可证得．解答：证明：（1）∵ED∥BC，∴．∵GB2=GE•GF，∴，∴，∴AB∥CF，即AB∥CD．又∵ED∥BC∴四边形ABCD为平行四边形；（2）连接BD交AC于点O．∵四边形ABCD为平行四边形．∴BO=DO，∵GB=GD∴OG⊥BD 即AC⊥BD．又∵四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD为菱形．点评：本题考查了平行线分线段成比例定理及其逆定理，和菱形的判定定理，等腰三角形的三线合一定理，运用平行线分线段成比例定理，找准对应关系是关键．11．（2012•嘉定区一模）如图，直线l1﹨l2﹨l3分别交直线l4于点A﹨B﹨C，交直线l5于点D ﹨E﹨F，且l1∥l2∥l3，已知EF：DF=5：8，AC=24．（1）求AB的长；（2）当AD=4，BE=1时，求CF的长．考点：平行线分线段成比例．专题：计算题．分析：（1）根据l1∥l2∥l3，推出==，代入求出BC即可求出AB；（2）根据l1∥l2∥l3，得出==，求出OB﹨OC，根据平行线分线段成比例定理得出==，代入求出即可．解答：（1）解：∵l1∥l2∥l3，EF：DF=5：8，AC=24，∴==，∴=，∴BC=15，∴AB=AC﹣BC=24﹣15=9．（2）解：∵l1∥l2∥l3∴==，∴=，∴OB=3，∴OC=BC﹣OB=15﹣3=12，∴==，∴=，∴CF=4．点评：本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键，题目比较典型，难度适中，注意：对应成比例．12．（2012•卢湾区一模）如图，已知点F在AB上，且AF：BF=1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD=2：1，连接FD与AC交于点N，求FN：ND的值．考点：平行线分线段成比例．专题：证明题．分析：过点F作FE∥BD，交AC于点E，求出=，得出FE=BC，根据已知推出CD=BC，根据平行线分线段成比例定理推出=，代入化简即可．解答：解：过点F作FE∥BD，交AC于点E，∴=，∵AF：BF=1：2，∴=，∴=，即FE=BC，∵BC：CD=2：1，∴CD=BC，∵FE∥BD，∴===．即FN：ND=2：3．证法二﹨连接CF﹨AD，∵AF：BF=1：2，BC：CD=2：1，∴==，∵∠B=∠B，∴△BCF∽△BDA，∴==，∠BCF=∠BDA，∴FC∥AD，∴△CNF∽△AND，∴==．点评：本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：平行线分的线段对应成比例，此题具有一定的代表性，但是一定比较容易出错的题目．13．（2011•菏泽）（1）已知一次函数y=x+2与反比例函数，其中一次函数y=x+2的图象经过点P（k，5）．①试确定反比例函数的表达式；②若点Q是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点Q的坐标．（2）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，AD=1，BC=4，E为AB中点，EF∥DC交BC于点F，求EF的长．考点：反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；平行四边形的判定与性质；梯形；平行线分线段成比例．专题：证明题；数形结合；待定系数法．分析：（1）①由一次函数y=x+2的图象经过点P（k，5）可以得到5=k+2，可以求出k，也就求出了反比例函数的表达式；②由于点Q是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，联立得方程组，解方程组即可求解；（2）过点A作AG∥DC，然后证明四边形AGCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得到GC=AD，然后利用已知条件求出BG，再在Rt△ABG中利用勾股定理求出AG，又EF∥D C∥AG，利用平行线分线段成比例即可解决问题．解答：解：（1）①因一次函数y=x+2的图象经过点P（k，5），所以得5=k+2，解得k=3，所以反比例函数的表达式为；（3分）②联立得方程组，解得或，经检验：都是原方程组的解，故第三象限的交点Q的坐标为（﹣3，﹣1）．（2）解：过点A作AG∥DC，∵AD∥BC，∴四边形AGCD是平行四边形，（2分）∴GC=AD，∴BG=BC﹣AD=4﹣1=3，在Rt△ABG中，AG==，（4分）∵EF∥DC∥AG，∴，∴EF==．（6分）点评：此题的第一小题考查了待定系数法确定函数的解析式和函数图象的交点坐标与解析式的关系，第二小题考查了梯形的性质﹨勾股定理﹨平行线分线段成比例的定理即平行四边形的性质与判定，有一定的综合性，难度不大．14．（2011•百色）已知矩形ABCD的对角线相交于点O，M﹨N分别是OD﹨OC上异于O﹨C﹨D的点．21 / 21。

初一上册含比例的线段证明题

初一上册含比例的线段证明题
A平面垂直与一条直线，
设平面和直线的交点为P
B平面垂直与一条直线，
设平面和直线的交点为Q
假设A和B不平行，那么一定有交点。

设有交点R，那么
做三角形PQR
PR垂直PQ QR垂直PQ
没有这样的三角形。

因为三角形的内角和为180
所以A一定平行于B
证明：如果a‖b,a‖c,那么b‖c 证明:假使b、c不平行则b、c交于一点O 又因为a‖b,a‖c 所以过O有b、c两条直线平行于a 这就与平行公理矛盾所以假使不成立所以b‖c 由同位角相等，两直线平行，可推出：内错角相等，两直线平行。

同旁内角互补，两直线平行。

因为a‖b,a‖c, 所以b‖c (平行公理的推论)。

比例及平行线分线段成比例

比例及平行线分线段成比例补充习题〘例1〙已知0543≠==z y x ，那么zy x z y x +++-＝ . 分析：此类问题有多种解法，一是善于观察所求式子的特点，灵活运用等比性质求解；二是利用方程的观点求解，将已知条件转化为z x 53=，z y 54=，代入所求式子即可得解；三是设“k ”值法求解，这种方法对于解有关连比的问题十分方便有效，要掌握好这一技巧.变式1：已知32===f e d c b a ，若032≠-+-f d b ，则3222-+--+-f d b e c a ＝ .变式2：已知3:1:2::=z y x ，求yx zy x 232++-的值.变式3：已知aac b b c b a c c b a k -+=+-=-+=，则k 的值为 .〖定理1〗三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等.〖定理2〗平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等.b cab c〘例2〙如图，在△ABC 中，点E 、F 分别在AB 、AC 上，且AE ＝AF ，EF 的延长线交BC 的延长线于点D 。

求证：CD ∶BD ＝CF ∶BE .分析：在题设中，没有平行的条件，要证明线段成比例，可考虑添加平行线，观察图形，对照结论，需要变换比CF ∶BE ，为了变换比CF ∶BE ，可以过点C 作BE 的平行线交ED 于G ，并设法证明CG ＝CF 即可获证.本例为了实现将比CF ∶BE 转换成比CD ∶BD 的目的，还有多种不同的添画平行线的方法，它们的共同特征都是构造平行线截得的线段成比例的基本图形，请你们参考图形，自己去构思证明。

例2图4GFED C B A变式1图FEDCB A变式2图FED CB A变式1：已知如图，D 是△ABC 的边BC 的中点，且31 BE AE ，求FCAF的值.变式2：如图，BD ∶DC ＝5∶3，E 为AD 的中点，求BE ∶EF 的值.例2图1 GF E D C B A 例2图3GF ED C BA例2图2 G FE D C B A〖探索与创新〗〘问题〙请阅读下面材料，并回答所提出的问题：三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。

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如图，在□ABCD中，过B做直线交AC于F，交DC于G，交AD的延长线于E.试说明：BF2＝FE•FG.
如图，ΔABC与ΔADB中，∠ABC=∠ADB=90°，AC=5cm，AB=4cm，如果图中的两个直角三角形相似，求AD的长.
如图，点C、D在线段AB上，且ΔPCD是等边三角形.
(1)当AC，CD，DB满足怎样的关系时，ΔACP∽ΔPCB；
(2)当ΔPCB∽ΔACP时，试求∠APB的度数.
如下图，已知在△ABC中，AD平分∠BAC,EM是AD的中垂线，交BC延长线于E.求证：DE2=BE·CE.
已知:如图,ΔABC中,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC.
求证:AB·BC=AC·CD.
F G
E
D
C
B
A
如图，点C 、D 在线段AB 上，且△PCD 是等边三角形．
（1）当AC 、CD 、DB 满足怎样的关系式时，△ACP ∽△PDB ．
（2）当△PDB ∽△ACP 时，试求∠APB 的度数．
如图，已知在△ABC 中，BE 平分ABC ∠交AC 于E ，点D 在BE 延长线上，且BE BD BC BA ⋅=⋅．
（1）求证：△ABD ∽△EBC ；（2）求证：DE BD AD ⋅=2．
如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D
是AB 上
一点，BD =2，E 是BC 上一动点，联结DE ，并作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F ．
（1）求证：△DBE ∽△ECF ；
（2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长；
（3）联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长．
E
D
A
B
F
B
A
C D B
A
C
D (备用图)。