最新苏科版证明比例线段练习题
比例线段练习题及答案
比例线段练习题及答案一、选择题1. 在比例线段中，如果a:b=c:d，那么下列哪个等式是正确的？A. ad=bcB. ac=bdC. ab=cdD. a^2=cd^22. 已知线段AB=6cm，线段CD=8cm，且AB:CD=2:3，求线段AC的长度。
A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 12cm3. 如果x:y=3:4，y:z=5:6，那么x:z的比例为：A. 15:24B. 3:4C. 5:6D. 3:6二、填空题1. 若线段EF=10cm，线段GH=15cm，且EF:GH=2:3，根据比例线段的性质，线段______的长度为20cm。
2. 已知线段MN=12cm，线段OP=18cm，若MN:OP=4:3，求线段NP的长度，答案为______。
三、解答题1. 已知线段AB=3cm，线段CD=6cm，且AB:CD=1:2。
如果线段EF与线段AB成比例，求线段EF的长度。
2. 线段GH=14cm，线段IJ=21cm，若GH:IJ=2:3，求线段GI的长度。
四、证明题1. 已知线段AB=8cm，线段CD=12cm，线段EF=10cm，线段GH=15cm，且AB:CD=EF:GH。
证明线段AB、CD、EF、GH构成的比例线段是正确的。
2. 线段KL=5cm，线段MN=7cm，线段OP=10cm，线段QR=14cm。
若KL:MN=OP:QR，证明线段KL、MN、OP、QR构成的比例线段是正确的。
五、应用题1. 一个三角形ABC的三边长分别为AB=2x，BC=3x，AC=4x。
如果三角形ABC与三角形DEF相似，且三角形DEF的边长DE=8cm，求三角形DEF的另外两边长。
2. 一个长方形的长为20cm，宽为15cm。
如果一个相似的长方形的长为25cm，求其宽。
答案：一、1. A2. B3. A二、1. EF2. 9cm三、1. 线段EF的长度为2cm。
2. 线段GI的长度为21cm。
四、1. 由题意知AB:CD=EF:GH，即3:6=10:15，可以验证比例关系是正确的。
比例线段的练习题
比例线段的练习题在几何学中，比例线段是一种重要的概念，它常常出现在各种几何问题和计算中。
通过练习比例线段的计算和应用，我们可以更好地理解和运用这一概念。
本文将提供一些关于比例线段的练习题，帮助读者加深对比例线段的理解。
练习题一：已知线段AB长为12cm，线段CD长为8cm，且线段AB与线段CD成比例。
请计算线段EF的长度，使得线段EF与线段CD的比例与线段AB与线段CD的比例相同。
解答：设线段EF的长度为x，则根据线段比例的定义可得：AB/CD = EF/CD将已知条件代入上式，得到：12/8 = x/8通过求解方程，可得x = 12/2 = 6因此，线段EF的长度为6cm。
练习题二：已知线段PQ的长度为8cm，线段RS的长度为16cm，且线段PQ 与线段RS成比例。
如果线段ST的长度为12cm，且线段ST与线段RS 的比例与线段PQ与线段RS的比例相同，求线段UV的长度，并画出线段PQ、RS、ST、UV的关系示意图。
解答：设线段UV的长度为y。
根据线段比例的定义，可得到以下两个比例关系：PQ/RS = ST/RSRS/ST = UV/ST将已知条件代入上述比例关系，得到：8/16 = 12/1616/12 = y/12通过求解方程，可得y = 16/3因此，线段UV的长度为16/3 cm。
下面是线段PQ、RS、ST、UV的关系示意图（图中标注的长度并非按比例绘制）：[图示]通过上述练习题，我们可以加深对比例线段的理解和应用。
通过计算和推导，我们能够更好地掌握比例线段的概念和运用方法。
希望读者通过这些练习题能够提高对比例线段的认识，并在实际问题中能够灵活运用。
成比例线段练习题及答案
成比例线段练习题及答案一、选择题1. 若线段AB与线段CD成比例，且AB=10cm，CD=8cm，则线段AB与线段CD的比例系数为：A. 0.8B. 1.25C. 1.5D. 2.52. 在比例线段中，若a:b = c:d，且a=6cm，b=3cm，c=4cm，则d的值是：A. 2cmB. 6cmC. 8cmD. 12cm3. 若线段EF与线段GH成比例，且EF=15cm，GH=20cm，求EF:GH的比例系数：A. 0.75B. 3/4C. 4/5D. 5/4二、填空题4. 若线段XY与线段PQ的比例系数为2，且XY=4cm，则PQ的长度是______。
5. 在比例线段中，若x:y = 3:5，且x=9cm，则y的长度是______。
6. 若线段MN与线段RS的比例系数为4/3，且RS=12cm，则MN的长度是______。
三、解答题7. 已知线段AB与线段CD的比例系数为3/2，求证线段AB与线段CD的乘积等于线段AB的平方。
8. 若线段EF与线段GH的比值为4:7，线段EF的长度为16cm，求线段GH的长度。
9. 线段IJ与线段KL成比例，比例系数为5/6，若线段IJ的长度为20cm，求线段KL的长度。
四、证明题10. 已知线段MN与线段OP成比例，比例系数为k，求证线段MN与线段OP的长度之和等于线段MN的长度加上k倍的线段OP的长度。
五、应用题11. 在一个矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，若将矩形ABCD按比例放大，使得AB变为12cm，求放大后的矩形的对角线AC的长度。
12. 某工厂生产零件，原设计零件长度为10cm，现需按比例缩小至5cm，求缩小后零件的面积与原零件面积的比例。
六、综合题13. 在三角形ABC中，AB=5cm，AC=7cm，BC=6cm，若三角形DEF与三角形ABC相似，且DE=10cm，求三角形DEF的边长DF和EF。
14. 已知线段GH与线段IJ的比例系数为3，若线段GH的长度为9cm，求线段IJ的长度，并计算线段GH与线段IJ的面积比。
苏教版数学六年级下册专项～比例解决问题【含答案】
苏教版数学六年级下册专项-比例解决问题1．一个精密零件，长5厘米，画在图纸上长0.4米．这张图纸的比例尺是多少？2．填空并按要求作图。
（1）以AB为轴，将三角形ABC旋转一周能形成________。
（填几何体名称）（2）在适当的位置按2∶1的比画出三角形ABC放大后的图形。
（3）在适当的位置按1∶2的比画出长方形缩小后的图形。
3．在一幅比例尺是1∶4000000的地图上量得甲、乙两地的距离是16厘米。
若画在比例尺是1∶8000000的地图上，两地间的图上距离是多少厘米？4．画一画，填一填。
（1）按3∶1的比画出图形A放大后得到的图形B。
（2）按1∶2的比画出图形B缩小后得到的图形C。
我发现：放大或缩小前后的图形（）变了，但（）没有变，而且图形各部分长度是按一定的比变化的。
5．在一张比例尺是1∶150的建筑图纸上，量得一座大楼的长是6分米，这座大楼的实际长与宽的比是3∶1，这座大楼的实际宽是多少米？6．下图中小平行四边形按比放大后得到大平行四边形，求大平行四边形的高。
（单位：分米）12．根据图中提供的信息，完成下列问题。
（1）自来水厂要从水库取水，取水管道怎样铺最短，请在图中画出来。
（2）自来水厂到城区的送水管道经测算最短是2000米，请你测算：自来水厂到水库的取水管道最短需多少米？13．在一幅地图上，用5厘米长的线段表示实际距离100千米，这幅地图的比例尺是多少？如果甲市至乙市的铁路线路长150千米，那么这段铁路线路在这幅地图上的长度是多少厘米？14．江苏省云龙湖景区杏花坞广场是人们夏天避暑纳凉的佳处。
广场绿地面积与铺装面积的比是6∶5，其中铺装面积共5000平方米，绿地面积有多少平方米？15．甲乙两城相距150千米，在一幅地图上量得甲乙两城之间的距离是5厘米，同时在这幅地图上量得乙丙两城之间的距离是8厘米。
乙丙两城之间的实际距离是多少千米？20．下图中A点是游乐场所在的位置，B点是电影院所在的位置，两地实际距离相距2千米。
2024九下平行线分线段成比例常见应用的六种技巧习题新版苏科版
2 如图，在△ABC 中，D 是 AB 上一点，E 是△ ABC 内一 点，DE∥BC，过点 D 作 AC 的平行线交 CE 的F＝PPAB.
证明：∵DE∥BC，∴PPDB＝PPEC. ∴PD·PC＝PE·PB. ∵DF∥AC，∴PPFC＝PPAD. ∴PD·PC＝PF·PA. ∴PE·PB＝PF·PA. ∴PPEF＝PPAB.
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平行线分线段成比例常见应用的六种技巧
1 如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，连 接DE并延长与BA的延长线交于点F，且BD＝DC. 求证：AEEC＝FFAB.
证明：如图，过点 A 作 AM∥DF 交 BD 于 M， 则AEEC＝MDCD，FFAB＝DBMD . ∵BD＝DC，∴AEEC＝FFAB.
证明：∵△ABC与△DCE都是等边三角形， ∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°. ∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD， 即∠BCD＝∠ACE. ∴△ACE≌△BCD(SAS)．
(2)AGGC＝AFFE. 证明：∵△ACE≌△BCD，∴∠BDC＝∠AEC. 又∵∠GCD＝180°－∠ACB－∠DCE＝60°＝ ∠FCE，CD＝CE，∴△GCD≌△FCE(ASA)． ∴CG＝CF.∴△CFG 为等边三角形． ∴∠CFG＝60°＝∠DCE. ∴GF∥CE.∴AGGC＝AFFE.
3 如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD.
求证：AADB＝AADF. 证明：∵EF∥CD，∴AADF＝AAEC. ∵DE∥BC，∴AADB＝AAEC. ∴AADB＝AADF.
4 如图，已知B，C，E三点在同一条直线上，△ABC与 △DCE都是等边三角形．其中线段BD交AC于点G， 线段AE交CD于点F，连接GF. 求证：(1)△ACE≌△BCD；
比例线段练习题及答案
比例线段练习题及答案一、选择题1. 在线段AB上，C为在线段AB上一点，AC:CB=2:3，则下列说法正确的是：A) AC的长度是CB的三分之二B) AC的长度等于CB的五分之二C) CB的长度等于AC的三倍D) CB的长度等于AC的五倍答案：A) AC的长度是CB的三分之二2. 在一个比例尺为1:500的地图上，两个城市的距离是8厘米，则实际距离为：A) 5000米B) 4000米C) 8000米D) 4500米答案：A) 5000米3. 在直角三角形ABC中，角A的正弦值为3/5，则下列说法正确的是：A) AB:AC = 5:3B) AB:BC = 3:5C) BC:AC = 5:3D) AC:BC = 3:5答案：A) AB:AC = 5:34. 已知线段AB与线段CD平行，AB = 5 cm，CD = 10 cm，则线段AB的放大比例为：A) 1:2B) 2:1C) 1:5D) 2:5答案：B) 2:15. 直线段的一个线段上有A、B、C三个点，AB = 5 cm，BC = 3 cm，AC = 8 cm，则下列说法正确的是：A) AB:AC = 5:8B) AB:BC = 5:3C) BC:AC = 3:8D) AB:BC = 8:3答案：D) AB:BC = 8:3二、填空题1. 根据比例线段的定义，比例线段的特点是_________________。
答案：对于线段AB和线段CD，若AB:CD=a:b，则a和b称为AB和CD的长度比例。
2. 已知线段AB = 6 cm，线段BC = 8 cm，若线段AB与线段BC成比例，则线段AB:线段BC = ________。
答案：3:43. 若线段AB与线段CD成比例，线段AB:线段CD = 2:3，且线段AB = 12 cm，则线段CD的长度为__________。
答案：18 cm4. 在一个比例尺为1:200的地图上，两个城市的实际距离为4000米，则地图上的距离为__________。
比例性质和比例线段专项练习30题(有答案)
比的性质和比例线段30题（有答案）1．若==（abc≠0），求的值．2．已知：（x、y、z均不为零），求的值．3．已知：，求代数式的值．4．已知===k，求k的值．5．已知x：y：z=2：3：4，求的值．6．已知a：b：c=3：2：1，且a﹣2b+3c=4，求2a+3b﹣4c的值．7．已知，（1）求的值；（2）若，求x值．8．已知xyz≠0且，求k的值．9．若==，求a：b：c的值．10．已知：==，求的值．11．若=k，且x+y﹣z=5，求x，y，z的值．12．如果，求k的值．13．已知线段．（1）若a：b=c：x，求x；（2）若b：y=y：c，求y．14．已知：=，说明：ab+cd是a2+c2和b2+d2的比例中项．15．已知：==≠0，求a：b：c的值．16．操场上有一群学生在玩游戏，其中男生与女生的人数比是3：2，后来又有6名女生参加进来，此时男生与女生人数的比为5：4，求原来各有多少名男生和女生？17．已知，求的值．18．求的值．19．已知，且b+d+f≠0（1）求的值；（2）若a﹣2c+3e=5，求b﹣2d+3f的值．20．已知a、b、c为△ABC的三边长，且a+b+c=36，==，求△ABC三边的长．21．已知线段a、b、c满足，且a+2b+c=26．（1）求a、b、c的值；（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x．22．（1）已知a=4，c=9，若b是a，c的比例中项，求b的值．（2）已知线段MN是AB，CD的比例中项，AB=4cm，CD=5cm，求MN的长．并思考两题有何区别．23．已知线段a=0.3m，b=60cm，c=12dm．（1）求线段a与线段b的比以及比值；（2）如果线段a，b，c，d成比例，求线段d的长．24．在长为a的线段AB上有一点C，且AC是AB，BC的比例中项，求线段AC的长．25．在△ABC中，D是BC上一点，若AB=15cm，AC=10cm，且BD：DC=AB：AC，BD﹣DC=2cm，求BC的长．26．下列各组中的a，b，c，d四个数是否成比例，若成比例请写出比例式（式中须含全部4个字母）．（1）a=1cm，b=3cm，c=6cm，d=9cm；（2）a=5cm，b=10cm，c=15cm，d=20cm；（3）a=1.9cm，b=8.1cm，c=5.7cm，d=2.7cm；（4）a=126cm，b=23cm，c=14cm，d=207cm．27．已知a，b，c，d四个数成比例，且a，d为外项．求证：点（a，b），（c，d）和坐标原点O在同一直线上．28．某考察队从营地P处出发，沿北偏东60°前进了5千米到达A地，再沿东南方向前进到达C地，C地恰好在P地的正东方向．回答下列问题：（1）用1cm代表1千米，画出考察队行进路线图；（2）量出∠PAC和∠ACP的度数（精确到1°）；（3）测算出考察队从A到C走了多少千米？此时他们离开营地多远？（精确到0.1千米）．29．（1）已知a、b、c、d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，求线段d的长．（2）已知线段a、b、c，a=4cm，b=9cm，线段c是线段a和b的比例中项．求线段c的长．（3）已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x=1时，y=4，x=2时，y=5．求：①y与x之间的函数关系式；②当x=4时，求y的值．30．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，求AB：BC的值．比的性质和比例线段30题参考答案：1．解：设===k，则a=2k，b=3k，c=5k，所以===．2．解：设=k，则x=6k，y=4k，z=3k∴===3．3．解：设=t，∴，解得，，∴==．4．解：①a+b+c≠0时，∵===k，∴k==2；②a+b+c=0时，a+b=﹣c，a+c=﹣b，b+c=﹣a，所以，k==﹣1，综上所述，k的值为2或﹣15．解：∵x：y：z=2：3：4，∴设x=2k，y=3k，z=4k，∴===6．解：∵a：b：c=3：2：1，∴设a=3k，b=2k，c=k，∵a﹣2b+3c=4，∴3k﹣4k+3k=4，∴k=2，∴a=6，b=4，c=2，∴2a+3b﹣4c=12+12﹣8=16．7．解由，设x=2k，y=3k，z=4k，（1），（2）化为，∴2k+3=k2，即k2﹣2k﹣3=0，∴k=3或k=﹣1，经检验，k=﹣1不符合题意，∴k=3，从而x=2k=6，即x=6．8．解：∵xyz≠0，∴x、y、z均不为0，①当x+y+z≠0时，∵===k，∴k==2，②当x+y+z=0时，x+y=﹣z，z+x=﹣y，y+z=﹣x，所以，k=﹣1，综上所述，k=2或﹣1．9．解：∵==，∴==，∴a+c=2b，∴==，∴=，整理得，a=b，∴b+c=2b，c=b，∴a：b：c=b：b：b=2：3：410．解：设比值为k，则2a﹣b﹣c=ka，﹣a﹣c+2b=kb，﹣a﹣b+2c=kc，所以，b+c=（2﹣k）a，a+c=（2﹣k）b，a+b=（2﹣k）c，∵==，∴=k=0，∴==（2﹣k）3，∵k=0，∴（2﹣k）3=（2﹣0）3=8，∴=8．11．解：∵===k，∴x=2k，y=3k，z=4k，∵x+y﹣z=5，∴2k+3k﹣4k=5，解得k=5，∴x=10，y=15，z=20．12．解：①当x+y+z=0时，y+z=﹣x，z+x=y，x+y=﹣z，∴k为其中任何一个比值，即k==﹣1；②x+y+z≠0时，k===2．13．解：（1）整理得：=，∴x=c÷==（2+）（2﹣）×2=2；（2）由，可得，∴y2=（2+）（2﹣）=1．∴y=±1．14．解：∵=，∴ad=bc，∵（ab+cd）2=a2b2+2abcd+c2d2，（a2+c2）（b2+d2）=a2b2+a2d2+b2c2+c2d2=a2b2+2abcd+c2d2，∴（ab+cd）2=（a2+c2）（b2+d2），∴ab+cd是a2+c2和b2+d2的比例中项15．解：设：===k，则：，①﹣②得：a﹣c=﹣k ④，③+④得：2a=6k，∴a=3k，∴b=﹣k，c=4k，∴a：b：c=3：（﹣1）：4．16．解：设男生与女生原来的人数分别为3k、2k，由题意得，=，整理得，12k=10k+30，解得k=15，3k=3×15=45，2k=2×15=30．答：原来各有45名、30名男生和女生．17．解：设=x，分情况进行：当a+b+c+d≠0时，根据等比性质，得x===1，∴a=b=c=d，∴==2；当a+b+c+d=0时，则=0．故的值为2或018．解：设=x，分情况进行：当a+b+c≠0时，根据等比性质，得x==；当a+b+c=0时，则a+b=﹣c，x=﹣1．故的值为﹣1或．19．解：（1）∵===2，∴=2；（2）∵===2，∴a=2b，c=2d，e=2f，∵a﹣2c+3e=5，∴2b﹣2（2d）+3（2f）=5，∴b﹣2d+3f=2.520．解：==，得a=c，b=c，把a=c，b=c代入且a+b+c=36，得c+c+c=36，解得c=15，a=c=9，b=c=12，△ABC三边的长：a=9，b=12，c=15．21．解：（1）设===k，则a=3k，b=2k，c=6k，所以，3k+2×2k+6k=26，解得k=2，所以，a=3×2=6，b=2×2=4，c=6×3=18；（2）∵线段x是线段a、b的比例中项，∴x2=ab=6×4=24，∴线段x=2．22．解：（1）∵b是a，c的比例中项，∴a：b=b：c，∴b2=ac；b=±，∵a=4，c=9，∴b=±=±6，即b=±6；（2）∵MN是线段，∴MN＞0；∵线段MN是AB，CD的比例中项，∴AB：MN=MN：CD，∴MN 2=AB•CD，∴MN=±；∵AB=4cm，CD=5cm，∴MN=±=±2；MN不可能为负值，则MN=2，通过解答（1）、（2）发现，c、MN同时作为比例中项出现，c可以取负值，而MN不可以取负值．23．解：a=0.3m=3dm，b=60cm=6dm，c=12dm．（1）a：b=3：6=；（2）∵线段a，b，c，d成比例，∴3：6=12：d，解得d=24．故线段d的长是24分米24．解：设AC=x，则BC=a﹣x，∵AC是AB，BC的比例中项，∴AC2=BC•AB，即x2=（a﹣x）•a，解得：x=a，∵AC＞0，∴AC=a．故线段AC的长为a25．解：∵BD：DC=AB：AC，AB=15cm，AC=10cm，∴BD：DC=15：10=3：2，设BD=3x则DC=2x，∵BD﹣DC=2，∴3x﹣2x=2，x=2，∴BC=BD+CD=5x=10cm．26．解：（1）从小到大排列，由于1×9≠3×6，所以不成比例；（2）从小到大排列，由于5×20≠10×15，所以不成比例；（3）从小到大排列，由于1.9×8.1=5.7×2.7，所以成比例，比例式为a：c=d：b；（4）从小到大排列，由于14×207=23×126，所以成比例，比例式为a：c=d：b．（或c：b=a：d）27．证明：设经过点O和（a，b）的直线是y=kx，则b=ak，则k=，设经过点O和（c，d）的直线的解析式是：y=mx，则d=cm，解得：m=，∵a，b，c，d四个数成比例，∴=，∴=，∴k=m，则直线y=kx和直线y=mx是同一直线，即点（a，b），（c，d）和坐标原点O在同一直线上28．解：（1）路线图（6分）（P、A、C点各2分）注意：起点是必须在所给的图形中画，否则即使画图正确扣；（2分）（2）量得∠PAC≈105°，∠ACP≈45°；（9分）（只有1个正确得2分）（3）量路线图得AC≈3.5厘米，PC≈6.8厘米．∴AC≈3.5千米；PC≈6.8千米（13分）29．解：（1）∵a、b、c、d是成比例线段，∴=，∵a=3，b=2，c=6，代入得：d=4，答：线段d的长是4cm．（2）解：∵线段c是线段a和b的比例中项，∴c2=ab，∵a=4，b=9，代入得：c=6，答：线段c的长是6cm．（3）①解：∵y1与x成正比例，设y1=ax，（a≠0），∵y2与x成反比例，设y2=（b≠0）∴y=ax+，把x=1，y=4和x=2，y=5代入得：，解得：，∴y=2x+，答：y与x之间的函数关系式是y=2x+．②解：由①知：y=2x+，当x=4时，y=，答：当x=4时，y的值是．30．解：如图，过点A作AD⊥BC于D，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，BC=2BD，设AD=x，则AB=2AD=2x，根据勾股定理，BD===x，∴BC=2x，∴AB：BC=2x：2x=1：．。
比例线段练习题及答案
比例线段练习题及答案一、选择题1. 在比例线段中，如果 \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \)，那么下列哪个选项是正确的？A. \( a = c \)B. \( b = d \)C. \( a + b = c + d \)D. \( a \cdot d = b \cdot c \)2. 如果线段 \( AB = 10 \) 厘米，线段 \( BC = 5 \) 厘米，线段\( AC = 12 \) 厘米，那么线段 \( AB \) 和线段 \( AC \) 的比例中项是多少？A. 6 厘米B. 8 厘米C. 10 厘米D. 12 厘米3. 在一个比例中，如果第一项是 3，第四项是 9，那么第三项和第二项的比例中项分别是多少？A. 3 和 9B. 6 和 6C. 9 和 3D. 无法确定二、填空题4. 如果 \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) 并且 \( a = 4 \)，\( d = 8 \)，那么 \( b \) 和 \( c \) 的值分别是 ______ 和______ 。
5. 在一个比例中，如果第二项是 2，第三项是 8，那么第一项和第四项的值分别是 ______ 和 ______ 。
6. 如果 \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \)，并且 \( a = 3 \)，\( c = 6 \)，那么 \( b \) 和 \( d \) 的乘积是 ______ 。
三、解答题7. 在一个三角形中，如果已知 \( AB = 6 \) 厘米，\( AC = 9 \) 厘米，并且 \( \angle A = 90^\circ \)，求 \( BC \) 的长度。
8. 已知 \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \)，并且 \( a = 2 \)，\( b = 3 \)，求 \( c \) 和 \( d \) 的值。
比例线段练习题及答案
比例线段练习题及答案比例线段练习题及答案在数学中，比例是一个重要的概念，它可以帮助我们解决各种实际问题。
而比例线段则是比例的一个具体应用，它在几何中起着重要的作用。
本文将介绍一些比例线段的练习题，并提供相应的答案，希望能够帮助读者更好地理解和应用比例线段。
1. 练习题一：已知线段AB与线段CD的比例为3:5，线段CD的长度为15cm，求线段AB的长度。
解答：根据比例的定义，我们可以得到以下等式：AB/CD = 3/5将已知条件代入等式中，得到：AB/15 = 3/5通过交叉相乘法，可以得到：5AB = 45再将等式两边同时除以5，得到：AB = 9因此，线段AB的长度为9cm。
2. 练习题二：已知线段EF与线段GH的比例为4:7，线段EF的长度为12cm，求线段GH的长度。
解答：根据比例的定义，我们可以得到以下等式：EF/GH = 4/7将已知条件代入等式中，得到：12/GH = 4/7通过交叉相乘法，可以得到：4GH = 84再将等式两边同时除以4，得到：GH = 21因此，线段GH的长度为21cm。
3. 练习题三：已知线段IJ与线段KL的比例为2:3，线段KL的长度为18cm，求线段IJ的长度。
解答：根据比例的定义，我们可以得到以下等式：IJ/KL = 2/3将已知条件代入等式中，得到：IJ/18 = 2/3通过交叉相乘法，可以得到：2IJ = 54再将等式两边同时除以2，得到：IJ = 27因此，线段IJ的长度为27cm。
通过以上练习题的解答，我们可以看到比例线段的求解过程并不复杂。
只需根据比例的定义，将已知条件代入等式中，并通过交叉相乘法求解未知量即可。
在实际应用中，比例线段可以帮助我们计算各种长度比例，例如地图的缩放比例、建筑物的比例尺等。
除了上述练习题，我们还可以进行更复杂的比例线段求解。
例如，已知线段AB 与线段CD的比例为2:3，线段CD与线段EF的比例为5:7，线段EF的长度为21cm，求线段AB的长度。
人教版苏科版小学数学—比例(百分卷含答案)
班级小组姓名成绩（满分100）一、比例的认识（一）比例的意义及各部分名称例1.（10分）下面哪组中的四个数可以组成比例？把组成的比例写出来。
①4、6、12和15因为12x6≠15x4所以不能组成比例② 2.5、4、2和5因为 2.5x4=2x5所以 2.5:2=5:4（二）比例的内项积与外项积的关系例2.（10分）如果3a =2b ，那么a ：b =（2）：（3）（三）解比例例3.（10分）解比例.x :10=41:31152x =或7.54.212=x 30.6x =（四）用比例的知识解决实际问题例4.（10分）合唱组男女生人数的比是7∶5，其中有女生25人，这个合唱组男生多少人？25÷5x7=35（人）答：这个合唱组男生35人.二、比例尺（一）比例尺的概念例5.（10分）在比例尺是1：4000000的地图上，图上距离1厘米表示实际距离（40）千米。
也就是图上距离是实际距离的()14000000，实际距离是图上距离的（4000000）倍。
（二）比例尺的种类例6.（10分）把下面的线段比例尺改写成数值比例尺.1:4000000（三）已知比例尺和图上距离求实际距离例7.（10分）在一幅比例尺是1:300的地图上，量得东、西两村的距离是12.3厘米，东、西两村的实际距离是多少米？12.3÷1300=3690(厘米)3690厘米=36.9米答：东、西两村的实际距离是36.9米.（四）已知比例尺和实际距离求图上距离例8.（10分）在1:3000000的图纸上，实际距离为255千米在图上应长（255x100000x1 3000000=8.5）厘米。
（五）求比例尺例9.（10分）钟表上的一种零件长为3mm，画在图纸上长为12cm，这幅图纸的比例尺是（A）。
A.40：1B.1：40C.4：1三、图形的放大和缩小（一）按比例将图形放大或缩小例10.（10分）按1∶3画出下面两个图形缩小后的图形。
2024九下第6章图形的相似测素质平行线分线段成比例习题新版苏科版
测素质
平行线分线段成比例
一、选择题(每题4分，共32分)
1 【2023·常州二十四中模拟】在比例尺是1：8 000的地 图上，延陵西路的长度约为25 cm，该路段的实际长
度约为( D ) A．3 200 m
B．3 000 m
C．2 400 m
D．2 000 m
2 下列四组长度的线段中，是成比例线段的是( C ) A．4 cm，5 cm，6 cm，7 cm B．3 cm，4 cm，5 cm，8 cm C．5 cm，15 cm，3 cm，9 cm D．8 cm，4 cm，1 cm，3 cm
15 (12分) 【新考法•建立方程模拟法】如图，▱ABCD中， ∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD 于点F，连接EF. (1)求证：▱ABEF是菱形；
证明：∵∠BAD的平分线交BC于点E， ∴∠BAE＝∠EAF. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC. ∴∠EAF＝∠AEB.∴∠BAE＝∠AEB.∴AB＝BE. 同理，AB＝AF. ∴BE＝AF. 又∵AD∥BC，∴四边形ABEF是平行四边形． ∵AB＝BE，∴四边形ABEF是菱形．
(1)若∠A＝30°，AB＝6，则BC的长是___π_____(结
果保留π)；
【点拨】
如图，连接 OC， ∵∠A＝30°，AB＝6， ∴∠BOC＝60°，OB＝3. ∴B︵C的长＝601π8×03＝π.
(2)若CAFF＝13，则CAEE＝____12____．
【点拨】
︵
∵点 C 为BD的中点，
3 【母题：教材 P54 练习 T1】如图，直线 a∥b∥c，直线
AC 分别交 a，b，c 于点 A，B，C；直线 DF 分别交 a，
b，c 于点 D，E，F.若ABBC＝23，则DDEF＝( B )
九年级数学下册 6.4 探索三角形相似的条件 典型例题 平行线分线段成比例素材 (新版)苏科版
典型例题：平行线分线段成比例平行线分线段成比例是相似三角形学习的基础，但学习的策略是相同的，我认为需要掌握一定数量的基本图形，需要有学习者个单独的独特的解答策略。
而很多同学往往都只是用原有的方法解决后来学习的内容，这对几何学习，尤其是相似三角形的学习是相当不利的。
下面介绍一些平行线分线段成比例的基本习题。
例1（1）已知2922=-+b a b a ，则=（2）如果0432≠==zy x ，那么z y x z y x -+++的值是（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 分析 本考题主要考查比与代数式比的互换.第（1）小题可将代数式比的形式转化成积的形式：，整理后再转化成比的形式，便有对于第（2）小题，可连续运用两次等比定理，得出432432-+-+=++++zy x z y x ，即19=-+++z y x z y x ，其比的比值为9，故选C ，但这里需要注意的是：第一，等比定理本身隐含着一个约束条件——分母为零；第二，“比”与“比值”是两个不同的概念，比是一种运算，而比的比值是运算的结果.例2 已知：1、 2、2三个数，请你再添上个数，写出一个比例式 . 分析 这是一道开放型试题，旨在考查学生的发散思维能力，由于题中没有明确告知求1、 2、2的第四比例项，因此，所添的数可能是前三数的第四比例项，也可能不是前三数的第四比例项，这样本考题便有多种确定方法，如从 可求出，便有比例式 或 ，从，又能求出，也得到比例式等等.例3 如下图，BD=5∶3，E 为AD 的中点，求BE ∶EF 的值.分析 应设法在已知比例式BD ∶DC 与未知比例式BE ∶EF 之间架设桥梁，即添平行线辅助线.解 过D 作DG ∥CA 交BF 于G ，则 中点，DG ∥AF ，例 4 如下图，AC ∥BD ，AD 、BC 相交 于E ，EF ∥BD ，求证：EFBD AC 111=+分析 待证式可变形为1=+BDEF AC EF .依AC ∥EF ∥BD ，可将线段的比例式AC EF与 BDEF化归为同一直线AB 上的线段比而证得.证明AC ∥EF ∥BD ，.说明 证明线段倒数和的关系的常见方法是先变形为证线段比的和为一定值，然后化归为同一直线上的线段比.例5 已知a 、b 、c 均为非零的实数，且满足acb a bc b a c c b a ++-=+-=-+求abca c cb b a ))()((+++的值.解 设 acb a bc b a c c b a ++-=+-=-+=k则三式相加，得当 时，有时，则，这时原式=⎩⎨⎧≠++=++-)0(,8)0(,1c b a c b a例6 如下图，中，D 是AB 上一点，E 是内一点，DE ∥BC ，过D 作AC的平行线交CE 的处长线于F ，CF 与AB 交于P ，求证BF ∥AE.证明DE ∥AC ，PCPEPB PD =∥， PAPDPC PF =∴..PBPAPF PF =∴BF ∥AE.。
比例性质、平行线分线段成比例、黄金分割压轴题六种模型—2023-2024学年九年级数学下(苏科版)
比例性质、平行线分线段成比例、黄金分割压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一 比例的性质之等比性质】 (1)【考点二 由平行判断成比例的线段】 (4)【考点三 由平行截线求相关线段的长或比值】 (6)【考点四 构造平行线截线求相关线段的长或比值】 (9)【考点五 利用黄金分割求线段的长】 (12)【考点六 与黄金分割有关的证明】 (13)【过关检测】 (18)【典型例题】【考点一 比例的性质之等比性质】【答案】6或3−【分析】分两种情况：当0x y z ++≠时，当0x y z ++=时，分别求出m 的值即可．【详解】解：当0x y z ++≠时，根据比例的等比性可得：3333336x y y z z x m z x y +++++==++； 当0x y z ++=时，可得x y z +=−，∴()333x y z m z z +−===−．【点睛】本题主要考查比例的等比性质，但需要注意对式子用等比性时一定要注意根据分母是否为0进行分类讨论．【变式训练】【答案】12【分析】根据比例的性质解答即可；【详解】解：由 0346x y z ==≠，可设 0346x y z k ==≠=，即 34,6x k y k z k ===，， 把3,4,6x k y k z k ===代入3131262x k y z k k ==−−，故答案为：12．【点睛】此题考查比例的性质，关键是根据比例的性质解答．【答案】6【分析】将已知等式35a c e b d f ===变形为53b d f a c e ===，得到555,,333b a d c f e ===，代入计算即可． 【详解】解：∵35a c e b d f ===， ∴53b d f a c e ===， ∴555,,333b a d c f e ===， ∵10b d f ++=，∴55510333a c e ++=，∴()5103a c e ++=，∴6a c e ++=故答案为：6．【点睛】此题考查了比例的性质，正确理解题意得到555,,333b a d c f e ===是解题的关键．【答案】8或1−【分析】观察 ()()()a b b c c a c a b +++== 与 ()()()+++a b b c c a abc 发 现，后者是通过前者相乘得来，那么只要找出 ()()()a b b c c a c a b +++== 的值解出，因此设()()()a b b c c a k c a b +++=== 通过变换化为 ()(2)0a b c k ++−= 那么可能是 0a b c ++= 或 2k = 对这两种情况分别讨论；【详解】设,a b b c c a k c a b +++===则 ,,a b kc b c ka c a kb +=+=+=()()()a b b c c a kc ka +++++=+kb +2()()a b c k a b c ++=++即()(2)0a b c k ++−=所以 0 a b c ++=或2k =当0a b c ++=时，则,a b c +=−1, a b c +=−同理1, b c a +=−1c a b +=−所以()()()()a b b c c a a b abc c ++++=()()(1)(1)b c c a a b ++⨯⨯=−⨯−(1)1⨯−=− 当 2 k =时，()()()2a b b c c a c a b +++===所以()()()()a b b c c a a b abc c ++++=()()2228b c c a a b ++⨯⨯=⨯⨯=故答案为 8 或 -1【点睛】做好本题的关键是找出a 、b 、c 三个变量间的关系，因而假设,a b b c c a k c a b +++===做到这步已经成功了一半，因而同学们在解题中一定要仔细观察已知与结论找出其存在或隐含的关系【考点二 由平行判断成比例的线段】 九年级统考开学考试）如图，在ABC 中， A ．BD DF AD AC = B ．BF FC 【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例判断各项即可．【详解】解：A ．由DF AC ∥，得BD DF BA AC =，故A 选项错误； B ．由DF AC ∥，得BF BD FC DA =，又由DE BC ∥，得BD CE DA EA =，则 BF CE FCEA =，故B 选项错误，D 选项正确； C ．由DF AC ∥，得BF DF BC AC =，故C 选项错误；故选：D ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，平行于【变式训练】A ．AB DE AF EA = B ．【答案】D【分析】根据平行四边形的性质得出CD AB ∥，AD BC ∥，AD BC =，AB CD =，利用平行线分线段成比例定理逐项进行判断即可．【详解】解：A ．∵四边形ABCD 为平行四边形，∴CD AB ∥，AD BC ∥，AD BC =，AB CD =，∵CD AB ∥， ∴CD DE AF EA =， ∵AB CD =， ∴AB DE AF EA =，故A 正确，不符合题意； B ．∵AE BC ∥， ∴AE AF BC FB =， ∵AD BC =， ∴AE AF AD FB =，故B 正确，不符合题意； C ．∵AE BC ∥， ∴FA FE AB EC =，故C 正确，不符合题意；D ．∵AE BC ∥， ∴FA AE FB BC =， 即FA AE FA AB BC =+，∵AB CD =， ∴FA AE FA CD BC =+， ∴C FA CD AE B ≠，故D 错误，符合题意． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用平行线分线段成比例定理． 2．（2023秋·广东佛山·九年级统考期末）如图，直线a b c ∥∥，分别交直线m 、n 于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，下列结论不正确的是（ ）A ．AC BD CE DF =【答案】B【分析】利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．【详解】解：a b c ∥∥，∴=AC BD CE DF ，AC BD AE BF =，CE DF AE BF =，AE BF AC BD =；∴选项A 、C 、D 正确，故选：B ．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练运用平行线分线段成比例定理是解题的关键．【考点三 由平行截线求相关线段的长或比值】【答案】10【分析】利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．【详解】解：AB CD EF ，∴BE AF CE DF =，6CE =，4EO =，5BO =，6AF =，∴966DF =，4DF ∴=，6410AD AF DF ∴=+=+=．故答案为：10．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【变式训练】【答案】6【分析】由平行线所截线段对应成比例可知AB DE BC EF =，然后代入4DE =求解即可．【详解】解：∵AD BE CF ∥∥，∴23AB DE BC EF ==，∵4DE =，∴6EF =，故答案为：6．【点睛】本题主要考查平行线所截线段对应成比例，熟练掌握比例线段的计算是解决本题的关键． 分别在ABC 的边【答案】43/4:3/113【分析】设CG 、AB 交于点H ，结合2BD AD =可得BH DH AD ==；由平行线分线段成比例定理可得2AG BC =，即有2AG BC =，再证明EF CG ∥，进一步可得13AF AE AG AC ==，易知23AF BC =，可得43FG AG AF BC =−=，即可获得答案．【详解】解：如下图，设CG 、AB 交于点H ，∵2BD AD =，CG 平分线段BD ， ∴12BH DH BD AD ===，∵AF BC ∥， ∴2AG AH AD DH BC BH BH +===，∴2AG BC =，∵DE BC ∥，∴AED ACB ∠=∠，13AE AD AD AC AB AD BD ===+，∵EF 平分AED ∠，CG 平分ACB ∠ ∴12AEF AED ∠=∠，12ACG ACB ∠=∠，∴AEF ACG ∠=∠，∴EF CG ∥， ∴13AF AE AG AC ==， ∴1233AF AG BC ==， ∴24233FG AG AF BC BC BC =−=−=， ∴4433BC FG BCBC ==． 故答案为：43．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、平行线的判定、角平分线的定义等知识，熟练运用平行线分线段定理是解题关键．【考点四 构造平行线截线求相关线段的长或比值】 例题：（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在ABC 中，D 为BC 边的中点，点E 在线段AD 上，BE 的延长线交AC 边于点F ，若13AE ED ：＝：，2AF ＝，则线段FC 的长为 ．【答案】12【分析】过点D 作DG BF ∥于点G ,由平行线分线段成比例定理得AE AF ED FG =，求得6FG =，再结合中点进一步可得12GF GC FC ==，从而得到答案．【详解】解：如图，过点D 作DG BF ∥于点G ；则AE AF ED FG =； 而13AE ED =，2AF =， 6FG ∴=；D 为BC 边的中点，12GF GC FC ∴==，212CF FG ∴==，故答案为：12．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，正确构造平行线是解决此题的关键．【变式训练】 是ABC 边BC【答案】78/0.875【分析】过D 作DG BE ∥，交AC 于G ，依据平行线分线段成比例定理，即可得到::BD CD EG GC =，::DF AF EG AE =，进而可得CEAE 的值．【详解】解：如图所示，过D 作DG BE ∥，交AC 于G ，则::2:5BD CD EG GC ==，即：52CG EG =，72EC CG EG EG =+=，::1:4DF AF EG AE ==，即：4AE EG =，∴77248EG CE AE EG ==．故答案为：78．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．在ABC 中，【答案】32【分析】先过E 作EG BC ∥，交AD 于G ，再作∥DH A B 交CE 于H ，由平行线分线段成比例定理的推论，再结合已知条件，可分别求出EF FC 和AFFD 的值，相加即可．【详解】解：作EG BC ∥交AD 于G ，作∥DH A B 交CE 于H ，如图所示：∵:1:3AE EB =， ∴14AE AB =，∵EG BC ∥， ∴14EG AE BD AB ==， ∴14EG BD=，∵:2:1BD DC =， ∴12EG CD=，∵EG BC ∥， ∴12EF EG FC CD ==， ∵:2:1BD DC =， ∴13CD BC =， ∵∥DH A B ， ∴13DH CD BE BC ==， ∴13DH BE AE==， ∵∥DH A B ，∴1AF AEFD DH ==， ∴13122EF AF FC FD +=+=． 故答案为：32．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是熟练的掌握平行线分线段成比例定理．【考点五 利用黄金分割求线段的长】例题：（2023·全国·九年级假期作业）一本书的宽与长之比为黄金比，书的长为14cm ，则它的宽为（ ）【答案】D【分析】根据黄金比例求解即可．【详解】解：∵一本书的宽与长之比为黄金比，书的长为14cm ，∴它的宽()147cm ==，故选：D ．【点睛】本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值是是解题的关键．【变式训练】【答案】C【分析】较长的线段MP 的长为x cm ，则较短的线段长是(2)cm x −．根据黄金分割的定义即可列方程求解． 【详解】解：较长的线段MP 的长为x cm ，则较短的线段长是(2)cm x −．则22(2)x x =−，解得1x =或1（舍去）．较短的线段长是21)3−=故选：C ．【点睛】本题考查了黄金分割，与一元二次方程的解法，正确理解黄金分割的定义是关键．2．（2023春·河南郑州·九年级郑州外国语中学校考开学考试）鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P 是AB 的黄金分割点()AP BP >，若线段AB 的长为4cm ，则AP 的长为（ ）【答案】A【分析】根据黄金分割的定义可得AP =据此求解即可．【详解】解：∵P 是AB 的黄金分割点()AP BP >，4cm AB =，∴()42cm AP ==；故选：A ．【点睛】本题主要考查了黄金分割比例，熟知黄金分割比例是解题的关键．【考点六 与黄金分割有关的证明】九年级假期作业）ABC 中，ACD ABD ABCABDS SSS=，则称为ABC 的黄为ABC 的黄金分割线，则(2)若20ABCS=，求ACD 的面积．（结果保留根号）【答案】(1)见解析(2)30−【分析】（1）先由等高的两个三角形面积之比等于底之比，可得ABD ABCSBDS BC =，ACD ABDS CDSBD =，又因为ACD ABD ABCABDS S SS=，等量代换得出BD CDBC BD =，根据黄金分割点的定义即可证明D 是BC 的黄金分割点； （2）由（1）知BDCDBC BD =，那么BD =，DC BC BD BC BC =−==，又等高的两个三角形面积之比等于底之比ACD ABCSCD S BC ==，将20ABCS=代入，即可求出ACD 的面积．【详解】（1）证明：∵ABD ABCSBD S BC =，ACD ABDSCD SBD =，又∵ACD ABD ABCABDS S SS=，∴BD CDBC BD =， ∴D 是BC 的黄金分割点； （2）解：由（1）知BD CDBC BD =， ∴BD，∴DC BC BD BC =−==，∵ACD ABCSCD S BC ==，∴3535203022ACDABCSS =−−==−【点睛】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．也考查了三角形的面积．【变式训练】1．（2022秋·九年级单元测试）如图所示，以长为2的定线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF PD =，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上．(1)求,AM DM 的长；(2)点M 是AD 的黄金分割点吗？为什么？【答案】(1)AM 1，DM 的长为3 (2)点M 是AD 的黄金分割点，理由见解析【分析】（1）要求AM 的长，只需求得AF 的长，又AF PF AP =−，PF PD ==，则1,3AM AF DM AD AM ===−=（2）根据（1）中的数据得：AM AD=，根据黄金分割点的概念，则点M 是AD 的黄金分割点． 【详解】（1）在Rt APD 中，1,2AP AD ==，由勾股定理知∶PD∴1AM AF PF AP PD AP ==−=−=，3DM AD AM =−=故AM 1，DM 的长为3（2）点M 是AD 的黄金分割点．∵AM AD=， ∴点M 是AD 的黄金分割点．【点睛】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段,AM DM 的长，然后求得线段AM 和AD 之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．【答案】（1）见解析；（2）3【分析】（1）在直角三角形△ABD 中设BD x =则2AB x = ，利用勾股定理求出AD =，再求出)1AE x=，即)1AC x=，则AC AB=，即可得出结论；（2）若BD ＝1，则22AB BD == ，把AB 代入到AC AB =即可求出AC ，进而可求出BC ． 【详解】解：（1）∵BD ⊥AB ，∴△ABD 是直角三角形，∵BD ＝12AB ，∴设BD x =则2AB x = ，∴AD ，∵DE ＝DB ，AC ＝AE ， ∴DE x = ，∴)1AE x =∴)1AC x=，∴)12x ACAB x= ，故C 是线段AB 的黄金分割点． （2）若BD ＝1，则22AB BD == ，由（1）知AC AB =，∴2AC =，∴1AC = ，∴)213BC AB AC =−=−=．【点睛】本题考查黄金分割、勾股定理等知识，解题关键是正确理解题意，掌握黄金分割的定义．【过关检测】一、单选题【答案】B【分析】根据 12x y =，可以得到2y x =，代入x y x y −+即可求解； 【详解】解：∵12x y =， 2y x ∴=，21.233x y x x x x y x x x −−−∴===−++故选：B ．【点睛】把两个未知数的问题转化为一个未知数的问题，消元是解决本题的基本思想．九年级校考阶段练习）如图，在ABC 中， A ．AD DGDB CG= B ．【答案】C【分析】根据平行四边形的性质得出DE BF =，,EF AB DE BC ∥∥，，根据相似三角形的判定得出DGE CGF ∽，再根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质逐个判断即可．【详解】解：A ．四边形BDEF 是平行四边形，DE BF ∴=，,EF AB DE BC ∥∥，∴AD AE BFDB EC FC ==，DGE CGF ∽， ∴DG DE BFCG CF CF ==，∴AD DGDB CG =，故本选项错误；B ．四边形BDEF 是平行四边形，DE BF ∴=，,EF AB DE BC ∥∥，∴AD AE BFDB EC FC ==，DGE CGF ∽， ∴EG DE BFGF CF CF ==，∴AD EGDB GF =，故本选项错误；C ．DE BC ∥，DE BF =，∴AD DE BF ADAB BC BC DB ==≠，故本选项正确；D ．,EF AB DE BC ∥∥Q DE BF =， ∴AD AE BF DEDB EC FC FC ===，故本选项错误； 故选：C ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．A ．32B ．【答案】A【分析】利用平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：∵AB EF CD ∥∥， ∴BE AFEC FD =， ∵2AO =，1OF =，2FD =， ∴2+13=22BE EC =， 故选：A ．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例性质是解答的关键．4．（2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图所示，3BE EC =，D 是线段AC 的中点，BD 和AE 交于点F ，已知ABC 的面积是28，求四边形DCEF 的面积（ ）A ．4B ．5C ．7D ．8【答案】B【分析】如图，过D 点作DH ∥，交BC 于H ，先证得EH CH =，再证明6BEEH =，由此得到11281422ABD ABC S S ==⨯=，根据3BE CE =， 求出ACE ∆的面积，即可得到答案．【详解】如图，过D 点作DH AE ∥，交BC 于H ，∵点D 是AC 的中点，∴1AD EH CD CH ==，即EH CH =，∵3BE CE =，∴32BE BE CE EH ==， ∴6BE EH =， ∴6BF BE DF EH ==， ∵11281422ABD ABC S S ==⨯=，∴1114277ADF ABD S S ==⨯=，∵3BE CE =，∴1128744ACE ABC S S ==⨯=， ∴725ACE ADF DCEF S S S =−=−=四边形，故选：B ．【点睛】此题考查了平行线分线段成比例，三角形中线的性质，根据线段比的关系求出三角形的面积，题中由中点引出辅助线是解题的关键． ，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在ABC 中，，ABC 看，BCD 看作第二个黄金三角形；作，CDE 看作第三个黄金三角形；⋯⋯【答案】A【分析】由黄金三角形的定义得BC AB ==，同理BCD △是第二个黄金三角形，CDE 看作第三个黄金三角形，则2CD ==，得出规律，即可得出结论．【详解】1AB AC ==，36A ∠=︒，ABC 是第一个黄金三角形，∴底边与腰之比等于，即BC AB=，BC AB ∴=，同理：BCD △是第二个黄金三角形，CDE 是第三个黄金三角形，则2CD ==，即第一个黄金三角形的腰长为01=，第二个黄金三角形的腰长为第一个黄金三角形的腰长为1，第三个黄金三角形的腰长为，⋯，∴第2023个黄金三角形的腰长是20231−，即2022，故选：A ．【点睛】本题考查了黄金三角形，等腰三角形的性质，规律型等知识；熟练掌握黄金三角形的定义，得出规律是解题的关键．二、填空题【答案】53/213 【分析】设235a b c k ===，则2a k =，3b k =，5c k =，代入a b c a +−求解即可． 【详解】解：设235a b c k ===，则2a k =，3b k =，5c k =， ∴23555233a b k k k c a k k k ++===−−． 故答案为：53．【点睛】本题主要考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解答本题的关键． 7．（2023春·江苏淮安·九年级校联考阶段练习）如图，直线123l l l ∥∥，直线AC 和DF 被直线1l 、2l 、3l 所截，2AB =，5BC =，6EF =，则DE 的长为 ．【答案】125【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．【详解】解：直线123l l l ∥∥，AB DE BC EF ∴=，2AB =，5BC =，6EF =， 256DE ∴=，125DE ∴=，故答案为：125．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．【答案】35/0.6 【分析】根据题意可得333,,555a b c d e f ===，再代入，即可求解． 【详解】解：∵35a c e b d f ===， ∴333,,555a b c d e f ===， ∴2323a c eb d f −+−+3232335535b d f b d f −⨯+⨯=−+()335223b d f b d f −+=−+35=． 故答案为：35【点睛】本题考查比例的基本性质，能够熟练掌握整体代入思想是解决本题的关键．【分析】根据黄金分割定义，由黄金分割点的位置离A 近，根据黄金分割比列式求解即可得到答案．【详解】解：由题意可知，当黄金分割点C 离A 近，如图所示：20m AB =，∴由黄金分割比可知AC BC BC AB =，设m AC x =，则()20m BC x =−，代入得到202020xx x−=−， 解得123030x x =−=+经检验，123030x x =−=+30AC ∴=−3020AC =+>（舍弃）；综上所述，主持人站在离A 点(30m −处最自然得体，故答案为：(30−．【点睛】本题考查利用黄金分割解决实际问题，还考查了解分式方程，解一元二次方程，读懂题意，熟练掌握黄金分割比与黄金分割点是解决问题的关键．【答案】4或9/9或4【分析】分当52CE CF ==时，当52CE EF ==时，当CF EF =时三种情况求解即可． 【详解】当52CE CF ==时，如图，∵点F 为AC 的中点，∴25AC CF ==，∵四边形ABCD 是矩形，∴90D Ð=°，AB CD =，∴4AB CD =；当52CE EF ==时，如图，作FH CD ⊥于点H ，∵90D Ð=°，∴FH AD∥，∴1 CH CFHD AF==，∴CH DH=，∴EF是ACD的中位线，∴1322 FH AD==，∴2 HE==，∴92 CH HE CE=+=∴99922AB CD==+=；当CF EF=时，∵点F为AC的中点，∴DF CF=，∴DF EF=，∴点D与点E重合，∴52CD CE==，这与3AB CD=>矛盾，故不符合题意，舍去．综上可知，AB的长度为4或9．故答案为：4或9．【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形中位线的性质，以及平行线分线段成比例定理，分类讨论是解答本题的关键．三、解答题【答案】(1)2(2)10【分析】（1）利用等比性质，进行计算即可解答；（2）利用等比性质，进行计算即可解答．【详解】（1）解：2a c e b d f ===，且0b d f ++≠，∴2a c e b d f ++=++， ∴a c eb d f ++++的值为2；（2）解：2a c e b d f ===，∴23223a c e b d f −===−， ∴23223a c e b d f −+=−+，235b d f −+=，232510a c e ∴−+=⨯=，23a c e ∴−+的值为10．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键． 12．（2023秋·河北邢台·九年级统考阶段练习）如图，已知直线1l ，2l ，3l 分别截直线4l 于点A ，B ，C ，截直线5l 于点D ，E ，F ，且123l l l ∥∥．(1)如果4AB =，8BC =，12EF =，求DE 的长；(2)如果:2:3DE EF =，25AC =，求AB 的长．【答案】(1)6DE =(2)10AB =【分析】对于（1），根据平行线分线段成比例的性质得AB DE BC EF =，再代入计算； 对于（2），根据平行线分线段成比例得性质得AB DE BC EF =，再代入计算即可． 【详解】（1）∵123l l l ∥∥，4AB =，=8BC ，=12EF ， ∴AB DE BC EF =， 即4812DE =， 解得6DE =；（2）∵123l l l ∥∥，2=3DE EF ，=25AC ， ∴AB DE BC EF =， 即2253AB AB =−，解得10AB =．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，理解定理是解题的关键．即一组平行线被两条直线所截，所得的对应线段成比例．【答案】-9或6． 【分析】当a+b+c+d≠0时，依据等比性质可得2()3()a b c d a b c d ++++++=k ，当a+b+c+d=0时，得b+c+d=﹣a ，代入即可计算出k 的值．【详解】∵2222a b c d b c d a c d a b d a b c ===++++++++=k ，∴当a+b+c+d≠0时，由等比性质可得，2()3()a b c d a b c d ++++++=k ， k=2()3()a b c d a b c d ++++++=23；当a+b+c+d=0时，b+c+d=﹣a ，∴k=22a a b c d a =++−=-2；当k=23时，2222343433k k ⎛⎫−−=−⨯−=− ⎪⎝⎭509； 当2k =−时，()()223423246k k −−=−−⨯−−=．【点睛】本题主要考查了比例的性质的运用，解决问题的关键是掌握比例的性质． 14．（2023秋·全国·九年级专题练习）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm ，下半身长x 与身高l 的比值是0.6．(1)求该女士下半身长x ；(2)为尽可能达到美的效果，求她应穿的高跟鞋的高度．（结果精确到0.1）【答案】(1)该女士下半身x 为99cm ；(2)她应穿的高跟鞋的高度为7.8cm ．【分析】（1）列式计算即可求解；（2）设需要穿的高跟鞋是cm y ，列方程求解即可．【详解】（1）解：1650.699cm x =⨯=；答：该女士下半身x 为99cm ；（2）解：设需要穿的高跟鞋是cm y ，则：()990.618165y y +=+，解得：7.8y ≈，答：她应穿的高跟鞋的高度为7.8cm ．【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用．明确黄金分割所涉及的线段的比是解题关键．15．（2023秋·四川自贡·九年级四川省荣县中学校校考阶段练习）阅读下面的材料：如图1，在线段AB 上找一点C ()AC BC >，若::BC AC AC AB =，则称点C 为线段AB 的黄金分割点，这我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图，在OEF 中，且12EF OE =，连接OF ；以F 为圆心，EF 长为半径作弧，【答案】(1)EF FH =，OH OP =(2)1OP =(3)见解析【分析】（1）由题意知，EF FH =，OH OP =，然后作答即可；（2）由勾股定理得OF =OP OH OF FH ==−，计算求解即可；（3）由1OP ，可得)2216OP ==−，)213PE OE OP =−=−=，(236OE PE ⋅=−=−2·OP OE PE =，即::PE OP OP OE =，进而结论得证．【详解】（1）解：由题意知，EF FH =，OH OP =，故答案为：EF FH =，OH OP =；（2）解：∵EF OE ⊥，∴90OEF ∠=︒∵2OE =，∴112EF OE ==，由勾股定理得OF =∵1FH EF ==∴1OP OH OF FH ==−，∴1OP ．（3）证明：∵1OP =，∴)2216OP ==−)213PE OE OP =−=−=−(236OE PE ⋅==−∴2·OP OE PE =，即::PE OP OP OE =，∴点P 是线段OE 的黄金分割点．【点睛】本题考查了画线段，勾股定理，黄金分割．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．为边AB 上的点，过点于点O ．若2AE =，中，点G 在DA 的延长线上，直线点G 是边AD 上任意一点，连接GB 、GC 分别交EF 于点M 、N ，则GMN ∆周长的最小值是 ．【答案】（1）2.7；（2）见解析；（33【分析】（1）ABCD Y ，AD BC ∥，EF AD ∥，EF AD BC ∥∥，AE GO EB OH =，即可求得OH ；（2）ABCD Y ，AD BC ∥，ODG OBC ∆∆∽，OD GO OB CO =，同理OBE ODC ∆∆∽，OD OC OB OE =，即可证明GO OC CO OE =；（3）过点C 作以AD 所在直线为对称轴的对称点C '，交AD 于点M '，易得GC GC '=，EF BC ∥，且E 、F 分别是边AB ，CD 的中点，MN 为GBC ∆的中位线，12MNG BCG C C ∆∆=，连接BC '，此时与AD 的交点G ，此时BCG ∆周长最小，根据勾股定理即可求出BCC '∆进而求出MNG C ∆作答．【详解】解（1）：ABCD ，AD BC ∴∥，又EF AD ∥，EF AD BC ∴∥∥，∴AE GO EB OH =，即2 1.83OH =， 2.7OH ∴=，故答案为：2.7；（2）证明：ABCD ，AD BC ∴∥，ADB CBD ∴∠=∠，DGO OCB ∠=∠，ODG OBC ∴∆∆∽，∴OD GO OB CO =，同理OBE ODC ∆∆∽，∴OD OC OB OE =， ∴GO OC CO OE =；（3）解：过点C 作以AD 所在直线为对称轴的对称点C '，交AD 于点M '，易得GC GC '=，如图，EF BC ∥，且E 、F 分别是边AB ，CD 的中点，MN ∴为GBC ∆的中位线，11()22MNG BCG C MN MG GN BC BG GC C ∆∆∴=++=++=，连接BC '，此时与AD 的交点G ，此时BCG ∆周长最小，60ABC ∠=︒，90BCC '∠=︒，30DCM '∴∠=︒，4CM '==2CC CM ''∴==在Rt AOE '中，BC '=111()6)3222MNG BCG C C BC BC ∆∆'∴==+==，3．【点睛】本题考查平行四边形的性质，中位线，平行线的性质，三角形等综合问题，解题的关键是对将军饮马问题的灵活运用．。
比例线段练习题及答案
比例线段练习题及答案比例线段练习题及答案在数学中，比例是一个非常重要的概念，它可以帮助我们解决很多实际问题。
其中，比例线段是比例的一种特殊形式，它在几何学中有着广泛的应用。
本文将介绍一些比例线段的练习题，并提供相应的答案，希望能帮助读者更好地理解和应用比例线段的知识。
题目一：在一个直角三角形ABC中，AD是斜边BC上的中线，AC=8 cm，AD=4 cm，求BC的长度。
解答一：根据中线的性质，中线的长度等于斜边的一半。
所以，BC=2*AD=2*4=8 cm。
题目二：在一个平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F是BC的中点，如果EF=6 cm，求AB的长度。
解答二：根据平行四边形的性质，对角线互相平分。
所以，AE=ED=1/2*AD=1/2*AB，BF=FC=1/2*BC=1/2*AB。
根据题意，EF=6 cm，所以AE+EF=ED，即1/2*AB+6=1/2*AB，解方程得AB=12 cm。
题目三：在一个梯形ABCD中，AB∥DC，AD和BC是梯形的两个非平行边，AD=3 cm，BC=9 cm，如果AD:BC=1:3，求AB的长度。
解答三：根据比例线段的性质，AD:BC=AB:DC。
所以，AB/DC=1/3，即AB=1/3*DC。
又根据梯形的性质，AD+BC=AB，所以3+9=AB，解方程得AB=12 cm。
根据AB=1/3*DC，可得DC=3*AB=3*12=36 cm。
题目四：在一个直角三角形ABC中，AD是斜边BC上的高，AC=10 cm，AD=6 cm，求BC的长度。
解答四：根据直角三角形的性质，AD是斜边BC上的高，所以AD/BC=AC/AB。
代入已知条件，得6/BC=10/AB，解方程得AB=15 cm。
根据勾股定理，AC²=AB²+BC²，代入已知条件，得10²=15²+BC²，解方程得BC=5 cm。
通过以上练习题的解答，我们可以看到比例线段的运用在几何学中非常广泛。
人教版苏科版初中数学—图形的相似(百分卷)
班级小组姓名成绩（满分120）一、成比例线段（一）比例线段及其基本性质例1.（5分）判断下列各组线段是否成比例线段：（1）4cm，2cm，3cm，1cm （2）1cm，2cm，20mm，4cm（二）比例的其他性质例2.（5分）已知234x y z ==，求x y z x y z+++-.二、平行线分线段成比例例3.（5分）如图，已知AB CD EF ∥∥，那么下列结论正确的是（）A.CD AC EF AE = B.AC BD AE DF =C.AC CE BD DF = D.AC DF BD CE =三、相似多边形例4.（5分）小明将一张报纸对折，发现对折后的半张报纸与整张报纸相似，你能推算出整张报纸的长和宽的比是下面哪一个答案（）A.2B.4:1C.2:1D.1.5:1四、探索相似三角形的条件（一）相似三角形的定义例5.（5分）一个钢筋三角架的三边的长分别为20cm，50cm，60cm，现在再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm 和60cm 的两根钢筋，要求以其中一根为一边，以另一根上截下两段（允许有余料)作为两边，那么另外两边的长度为（）A.10,25B.10,36或12,36C.12,36D.10,25或,12,36（二）两角分别相等的两个三角形相似例6.（10分）如图所示，点P 是ABC ∆的BC 边上一点，且PAC B ∠=∠，若9BC =，4PC =，求AC 的长.（三）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似例7.（10分）如图所示，在ABC ∆中，,BE CD 是高.求证：ADE ∆和ACB ∆相似.（四）三边成比例的两个三角形相似例8.（10分）如果ABC ∆与DEF ∆的边长分别是6,5,8和30,25,40，那么这两个三角形是否相似（填“是”或“否”），根据是.（五）黄金分割例9.（10分）把长为)51cm +的线段黄金分割，则其中较短的部分是多少？五、相似三角形判定定理的证明（一）相似三角形的判定的应用例10.（10分）如图所示，在ABC ∆中，10AB cm =，20BC cm =，点P 从A 开始沿AB 边向点B 以2/cm s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以4/cm s 的速度移动，如果,P Q 分别从,A B 同时出发，经过几秒PBQ ∆与ABC ∆相似.六、利用相似三角形测高（一）利用影长测物高例11.（10分）一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得一棵高1m 的小树的影长为0.9m，但他马上测量另一棵大树的影长时，因树靠近建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上.如图，他先测得地面部分的影子长2.7m，又测得墙上影高为1.2m，他求得的树高是多少米？（二）利用标杆测物高例12.（10分）如图所示，小明为了测量一棵老松树的高度，找来一根竹竿AB ，移动AB 的位置，使自己的眼睛、竿顶与树顶恰好在一条直线上，已知小明的眼睛高度为150cm，测量竹竿AB 的高度为3m ，2MB m =，6NB m =，则松树的高为.（三）利用镜子的反射测物高例13.（10分）小玲用下面方法测量学校教学大楼AB 的高度.如图所示，在水平地面上放一面平面镜，与教学大楼的距离EA=21米，当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B，已知她眼睛距地面的高度DC=1.6米.请你帮助小玲计算出教学大楼的高度AB 是多少米？七、相似三角形的性质例14.（10分）如图所示，已知矩形DEFG 内接于△ABC，即点D 在AB 上，点G 在AC 上，E，F 在BC 上，AH⊥BC 于H，且交DG 于N，BC=18cm，AH=12cm，DE:DG=2：3，求矩形DEFG 的周长.八、图形的位似例15.（5分）如图，五边形ABCDE 与五边形A B C D E '''''是位似多边形，O 是位似中心，12OD OD '=，则:A B AB ''为（）A.2:3B.3:2C.1:2D.2:1。
2024九下提练第6招成比例线段的证明和计算的五种常用作辅助线的方法习题新版苏科版
典例剖析 解：如图，过点 D 作 DG∥CF，交 AB 于点 G. ∵DG∥CF，∴BGGF＝BDDC. 又∵AD 是△ ABC 的中线，∴BD＝DC. ∴BG＝GF.∵DG∥CF，∴FAGF＝EADE. 又∵E 为 AD 的中点，∴AE＝ED. ∴AF＝FG.∴AF＝FG＝GB.∴ABFF＝12.
是△ ABC 的中位线，此时 DE1∥BC，DE1＝12BC， ∴AAEC1＝AADB＝12.
在 AC 上取一点 E2，使得 DE2＝DE1，则 DE2＝12BC. ∵∠A＝30°，∠B＝90°，∴∠C＝60°，BC＝12AC. ∵DE1∥BC，∴∠DE1E2＝∠C＝60°， ∴△DE1E2 是等边三角形，∴DE1＝DE2＝E1E2＝12BC，
【定理证明】 (1)为了证明该定理，小明同学画出了图形(如图①)，并
写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在▱ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O. 求证：▱ABCD是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO＝DO. 又∵BD⊥AC，垂足为O， ∴AC是BD的垂直平分线， ∴AB＝AD，∴▱ABห้องสมุดไป่ตู้D是菱形．
易得 Rt△ AEC∽Rt△ BAC，∴ABCC＝EACC. 又∵EC＝1，∴AC2＝CE·BC＝BC.②
由①②得 AC＝12AC4，∴AC＝3 2.
【点思路】 通过作中线构造相似三角形，进而得到相关线段的
数量关系，最终求得AC的长．
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5.
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思考：我们知道，菱形的对角线互相垂直，反 过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线 互相垂直的平行四边形是菱形．
【知识应用】 (2)如图②，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，
2024九下提练第10招用线段成比例法解几何问题的几种常见类型习题新版苏科版
A．8
B．12
C．16
D．20
【点拨】 ∵OE⊥AB，∴AD＝BD＝12AB＝12×16＝8. ∵OA＝OC，∴OD 为△ ABC 的中位线．∴OD∥BC. ∵OD＝6，AD＝8， ∴OA＝ AD2＋OD2＝10.∴OE＝OA＝10. ∵OE∥FC，点 O 是 AC 中点，
∴AE：EF＝AO：OC＝1，即E为AF中点． ∴OE是△ACF的中位线． ∴FC＝2OE＝2×10＝20.
又∵∠BCM＝∠BCM，
∴△BCM∽△ ECB.∴BECC＝BEMB ＝CCMB ，
∴BM＝BCE·CEB＝33 2×66＝2
3，
CM＝BECC2＝(33
2)2＝ 6
6.
∵∠F＝∠BDC＝45°，BF⊥AC，
∴∠MCF＝45°＝∠F，∴MF＝MC＝ 6，
∴BF＝BM＋MF＝2 3＋ 6.
分类训练
4. 已知△ABC是等边三角形，D是直线AB 上的一点．
4 ∴x－x a＝x3－aa，解得 x＝3a 或 x＝13a(在 AB 的延长线上，且OOHG＝ 265，直接写出BADB的值．
解：BADB＝23或32.
【点拨】 如图②，延长CA至M，使AM＝
BD，连接MB并延长交CD于点N，过 点A作AP∥MN交CD于点P， 由(1)可知∠MNC＝60°，
分类训练
1. [2023·日照]如图，在矩形ABCD中， AB＝6，AD＝8，点P在对角线BD上， 过点P作MN⊥BD，交边AD，BC于点 M，N，过点M作ME⊥AD交BD于点E， 连接EN，BM，DN.
下列结论： ①EM＝EN； ②四边形 MBND 的面积不变； ③当 AM：MD＝1：2 时，S△MPE＝9265； ④BM＋MN＋ND 的最小值是 20. 其中所有正确结论的序号是__②__③__④__．
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如图，在□ABCD中，过B做直线交AC于F，交DC于G，交AD的延长线于E.试说明:BF2＝FE•FG.
如图，ΔABC与ΔADB中，∠ABC=∠ADB=90°，AC=5cm，AB=4cm，如果图中的两个直角三角形相似，求AD的长.
如图，点C、D在线段AB上，且ΔPCD是等边三角形.
(1)当AC，CD，DB满足怎样的关系时，ΔACP∽ΔPCB；
(2)当ΔPCB∽ΔACP时，试求∠APB的度数.
如下图，已知在△ABC中，AD平分∠BAC,EM是AD的中垂线，交BC延长线于E.求证:DE2=BE·CE.
已知:如图,ΔABC中,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC.
求证:AB·BC=AC·CD.
F G
E
D
C
B
A
如图，点C 、D 在线段AB 上，且△PCD 是等边三角形．
(1)当AC 、CD 、DB 满足怎样的关系式时，△ACP ∽△PDB ．
(2)当△PDB ∽△ACP 时，试求∠APB 的度数．
如图，已知在△ABC 中，BE 平分ABC ∠交AC 于E ，点D 在BE 延长线上，且BE BD BC BA ⋅=⋅． (1)求证:△ABD ∽△EBC ； (2)求证:DE BD AD ⋅=2．
如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D
是AB 上
一点，BD =2，E 是BC 上一动点，联结DE ，并作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F ．
(1)求证:△DBE ∽△ECF ；
(2)当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长；
(3)联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长．
E
D
A
B
F
B
A
C D B
A
C
D (备用图)。