【高中数学】函数的概念及三要素(学生版)

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高中数学(新人教A版)必修第一册：第3章章末函数概念与性质课件【精品课件】

．
②如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变
量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那
减函数．
么就说函数f(x)在区间D上是
(2)单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那
么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格
的) 单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
需要在此处列出满足题意的关系式，求出a的限制条件．
例6 若函数f ( x )是定义在R上的偶函数,且在(-,0)上是增函数,并且
f (2a 2 a 1) f (3a 2 2a 1), 求实数a的取值范围.
解 :由条件知f(x)在(0,+ )上是减函数
1 2 8
1 2 1
2
而2a a 1 2(a ) 0, 3a 2a 1 3( a ) 0
1
【解】 (1)当 a＝0 时，f(x)＝x ，显然是奇函数；
当 a≠0，f(1)＝a＋1，f(－1)＝a－1，f(1)≠f(－1)且 f(1)＋f(－1)≠0，
所以此时 f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)设∀x1<x2∈[1,2]，

x2－x1
1
则 f(x1)－f(x2)＝a(x1－x2)(x1＋x2)＋ x x ＝(x1－x2)ax1＋x2－x x ，
1 2
第三章函数的概念与性质
章末总结
教学目标及核心素养
教学目标
1.掌握函数的概念；
2.了解分段函数，会画分段函数的图像；
3.理解函数性质并且熟练运用；
x 即x

x 1
所以，
6时，等号成立。

高中数学《函数的概念》答辩题目及解析

高中数学《函数的概念》答辩题目及解析
1.函数的三要素是什么?
【参考答案】
函数的三要素包括：定义域、值域、对应法则。

2.本节课的教学目标是什么?
【参考答案】
(一)知识与技能
理解函数的概念，能对具体函数指出定义域、对应法则、值域，能够正确使用“区间”符号表示某些函数的定义域、值域。

(二)过程与方法
通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用进一步加深集合与对应数学思想方法。

(三)情感态度价值观
在自主探索中感受到成功的喜悦，激发学习数学的兴趣。

3.怎样才能设计好授课板书呢?你能给出几点建议吗?
【参考答案】
进行板书设计的时候要注意整体的呈现，每一个版块都可以设计的很好，要是呈现在整个黑板上呢?要从黑板全局的角度去看问题。

要站在学生的视角去看黑板，比如学生坐在座位上，与教师看到的是
不同的，所以板书不宜过高和过低等等。

要学会根据教学的内容和学生的理解情况调整板书，比如学生接受的特别好，那么一些细枝末节的板书就可以适当省略，留时间在更重要的地方。

高中数学必修一-第三章-3.1 函数的概念及其表示

第三章函数3.1 函数的概念及其表示知识点一：函数的概念1.函数的有关概念2.函数的三要素一个函数的构成要素：定义域、对应关系和值域.因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以两个函数的定义域和对应关系相同时，它们是同一个函数.3.区间的概念:设a,b∈R,a<b.实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞).知识点二：函数的表示法1.函数的三种表示法2.分段函数已知函数y=f(x)，x∈A，如果自变量x在不同的取值范围内，函数有着不同的对应关系，那么我们称这样的函数为分段函数.【思考】1.函数的定义域和值域是否一定是无限集?2.区间是数集的另一种表示方法,是否任何数集都能用区间表示?3.根据函数的定义,任何一个自变量x是否都有唯一的函数值y与之对应?任何一个函数值y 是否都有唯一的自变量x与之对应?4.如何确定分段函数的定义域和值域?【解析】1.不一定.函数的定义域和值域也可能是有限集,如f(x)=1，x∈{1,2,3}.2.不是.如集合{0,1}就不能用区间表示.3.任何一个自变量x都有唯一的函数值y与之对应，但是函数值y不一定有唯一的自变量x 与之对应。

如f(x)=x2中，函数值4有两个自变量2、-2与之对应。

函数中x，y的对应关系是“一对一”或“多对一”,不能“一对多”.4.分段函数的定义域是每一段自变量取值范围的并集,值域也是每一段函数值取值范围的并集.3.1.1 函数的概念基础练一函数的概念1.（多选题）下面选项中,变量y是变量x的函数的是()A.x表示某一天中的时刻,y表示对应的某地区的气温B.x表示年份,y表示对应的某地区的GDP(国内生产总值)C.x表示某地区学生的某次数学考试成绩,y表示该地区学生对应的考试号D.x表示某人的月收入,y表示对应的个税2.下列四组函数中,表示同一个函数的是()3A.y=|x|与y=√x3B.y=√x2与s=(√t)2C.y=2t+1与y=2u+1D.y=1与y=x03.设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},那么下面的4个图形中,能表示以集合M为定义域,集合N为值域的函数关系的有()A.①②③④B.①②③C.②③D.②④二函数的定义域4.函数f(x)=√x−1的定义域为() x−2A.[1,+∞)B.[1,2)C.[1,2)∪(2,+∞)D.(1,2)∪(2,+∞)5.已知某矩形的周长为定值a,若该矩形的面积S是这个矩形的一边长x的函数,则这个函数的定义域是.6.已知函数y=f(x)的定义域为[-2,3],则函数y=f(2x+1)的定义域为.x+1三函数值及函数的值域7.已知集合P={x|y=√x−1},集合Q={y|y=√x−1},则()A.P=QB.P⫋QC.Q⫋PD.P∩Q=⌀8.函数y=√x2−2x+3的值域为.,则f(x)的值域为.9.已知函数f(x)=1x2−2x10.已知函数f(x)的定义域是[0,1],值域是[1,2],则这样的函数可以是f(x)=.11.已知函数f(x)=x2+x-1.);(1)求f(2), f(1x(2)若f(x)=5,求x的值.3.1.2 函数的表示法基础练一函数的表示法及其应用 1.函数y =x x+1的图象大致是 ( )A B C D2.某同学从家里到学校,为了不迟到,先匀速跑一段时间,跑累了再匀速走余下的路,设在途中花费的时间为t ,离开家的距离为d ,则下面图象中,能正确表示d 与t 的关系的是( )A B C D3.已知函数y =f (x )的对应关系如表,函数y =g (x )的图象为如图所示的曲线ABC ,则g (f (3))的值为 .二函数解析式的求法5.已知函数f (x +2)=x 2+6x +8,则函数f (x )的解析式为( ) A.f (x )=x 2+2x B.f (x )=x 2+6x +8 C.f (x )=x 2+4x D.f (x )=x 2+8x +66.函数f (x )满足f (1-2x )=-1x ,则f (2)=( )A.2B.-2C.12 D.-12 7.已知函数f (2x -1)=3x -5,若f (x 0)=4,则x 0= .8.已知f (x )是一次函数,2f (2)-3f (1)=5,2f (0)-f (-1)=1,则f (x )= .9.(1)已知函数g (√x +1)=2x +1,求g (x )的解析式;(2)已知f (x )为二次函数,且f (0)=2, f (2)=f (-1)=0,求f (x )的解析式.三分段函数问题10.已知函数f (x )={√x,x >0,|x +1|,x ≤0,则f (f (-3))=( )A.√3B.1C.2D.√2 11.已知f (x )={x +2,x ≤−1,x 2,−1<x <2,2x,x ≥2,若f (x )=3,则x 的值是( )A.1B.1或32C.1,32或±√3 D.√312.函数f (x )=x +|x |x 的图象是( )A B C D13.(2022山西大同期中)已知函数f (x )={x 2,x ≤0,4−2x,x >0.(1)画出函数f (x )的图象;(2)当f (x )≥2时,求实数x 的取值范围.。

高中数学必修一第1讲函数及其表示

第4讲函数及其表示基础梳理1．函数的基本概念(1)函数的定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：y ＝f (x )，x ∈A .(2)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做定义域，与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫值域．值域是集合B 的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据．2．函数的三种表示方法表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法．3．映射的概念一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．两个防范(1)解决函数问题，必须树立优先考虑函数的定义域的良好习惯．(2)用换元法解题时，应注意换元后变量的范围．考向一相等函数的判断【例1】下列函数中哪个与函数)0(≥=x x y 是同一个函数（）A y =( x )2B y=x x 2C 33x y =D y=2x 【例2】x x y 2=与⎩⎨⎧-∞∈-+∞∈=).0,(,);,0(,)(t t t t x f 是相同的函数吗? 考向二求函数的定义域高中阶段所有基本初等函数求定义域应注意：（1）分式函数中分母不为0；（2）开偶次方时，被开方数大于等于0；（3）对数函数的真数大于0（如果底数含自变量，则底数大于0且不为1）；（4）0次幂的底数不为0。

（5）正切函数2ππ+≠k x【例1】►求函数x x x x f -+--=4lg 32)(的定义域。

高中数学知识点总结(最全版)

高中数学知识点总结(最全版)第一章函数概念（1）函数的概念①设、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则）叫做集合到的一个函数，记作、②函数的三要素:定义域、值域和对应法则、③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数、（2）区间的概念及表示法①设是两个实数，且，满足的实数的集合叫做闭区间，记做；满足的实数的集合叫做开区间，记做；满足，或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别记做，；满足的实数的集合分别记做、注意：对于集合与区间，前者可以大于或等于，而后者必须，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）、（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数、②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数、③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合、④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1、⑤中，、⑥零（负）指数幂的底数不能为零、⑦若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集、⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知的定义域为，其复合函数的定义域应由不等式解出、⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论、⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义、（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的、事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值、因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同、求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值、②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值、③判别式法：若函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程则在时，由于为实数，故必须有，从而确定函数的值域或最值、④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值、⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题、⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值、⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值、⑧函数的单调性法、（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种、解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系、列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系、图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系、（6）映射的概念①设、是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则）叫做集合到的映射，记作、②给定一个集合到集合的映射，且、如果元素和元素对应，那么我们把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象、（6）函数的单调性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1< x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数、（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1< x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数、（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数、③对于复合函数，令，若为增，为增，则为增；若为减，为减，则为增；若为增，为减，则为减；若为减，为增，则为减、yxo（7）打“√”函数的图象与性质分别在、上为增函数，分别在、上为减函数、（8）最大（小）值定义①一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得、那么，我们称是函数的最大值，记作、②一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得、那么，我们称是函数的最小值，记作、（9）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)=－f(x),那么函数f(x)叫做奇函数、（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数、（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y轴对称）②若函数为奇函数，且在处有定义，则、③奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反、④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数、第二章基本初等函数(Ⅰ)〖2、1〗指数函数【2、1、1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果，且，那么叫做的次方根、当是奇数时，的次方根用符号表示；当是偶数时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示；0的次方根是0；负数没有次方根、②式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数、当为奇数时，为任意实数；当为偶数时，、③根式的性质：；当为奇数时，；当为偶数时，、（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：且、0的正分数指数幂等于0、②正数的负分数指数幂的意义是：且、0的负分数指数幂没有意义、注意口诀：底数取倒数，指数取相反数、（3）分数指数幂的运算性质① ②③【2、1、2】指数函数及其性质（4）指数函数函数名称指数函数定义0101函数且叫做指数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，、奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低、〖2、2〗对数函数【2、2、1】对数与对数运算（1）对数的定义①若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数、②负数和零没有对数、③对数式与指数式的互化：、（2）几个重要的对数恒等式，，、（3）常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即（其中…）、（4）对数的运算性质如果，那么①加法：②减法：③数乘：④⑤ ⑥换底公式：【2、2、2】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象0101定义域值域过定点图象过定点，即当时，、奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，越大图象越靠低；在第四象限内，越大图象越靠高、(6)反函数的概念设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子、如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成、（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式中反解出；③将改写成，并注明反函数的定义域、（8）反函数的性质①原函数与反函数的图象关于直线对称、②函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域、③若在原函数的图象上，则在反函数的图象上、④一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数、〖2、3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数、（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象、幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限、②过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点、③单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数、如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴、④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数、当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数、⑤图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方、〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：②顶点式：③两根式：（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式、②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式、③若已知抛物线与轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求更方便、（3）二次函数图象的性质①二次函数的图象是一条抛物线，对称轴方程为顶点坐标是、②当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，、③二次函数当时，图象与轴有两个交点、（4）一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布、设一元二次方程的两实根为，且、令，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：②对称轴位置：③判别式：④端点函数值符号、①k＜x1≤x2 ②x1≤x2＜k ③x1＜k＜x2 af(k)＜0 ④k1＜x1≤x2＜k2 ⑤有且仅有一个根x1（或x2）满足k1＜x1（或x2）＜k2 f(k1)f(k2)0，并同时考虑f(k1)=0或f(k2)=0这两种情况是否也符合⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2 此结论可直接由⑤推出、（5）二次函数在闭区间上的最值设在区间上的最大值为，最小值为，令、（Ⅰ）当时（开口向上）①若，则②若，则③若，则xy0>aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0>aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0>aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0>aOabx2-=pqf(p)f(q)①若，则②，则xy0>aOabx2-=pqf(p)f(q)(Ⅱ)当时(开口向下)①若，则②若，则③若，则xy0<aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0<aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0<aOabx2-=pqf(p)f(q)①若，则②，则、xy0<aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0<aOabx2-=pqf(p)f(q)第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。

3.1.1函数概念(第1课时)教学设计.docx

3.1.1函数的概念（第一课时）(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第三章)一、教材地位本节课是普通高中课程标准实验教科书人教A版第三章第一节第一课时（第60～64页）.1.概念本身角度：函数是高中数学最抽象的概念，初中曾用运动变化的观点给出函数的描述性定义，并把函数看作两个变量间的依赖关系，但这一定义有一定的阶段性和局限性.2.学科角度：函数是高中数学的核心概念，是整个高中函数知识体系的基石，它不仅将函数概念由“对应论”发展到“集合论”，更承上启下，为后继研究基本初等函数，比如指数函数、对数函数、幂函数、三角函数以及函数的性质等提供研究方法和理论依据，让我们体会到重要概念对数学发展和数学学习的巨大作用；同时，函数的基础知识在日常生活、社会经济、以及等其他学科也有着广泛应用.3.高考角度：函数是高考数学的热点，函数图象性质、函数与代数式方程不等式数列三角解析几何导数的结合问题常考常新，从基础题、中档题到压轴题，每年高考都是绝对重点，高考所考察的五大数学思想中的数形结合思想、函数与方程思想贯穿高中数学学习的全过程.有人说，“得函数者得数学，得数学者得高考”，更是形象的道出了函数在高考中的重要地位.二、学情分析1.从学生知识层面看：通过初中函数相关知识的学习,学生具备了一定的知识经验和基础；通过必修一第一章“集合”的学习，对集合思想的认识也日渐提高，为重新定义函数、从根本上揭示函数的本质提供了知识保证．2.从学生能力层面看：学生已有一定的分析、推理和概括能力，初步具备了运用数形结合思想解决问题的能力，但数形结合的意识和思维的深刻性还有待进一步加强.3.从学生情感培养方面看：多数学生对教学新内容的学习有很高学习兴趣和积极性，但探究能力以及合作交流等能力仍需要通过课堂主渠道加以培养和提高.三、教学目标1.知识与技能：会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数的概念；理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数的三要素；会求一些简单函数的定义域.（重点）2.过程与方法：让学生亲身经历函数概念的形成过程，经历从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，培养学生抽象概括能力，让学生学会数学表达和交流，激发数学学习兴趣，发展数学应用意识.（难点）3.情感、态度与价值观：培养学生细心观察、认真分析、严谨表达的良好思维习惯，养成用函数模型描述和解决现实世界中蕴含的规律，培养学生提出问题的能力，培养创新意识.四、教学重点用集合语言和对应关系刻画函数的概念.五、教学难点对函数概念的理解.六、教学过程1.函数概念的形成1.1创设情境，引发思考思考1：(1)若正方形的边长为1，则其周长l= ；(2)若正方形的边长为2，则其周长l= ； (3)若正方形的边长为x ，则其周长l= ；【预设答案】（1）4（2）8（3）4x【设计意图】通过具体的例子复习函数的概念，让学生再次体会函数高度“抽象”的作用.思考2：初中学习的函数的概念是什么？【预设答案】设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的函数.其中x 叫自变量，y 叫因变量.【设计意图】复习初中函数概念，强调函数是一种特殊的对应.思考3：请同学们考虑以下两个问题【设计意图】从初中的概念来看，这两组中的两个函数没什么不同，但我们有感觉它们是不同函数.让学生体会初中函数概念不够精确，从而有些问题解决不了.1.2探究典例，形成概念问题1：某“复兴号”高速列车到350km/h 后保持匀速运行半小时.这段时间内，列车行进的路程S （单位：km ）与运行时间t （单位：h ）的关系可以表示为 S=350t.思考：根据对应关系S=350t ，这趟列车加速到350km/h 后，运行1h 就前进了350km ，这个说法正确吗？44y x l x ==（1）与周长是同一函数吗？22x y x y x==（）与是同一函数吗？【预设答案】不正确.对应关系应为S=350t ，其中 }1750|{},5.00|{11≤≤=∈≤≤=∈s s B s t t A t .问题2 ：某电气维修告诉要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w （单位：元）是他工作天数d 的函数吗？【预设答案】是函数，对应关系为w=350d,其中},6,5,4,3,2,1{2=∈A d}2100,1750,1400,1050,700,350{2=∈B w .思考：在问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？【预设答案】不是.自变量的取值范围不一样.问题3 :如图，是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图.如何根据该图确定这一天内任一时刻th 的空气质量指数的值I ？你认为这里的I 是t 的函数吗？【预设答案】是，t 的变化范围是}240|{A 3≤≤=t t ，I 的范围是}1500|{I B 3<<=I .问题4：国际上常用恩格尔系数）总支出金额食物支出金额=r r ( 反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.上表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从表中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高.你认为该表给出的对应关系，恩格尔系数r 是年份y 的函数吗？思考：上述问题1到问题4中的函数有哪些共同点和不同点？【预设答案】共同点有：（1）都包含两个非空数集，用A ，B 来表示；（2）都有一个对应关系不同点有：（1）（2）是通过解析式表示对应关系，（3）是通过图象，（4）是通过表格【设计意图】通过四个具体的例子，发现要在集合的基础上定义函数会比较准确，同时让学生体会函数对应关系的3种表示形式.函数概念：一般地，设A , B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =f (x )，x ∈A .其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}()f x x A |∈叫做函数的值域.函数的三个要素：定义域，对应关系，值域.常见函数的三要素：正比例函数：y kx =的定义域是R ，值域也是R .对应关系f 把R 中的任意一个数x ，对应到R 中唯一确定的数(0)ax b a +≠.一次函数：(0)y ax b a =+≠的定义域是R ，值域也是R .对应关系f 把R 中的任意一个数x ，对应到R 中唯一确定的数(0)ax b a +≠.二次函数：2(0)y ax bx c a =++≠的定义域是R ，值域是B .当a >0时，244ac b B y y a ⎧⎫-⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭；当a <0时，244ac b B y y a ⎧⎫-⎪⎪=≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭.对应关系f 把R 中的任意一个数x ，对应到B 中唯一确定的数2(0)ax bx c a ++≠. 反比例函数：(0)k y k x =≠的定义域为{}0x x ≠，对应关系为“倒数的k 倍”，值域为{}0y y ≠.反比例函数用函数定义叙述为：对于非空数集{}0A x x =≠中的任意一个x 值，按照对应关系f ：“倒数(0)k k ≠倍”，在集合{}0B y y =≠中都有唯一确定的数k x 和它对应，那么此时f ：A B →就是集合A 到集合B 的一个函数，记作()(0),.k f x k x A x=≠∉2.例题讲解，理解概念例1.判断下列对应是否是函数【预设答案】（1）是（2）是（3）不是【设计意图】让学生体会函数只能是“一对一”或“多对一”，不能“一对多”.例2. 判断下列图象能表示函数图象的是（）【预设答案】D【设计意图】让学生体会概念中的“唯一”二字例3 .你能构建一个问题情景，使其中函数的对应关系为y=x(10-x)吗？【预设答案】长方形的周长为20，设一边长为x，面积为y，那么y=x（10-x），其中x的取值范围是A={x|0<x<10},y的取值范围是B={y|0<y≤25}.对应关系f把每一个长方形的边长x,对应到唯一确定的面积x(10-x)【设计意图】让学生体会数学建模，数学应用思想，同时巩固函数概念是建立在集合基础上的.3.课堂练习，巩固新知练习1.若函数y=f(x)的定义域为{x|−3≤x≤8,x≠5}，值域为{y|−1≤y≤2,y≠0}，则y=f(x)的图象可能是()A. B.C. D.【答案】B练习2.已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．则g(f(5))=；f(g(2))=．【答案】4 3练习3.集合A，B与对应关系f，如图所示，f：A→B是否为从集合A到集合B的函数？如果是，那么定义值域与对应关系各是什么？【答案】由图知A中的任意一个数，B中都有唯一确定数，与之对应，所以f：A→B 是从A 到B的函数定义域是A={1,2,3,4,5},值域C={2，3，4，5}4.构建一个问题情景，使其中的变量关系能用解析式y=√x来描述.【答案】正方形的面积为x,其边长为y，则y=√x，其中x的取值范围是A={x|0<x},y的取值范围是B={y|0<y}4.课堂小结，思想升华本节课主要是在集合的基础上重新定义了函数，让函数的概念更加清晰准确.。

专题05 函数 5.1函数的三要素题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习(原卷版)

专题四《函数》讲义5.1函数的三要素知识梳理.函数的概念1．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．2．函数的三种表示法解析法图象法列表法就是把变量x，y之间的关系用一个关系式y＝f(x)来表示，通过关系式可以由x的值求出y的值.就是把x，y之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量x，y的值.就是将变量x，y的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系.3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．题型一.定义域考点1.具体函数定义域1．函数f（x）＝（1﹣）−12+（2x﹣1）0的定义域是（）A．（﹣∞，1]B．（−∞，12）∪（12，1）C．（﹣∞，1）D．(12，1)2．函数op=M，g（x）＝ln（x2+3x+2）的定义域为N，则M∪∁R N＝A．[﹣2，1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，+∞）D．（﹣∞，1）考点2.抽象函数定义域3．若函数f（3﹣2x）的定义域为[﹣1，2]，则函数f（x）的定义域是．4．函数y＝f（x）的定义域为[﹣1，2]，则函数y＝f（1+x）+f（1﹣x）的定义域为（）A．[﹣1，3]B．[0，2]C．[﹣1，1]D．[﹣2，2]考点3.已知定义域求参5．已知函数f（x）＝lg（ax2+3x+2）的定义域为R，则实数a的取值范围是．6．若函数f（x）＝（2a2+5a+3）x2+（a+1）x﹣1的定义域、值域都为R，则实数a满足（）A．a＝﹣1或a=−32B．−139＜＜−1C．a≠﹣1或a≠−32D．a=−32题型二.解析式考点1.待定系数法1．已知函数f（x）是一次函数，且f[f（x）]＝9x+4，求函数f（x）的解析式．2．已知f（x）是二次函数，且满足f（0）＝1，f（x+1）﹣f（x）＝2x，则f（x）的解析式是．考点2.换元法3．已知o−1)=−2，则函数f（x）的解析式为．4．已知f（1−1+）=1−21+2，求f（x）的解析式．考点3.凑配法5．（1）已知f（1）=1−2，求f（x）的解析式；（2）已知f（x+1）＝x2+12，求f（x）．6．已知f（3x）＝4x log23+10，则f（2）+f（4）+f（8）+…+f（210）的值等于．考点4.方程组法7．已知函数f（x）满足f（x）+2f（﹣x）＝3x，则f（1）＝．8．已知函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，f（x）+g（x）＝2•3x，则函数f（x）＝．考点5.求谁设谁9．已知函数f（x）为奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）＝log2x，（1）求f（x）的解析式；（2）当f（x）＞0时．求x的取值范围．10．定义域为R的函数f（x）满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x2﹣x，则当x∈（﹣1，0]时，f（x）的值域为（）A．[−18，0]B．[−14，0]C．[−18，−14]D．[0，14]考点6.利用对称求解析式11．下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是（）A．y＝ln（1﹣x）B．y＝ln（2﹣x）C．y＝ln（1+x）D．y＝ln（2+x）12．设函数y＝f（x）的图象与y＝2x+a的图象关于y＝﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣4）＝1，则a＝（）A．﹣1B．1C．2D．4题型三.值域考点1.利用单调性求值域1．下列函数中，与函数op=(15)的定义域和值域都相同的是（）A．y＝x2+2x，x＞0B．y＝|x+1|C．y＝10﹣x D．=+12．已知函数f（x）＝log3（x﹣2）的定义域为A，则函数g（x）＝（12）2﹣x（x∈A）的值域为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，1）C．[1，+∞）D．（1，+∞）考点2.换元法3．函数=2+41−的值域为（）A．（﹣∞，﹣4]B．（﹣∞，4]C．[0，+∞）D．[2，+∞）4．函数f（x）＝log2（x2﹣2x+3）的值域为（）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．R D．[2，+∞）考点3.分离常数5．函数=2r1r1在x∈[0，+∞）上的值域是．6．已知函数op=2+4，则该函数在（1，3]上的值域是（）A．[4，5）B．（4，5）C．[133，5)D．[133，5] 7．函数=2+2r2r1的值域是．8．下列求函数值域正确的是（）A．函数=5K14r2，x∈[﹣3，﹣1]的值域是{U≠54}B．函数=2−3r1的值域是{U≤−1，≥−15}C．函数=sB+1K2，∈[2，2)∪(2，p的值域是{U≤4K4，≥1K2} D．函数=+1−2的值域是{U−1≤≤2}课后作业.函数的三要素1．函数op=−2+9+10−2B(K1)的定义域为（）A．[1，10]B．[1，2）∪（2，10]C．（1，10]D．（1，2）∪（2，10]2．已知函数f（x）=l2，＞03，＜0，则no14)]的值为（）A．19B．13C．﹣2D．3 3．已知o p=2−2，则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）＝x4﹣2x2（x≥0）B．f（x）＝x4﹣2x2C．op=−2o≥0)D．op=−24．已知函数f（x）满足2f（x﹣1）+f（1﹣x）＝2x﹣1，求：f（x）解析式．5．已知f（x）=(1−2p+3o＜1)Bo≥1)的值域为R，那么a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣1，12）C．[﹣1，12）D．（0，1）6．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值设f（x）＝min{2x，x+2，10﹣x}（x≥0），则f（x）的最大值为．。

高中数学：函数的基本知识点

高中数学：函数的基本知识点函数是高考数学中的重点内容，学习函数需要首先掌握函数的各个知识点，然后运用函数的各种*质来解决具体的问题。

小编为大家收集了“高中数学讲解：函数的基本知识点”，供大家参考，希望对大家有所帮助!1.函数的定义定义：设x和y是两个变量，d是实数集r的某个子集.如果对任何的x∈d，按照某种对应法则，变量y总有确定的值与之对应，则称变量y是定义在d上变量x的函数，记作y=f(x).称d为该函数的定义域，称x为自变，.y为因变量.当自变量x取数值xo∈d时，与xo对应的因变量y的值称为函数y=f(x)，当x取遍d的所有数值时，对应的变量y取值的全体组成的数集称为函数y二f(x)的值域.如果自变量在定义域内任取一个值时，对应的函数值只有一个，这种函数称为单值函数，否则称为多值函数.例如，y=3x+l是单值函数，而由方程x2+y2=1确定的函数y=士√1-x2就是多值函数.以后凡没有特别说明，本书所讨论的函数都是指单值函数.函数的表示法通常有三种，即表格法、图示法和公式法。

2.函数的两个基本要素由函数的定义知，确定函数的两个基本要素是定义域和对应法则.也就是说，两个函数只有当它们的定义域和对应法则完全相同时，两个函数才是相同的.3.函数的几种特*(1)有界*设函数y=f(x)的定义域为d，数集x∈d，如果存在正数m，使得对于任意的x∈x，都有不等式f(x)?≤m成立，则称了(x)在x上有界，如果这样的m不存在，则称函数在x上无界.(2)单调*.设函数y=f(x)在区向x上有定义.如果对于任意的x1,x2∈x，当x1<x2时，均有f(x1)(3)奇偶*设函数y=f(x)的定义域d是关于原点对称的，如果对于任意的x∈d，均有f(x)=f(一x)，则称.f(x)为偶函数;如果对于任意的x∈d，均有f(x)=-f(x)，则称了(x)为奇函数.(4)周期*设函数y.=f(x)，如果存在不为零的常数t,.使得对于任意x∈d均有x+t∈d，且f(x)=f(x+t)成立，则称函数y=f(x)为周期函数，称t为f(x)的一个周期。

人教版高中数学必修一1.2.1函数的的概念_ppt课件

题型三求函数的定义域【例3】求下列函数的定义域：
(1)y＝xx＋＋112－ 1－x； (2)y＝ 2x＋5＋x－ 1 1； (3)y＝ x2－1＋ 1－x2； (4)y＝1＋ 1 1x.
解：(1)要使函数有意义，自变量 x 的取值必须满
足x1＋－1x≠ ≥00 ，即xx≠ ≤－ 1 1 ，所以函数定义域为{x|x≤1 且 x≠－1}． (2)要使函数有意义，需满足
解析：y＝f(x)与y＝f(t)定义域，对应关系都相同，故①正确；f(x)
＝1，x∈R，而g(x)＝x0，x≠0，故不是同一函数；y＝x，x∈[0,1]，与
＝x2，x∈[0,1]的定义域、值域都相同，但不是同一个函数．
答案：B
3．函数 y＝ x3＋－12x0 的定义域是________．
解析：要使函数有意义，需满足x3＋－12≠ x>00 ，即 x<32且 x≠－1. 答案：(－∞，－1)∪－1，32
(3)由x|x＋ |－1x≠≠00 ，得|xx≠ |≠－x 1 ， ∴x<0 且 x≠－1， ∴原函数的定义域为{x|x<0 且 x≠－1}．
误区解密因求函数定义域忽视对二次项系数的讨论而出错
【例 4】已知函数 y＝k2x22＋ kx3－kx8＋1的定义域为 R，求实数 k 的值．
x≠0 1＋1x≠0
，即 xx≠ ＋
0 1≠
0
.
即 x≠0 且 x≠－1，
∴原函数定义域为{x|x≠0 且 x≠－1}．
点评：求函数定义域的原则：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次根式的被开方数(式)为非负数；(3)零指数幂的底数不等于零等．
3．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝x2－36x＋2；

3.1.1函数的概念(教学课件)- 高中数学人教B版(2019)选择性必修第一册

开区间
(a,b)
{x|a<x≤b} 左开右闭区间 [a,b]
[a≤x<b}
左闭右开区间 (a,b)
辑表示
常见区间的含义及表示方法如下表所示：
定义
数学符号
{x|x≥a}
(a,+co)
数翻表示
{x|x>al
(a,+0)
{x|x≤bl
[-c,b]
{x|x<b}
(-o,b) (-0,+0)
求函数的定义域和函数值
【例题】已知函 (1)求函数的定义域
( 3 ) 当a>0 时，求f(a),f(a-1)
(2)求f(-3), 的值
的值
【解】(1)由题意有
所以函
域为 (-3,-2)U(-2,+c)
f -(2) ( -3 )
- 1;
(3)a>0时，f(a),f(a-1) 均有意义；
什么是相同函数?
由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域.因为值域是由定义域和对应关系决定的，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函数就是同一个函数.
如果两个函数仅仅是对应关系相同，但定义域不同，那么它们肯定不是同一个函数.
此外，函数y=x²,xe(-00,+00);m=n²,ne(-00,+0);t=v², ve(-00,+0) , 虽然它们的字母不同，但是因为他们的定义域和对应关系都相同，所以它们是同一个函数.
提示
两个函数只要定义域和对应关系任何一个不同，那么它们都不是相同函数
;④f(x)=x²-2x-1与g()=²-2t-1.
解析①)=-x√ -2x,g(x)=x√-2x, 对应关系不同，

高一数学函数知识点整理

高一数学函数知识点整理高一新生要根据自己的条件，以及高中阶段学科知识交叉多、综合性强，以及考查的知识和思维触点广的特点，找寻一套行之有效的学习方法。

下面小编为大家带来高一数学函数知识点整理，希望大家喜欢!1. 函数的奇偶性(1)若 f(x)是偶函数，那么 f(x)=f(-x) ;(2)若 f(x)是奇函数，0 在其定义域内，则 f(0)=0(可用于求参数);(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0 或 (f(x)≠0);(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;2. 复合函数的有关问题(1)复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a，b],其复合函数 f[g(x)] 的定义域由不等式 a≤g(x)≤b 解出即可;若已知 f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于 x∈[a,b]时，求 g(x)的值域(即 f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。

(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;3.函数图像(或方程曲线的对称性)(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;(2)证明图像 C1 与 C2 的对称性，即证明 C1 上任意点关于对称中心(对称轴) 的对称点仍在 C2 上，反之亦然;(3)曲线 C1：f(x,y)=0,关于 y=x+a(y=-x+a)的对称曲线 C2 的方程为 f(y- a,x+a)=0(或 f(-y+a,-x+a)=0) ;(4)曲线 C1:f(x,y)=0 关于点(a,b)的对称曲线 C2 方程为：f(2a-x,2b-y)=0;(5)若函数 y=f(x)对 x∈R 时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，则 y=f(x)图像关于直线 x=a 对称;(6)函数 y=f(x-a)与 y=f(b-x)的图像关于直线 x= 对称;4.函数的周期性(1)y=f(x)对 x∈R 时，f(x +a)=f(x-a) 或 f(x-2a )=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为 2a 的周期函数;(2)若 y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线 x=a 对称，则 f(x)是周期为 2 ︱a ︱的周期函数;(3)若 y=f(x)奇函数，其图像又关于直线 x=a 对称，则 f(x)是周期为 4 ︱ a ︱的周期函数;(4)若 y=f(x)关于点(a,0), (b,0)对称，则 f(x)是周期为 2 的周期函数;(5)y=f(x)的图象关于直线 x=a,x=b(a≠b)对称，则函数 y=f(x)是周期为 2 的周期函数;(6)y=f(x)对 x∈R 时，f(x+a)=-f(x) (或 f(x+a)= ，则 y=f(x)是周期为 2的周期函数;5.方程 k=f(x)有解k∈D(D 为 f(x)的值域);6.a≥f(x) 恒成立 a≥[f(x)]max, ; a≤f(x) 恒成立 a≤[f(x)]min;7. (1) (a>0,a≠1,b>0,n∈R+) ; (2) l og a N= ( a>0,a≠1,b>0,b≠1) ;(3) l og a b 的符号由口诀“同正异负”记忆; (4) a log a N= N( a>0,a≠1,N>0 ) ;8. 判断对应是否为映射时，抓住两点： (1)A 中元素必须都有象且; (2)B 中元素不一定都有原象，并且 A 中不同元素在 B 中可以有相同的象;9. 能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。

河北省2020年新高一数学必修一第三章函数的概念与性质知识点总结(人教版)

2020年新高一数学必修一知识点总结第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示1.函数是刻画变量间对应关系的数学模型和工具。

2.函数问题的共同特征：①定义域、值域均为非空数集；②定义域和值域间有一个对应关系；③对于定义域中的任何一个自变量，在值域中都有唯一确定的数与之对应。

3.函数中的对应关系可用解析式、图象、表格等表示，为了表示方便，引进符号f 统一表示对应关系。

【注】函数符号()y f x =是由德国数学家莱布尼茨在18世纪引入的。

4.函数定义一般地，设,A B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作(),y f x x A =∈。

其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){}f x x A ∈叫做函数的值域。

5.函数的三要素：①定义域；②对应关系；③值域。

6.（1）函数的定义域和对应关系可以确定出函数的值域，即一个函数的值域是由它的定义域和对应关系决定的。

（2）没有特别说明的情况下，函数的定义域默认是使其有意义的自变量取值范围。

如y =，则默认定义域是{}0x x ≠（3）实际问题中的函数定义域要根据实际情况定.如：匀速直线运动中位移、速度和时间的关系：()s t v t = ,隐含着0t ≥。

6.几个特殊函数的定义域和值域（1）正比例函数()0y kx k =≠，定义域和值域都为全体实数R。

（2）一次函数()0y kx b k =+≠，定义域和值域都为全体实数R。

（3）反比例函数()0k y k x=≠，定义域为{}0x x ≠，值域为{}0y y ≠。

（4）一元二次函数()20y ax bx c a =++≠，定义域为R。

①当0a >时，值域为244ac b y y a ⎧⎫-⎪⎪≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭；②当0a <时，值域为244ac b y y a ⎧⎫-⎪⎪≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭。

高中数学必修一之知识讲解-函数及其表示方法

函数及其表示方法【学习目标】(1)会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用．【要点梳理】要点一、函数的概念1．函数的定义设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.要点诠释：（1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性。

2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.3．区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示．区间表示：<<= {x|a≤x≤b}=[a，b]；x a x b a b{|}(,);(]x a x b a b{|},≤<=；x a x b a b<≤=；[){|},(][)≤=∞≤=+∞.x x b b x a x a{|}-,; {|},要点二、函数的表示法1．函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值.2．分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．要点三、映射与函数1.映射定义：设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.要点诠释：(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a的象记为f(a).2.函数与映射的区别与联系：设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x).要点诠释：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合.3.函数定义域的求法(1)确定函数定义域的原则①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合。

函数的概念

函数的概念及表示一、函数的定义初中定义:在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与对应. 那么就说y 是x 的函数，其中x 叫做自变量。

高中定义:设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数(function)，记作y = f (x )，x ∈A .其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域(domain)；与x 的值相对应的y 值叫做函数值。

初中所学函数: 正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数1．一次函数:b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R; 2．反比例函:xkx f =)()0(≠k :定义域{}0|≠x x , 值域{}0|≠x x ; 3．二次函数:c bx ax x f ++=2)()0(≠a :定义域R值域：当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当0<a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|24.指数函数),1,0(R x a a a y x ∈≠>=且:定义域R,值域为+R ；5.对数函数x y a log =)0,1,0(>≠>x a a 且:定义域+R ,值域为R ；二、区间的概念：设,a b 是两个实数，而且a b <，规定：（1）满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[,]a b ；（2）满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为(,)a b ；（3）满足不等式a x b ≤<或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，表示为[,)a b ，(,]a b ．这里的实数a 与b 都叫做相应区间的端点。

新教材人教A版高中数学必修第一册第三章函数概念与性质知识点考点汇总及解题方法规律提炼

第三章函数概念与性质3.1.1.1函数的概念 (1)3.1.1.2函数概念的应用 (6)3.1.2.1函数的表示法 (10)3.1.2.2分段函数 (14)3.2.1.1函数的单调性 (21)3.2.1.2函数的最大(小)值 (25)3.2.2.1函数奇偶性的概念 (30)3.2.2.2函数奇偶性的应用 (35)3.3幂函数 (37)3.4函数的应用(一) (41)3.1.1.1函数的概念要点整理1．函数的概念(1)函数的定义设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域与值域函数y＝f(x)中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x 的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(3)对应关系f：除解析式、图象表格外，还有其他表示对应关系的方法，引进符号f统一表示对应关系．温馨提示：(1)当A，B为非空数集时，符号“f：A→B”表示A到B的一个函数．(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．(3)符号“f”它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．2．区间概念(a，b为实数，且a<b)3.其他区间的表示题型一函数关系的判断【典例1】(1)判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数．①A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；③A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；④A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．(2)设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数y＝f(x)的定义域为M，值域为N，对于下列四个图象，不可作为函数y＝f(x)的图象的是( )[思路导引] 在“非空数集”A中“任取x”，在对应关系“f”作用下，B中“有唯一”的“数f(x)”与之“对应”，称f：A→B为集合A到集合B的一个函数．[解析](1)①对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A 中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数．②对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．③对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数．④集合A不是数集，故不是函数．(2)由函数定义可知，任意作一条直线x＝a，则与函数的图象至多有一个交点，结合选项可知C中图象不表示y是x的函数．[答案](1)见解析(2)C(1)判断对应关系是否为函数的2个条件①A、B必须是非空数集．②A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．(2)根据图形判断对应是否为函数的方法①任取一条垂直于x轴的直线l.②在定义域内平行移动直线l.③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．题型二用区间表示数集【典例2】把下列数集用区间表示，并在数轴上表示出来．(1){x|x≥3}；(2){x|x<－5}；(3){x|－4≤x<2或3<x≤5}．[思路导引] 用区间表示数集的关键是确定开、闭区间，含“或”的数集用符号“∪”连接区间．[解](1){x|x≥3}用区间表示为[3，＋∞)，用数轴表示如图．(2){x|x<－5}用区间表示为(－∞，－5)，用数轴表示如图．(3){x|－4≤x<2或3<x≤5}用区间表示为[－4,2)∪(3,5]，用数轴表示如图．应用区间时的3个注意点(1)区间是数集，区间的左端点小于右端点．(2)在用区间表示集合时，开和闭不能混淆．(3)用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圈表示不包括在区间内的端点．[针对训练]3．已知全集U＝R，A＝{x|－1<x≤5}，则∁U A用区间表示为__________________．[解析]∁U A＝{x|x≤－1或x>5}＝(－∞，－1]∪(5，＋∞)．[答案](－∞，－1]∪(5，＋∞)4．用区间表示不等式{x|x2－x－6≥0}的解集为______________________．[解析]不等式x2－x－6＝(x－3)(x＋2)≥0，解得x≥3或x≤－2，所以不等式的解集为{x|x≤－2或x≥3}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)．[答案](－∞，－2]∪[3，＋∞)题型三求函数的定义域【典例3】求下列函数的定义域．(1)y＝2＋3x－2；(2)y＝(x－1)0＋2x＋1；(3)y ＝3－x ·x －1； (4)y ＝(x ＋1)2x ＋1－－x 2－x ＋6.[思路导引] 函数定义域即是使自变量x 有意义的取值范围．[解] (1)当且仅当x －2≠0，即x ≠2时，函数y ＝2＋3x －2有意义，所以这个函数的定义域为{x |x ≠2}．(2)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，2x ＋1≥0，x ＋1≠0，解得x >－1，且x ≠1，所以这个函数的定义域为{x |x >－1且x ≠1}．(3)函数有意义，当且仅当⎩⎨⎧3－x ≥0，x －1≥0，解得1≤x ≤3，所以这个函数的定义域为{x |1≤x ≤3}．(4)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎨⎧x ＋1≠0，－x 2－x ＋6≥0，即⎩⎨⎧x ≠－1，x 2＋x －6≤0，即⎩⎨⎧x ≠－1，(x ＋3)(x －2)≤0，解得－3≤x ≤2且x ≠－1，即函数定义域为{x |－3≤x ≤2且x ≠－1}．[变式] (1)将本例(3)中“y ＝3－x ·x －1”改为“y ＝(3－x )(x －1)”，则其定义域是什么？(2)将本例(3)中“y ＝3－x ·x －1”改为“y ＝3－xx －1”，则其定义域是什么？[解] (1)要使函数有意义，只需(3－x )(x －1)≥0，解得1≤x ≤3，即定义域为{x |1≤x ≤3}．(2)要使函数有意义，则⎩⎨⎧3－x ≥0，x －1>0，解得1<x ≤3，即定义域为{x |1<x ≤3}．求函数定义域的几种类型(1)若f(x)是整式，则函数的定义域是R.(2)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．(3)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．3.1.1.2函数概念的应用要点整理1．常见函数的定义域和值域2.函数的三要素由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域．3．相同函数值域是由定义域和对应关系决定的，如果两个函数的定义域和对应关系相同，我们就称这两个函数是同一函数．两个函数如果仅对应关系相同，但定义域不同，则它们不是相同的函数．题型一同一函数的判断【典例1】下列各组式子是否表示同一函数？为什么？(1)f(x)＝|x|，φ(t)＝t2；(2)y＝x2，y＝(x)2；(3)y＝1＋x·1－x，u＝1－v2；(4)y＝(3－x)2，y＝x－3.[思路导引] 两个函数表示同一函数的关键条件是定义域相同，对应关系一致．[解](1)f(x)与φ(t)的定义域相同，又φ(t)＝t2＝|t|，即f(x)与φ(t)的对应关系也相同，∴f(x)与φ(t)是同一函数．(2)y＝x2的定义域为R，y＝(x)2的定义域为{x|x≥0}，两者定义域不同，故y＝x2与y＝(x)2不是同一函数．(3)y＝1＋x·1－x的定义域为{x|－1≤x≤1}，u＝1－v2的定义域为{v|－1≤v≤1}，即两者定义域相同．又∵y＝1＋x·1－x＝1－x2，∴两函数的对应关系也相同．故y＝1＋x·1－x与u＝1－v2是同一函数．(4)∵y＝(3－x)2＝|x－3|与y＝x－3的定义域相同，但对应关系不同，∴y＝(3－x)2与y＝x－3不是同一函数．判断两个函数为同一函数的方法判断两个函数是否为同一函数，要先求定义域，若定义域不同，则不是同一函数；若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．题型二求函数值和值域【典例2】(1)已知f(x)＝11＋x(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．①求f(2)、g(2)的值；②求f[g(3)]的值．(2)求下列函数的值域：①y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；②y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；③y ＝2x ＋1x －3； ④y ＝2x －x －1.[思路导引] (1)代入法求值；(2)结合解析式的特征选择适当的方法求值域． [解] (1)①∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13.又∵g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6. ②g (3)＝32＋2＝11， ∴f [g (3)]＝f (11)＝11＋11＝112. (2)①(观察法)∵x ∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．②(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0,3)，可得函数的值域为[2,6)． ③(分离常数法)y ＝2x ＋1x －3＝2(x －3)＋7x －3＝2＋7x －3，显然7x －3≠0，∴y ≠2. 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． ④(换元法)设x －1＝t ，则t ≥0，且x ＝t 2＋1.∴y ＝2(t 2＋1)－t ＝2t 2－t ＋2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋158.∵t ≥0，∴y ≥158. 故函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞.(1)函数求值的方法①已知f (x )的表达式时，只需用a 替换表达式中的x 即得f (a )的值． ②求f [g (a )]的值应遵循由里往外的原则． (2)求函数值域常用的4种方法①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；②配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；④换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f (x )＝ax ＋b ＋cx ＋d (其中a ，b ，c ，d 为常数，且a ≠0)型的函数常用换元法．题型三求抽象函数的定义域【典例3】已知函数f (x )的定义域为[1,3]，求函数f (2x ＋1)的定义域． [思路导引] 定义域是x 的取值范围，f (x )中的x 与f (2x ＋1)中的2x ＋1是相对应的．[解] 因为函数f (x )的定义域为[1,3]，即x ∈[1,3]，函数f (2x ＋1)中2x ＋1的范围与函数f (x )中x 的范围相同，所以2x ＋1∈[1,3]，所以x ∈[0,1]，即函数f (2x ＋1)的定义域是[0,1]．[变式] (1)若将本例条件改为“函数f (2x ＋1)的定义域为[1,3]”，求函数f (x )的定义域．(2)若将本例条件改为“函数f (1－x )的定义域为[1,3]”，其他不变，如何求解？[解] (1)因为x ∈[1,3]，所以2x ＋1∈[3,7]，即函数f (x )的定义域是[3,7]． (2)因为函数f (1－x )的定义域为[1,3]，所以x ∈[1,3]，所以1－x ∈[－2,0]，所以函数f (x )的定义域为[－2,0]．由2x ＋1∈[－2,0]，得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－12，所以f (2x ＋1)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－12.两类抽象函数的定义域的求法(1)已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域：若f(x)的定义域为[a，b]，则f[g(x)]中a≤g(x)≤b，从中解得x的取值集合即为f[g(x)]的定义域．(2)已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域：若f[g(x)]的定义域为[a，b]，即a≤x≤b，求得g(x)的取值范围，g(x)的值域即为f(x)的定义域．3.1.2.1函数的表示法要点整理温馨提示：列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．题型一函数的表示法【典例1】某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数x 与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．[思路导引] 把自变量与函数值的对应关系分别用表格、图象和数学表达式加以刻画．[解]①列表法③解析法：y＝3000x，x∈{1,2,3，…，10}．理解函数的表示法的3个关注点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．(2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义．(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．题型二函数的图象【典例2】作出下列函数的图象并求出其值域．(1)y＝2x，x∈[2，＋∞)；(2)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．[思路导引] 通过“列表→描点→连线”作出函数图象，借助图象求出函数值域．[解](1)列表：画图象，当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝2x的一部分(图1)，观察图象可知其值域为(0,1]．(2)列表：(图2)．由图可得函数的值域是[－1,8]．描点法作函数图象的3个关注点(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图． (2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象． (3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．题型三函数解析式的求法【典例3】 (1)已知f (x )是二次函数，且满足f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，求f (x )的解析式；(2)已知函数f (x ＋1)＝x ＋2x ＋1，求f (x )的解析式； (3)已知函数f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，求f (x )的解析式．[思路导引] 求函数解析式，就是寻找函数三要素中的对应关系，即在已知自变量和函数值的条件下求对应关系的表达式．[解] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∵f (0)＝1，∴c ＝1.∴f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c －(ax 2＋bx ＋c )＝2ax ＋a ＋b . 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴⎩⎨⎧2a ＝2，a ＋b ＝0.∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)解法一：∵f (x ＋1)＝x ＋2x ＋1＝(x ＋1)2， ∴f (x )＝x 2.又x ＋1≥1，∴f (x )＝x 2(x ≥1)．解法二：令t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2. 由于x ≥0，所以t ≥1.代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＋1＝t 2，所以f (x )＝x 2(x ≥1)． (3)∵2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，①∴将x 用1x替换，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x ，②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x ，解得f (x )＝2x －1x(x ≠0)，即f (x )的解析式是f (x )＝2x －1x(x ≠0)．[变式] (1)若将本例(2)中条件“f (x ＋1)＝x ＋2x ＋1”变为“f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＝1x2－1”，则f (x )的解析式是什么？(2)若将本例(3)中条件“2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ”变为“f (x )－2f (－x )＝9x ＋2”，则f (x )的解析式是什么？[解] (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋12－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1，所以f (x )＝x 2－2x .因为1x ≠0，所以1x＋1≠1，所以f (x )＝x 2－2x (x ≠1)．(2)由条件知，f (－x )－2f (x )＝－9x ＋2，则⎩⎨⎧f (x )－2f (－x )＝9x ＋2，f (－x )－2f (x )＝－9x ＋2，解得f (x )＝3x －2.求函数解析式的3种常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．如典例3(1)．(2)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f [g (x )]的解析式求f (x )的解析式，可用换元法(或“配凑法”)，即令g (x )＝t ，反解出x ，然后代入f [g (x )]中求出f (t )，从而求出f (x )．如典例3(2)．(3)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．如典例3(3)．3.1.2.2分段函数要点整理1．分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．温馨提示：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y ＝⎩⎨⎧1，－2≤x ≤0，x ，0<x ≤3，其“段”是不等长的．(3)分段函数的图象要分段来画．题型一分段函数求值【典例1】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x，x >1，x 2＋1，－1≤x ≤1，2x ＋3，x <－1.(1)求f (f (f (－2)))的值； (2)若f (a )＝32，求a .[思路导引] 根据自变量取值范围代入对应解析式求值． [解] (1)∵－2<－1，∴f (－2)＝2×(－2)＋3＝－1， ∴f [f (－2)]＝f (－1)＝2， ∴f (f (f (－2)))＝f (2)＝1＋12＝32.(2)当a >1时，f (a )＝1＋1a ＝32，∴a ＝2>1；当－1≤a ≤1时，f (a )＝a 2＋1＝32，∴a ＝±22∈[－1,1]；当a <－1时，f (a )＝2a ＋3＝32，∴a ＝－34>－1(舍去)．综上，a ＝2或a ＝±22.(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解．对于含有多层“f ”的问题，要按照“由内到外”的顺序，逐层处理．(2)已知函数值，求自变量的值时，要先将“f ”脱掉，转化为关于自变量的方程求解．题型二分段函数的图象【典例2】 (1)作出下列分段函数的图象：①y ＝⎩⎨⎧1x ，0<x <1，x ，x ≥1；②y ＝|x ＋1|.(2)如图所示，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P ，沿着折线BCDA 由B (起点)向点A (终点)运动．设点P 运动路程为x ，△ABP 的面积为y ，求：①y 与x 之间的函数关系式； ②画出y ＝f (x )的图象．[思路导引] (1)利用描点法分段作图；(2)先依据x 的变化范围求出关系式． [解] (1)①函数图象如图1所示．②y ＝|x ＋1|＝⎩⎨⎧－x －1，x <－1，x ＋1，x ≥－1，其图象如图2所示．(2)①y ＝⎩⎨⎧2x ，0≤x ≤4，8，4<x ≤8，24－2x ，8<x ≤12.②分段函数图象的画法(1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可．(2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．题型三分段函数的综合问题【典例3】已知函数f (x )＝|x －3|－|x ＋1|. (1)求f (x )的值域； (2)解不等式：f (x )>0；(3)若直线y ＝a 与f (x )的图象无交点，求实数a 的取值范围． [思路导引] 去掉绝对值符号，化简f (x )，再分段求解． [解] 若x ≤－1，则x －3<0，x ＋1≤0，f (x )＝－(x －3)＋(x ＋1)＝4；若－1<x ≤3，则x －3≤0，x ＋1>0，f (x )＝－(x －3)－(x ＋1)＝－2x ＋2；若x >3，则x －3>0，x ＋1>0，f (x )＝(x －3)－(x ＋1)＝－4.∴f (x )＝⎩⎨⎧4，x ≤－1，－2x ＋2，－1<x ≤3，－4，x >3.(1)－1<x ≤3时，－4≤－2x ＋2<4.∴f (x )的值域为[－4,4)∪{4}∪{－4}＝[－4,4]． (2)f (x )>0，即⎩⎨⎧x ≤－1，4>0，①或⎩⎨⎧－1<x ≤3，－2x ＋2>0，②或⎩⎨⎧x >3，－4>0，③解①得x ≤－1，解②得－1<x <1，解③得x ∈∅.所以f (x )>0的解集为(－∞，－1]∪(－1,1)∪∅＝(－∞，1)． (3)f (x )的图象如图：由图可知，当a ∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)时，直线y ＝a 与f (x )的图象无交点．[变式] 若a ∈R ，试探究方程f (x )＝a 解的个数．[解] 由例3(3)知y ＝f (x )的图象，作出直线y ＝a ，可以看出：当a ＝±4时，y ＝a 与y ＝f (x )有无数个交点；当－4<a <4时，y ＝a 与y ＝f (x )有且仅有一个交点；当a <－4或a >4时，y ＝a 与y ＝f (x )没有交点．综上可知：当a ＝±4时，方程f (x )＝a 有无数个解．当－4<a <4时，方程f (x )＝a 有一个解．当a <－4或a >4时，方程f (x )＝a 无解．研究分段函数要牢牢抓住的2个要点(1)分段研究．在每一段上研究函数．(2)合并表达．因为分段函数无论分成多少段，仍是一个函数，对外是一个整体．题型四分段函数在实际问题中的应用【典例4】某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15～20℃的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度y (℃)随时间x (h)变化的函数图象，其中AB 段是恒温阶段，BC 段是双曲线y ＝k x的一部分，请根据图中信息解答下列问题：(1)求y 与x 的函数关系式；(2)大棚内的温度为18℃时是否适宜该品种蔬菜的生长？(3)恒温系统在一天内保持大棚里的适宜新品种蔬菜的生长温度有多少小时？[思路导引] 利用待定系数法求出x 在每一段上的解析式，再分段研究． [解] (1)设线段AD 的解析式为y ＝mx ＋n (m ≠0)，将点A (2,20)，D (0,10)代入，得⎩⎨⎧2m ＋n ＝20n ＝10，解得⎩⎨⎧m ＝5n ＝10，∴线段AD 的解析式为y ＝5x ＋10(0≤x ≤2)． ∵双曲线y ＝k x经过B (12,20)， ∴20＝k 12，解得k ＝240，∴BC 段的解析式为y ＝240x(12≤x ≤24)．综上所述，y 与x 的函数解析式为： y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋10(0≤x ≤2)20(2<x <12)240x (12≤x ≤24).(2)当x ＝18时，y ＝24018＝403，由于403<15，∴大棚内的温度为18℃时不适宜该品种蔬菜的生长． (3)令y ＝15，当0≤x ≤2时，解5x ＋10＝15，得x ＝1，当12≤x ≤24时，解240x＝15，得x ＝16.由于16－1＝15(小时)，∴恒温系统在一天内保持大棚里的适宜新品种蔬菜的生长温度有15小时．对于应用题，要在分析题意基础上，弄清变量之间的关系，然后选择适当形式加以表示；若根据图象求解析式，则要分段用待定系数法求出，最后用分段函数表示，分段函数要特别地把握准定义域的各个“分点”．3.2.1.1函数的单调性要点整理1．函数的单调性温馨提示：定义中的x1，x2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x1<x2；(3)属于同一个单调区间．2．函数的单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．温馨提示：(1)函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，它是函数的一个局部性质．(2)函数f(x)在定义域的某个区间D上单调，不一定在定义域上单调．如f(x)＝x2等．(3)并非所有的函数都具有单调性，如f (x )＝ ⎩⎨⎧1，x 是偶数0，x 是奇数，它的定义域是N ，但不具有单调性．题型一函数单调性的判断与证明【典例1】证明函数f (x )＝x ＋4x在(－∞，－2)上是增函数．[思路导引] 设出∀x 1<x 2<－2，判定f (x 1)与f (x 2)的大小关系． [证明] ∀x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋4x 1－x 2－4x 2＝(x 1－x 2)＋4(x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－4)x 1x 2.∵x 1<x 2<－2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>4，x 1x 2－4>0.∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．∴函数f (x )＝x ＋4x在(－∞，－2)上是增函数．证明或判断函数单调性的方法步骤题型二求函数的单调区间【典例2】求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝1x －1； (2)f (x )＝|x 2－3x ＋2|.[思路导引] (1)先求出函数的定义域，再利用定义求解；(2)作出函数y ＝x 2－3x ＋2的图象，再将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，结合图象写出f (x )的单调区间．[解] (1)函数f (x )＝1x －1的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)， ∀x 1，x 2∈(－∞，1)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1x 1－1－1x 2－1＝x 2－x 1(x 1－1)(x 2－1). 因为x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．所以函数f (x )在(－∞，1)上单调递减，同理函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减．综上，函数f (x )的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)． (2)f (x )＝|x 2－3x ＋2|＝⎩⎨⎧x 2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，－(x 2－3x ＋2)，1<x <2.作出函数的图象，如图所示．根据图象，可知，单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32和[2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1]和⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2.(1)求函数单调区间的2种方法①定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解． ②图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间． (2)求函数单调区间的注意点一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接．题型三函数单调性的应用【典例3】 (1)已知函数f (x )＝x 2－2(1－a )x ＋2在[4，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．(2)已知y ＝f (x )在定义域(－∞，＋∞)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，求a 的取值范围．[思路导引] 二次函数的单调性由开口方向及对称轴确定，与函数值有关的不等式问题依据单调性转化为自变量的不等关系．[解] (1)∵f (x )＝x 2－2(1－a )x ＋2＝[x －(1－a )]2＋2－(1－a )2， ∴f (x )的增区间是[1－a ，＋∞)．又∵已知f (x )在[4，＋∞)上是增函数， ∴1－a ≤4，即a ≥－3.∴所求实数a 的取值范围是[－3，＋∞)．(2)∵f (x )在R 上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)， ∴1－a >2a －1，得a <23，∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，23.[变式] (1)若本例(1)条件改为“函数f (x )＝x 2－2(1－a )x ＋2的单调递增区间为[4，＋∞)”，其他条件不变，如何求解？(2)若本例(2)中“定义域(－∞，＋∞)”改为“定义域(－1,1)”，其他条件不变，如何求解？[解] (1)∵f (x )＝x 2－2(1－a )x ＋2＝[x －(1－a )]2＋2－(1－a )2， ∴f (x )的递增区间为[1－a ，＋∞)． ∴1－a ＝4，得a ＝－3. (2)由题意可知⎩⎨⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1.解得0<a <1.①又f (x )在(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)， ∴1－a >2a －1，即a <23.②由①②可知，0<a <23，即所求a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23.函数单调性的3个应用要点(1)二次函数的单调性由于只与对称轴及开口方向有关，因此处理起来较容易，只需结合图象即可获解．(2)已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，通过与已知单调区间比较，求参数的取值范围．(3)需注意若一函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．3.2.1.2函数的最大(小)值要点整理 1．最大值(1)定义：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①∀x ∈I ，都有f (x )≤M ； ②∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .那么，称M 是函数y ＝f (x )的最大值．(2)几何意义：函数y ＝f (x )的最大值是图象最高点的纵坐标． 2．最小值(1)定义：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①∀x ∈I ，都有f (x )≥M ； ②∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .那么，称M 是函数y ＝f (x )的最小值．(2)几何意义：函数y ＝f (x )的最小值是图象最低点的纵坐标．温馨提示：(1)最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素． (2)并不是每一个函数都有最值，如函数y ＝1x，既没有最大值，也没有最小值．(3)最值是函数的整体性质，即在函数的整个定义域内研究其最值．题型一图象法求函数的最大(小)值【典例1】(1)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2，－1≤x ≤1，1x ，x >1.求f (x )的最大值、最小值；(2)画出函数f (x )＝⎩⎨⎧－2x，x ∈(－∞，0)，x 2＋2x －1，x ∈[0，＋∞)的图象，并写出函数的单调区间，函数的最小值．[思路导引] 作出函数f (x )的图象，结合图象求解． [解] (1)作出函数f (x )的图象(如图1)．由图象可知，当x ＝±1时，f (x )取最大值为f (±1)＝1；当x ＝0时，f (x )取最小值f (0)＝0，故f (x )的最大值为1，最小值为0.(2)f(x)的图象如图2所示，f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，函数的最小值为f(0)＝－1.图象法求最大(小)值的步骤题型二利用单调性求函数的最大(小)值【典例2】已知函数f(x)＝x＋1 x .(1)证明：f(x)在(1，＋∞)内是增函数；(2)求f(x)在[2,4]上的最值．[解](1)证明：设∀x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2.则f(x1)－f(x2)＝x1＋1x1－x 2－1x2＝(x1－x2)·⎝⎛⎭⎪⎫1－1x1x2＝(x1－x2)(x1x2－1)x1x2.∵x2>x1>1，∴x1－x2<0，又∵x1x2>1，∴x1x2－1>0，故(x1－x2)·(x1x2－1)x1x2<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(1，＋∞)内是增函数．∴当x∈[2,4]时，f(2)≤f(x)≤f(4)．又f(2)＝2＋12＝52，f(4)＝4＋14＝174，∴f(x)在[2,4]上的最大值为174，最小值为52.函数的最值与单调性的关系(1)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最大值f(b)．(2)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最小值f(b)．(3)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值、最大(小)值．题型三求二次函数的最大(小)值【典例3】(1)已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，x∈[0,3]，求函数的最大值和最小值．(2)求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值．[思路导引] 找出f(x)的对称轴，分析对称轴与给定区间的关系，结合单调性求最值．[解] (1)函数f(x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7，函数f(x)＝3(x－2)2－7的图象如图所示，由图可知，函数f(x)在[0,2)上递减，在[2,3]上递增，并且f(0)＝5，f(2)＝－7，f(3)＝－4，所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝5，f(x)min ＝f(2)＝－7.(2)∵函数图象的对称轴是x＝a，∴f (x )min ＝f (2)＝6－4a .当a >4时，f (x )在[2,4]上是减函数， ∴f (x )min ＝f (4)＝18－8a .当2≤a ≤4时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2.∴f (x )min＝⎩⎨⎧6－4a ，a <2，2－a 2，2≤a ≤4，18－8a ，a >4.[变式] 本例(2)条件变为，若f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[2,4]时，f (x )≤a 恒成立，求实数a 的取值范围．[解] 在[2,4]内，f (x )≤a 恒成立，即a ≥x 2－2ax ＋2在[2,4]内恒成立，即a ≥f (x )max ，x ∈[2,4]．又f (x )max ＝⎩⎨⎧18－8a ，a ≤3，6－4a ，a >3.①当a ≤3时，a ≥18－8a ，解得a ≥2，此时有2≤a ≤3. ②当a >3时，a ≥6－4a ，解得a ≥65，此时有a >3.综上有实数a 的取值范围是[2，＋∞)．求解二次函数最值问题的顺序(1)确定对称轴与抛物线的开口方向、作图． (2)在图象上标出定义域的位置． (3)观察单调性写出最值．题型四实际应用中的最值【典例4】某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R (x )＝⎩⎨⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80000，x >400.其中x 是仪器的月产量．(1)将利润表示为关于月产量的函数f (x )；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)[思路导引] 先将利润表示成关于x 的函数，再利用函数的单调性求最值． [解] (1)月产量为x 台，则总成本为(20000＋100x )元，从而f (x )＝⎩⎨⎧－12x 2＋300x －20000，0≤x ≤400，60000－100x ，x >400.(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12(x －300)2＋25000，当x ＝300时，f (x )max ＝25000；当x >400时，f (x )＝60000－100x 是减函数，f (x )<60000－100×400＝20000<25000.∴当x ＝300时，f (x )max ＝25000.即每月生产300台仪器时公司所获利润最大，最大利润为25000元．求解函数最大(小)值的实际问题应注意的2点(1)解实际应用题要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围．(2)实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决．3.2.2.1函数奇偶性的概念要点整理函数的奇偶性温馨提示：(1)奇偶性是函数的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域(对照函数的单调性是函数的局部性质，以加深理解)．(2)奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．题型一函数奇偶性的判断【典例1】判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝2－|x |；(2)f (x )＝x 2－1＋1－x 2； (3)f (x )＝x x －1；(4)f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋1，x >0，－2x ＋1，x <0.[思路导引] 借助奇函数、偶函数的定义判断． [解] (1)∵函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称，又f (－x )＝2－|－x |＝2－|x |＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．(2)∵函数f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f (x )＝0，又∵f (－x )＝－f (x )，f (－x )＝f (x )，∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(3)∵函数f (x )的定义域为{x |x ≠1}，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－2x)＝1＋2x＝f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－2x)＝1－2x＝f(x)．综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．判断函数奇偶性的2种方法(1)定义法(2)图象法题型二奇函数、偶函数的图象【典例2】已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象．(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．[思路导引] 根据奇函数图象特征作出函数图象，再求解．[解] (1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．(2)由图象知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．[变式] 若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，试画出在区间[－5,0]上的图象．[解] 因为函数f(x)是偶函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于y轴对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．巧用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称．(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题．题型三利用函数的奇偶性求值【典例3】(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________；。

新教材高中数学第3章函数概念与性质单元复习课第3课时函数的概念与性质课件

那么 f(2x-1)应满足 0≤2x-1≤2,由此可得 ≤x≤ ,

故 f(2x-1)的定义域为 , .

答案:D

)
专题二
函数的性质及其应用
+

+

【例 2】已知函数 f(x)=
是奇函数,且 f(2)= .
(1)求实数m和n的值;
(2)求函数f(x)在区间[-2,-1]上的最值.
= (x1-x2)·
∵-2≤x1<x2≤-1,
∴x1-x2<0,x1x2>1,x1x2-1>0.
∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2).
∴函数 f(x)在区间[-2,-1]上单调递增,

∴f(x)max=f(-1)=-,f(x)min=f(-2)=-.
.
反思感悟
函数的奇偶性与单调性的差异
足
条件
∀x∈I,都有 f(x)≤M
∀x∈I,都有 f(x)≥M
∃x0∈I,使得 f(x0)=M
结论 M 是函数 y=f(x)的最大值 M 是函数 y=f(x)的最小值
5.什么是奇函数?什么是偶函数?它们的图象各有什么特征?
请完成下表:
奇函数
偶函数
定义域
函数 f(x)的定义域关于原点对称
x
对于定义域内的任意一个 x
-
的定义域是
.
.
解析:(1)要使函数有意义,应满足
-|| ≥ ,
-+
-
≥ ,
解得 2≤x≤4,且 x≠3,
故函数的定义域为[2,3)∪(3,4].

()- (-) = ,

高中数学第2章函数2.1函数的概念2.1.1函数的概念和图象第1课时函数的概念课件苏教版必修1

[解] (1)是，对于任意一个非零实数 x，2x被 x 唯一确定，所以当 x≠0 时，x→2x是函数．这个函数也可以表示为 f(x)＝2x (x≠0)． (2)不是，当 x＝4 时，y2＝4，得 y＝2 或 y＝－2，不是有唯一值和 x 对应，所以 x→y(y2＝x)不是函数． (3)是，满足函数的定义，在 A 中任取一个值，B 中有唯一确定的值和它对应． (4)不是，因为集合 A 不是数集．
【解】 (1)g(x)＝（2x＋1）2＝|2x＋1|与 f(x)＝2x＋1 对应法则不同，因此 f(x)与 g(x)不是同一个函数． (2)f(x)＝x2－x x＝x－1(x≠0)与 g(x)定义域不同，因此 f(x)与 g(x) 不是同一个函数． (3)f(x)与 g(x)对应法则不同，不是同一个函数．
(3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集 A 中的任意一个(任意性)元素 x，在非空数集 B 中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素 y 与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数． (4)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y 等于 f 与 x 的乘积”， f(x)也不一定就是解析式． (5)除 f(x)外，有时还用 g(x)、u(x)、F(x)、G(x)等符号来表示函数．
2.求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝1－1 x＋
x；(2)f(x)＝
1－x＋
1 1＋x.
解：(1)因为1x－ ≥x0≠ ，0，所以 x≥0 且 x≠1，
所以 f(x)＝1－1 x＋ x的定义域为[0，1)∪(1，＋∞)．
(2)因为11－＋xx≥>00，，所以xx≤>－1，1，即－1<x≤1，
所以 f(x)＝ 1－x＋ 11＋x的定义域为(－1，1]．

高中数学第一章集合与函数概念 12 函数及其表示 121 函数的概念学案(含解析)新人教版必修1

§1.2函数及其表示1.2.1 函数的概念学习目标 1.理解函数的概念(重点、难点).2.了解构成函数的三要素(重点).3.正确使用函数、区间符号(易错点).知识点1 函数的概念(1)函数的概念概念设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域x的取值X围值域与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的定义域和值域一定是无限集合.( )(2)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.( )(3)在函数的定义中，集合B是函数的值域.( )提示(1)×函数的定义域和值域也可能是有限集，如f(x)＝1；(2)×根据函数的定义，对于定义域中的任何一个x，在值域中都有唯一确定的y与之对应；(3)×在函数的定义中，函数的值域是集合B的子集.知识点2 区间及有关概念(1)一般区间的表示.设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示{x |a ≤x ≤b } 闭区间 [a ，b ] {x |a <x <b }开区间 (a ，b ){x |a ≤x <b }半开半闭区间 [a ，b ){x |a <x ≤b }半开半闭区间(a ，b ](2)特殊区间的表示. 定义 R {x |x ≥a } {x |x >a } {x |x ≤a } {x |x <a } 符号(－∞，＋∞)[a ，＋∞)(a ，＋∞)(－∞，a ](－∞，a )【预习评价】已知全集U ＝R ，A ＝{x |1<x ≤3}，则∁U A 用区间表示为________. 解析 ∁U A ＝{x |x ≤1或x >3}，用区间可表示为(－∞，1]∪(3，＋∞). 答案 (－∞，1]∪(3，＋∞)题型一函数关系的判定【例1】 (1)下列图形中，不能确定y 是x 的函数的是( )(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R 上的一个函数？为什么？ ①f ：把x 对应到3x ＋1；②g ：把x 对应到|x |＋1； ③h ：把x 对应到1x；④r ：把x 对应到x .(1)解析任作一条垂直于x 轴的直线x ＝a ，移动直线，根据函数的定义可知，此直线与函数图象至多有一个交点.结合选项可知D 不满足要求，因此不表示函数关系. 答案 D(2)解 ①是实数集R 上的一个函数.它的对应关系f 是：把x 乘3再加1，对于任意x ∈R ，3x ＋1都有唯一确定的值与之对应，如当x ＝－1时，有3x ＋1＝－2与之对应. 同理，②也是实数集R 上的一个函数. ③不是实数集R x ＝0时，1x的值不存在.④不是实数集R x <0时，x 的值不存在.(1)任取一条垂直于x 轴的直线l ； (2)在定义域内平行移动直线l ；(3)若l 与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.【训练1】设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有( )解析 ①错，x ＝2时，在N 中无元素与之对应，不满足任意性.②对，同时满足任意性与唯一性.③错，x ＝2时，对应元素y ＝3∉N ，不满足任意性.④错，x ＝1时，在N 中有两个元素与之对应，不满足唯一性. 答案 B题型二相等函数【例2】(1)下列各组函数：①f (x )＝x 2－xx，g (x )＝x －1；②f (x )＝x x ，g (x )＝x x；③f (x )＝（x ＋3）2，g (x )＝x ＋3； ④f (x )＝x ＋1，g (x )＝x ＋x 0；⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f (t )＝80t (0≤t ≤5)与一次函数g (x )＝80x (0≤x ≤5).其中表示相等函数的是________(填上所有正确的序号).(2)试判断函数y ＝x －1·x ＋1与函数y ＝（x ＋1）（x －1）是否相等，并说明理由. (1)解析 ①f (x )与g (x )的定义域不同，不是相等函数；②f (x )与g (x )的解析式不同，不是相等函数；③f (x )＝|x ＋3|，与g (x )的解析式不同，不是相等函数；④f (x )与g (x )的定义域不同，不是相等函数；⑤f (t )与g (x )的定义域、值域、对应关系皆相同，故是相等函数. 答案 ⑤y ＝x －1·x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ＋1≥0，解得x ≥1，故定义域为{x |x ≥1}，对于函数y ＝（x ＋1）（x －1），由(x ＋1)(x －1)≥0解得x ≥1或x ≤－1，故定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}，显然两个函数定义域不同，故不是相等函数. 规律方法判断两个函数为相等函数应注意的三点(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是相等函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是相等函数.(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的. (3)在化简解析式时，必须是等价变形.【训练2】判断以下各组函数是否表示相等函数： (1)f (x )＝(x )2；g (x )＝x 2.(2)f (x )＝x 2－2x －1；g (t )＝t 2－2t －1.解 (1)由于函数f (x )＝(x )2的定义域为{x |x ≥0}，而g (x )＝x 2的定义域为{x |x ∈R }，它们的定义域不同，所以它们不表示相等函数.(2)两个函数的定义域和对应关系都相同，所以它们表示相等函数. 题型三求函数值【例3】已知f (x )＝11＋x (x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R ).(1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f (g (3))的值.解 (1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13.又∵g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6. (2)∵g (3)＝32＋2＝11， ∴f (g (3))＝f (11)＝11＋11＝112. 规律方法求函数值的方法及关注点(1)方法：①已知f (x )的解析式时，只需用a 替换解析式中的x 即得f (a )的值；②求f (g (a ))的值应遵循由里往外的原则.(2)关注点：用来替换解析式中x 的数a 必须是函数定义域内的值，否则函数无意义. 【训练3】已知函数f (x )＝x ＋1x ＋2. (1)求f (2)；(2)求f (f (1)). 解 (1)∵f (x )＝x ＋1x ＋2，∴f (2)＝2＋12＋2＝34. (2)f (1)＝1＋11＋2＝23，f (f (1))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23＋123＋2＝58.【例4－1】求下列函数的定义域： (1)y ＝（x ＋1）2x ＋1－1－x ；(2)y ＝5－x |x |－3.解 (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0.解得x ≤1，且x ≠－1，即函数定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}.(2)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0，|x |－3≠0，解得x ≤5，且x ≠±3，即函数定义域为{x |x ≤5，且x ≠±3}. 规律方法求函数定义域的实质及结果要求(1)求函数的定义域实质是解不等式(组)，即将满足的条件转化为解不等式(组)的问题，要求把满足条件的不等式列全.(2)结果要求：定义域的表达形式可以是集合形式，也可以是区间形式. 方向2 求抽象函数的定义域【例4－2】 (1)设函数f (x )＝x ，则f (x ＋1)等于什么？f (x ＋1)的定义域是什么？ (2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0，＋∞)，那么函数y ＝f (x ＋1)的定义域是什么？解 (1)f (x ＋1)＝x ＋1.令x ＋1≥0，解得x ≥－1，所以f (x ＋1)＝x ＋1的定义域为[－1，＋∞).(2)函数y ＝f (x )的定义域是[0，＋∞)，所以令x ＋1≥0，解得x ≥－1，所以函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[－1，＋∞).【例4－3】若函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[1，2]，根据函数定义域的定义，这里的“[1，2]”是指谁的取值X 围？使对应关系f 有意义的自变量t ＝x ＋1的X 围是什么？函数y ＝f (x )的定义域是什么？解这里的“[1，2]”是自变量xx ∈[1，2]，所以x ＋1∈[2，3]，所以使对应关系f 有意义的自变量t ＝x ＋1的X 围是[2，3]，所以函数y ＝f (x )的定义域是[2，3].【例4－4】 (1)已知函数y ＝f (x )的定义域为[－2，3]，求函数y ＝f (2x －3)的定义域； (2)已知函数y ＝f (2x －3)的定义域是[－2，3]，求函数y ＝f (x ＋2)的定义域.解 (1)因为函数y ＝f (x )的定义域为[－2，3]，即x ∈[－2，3]，函数y ＝f (2x －3)中2x －3的X 围与函数y ＝f (x )中x 的X 围相同，所以－2≤2x －3≤3，解得12≤x ≤3，所以函数y ＝f (2x －3)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3. (2)因为x ∈[－2，3]，所以2x －3∈[－7，3]，即函数y ＝f (x )的定义域为[－7，3]. 令－7≤x ＋2≤3，解得－9≤x ≤1，所以函数y ＝f (x ＋2)的定义域为[－9，1]. 规律方法两类抽象函数的定义域的求法(1)已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域：若f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))中a ≤g (x )≤b ，从中解得x 的取值集合即为f (g (x ))的定义域.(2)已知f (g (x ))的定义域，求f (x )的定义域：若f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，即a ≤x ≤b ，求得g (x )的取值X 围，g (x )的值域即为f (x )的定义域.课堂达标1.下列图象中表示函数图象的是( )解析根据函数的定义，对定义域中任意的一个x 都存在唯一的y 与之对应，而A ，B ，D 都存在一对多，只有C 满足函数的定义.故选C. 答案 C2.下列各组函数中表示相等函数的是( ) A.f (x )＝x 与g (x )＝(x )2B.f (x )＝|x |与g (x )＝x (x >0)C.f (x )＝2x －1与g (x )＝2x ＋1(x ∈N *)D.f (x )＝x 2－1x －1与g (x )＝x ＋1(x ≠1)解析选项A ，B ，C 中两个函数的定义域均不相同，故选D. 答案 Df (x )＝x －4＋1x －5的定义域是________.解析 ∵函数f (x )＝x －4＋1x －5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，x －5≠0，解得x ≥4，且x ≠5.∴函数f (x )的定义域是[4，5)∪(5，＋∞). 答案 [4，5)∪(5，＋∞)f (x )的定义域为(0，2)，则f (x －1)的定义域为________.解析由题意知0<x －1<2，解得1<x <3，故f (x －1)的定义域为(1，3). 答案 (1，3)f (x )＝x 2＋x －1.(1)求f (2)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ；(2)若f (x )＝5，求x 的值. 解 (1)f (2)＝22＋2－1＝5， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x 2＋1x－1＝1＋x －x 2x 2.(2)∵f (x )＝x 2＋x －1＝5，∴x 2＋x －6＝0， ∴x ＝2或x ＝－3.课堂小结1.函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系.由于函数的定义域和对应关系一经确定，值域随之确定，所以判断两个函数是否相等只须两个函数的定义域和对应法则一样即可.2.f (x )是函数符号，f 表示对应关系，f (x )表示x 对应的函数值，绝对不能理解为f 与xff (x )表示外，还可用g (x )，F (x )等表示.基础过关1.下列函数中，与函数y ＝x 相等的是( ) A.y ＝(x )2B.y ＝x 2C.y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0－x ，x <0D.y ＝3x 3解析函数y ＝x 的定义域为R ；y ＝(x )2的定义域为[0，＋∞)；y ＝x 2＝|x |，对应关系不同；y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，－x ，x <0，对应关系不同；y ＝3x 3＝x ，且定义域为R .故选D.答案 D2.下列四个图象中，是函数图象的是( )A.①B.①③④C.①②③D.③④解析由每一个自变量x 对应唯一一个f (x )可知②不是函数图象，①③④是函数图象. 答案 By ＝1－x ＋x 的定义域为( )A.{x |x ≤1}B.{x |x ≥0}C.{x |x ≥1或x ≤0}D.{x |0≤x ≤1}解析由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ≥0，解得0≤x ≤1.答案 Df (x )＝2x －1，g (x )＝x 2，则g (f (2)－1)＝________.解析 f (2)－1＝2×2－1－1＝2，所以g (f (2)－1)＝g (2)＝22＝4. 答案 45.用区间表示下列集合： (1){x |－12≤x <5}＝________；(2){x |x <1或2<x ≤3}＝________.解析 (1)注意到包括不包括区间的端点与不等式含不含等号对应，则{x |－12≤x <5}＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，5. (2)注意到集合中的“或”对应区间中的“∪”，则{x |x <1或2<x ≤3}＝(－∞，1)∪(2，3].答案 (1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，5 (2)(－∞，1)∪(2，3]f (x )＝x ＋5＋1x －2.(1)求函数的定义域；(2)求f (－4)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23的值. 解 (1)使根式x ＋5有意义的实数x 的取值集合是{x |x ≥－5}，使分式1x －2有意义的实数x 的取值集合是{x |x ≠2}，所以这个函数的定义域是{x |x ≥－5}∩{x |x ≠2}＝{x |x ≥－5且x ≠2}. (2)f (－4)＝－4＋5＋1－4－2＝1－16＝56. f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23＋5＋123－2＝173－34＝513－34.f (x )＝x 21＋x2.(1)求f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的值； (2)求证f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 是定值.(1)解 ∵f (x )＝x 21＋x2， ∴f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝221＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1221＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1. f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝321＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1321＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1. (2)证明 f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2 ＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1. 能力提升f (x )＝ax 2－1，a 为一个正常数，且f (f (－1))＝－1，那么a 的值是( )A.1B.0解析 f (－1)＝a ·(－1)2－1＝a －1，f (f (－1))＝a ·(a －1)2－1＝a 3－2a 2＋a －1＝－1. ∴a 3－2a 2＋a ＝0，∴a ＝1或a ＝0(舍去). 答案 Af (x )＝x －4mx 2＋4x ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值X 围是( )A.(－∞，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，43 解析 (1)当m ＝0时，分母为4x ＋3，此时定义域不为R ，故m ＝0不符合题意.(2)当m ≠0时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ＝16－4×3m <0，解得m >43. 由(1)(2)知，实数m 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞. 答案 Cf (x )的定义域为(－1，1)，则函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f (x －1)的定义域是________. 解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－1<x 2<1，－1<x －1<1，即⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <2，0<x <2.从而0<x <2，于是函数g (x )的定义域为(0，2).答案 (0，2)f (x )满足f (x )＋f (y )＝f (xy )，且f (5)＝m ，f (7)＝n ，则f (175)＝________.解析 ∵f (x )满足f (x )＋f (y )＝f (xy )，且f (5)＝m ，f (7)＝n ，∴把x ＝5，y ＝7代入得f (5)＋f (7)＝f (35)，∴m ＋n ＝f (35)，把x ＝5，y ＝35代入得f (5)＋f (35)＝f (175)，∴m ＋m ＋n ＝f (175)，即2m ＋n ＝f (175)，∴f (175)＝2m ＋n .答案 2m ＋n数的定义域：(1)y ＝（x ＋1）0x ＋2； (2)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x . 解 (1)由于00无意义，故x ＋1≠0，即x ≠－1.又x ＋2>0，x >－2，所以x >－2且x ≠－1.所以函数y ＝（x ＋1）0x ＋2的定义域为{x |x >－2，且x ≠－1}. (2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，2－x >0，x ≠0，解得－32≤x <2，且x ≠0，所以函数y ＝2x ＋3－12－x ＋1x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x <2，且x ≠0. 13.(选做题)已知甲地到乙地的高速公路长1 500 km ，现有一辆汽车以100 km/h 的速度从甲地驶往乙地，写出汽车离开甲地的距离s (单位：km)与时间t (单位：h)的函数解析式，并求出函数的定义域.解 ∵汽车在甲、乙两地之间匀速行驶，∴s ＝100 t .∵汽车行驶速度为100 km/h ，两地之间的距离为1 500 km ，∴从甲地到乙地所用时间为15小时.∴所求函数解析式为s ＝100t ，0≤t ≤15.。

【高中数学】函数的概念

求函数定义域的常用方法 (1)若 f(x)是分式，则应考虑使分母不为零． (2)若 f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零． (3)若 f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合． (4)若 f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集． (5)若 f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
数学运算
[问题导入]
预习课本 P60～66，思考并回答下列问题 1．函数的定义是什么？ 2．函数的自变量、定义域是如何定义的？ 3．函数的值域是如何定义的？ 4．区间的概念是什么？如何用区间表示数集？
[新知初探]
知识点一函数的有关概念
设A，B是非空的_实__数__集__，如果对于集合A中的
函数的定义0
x∈R 与 y＝f(t)，t∈R 是同一个函数．其中正确的个数是( )
A．3
B．2
C．1
D．0
解析：①错误．函数 f(x)＝x0 的定义域为{x|x≠0}，函数 g(x)＝1
的定义域是 R，不是同一个函数；②正确．y＝f(x)，x∈R 与 y
＝f(x＋1)，x∈R 两函数定义域相同，对应关系可能相同，所以
两个元素与之对应，所以④不是．因此只有②是，故选 B.
(2)A 是实数集 R 上的一个函数．它的对应关系 f 是：把 x
乘 3 再加 1，对于任一 x∈R ，3x＋1 都有唯一确定的值与之对应，如 x＝－1，则 3x＋1＝－2 与之对应；
同理 B 也是实数集 R 上的一个函数； C 不是实数集 R 上的函数．因为当 x＝0 时，1x的值不存在； D 不是实数集 R 上的函数．因为当 x<0 时， x的值不存在． [答案] (1)B (2)AB