中证培训-金融衍生品高级研修班课堂笔记四

中证培训——“金融衍生品高级研修班”课堂笔记（四）

衍生品定价模型、参数估计与风险管理

2015年5月26日至5月31日，中国证券业协会在厦门举办了《金融衍生品高级研修班》。由国务院学科评议组成员、厦门大学金融学国家重点学科学术带头人、厦门大学证券研究中心主任郑振龙教授和厦门大学金融工程研究中心主任陈蓉教授担任主讲，并邀请了三位业界专家——中证报价系统衍生品业务部高级经理肖华、华泰证券金融创新部副总经理李升东和招商证券衍生投资部期权做市业务负责人邓林进行交流。来自全国51家证券公司及系统相关单位共计70名学员参加了培训。培训班为期六天，课程内容包含5个模块：《期权基本原理与期权交易策略》、《奇异期权与结构型产品》、《金融衍生品与金融创新》、《衍生品定价模型、参数估计与风险管理》和《期权交易与做市商实务》。本部分内容主要为衍生品定价模型、参数估计与风险管理：

一、衍生品定价模型

对于普通欧式期权，最常使用的就是Black-Scholes模型，而该模型有以下几个假设。一是股票价格服从几何布朗运动，即dS Sdt Sdz

μσ

=+，二是允许卖空标的证券，三是假设

没有交易费用和税收，所有证券都完全可分，四是衍生证券的有效期内标的证券没有现金收益支付，五是不存在无风险套利机会，六是假设证券交易是连续的，价格变动也是连续的，七是假设无风险利率为常数。

基于以上假设，BSM 偏微分方程的推导，具体如下。设f 是依赖于股价的衍生证券，根据伊藤引理可得，

222212f f f f df S S dt Sdz S t S S μσσ⎛⎫∂∂∂∂=+++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ ，在中，f 的价值变化

满足222212f f f f f S S t S z S t S S μσσ⎛⎫∂∂∂∂∆=++∆+∆ ⎪∂∂∂∂⎝⎭

，由于假设了股票价格服从几何布朗运动，同时为了消除风险源

，因此构建一个包括1单位衍生证券的空头和f S ∂∂单位标的证券的多头组

合，令∏代表该组合的价值，则f f S S ∂∏=-+∂，该组合在后

组合变化为f

f S S ∂∆∏=-∆+∆∂，带入和服从的随机微分方程

即可得222212f f S t t S σ⎛⎫∂∂∆∏=--∆ ⎪∂∂⎝⎭

，由于消除了风险，组合价值应该获得无风险收益，即

r t ∆∏=∏∆，因此可得222212f f f S t r f t t S S σ⎛⎫∂∂∂⎛⎫+∆=-∆ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭

，化简就有222212f f f S rS rf t S S σ⎛⎫∂∂∂++= ⎪∂∂∂⎝⎭，这就是著名的BSM 微分方程，它

适用于其价格取决于S 的所有衍生证券的定价。

二、风险中性定价原理

风险中性定价原理是衍生品定价中的基本原理，可以看到BSM 偏微分方程中，受制于主观风险收益偏好的标的证券预期收益率并未出现，这就意味着无论风险收益偏好状态如何，都不会对f 的价格产生影响，因而可以做出一个大大简化我们工作的假设——在对衍生证券定价的时候，所有投资者都是风险中性的。在所有投资者都是风险中性的条件下，所有证券的预期收益率都等于无风险利率r ，因为风险中性测度不需要额外的收益来吸引投资者承担风险，同样，在风险中性条件下，所有现金流都应该使用无风险利率进行贴现以求得现值，这就是风险中性定价原理。

在风险中性定价原理下，欧式期权的价格可以写为未来回报的风险中性期望的无风险现值，例如对于欧式看涨期权有ˆmax ,0r T t T c e E S X 。在几何布朗运动dS rSdt Sdz σ=+的

模型假设下，就可以相应推出BSM 欧式期权定价公式。对于欧式看涨期权，有

BSM 期权定价公式具有丰富的金融含义。例如，利用BSM 公式来复制期权时，投资组合中股票的数量就是1()N d ；如果从金融工程角度看，欧式看涨期权可以分拆成或有资产看涨期权多头和X 份的或有现金看涨期权空头之和。此外，BSM 公式中2()N d 是在风险中性测度下T S X > 的概率，即欧式看涨期权的执行概率。陈教授还对BSM 公式进行了进一步

扩展，分别讲解了无收益资产的欧式看跌期权、无收益资产的美式看涨期权、有收益资产的欧式期权的定价等。

三、衍生品定价的一般方法和原理。

第一种是构造偏微分方程的方法，主要是构造无风险组合，类似于构造BSM 偏微分方程，可以在一般的随机过程模型下，应用标的资产及其衍生品构造无风险组合，再根据产品的特征设定边界条件求解PDE ，这样就可以为衍生品进行定价了。求解PDE 其实就是找到一个函数，其求偏导的结果满足这个方程和边界条件，该函数就是用标的资产所满足的随机微分方程来表达的。边界条件本质上是数学概念，在金融上就是把合约条款数学化，比如期权价格的到期回报，期货价格在到期的时候收敛于现货价格，零息债价格到期等于100等等。

第二种是衍生品定价的鞅方法。对于鞅定价，关键是找到等价鞅测度。假设两种资产在风险中性测度下分别服从以下过程：()()()()()()dP t r t P t dt t P t dz t σ=+，()()()()()()dN t r t N t dt t N t dz t σ=+，则用N (t )做计价单位的资产价格()()()N P t P t N t =，在测度N

Q 是鞅过程，即()()()()N P t P T E N t N T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

。紧接着，陈教授又介绍了这类鞅定价的一些例子，包括以货币市场账户为记账单位、以股票为记账单位和资产交换期权的定价思路。

在上述两大定价原理之下，对于回报复杂的衍生品或随机过程设定比较复杂时，在数学上无法求得解析解的，就只能通过数值方法进行分析，数值方法主要有三种，一是二叉树，二是蒙特卡洛模拟，三是有限差分法，

二叉树模型的思想其实是在用大量离散的小幅度二值运动来模拟连续的资产价格运动，在树图的构造中，主要是构造标的资产价格的树图，树上每一步所服从的分布和参数都一致。最简单的二叉树方法通常设定参数股价向上运动概率p 、股价向上运动的倍数u 和向下运动的倍数d 满足以下三个等式： 则由以上条件可得，,r t

e d p u e d e u d ∆--===- ，期权的价格为

(1)r t u d f e pf p f -∆⎡⎤=+-⎣⎦。在得到参数之后，每个节点上期权价格的计算方法由倒推定价而得。即对于欧式期权而言，将T 时刻期权价值的预期值在t ∆时间长度内以无风险利率r 贴现求出每一个节点上的期权价值；对于美式期权而言，在树形结构的每一个节点上，都要比较在本时刻提前行权和继续持有t ∆的时间到下一个时刻再执行期权的价值，选择较大者作为本节点的期权价值。其他构造树图的方法还有三叉树、控制变量技术和适应性网状模型等。

第二种数值方法是蒙特卡洛模拟，其基本思路是尽可能的模拟风险中性世界中标的资产的多种运动路径，计算每种