§7.3格林公式及其应用

点A(-a,
0)沿曲线
x2 a2
y2 b2
1( y
0)到点B(a, 0)的弧段；
3．定义 1 若函数u(x, y) 的全微分du PdxQdy ，则称
u(x, y) 是表达式PdxQdy 的一个原函数。
若 P(x, y),Q(x, y) 在单连通域 D 上具有一阶连续偏导数， 则 PdxQdy 在 D 内存在原函数的充要条件是 P Q ，
zq
，
3
4 0 (x 2 y 2 z 2 ) 2
由 dx dy dz ， P(x, y, z) Q(x, y, z) R(x, y, z)
得 dx dy dz ， xyz
解此方程组得 y C1x ，它表示过原点(0, 0, 0) ，方向向量 z C2 x
{1, C1, C2} 是任意的直线族。这些线称为电力线。
1．曲线积分C PdxQdy 与路径无关的定义
设 D 是一个平面区域，若对 D 内任意两点 A、B 及 D 内 从点 A 到点 B 的任意两条曲线C1 ,C2 ，等式
PdxQdy
Pdx Qdy
C1( AB)
C2( AB)
恒成立，则称曲线积分 C PdxQdy 在 D 内与路径无关。
2．定理 2
y x
且 PdxQdy 的所有原函数为
( x, y)
u( x, y)
P(x, y)dxQ(x, y)dyC
( x, y)
其中 C 为任意常数，(x, y)D 。
4． （曲线积分基本定理）
设 P(x, y),Q(x, y) 在单连通域 D 上连续，若u(x, y)
是 PdxQdy 的一个原函数，而A(x1, y1) 和B(x2 , y2 )
此时，全微分方程的通解为 u( x, y) C
例 5．验证： (3x2 6xy)dx (3y2 3x2 )dy
是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数。
例6. 求函数f ( x)，使曲线积分
[ex 2 f (x)]ydx f (x)dy 与路径无关， L
其中 f (x) 连续可微，且 f (0) 0，并求此
若向量值函数
A(
x,
y)
{P(
x,
y),Q(
x,
y)}
在单连
通域 D 上有一阶连续偏导数，则以下四个命题等价： （1） (x, y)D ，有P Q ；
y x （2）沿 D 内任意的逐段光滑闭曲线 C，有
C PdxQdy0 ；
（3）
PdxQdy 与路径无关，只与位于 D 内的
C( AB)
起点 A 与终点 B 有关。
曲线积分:
(1,1)[ex 2 f (x)]ydx f (x)dy.
(0,0)
这是一组同心圆。又如，在 地形图上的等高线就是高度 场的等值线。
80 70 60 50
等高线
2.向量场的向量线 定义 若曲线 C 上每一点处，向量场的向量都位于 C 在该点的切线上，则曲线 C 称为这个向量场的向量线。
比如静电场中的电力线， 磁场中的磁力线，流速场 中的流线都是向量线。
C
向量场的向量线
§7.3 各种积分的关系及其在场论中的应用 7.3.1 场的概念
一、场的概念 某种物理量在空间(或平面)区域内的分布称为“场”。
二、场的分类 1．数量场和向量场 按照某种物理量是数量或是向量，将其场称为数量场 或向量场。
2．稳定场和非稳定场 如果场中的物理量仅随位置变化，而不随时间变化，
这种场称为稳定场（或定常场），如果是随时间变化 的，则称为非稳定场（或非定常场）。
M(x, y,z) .
例如，位于原点且电量为 q 的点电荷产生的静电场为
E( x,
y,
z)
q 4 r3
r
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
q
3
4 (x2 y2 z2 ) 2
{xi
yj zk ).
（其中 是真空中的介电常数.）
四、向量线
1．数量场的等值面（或等值线）
数量场的常用直观表示法是等值面（或等值线）。
若平面数量场为 z z(x, y) ，则z(x, y) C 称为等值线。 例如，平面数量场z x2 y 2 的等值线为 x 2 y 2 C ，
三、场的表示
场量在区域内的分布可以用定义在该区域内的一个 函数来描述，给定了一个函数（场函数），就相当于给 定了一个场。
数量场：
u (M ) u (x, y, z), M( x, y, z) .
向量场：
ur
r
A(M ) A( x, y, z) P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z) ,
例2.计算 I (e x sin y y)dx (e x cos y e y2 )dy , L L : y sin x由点 A ( ,0) 到 O(0,0) .
y
D
o
x
例
3．计算 C
ydx xdy x2 y2
，其中正向曲线
C
为：
（1）不包围原点 O 的分段光滑闭曲线； （2）圆周 x 2 y 2 a 2 ；
（4）在 D 内存在二元函数u(x, y) ，使得du PdxQdy 。
例4.计算曲线积分
（1）I
L
(3 y
x)dx ( y (x y)3
3x)dy
,
其中L为由
点A( , 0)沿曲线y cos x到点B(0， )的弧段；
2
2
2
(2)I
L
x x2
y y2
dx
x x2
y y2
dy, 其中L为由
是 D 内任意两点，则
C( AB)
PdxQdy u( x2, y2)u(x1, y1) u( x, y)
( x2 , y2 ) ( x1,y1)
.
7.3.3 全微分方程
定义 2 若存在函数u(x, y) ，使 du P(x, y)dxQ(x, y)dy ， 则称 P(x, y)dxQ(x, y)dy 0 为全微分方程或恰当方程。
z
o
y
x
点电荷所产生的静电场的向量线
7.3.2 Green公式
一、单连通区域与复连通区域
若平面区域 D 内任一封闭曲线围成的部分都属于 D， 则 D 称为单连通区域，否则称为复连通区域。
通俗地说，单连通域就是不含有“洞”（包括点“洞” ） 的区域。
边界曲线C的正向: 当沿此方向前进时,C所 围的区 域D总在左边.
（3）包围原点 O 的分段光滑闭曲线。
三、用格林公式求平面图形的面积
若在 Green
公式
C PdxQdy
( Q x
P )dxdy y
中，
D
取 P(x, y) y ，Q(x, y) x ，则得
C ydx xdy2dxdy, D
∴
A
1 2
C
xdy
ydx
。
（其中 A 是区域 D 的面积。）
7.3.2 平面上曲线积分与路径无关的条件
下面来导出向量线的方程。
设向量场为
A(
x,
y,
z)
P( x,
y,
z),
Q(
x,
y, z ),
R(x, y,z)
M (x, y, z) 为向量线 C 上的任一点，
则向量线 C 在点 M 的切线向量为{dx,dy,dz} ，
它必与在点 M 的场向量 Ax, y, z共线，
故有
dx dy dz ，
（1） Green 公式的条件是：封闭、正向、偏导数连续，
三者缺一不可。
(2). Green公式的记法:
x y Q P
x y PQ
C Pdx Qdy x y dxdy
DP Q
例 1．计算 xy 2dy x2 ydx ，其中 C 为顺时针方向的圆周 C x2 y2 R2 。 y
C
o Rx
DC
D
C2
C1
二、定理1（Green定理）
设 D 是一个平面有界闭区域，边界 C 为光滑或 分段光滑曲线， P(x, y) 、 Q(x, y) 在 D 上具有一阶连
续偏导数，则有
C
PdxQdy
(
Q x
P y
)dxdy
—格林（Green ）公式
D
其中 C是D的取正向的边界曲线。
应用格林公式必须注意：
P( x, y,z) Q( x, y,z) R( x, y,z)
解此微分方程组可得向量线的方程。
例．求静电场 E
q
r
的向量线。
4 r3
解： P(x, y, z)
xq
，
3
4 0 (x 2 y 2 z 2 ) 2
Q(x, y, z)
yq
，
3
4 0 (x 2 y 2 z 2 ) 2
R(x, y,z)