(完整版)2015年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案

2015年全国初中数学联合竞赛试题
第一试（A ）
一、选择题（每小题7分，共42分）
1．设实数a ，b ，c 满足：3a b c ++=，2224a b c ++=，则222222
222a b b c c a
c a b +++++=---（ ） A. 0
B. 3
C. 6
D. 9
2．若抛物线2
y x bx c =++与x 轴只有一个公共点，且过点A （m ，n ），B （m －8，n ），则n ＝（ ）
A. 8
B. 12
C. 16
D. 24
3．矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝10，E 、F 分别为矩形外的两点，BE ＝DF ＝4，AF ＝CE ＝3，则EF ＝（ ） A
． B ．15 C
D
．4．已知O 为䝐标原点，位于第一象限的点A 在反比例函数1
(0)y x x
=>的图象上，位于第二象限的瀹B 在反比例函数4
(0)y x x
=-<的图象上﬌且OA ⊥OB ，则tan ∠ABO 的值为（ ） A ．
1
2
B
．2 C ．1 D ．2
5．已知实数x （y 满足关系式1xy x y --=，则22x y +的最小值为（ ）
A
．3-
B
．6-
C ．1 D
．6+6．设n 是小于100的正整数且使2
535n n +-是15的倍数，则符合条件的所有正整数n 的和是（ ） A ．285 B ．350 C ．540 D ．635 二、填空题（每小题7分，共28分）
7．设a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根，则32
2
34a b a ++
的值为 . 8．从三边长均为整数且周长为24的三角形中任取一个，它是直角三角形 的概率为 .
9．已知锐角△ABC 的外心为O ，AO 交BC 于D ，E 、F 分别为△ABD 、 △ACD 的外心，若AB ＞AC ，EF ＝BC ，则∠C －∠B ＝ .
10．将数字1，2，3，…，34，35，36填在6×6的方格中，每个方格填一个数字，要求每行数字从
左到右是从小到大的顺序，则第三列所填6个数字的和的最小值为 .
第一试（B ）
一、选择题（每小题7分，共42分）
1．设实数a ，b ，c 满足：3a b c ++=，2
2
2
4a b c ++=，则222222
222a b b c c a c a b
+++++=---（ ）
A. 12
B. 9
C. 6
D. 3
2．若抛物线2
y x bx c =++与x 轴只有一个公共点，且过点A （m ，n ），B （m －8，n ），则n ＝（ ）
A. 8
B. 12
C. 16
D. 24
3．矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝10，E 、F 分别为矩形外的两点，BE ＝DF ＝4，AF ＝CE ＝3，则
EF ＝（ ） A
． B ．15
C
D
．4．已知实数x ，y 满足关系式2
2
3x xy y ++=，则2
()x y -的最大值为（ ）
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
5．已知O 为坐标原点，位于第一象限的点A 在反比例函数1
(0)y x x
=>的图象上，位于第二象限的点B 在反比例函数4
(0)y x x
=-<的图象上，且OA ⊥OB ，则tan ∠ABO 的值为（ ） A ．
12
B
C ．1
D ．2
6．设n 是小于100的正整数且使2232n n --是6的倍数，则符合条件的所有正整数n 的和是（ ） A ．784
B ．850
C ．1536
D ．1634
二、填空题（每小题7分，共28分）
7．设a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根，则32
2
34a b a ++的值为 . 8．三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为 .
9．C 、D 两点在以AB 为直径的半圆周上，AD 平分∠BAC ，AB ＝20， AD
＝AC 的长为 .
10．在圆周上按序摆放和为15的五个互不相等的正整数a ，b ，c ，d ，e ，使得ab ＋bc ＋cd ＋de ＋ea
最小，则这个最小值为 .
A
B
C
D E
F
第二试（A ）
1．（20分）关于x
x 有且仅有一个实数根，求实数m 的取值范围. 2．（25分）如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E ，且AC ⊥BD ，AB ＝AC . 过点D 作DF ⊥BD ，交BA 的延长线于点F ，∠BFD 的平分线分别交AD 、BD 于点M 、N . （1）证明：∠BAD ＝3∠DAC ； （2）如果
BF DF CD
BD AC
-=
，证明：MN ＝MD .
3．（25分）设正整数m ，n 满足：关于x 的方程()()x m x n x m n ++=++至少有一个正整数解，证
明：222()5m n mn +<.
第二试（B ）
1．（20分）若正数a ，b 满足ab ＝1，求11
112M a b
=
+
++的最小值. 2．（25分）如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E ，且AC ⊥BD ，AB ＝AC ＝BD . 过点D 作DF ⊥BD ，交BA 的延长线于点F ，∠BFD 的平分线分别交AD 、BD 于点M 、N . （1）证明：∠BAD ＝3∠DAC ；
（2）如果MN ＝MD ，证明：BF ＝CD ＋DF .
3．（25分）若关于x 的方程2343410x x k -+-=至少有一个正整数根，求满足条件的正整数k 的值.
2015年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
第一试（A ）
1. 解：D. 提示：∵3a b c ++=，2224a b c ++=，
∴222222222444(2)(2)(2)222222a b b c c a c a b c a b c a b c a b +++---++=++=+++++------
6()9a b c =+++=.
2. 解：C. 提示：依题意，有22(8)(8)n m bm c m b m c =++=-+-+，于是可得82b m =-. ∵抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点，
∴240b c -=，∴221(4)4
c b m ==-.
因此222(82)(4)16n m bm c m m m m =++=+-+-=.
3. 解：C. 提示：易知∠AFD ＝∠BEC ＝90°，△BEC ≌△DF A ，∴∠DAF ＝∠BCE . 延长F A ，EB 交于点G . ∵∠GAB ＝90°－∠DAF ＝∠ADF ，
∠GBA ＝90°－∠CBE ＝∠BCE ＝∠DAF ，
∴△BGA ∽△AFD ，且∠AGB ＝90°，∴AG ＝8，BG ＝6， ∴GF ＝11，GE ＝10
，∴EF ==4. 解：A. 提示：过点A 、B 分别作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足为C 、D . 由OA ⊥OB 得∠AOB ＝90°，于是可得△AOC ∽△OBD ，
∴1
2
OA
ABO OB
∠=
==. 5. 解：B. 提示：设x y t +=，则由题设条件可知11xy x y t =++=+， ∴x ，y 是关于m 的一元二次方程210m tm t -++=的两个实数根， 于是有：24(1)0t t ∆=-+≥
，解得2t ≥+
2t ≤-又∵22222()22(1)(1)3x y x y xy t t t +=+-=-+=--，
∴当2t =-
1x y ==22x y +取得最小值，
最小值为2(21)36--=-6. 解：D. 提示：∵2535n n +-是15的倍数， ∴2
5|(535)n n +-，∴5|3n ，∴5|n . 设5n m =（m 是正整数），
则2
2
2
2
535125155120155(1)n n m m m m m +-=+-=++-.
∵2
535n n +-是15的倍数，∴2
1m -是3的倍数，
∴31m k =+或32m k =+，其中k 是非负整数.
∴5(31)155n k k =+=+或5(32)1510n k k =+=+，其中k 是非负整数.
∴符合条件的所有正整数n 的和是
(5203550658095)(102540557085)635++++++++++++=. 7. 解：11. 提示：∵a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根， ∴1ab =-，1a b +=，21a a =+，21b b =+， ∴332222
343423(1)42(1)3362a b a b b a a b b a a b a
++
=++=++++=+++ 3(1)3626()511a a b a b =++++=++=.
8. 解：
1
12
. 提示：设三角形的三边长为a ，b ，c （a b c ≥≥）， 则324a a b c ≥++=，2()24a a b c <++=，∴812a ≤<，
故a 的可能取值为8，9，10或11，
满足题意的数组（a ，b ，c ）可以为： （8，8，8），（9，9，6），（9，8，7），（10，10，4），（10，9，5），（10，8，6）， （10，7，7），（11，11，2），（11，10，3），（11，9，4），（11，8，5），（11，7，6）. 共12组，其中，只有一组是直角三角形的三边长，
∴所求概率为
112
. 9. 解：60°. 提示：作EM ⊥BC 于点M ，FN ⊥BC 于点N ，FP ⊥EM 于点P . ∵E 、F 分别为△ABD 、△ACD 的外心， ∴M 、N 分别为BD 、CD 的中点.
又EF ＝BC ，∴PF ＝MN ＝12BC ＝1
2
EF ，∴∠PEF ＝30°.
又EF ⊥AD ，EM ⊥BC ，∴∠ADC ＝∠PEF ＝30°. 又∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ＝∠B ＋1
2
(180°－2∠C )＝90°＋∠B －∠C ，
∴∠C －∠B ＝90°－∠ADC ＝60°.
10. 解：63. 提示：设第三列所填6个数字按从小到大的顺序排列后依次为A ，B ，C ，D ，E ，F .
∵A 所在行前面需要填两个比A 小的数字，∴A 不小于3； ∵B 所在行前面需要填两个比B 小的数字，
且A 及A 所在行前面两个数字都比B 小，∴B 不小于6.
同理可知：C 不小于9，D 不小于12，E 不小于15，F 不小于18.
因此，第三列所填6个数字之和A ＋B ＋C ＋D ＋E ＋F ≥3＋6＋9＋12＋15＋18＝63.
如图即为使得第三列所填6个数字之和取得最小值的一种填法（后三列的数字填法不唯一）.
A
B
C
D E F G
第一试（B ）
1. 解：B. 提示：∵3a b c ++=，2224a b c ++=，
∴222222222444(2)(2)(2)222222a b b c c a c a b c a b c a b c a b +++---++=++=+++++------
6()9a b c =+++=.
2. 解：C. 提示：依题意，有22(8)(8)n m bm c m b m c =++=-+-+，于是可得82b m =-. ∵抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点，
∴240b c -=，∴221(4)4
c b m ==-.
因此222(82)(4)16n m bm c m m m m =++=+-+-=.
3. 解：C. 提示：易知∠AFD ＝∠BEC ＝90°，△BEC ≌△DF A ，∴∠DAF ＝∠BCE . 延长F A ，EB 交于点G . ∵∠GAB ＝90°－∠DAF ＝∠ADF ，
∠GBA ＝90°－∠CBE ＝∠BCE ＝∠DAF ，
∴△BGA ∽△AFD ，且∠AGB ＝90°，∴AG ＝8，BG ＝6， ∴GF ＝11，GE ＝10
，∴EF ==4. 解：D. 提示：设x y t -=，则x y t =+，
代入题设等式得22()()3y t y t y y +++++=，整理得223330y ty t ++-=. 由判别式22(3)12(3)3t t ∆=--≥
得t -≤22()12x y t -=≤. 5. 解：A. 提示：过点A 、B 分别作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足为C 、D . 由OA ⊥OB 得∠AOB ＝90°，于是可得△AOC ∽△OBD ，
∴1
2
OA
ABO OB
∠=
==. 6. 解：D. 提示：∵2232n n --是6的倍数， ∴22|(232)n n --，∴2|3n ，∴2|n .
设2n m =（m 是正整数），则2222232862662(1)n n m m m m m --=--=-+-. ∵2232n n --是6的倍数，∴21m -是3的倍数，
∴31m k =+或32m k =+，其中k 是非负整数.
∴2(31)62n k k =+=+或2(32)64n k k =+=+，其中k 是非负整数. ∴符合条件的所有正整数n 的和是
(2814869298)(41016828894)1634++++++++++++=L L . 7. 解：11. 提示：∵a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根， ∴1ab =-，1a b +=，21a a =+，21b b =+， ∴332222
343423(1)42(1)3362a b a b b a a b b a a b a
++
=++=++++=+++ 3(1)3626()511a a b a b =++++=++=.
8. 解：12. 提示：设三角形的三边长为a ，b ，c （a b c ≥≥）， 则324a a b c ≥++=，2()24a a b c <++=，∴812a ≤<，
故a 的可能取值为8，9，10或11， 满足题意的数组（a ，b ，c ）可以为： （8，8，8），（9，9，6），（9，8，7），（10，10，4），（10，9，5），（10，8，6）， （10，7，7），（11，11，2），（11，10，3），（11，9，4），（11，8，5），（11，7，6）. 共12组，∴三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为12. 9. 解：4. 提示：连接OD 、OC ，作DE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F .
∵AD 平分∠BAC ，∴∠DOB ＝2∠BAD ＝∠OAC .
又OA ＝OD ，∴△AOF ≌△ODE ，∴OE ＝AF ，∴AC ＝2OF ＝2OE .
设AC ＝2x ，则OE ＝AF ＝x . 在Rt △ODE
中，由勾股定理得DE ==在Rt △ADE 中，AD 2＝DE 2＋AE 2，
即222(100)(10)x x =-++，解得x ＝2.
∴AC ＝2x ＝4.
10. 解：37. 提示：和为15的五个互不相等的正整数只能是1，2，3，4，5.
注意到五个数在圆周上是按序摆放的，且考虑的是和式ab bc cd de ea ++++，不妨设a ＝5.
如果1和5的位置不相邻，不妨设c ＝1（如图
2），
此时的和式为155P b b d ed e =++
++； 交换1和b 的位置后，得到如图3的摆法， 此时的和式为25
5P b bd ed e =++++.
∵1255(5)(1)0P P b d
bd d b -=+--=-->，∴12P P >.
因此，交换1和b 的位置使得1和5相邻（如图3）以后，和式的值会变小. 如图3，如果d ＝2，此时的和式为35225P b b e e =++++；
交换e 和2的位置以后，得到如图4的摆法，此时的和式为45210P b be e =++++. ∵342510(5)(2)0P P b e be b e -=+--=-->，∴34P P >. 因此，交换e 和2的位置使得2和5相邻以后和式的值会变小. 如果b ＝2，此时的和式为55225P d ed e =++++；
交换e 和2的位置以后，得到如图5的摆法，此时的和式为65210P e ed d =++++. ∵5625104(2)0P P e e e -=+--=->，∴56P P >.
因此，交换e 和2的位置使得2和5相邻以后和式的值会变小. 综上可知：1和2摆在5的两边（如图5）时，和式的值会变小.
A
B C
D E F G
d d d d
e 图1 图2 图3 图4 图5
当d ＝3，e ＝4时，和式的值为754126103P =++++=； 当d ＝4，e ＝3时，和式的值为853*******P =++++=. 因此，所求最小值为37.
第二试（A ）
1. 解：将所给方程记为方程①，显然有2
x m ≥且1x ≥.
若0m <
x ，此时方程①无解，不符合题意，故0m ≥.
方程①变形得x
两边平方后整理得2242x m +-=- 再平方，整理得228(2)(4)m x m -=-.
显然，应该有02m ≤<
，并且此时方程①只可能有解x =
将x =
1=-，
化简整理得？？？，于是有403
m ≤≤，
此时方程①有唯一解x =
.
综上所述，所求实数m 的取值范围为403
m ≤≤. 2. 证明：（1）在BE 上取一点P ，使得∠BAP ＝∠DAC ， 则△BAP ≌△CAD ，∴AP ＝AD . 又AE ⊥PD ，∴△ADE ≌△APE ，∴∠P AE ＝∠DAE ，
∴∠P AE ＝∠BAP ＝∠DAC ，∴∠BAD ＝3∠DAC .
（2）设∠DAC ＝α，则∠BAC ＝2α，∠BAD ＝3α，∠NDM ＝90°－α. 在FB 上截取FQ ＝FD ，连接QD ，则BQ ＝BF －FQ ＝BF －FD .
又BF DF CD BD AC -=，∴BQ CD BD AC
=
. 又∠QBD ＝∠DCA ，∴△QBD ∽△DCA ，∴∠QDB ＝∠DAC .
又∵∠DBC ＝∠DAC ，∴∠QDB ＝∠DBC ，∴QD ∥BC ，∴∠FQD ＝∠ABC . 又AB ＝AC ，∠BAC ＝2α，∴∠ABC ＝90°－α，∴∠FQD ＝90°－α. 又FQ ＝FD ，∴∠BFD ＝2α.
∵FN 平分∠BFD ，∴∠AFM ＝α，
∴∠NMD ＝∠AMF ＝∠BAD －∠AFM ＝3α－α＝2α， ∴∠MND ＝180°－∠NMD －∠NDM ＝90°－α＝∠MDN ，∴MN ＝MD .
3. 证明：方程即2(1)0x m n x mn m n ++-+--= ①，
方程①的判别式
222(1)4()()42()1()2()1m n mn m n m n mn m n m n m n ∆=+----=+-+++=-+++.
不妨设m n ≥，由题设可知，整系数方程①至少有一个正整数解，∴∆应为完全平方数. 注意到222()2()1(1)4(1)m n m n m n n m n ∆=-+++=-++>-+，
22()2()1(3)(488)m n m n m n m n ∆=-+++=-+--+，
若4880m n -+>，即22m n >-，则2(3)m n ∆<-+，
从而有22(1)(3)m n m n -+<∆<-+，故只可能2(2)m n ∆<-+， 即22()2()1(2)m n m n m n -+++=-+，整理得332
m n =-， 这与m ，n 均为正整数矛盾.
因此22m n ≤-，从而可得2m n <，∴
2m
n
<. 又∵
1
12
m n >>，∴有1()(2)02m m n n --<，整理即得222()5m n mn +<.
第二试（B ）
1. 解：∵1ab =，∴1
b a
=
， ∴2
11111121121121121232
1a a
M a b a a a a a a a a =+=+=+=+-=-++++++++++. 设232
a a N a
++=
，则22333N a a =++=+++
当a .
∴103N <
≤=-
1
11(32M N
=-≥--=.
因此，当a =
2b =
时，11
112M a b
=+++
取得最小值2. 2. 证明：（1）在BE 上取一点P ，使得∠BAP ＝∠DAC ， 则△BAP ≌△CAD ，∴AP ＝AD .
又AE ⊥PD ，∴△ADE ≌△APE ，∴∠P AE ＝∠DAE ， ∴∠P AE ＝∠BAP ＝∠DAC ，∴∠BAD ＝3∠DAC . （2）设∠DAC ＝α，则∠BAC ＝2α，∠BAD ＝3α. ∵AC ⊥BD ，∴∠NDM ＝90°－α.
∵MN ＝MD ，∴∠MND ＝∠MDN ＝90°－α， ∴∠NMD ＝180°－∠MND －∠NDM ＝2α，∴∠AMF ＝2α， ∴∠AFM ＝∠BAD －∠AMF ＝3α－2α＝α.
FN 平分∠BFD ，∴∠BFD ＝2∠AFM ＝2α.
在FB 上截取FQ ＝FD ，连接QD ，则∠FQD ＝90°－α. 又AB ＝AC ，∠BAC ＝2α，∴∠ABC ＝90°－α，∴∠FQD ＝∠ABC ， ∴QD ∥BC ，∴∠QDB ＝∠DBC .
又∵∠DBC ＝∠DAC ，∴∠QDB ＝∠DAC .
又∵DB ＝AC ，∠QBD ＝∠DCA ，∴△QBD ∽△DCA ，∴BQ ＝CD ， ∴BF ＝BQ ＋FQ ＝CD ＋DF .
3. 解：设方程的两个根为x 1，x 2，且x 1为正整数， 则1234x x +=，12341x x k =-.
由1234x x +=知2134x x =-，∴ x 2也是整数.
由k 为正整数及12341x x k =-可知20x >，∴x 2是正整数. 注意到121212(1)(1)134(1)x x x x x x k ++=+++=+， ∴1217|(1)(1)x x ++，∴117|(1)x +或217|(1)x +.
若117|(1)x +，则由112134x x x +≤+=知：1117x +=或1134x +=. 当1117x +=时，116x =，218x =，此时3411618k -=⨯，k 无整数解； 当1134x +=时，133x =，21x =，此时341331k -=⨯，解得k ＝1. 若217|(1)x +，同样可得k ＝1. ∴满足条件的正整数k ＝1.。