平面任意力系的简化
建筑力学-第4章 平面力系的简化与平衡方程.
平面固定端约束
=
=
≠
=
3、 平面任意力系的简化结果分析
=
FR 0 M O 0
合力
合力作用线过简化中心
FR 0 M O 0
合力
合力作用线距简化中心M O
FR
其中
MO d FR
M o FRd
M o ( FR ) M O M O ( Fi )
FR FR FR
q 20 kN
求： 固定端A处约束力.
, l 1m; F 400kN, m
解： 取T型刚架，画受力图. 1 其中 F1 q 3l 30kN 2 Fx 0 FAx F1 F sin 600 0 解得 FAx 316.4kN
F Ay P F cos 60 0 Fy 0 解得 FAy 300kN
A
M
解得
0
12 FBy 10 P 6 P 1 4P 2 2 P 5F 0
FBy 77.5kN
iy
F
解得
0 FAy FBy 2 P P 1P 2 0
FAy 72.5kN
取吊车梁,画受力图.
M
解得
D
0
8FE' 4P 1 2P 2 0
Fx 0
Fy 0
FAx FB 0
FAy P 1P 2 0
M
解得
A
0
FB 5 1.5 P 1 3.5 P 2 0
FAy 50kN
FB 31kN
FAx 31kN
例4-4 已知： P, q, a, M pa; 求： 支座A、B处的约束力. 解：取AB梁，画受力图.
平面力系简化的四种结果
平面力系简化的四种结果
1. 平面力系简化为一个力
当一个平面力系的合力和力矩等于零时，可以简化为一个力。
这个力的大小和方向由合力的大小和方向决定，作用点则由力矩为零的条件决定。
简化为一个力后，可以用这个力来计算物体的平衡条件，减少计算的复杂性。
2. 平面力系简化为两个力
当平面力系中的合力不为零，但力矩等于零时，可以简化为两个力。
这两个力的大小和方向由合力的大小和方向决定，作用点则由力矩为零的条件决定。
简化为两个力后，可以将平面力系分解为两个简单的力，便于计算物体的平衡条件。
3. 平面力系简化为一个力和一个力矩
当平面力系中的合力和力矩均不为零时，可以简化为一个力和一个力矩。
这个力的大小和方向由合力的大小和方向决定，作用点则由力矩不为零的条件决定。
简化为一个力和一个力矩后，可以通过力的作用点和力矩的大小和方向来计算物体的平衡条件。
4. 平面力系无法简化
当平面力系中的合力和力矩均不为零，且无法简化为一个力和一个力矩时，需要保持平面力系的复杂性进行计算。
在这种情况下，需要考虑力的合成、力矩的叠加等复杂计算方法，以求得物体的平衡
条件。
总结起来，平面力系简化的四种结果为：简化为一个力、简化为两个力、简化为一个力和一个力矩，以及无法简化。
这些简化结果的应用可以大大简化平面力系的计算过程，提高计算的效率和准确性。
在实际应用中，根据平面力系的特点和计算需求，选择合适的简化方法可以更好地解决力学问题。
平面任意力系向作用面内一点简化
FAy
P 4
3 2
qa
例3-5已知：P 100kN, M 20kN m,
q 20kN m, l 1m; F 400kN,
求 固定端A处约束力.
：解：取T型刚架，画受力图.
其中F1
F x
1 q 3l 30kN 2
0 FAx F1
F
sin 600
0
解得FAx 316.4kN
Fy 0 FAy P F cos 60 0
因为
F R
(
F x
)2
(
F y
)2
M O
M
O
(
F i
)
平面任意力系的平衡方程
F x
0
F y
0
(3 4)
M o 0
平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两个
任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及
10各力对于任意一点的矩的代数和也等于零.
平面任意力系平衡方程的三种形式
一般式
F x
0
F y
14
m 2n 3 平面复杂（超静定）桁架 m 2n 3 平面简单（静定）桁架 m 2n 3 非桁架（机构）
15
关于平面桁架的几点假设
1：、各杆件为直杆各杆轴线位于同一平面内
，
；
2、杆件与杆件间均用光滑铰链连接；
3、载荷作用在节点上且，位于桁架几何平面内；
4、各杆件自重不计或均分布在节点上
求：铰链A和DC杆受力（. 用平面任意力系方法求解）
解：取AB梁，画受力图.
Fx 0 FAx Fc cos 45 0
F y
0
FAy Fc sin 45 F 0
M A 0 Fc cos 45 l F 2l 0
工程力学C-第4章 平面任意力系
l 2
q( x) xdx 2l h 3 q( x)dx
0 l 0
l
例 题7：
均匀分布载荷 q =4kN/m ，自由端B作用有集 中力F = 5kN，与铅垂线夹角α=25°，梁长 l = 3m。求固定端的反力。 解： 梁AB ——研究对象
x
M A (Fi ) 0 : M Q l F cos l 0 (Q ql 4 3 12kN) A
2
1 2 M A Fl cos ql 31.59kN m 转向如图 2
F
F
xi
0:
0:
FAx F sin 0
FAx F sin 2.113kN
FAy Q F cos 0
实际方向与图中相反
yi
FAy Q F cos 16.53kN 方向如图
n
平衡方程
平面任意力系平衡的解析条件：所有各力在两个任选的坐标轴 上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点矩的代 数和也等于零。
例 1:
固定端约束
既不能移动，又不能转动的约束—— 固定端约束 固定约束的特点
利用平面力系的简化结果，将端部的分布
力向端部的一点A点简化，得FA、MA。
FA MA
A
B
b
因此，P2必须满足：
Pe P l P (e b) 1 P2 ab a
FNA
FNB
例 题 6 细杆AB 搁置在两互相垂直的光滑斜面上，如图所 示。已知：杆重为P，重心C 在杆AB的中心，两 斜面的几何关系如图。求：杆静止时与水平面的 夹角θ和支点 A、B 的反力。 解： 细杆AB —— 研究对象 设杆AB长 l ,取图示坐标系。
理论力学第2章平面任意力系
空载时轨道A 、 B的约束反力，并问此起重机在使用过程中有无翻
倒的危险。
解：
（1）起重机受力图如图
（2）列平衡方程 ：
MA 0:
Q
Q(6 2) RB 4 W 2 P(12 2) 0
MB 0:
Q(6 2) W 2 P(12 2) RA 4 0
6m
解方程得:
W
P
12m
RA 170 2.5P
FR' Fi Fxi Fy j
MO MO (Fi )
3. 平面任意力系的简化结果
（1）FR´= 0，Mo ≠ 0, （2）FR´ ≠ 0，Mo = 0, （3）FR´≠ 0，Mo ≠ 0, （4）FR´= 0，Mo = 0,
合力偶，合力偶矩，MO MO (Fi )
合力，合力作用线通过简化中心O。
3
F2
j
F3
x
(437.6)2 (161.6)2
F1
1 1
100
Oi
1 2
466.5N
200
MO 21.44N m
y
合力及其与原点O的距离如图(c) 。 MO
x
y
d
x
O
FR FR′ 466.5N FR´
FR
O
d MO 45.96mm
(b)
(c)
FR
10
例11 水平梁AB受按三角形分布的载荷作用，如图示。载荷的
M
l
l
30
B
D
° F
3l
P
q
A
21
解：T字形刚架ABD的受力如图所示。
M
l
l
Fx 0
30
B
FAx 1 • q • 3a Fcos30 0
理论力学平面任意力系_1简化与平衡
平面任意力系
平面任意力系： 力系中各力的作用线在同一平面内任意分布
本章讨论平面任意力系的简化（合成）与平衡问题
第一节 平面任意力系向一点的简化
一、力的平移定理 作用于刚体上的力可等效地平移至任一指定点，但必须附加一力 偶，附加力偶的矩就等于原力对指定点的矩
F
F
B d
A
F
B d
F
B
说明： 1）可解 2 个未知量
2）矩心位置可任意选择
[例2] 如图，悬臂梁 AB 上作用有矩为 M 的力偶和集度为 q 的均 布载荷，在梁的自由端还受一集中力 F 的作用，梁长为 l ，试求 固定端 A 处的约束力。
q
A
M
F
FAx
B
q
A
M
F
a
l
MA
B
FAy
解： 1）选取梁 AB 为研究对象 2）受力分析
2. （一投影两矩式 ）
F 0 M F 0 M F 0
ix
A
i
B
i
其中，A、B 两点连线不垂直于 x 轴
3. （三矩式）
M F 0 M F 0 M F 0
A i B i C i
所受的力大小为 0.85 kN，是拉力。
[例5] 横梁 AB 用三根杆支撑，受图示载荷。已知 F = 10 kN， M = 50 kN· m，若不计构件自重，试求三杆 所受的力。
F
2m 3m
30
2m
3m
30
F
M
B
A
1
45
B
A
45
2
3
M
4任意力系的简化
Theoretical Mechanics
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任意力系的简化
3 力系的简化结果分析
1.力系简化为合力偶M
F'R = 0，MO≠0 力偶矩M = MO = ∑MO(Fi) 其大小、方向与简化中心无关
由此可知：对于沿直线分布的垂直分布载荷来说，其合力
的大小等于分布载荷图形的面积，合力作用线则通过该图形的
形心。
Theoretical Mechanics
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平行力系与重心
1 平行力系的简化 ·平行力系的中 心
例 ：求图示分布载荷的合力及对A点之矩。
解：将分布载荷图形分成两个三 角形，每个三角形载荷合力大小 分别为 1 1
2 力系向一点简化· 主矢和主矩
n
n
MO
称为该力系的主矢 MO称为该力系对简化中心O的主矩。
FR
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任意力系的简化
2 力系向一点简化· 主矢和主矩
结
论
任意力系向一点简化的结果为作用于该点的一个力和一
个力偶。这个力是力系的主矢，等于力系中各力的矢量和，
任意力系的简化
1 力的平移定理
力的平移定理
FR FR FR
FR
M
, FR ) (FR )O ( FR
Theoretical Mechanics
FR
+ M
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任意力系的简化
结 论
力的平移定理：作用于刚体上的力F ，可以平移 至同一刚体的任一点O ，但必须增加一个附加力偶， 附加力偶的力偶矩等于原力F对于平移点O之矩，即
平面任意力系的主矩与简化中心的位置
平面任意力系的主矩与简化中心的位置1. 概述在静力学中，平面任意力系的主矩与简化中心的位置是一个重要的研究课题。
主矩是指力系对某一点产生的合力矩，简化中心是指力系对某一点的合力矩为零的特殊点。
研究主矩与简化中心的位置可以帮助我们更好地理解力系的性质和相互作用。
2. 平面任意力系的主矩平面任意力系是指作用在同一平面上的多个力所组成的力系。
在这样的力系中，力的方向和大小都是任意的，主矩则是力系对某一点产生的合力矩。
主矩可由力的大小、方向和作用点到参考点的距离等因素决定。
在计算主矩时，通常可以使用矢量法或解析法，根据具体情况选择合适的方法进行计算。
3. 主矩的计算方法计算主矩时，可以先将力系分解为多个力的矢量和，然后分别计算每个力对参考点产生的单个力矩，最终将所有力矩相加得到主矩。
另一种方法是使用解析法，通过数学方程式求解主矩的数值。
在实际问题中，可以根据具体情况选择适当的计算方法，以便高效地求解主矩。
4. 简化中心的定义简化中心是指力系对某一点的合力矩为零的特殊点。
在平面任意力系中，简化中心的位置可以通过数学方法求解。
对于简化中心，有以下几个重要特点：（1）简化中心的存在性：对于任意平面力系，都存在一个简化中心；（2）力系对简化中心的主矩为零：力系对简化中心的主矩等于零；（3）简化中心的独立性：简化中心的位置与力系的具体情况无关，只与力系的几何形状和作用点位置有关。
5. 简化中心的计算方法计算简化中心的位置可以采用矢量法或解析法，具体计算方法取决于力系的具体情况。
在应用矢量法时，可以将力系分解为多个力的矢量和，通过平衡条件求解简化中心的位置。
在应用解析法时，可以通过坐标系和数学方程式求解简化中心的位置。
选择合适的计算方法进行求解简化中心是十分重要的。
6. 主矩与简化中心的关系主矩与简化中心是密切相关的，它们相互依存、相辅相成。
在力系的平衡分析中，主矩和简化中心的计算是必不可少的环节。
通过计算主矩和简化中心的位置，可以更清晰地理解力系的平衡特性和作用规律。
平面任意力系的简化结果
平面任意力系的简化结果平面任意力系是力学中的重要概念，它描述了作用在一个平面上的多个力的组合。
通过对平面任意力系的分析和简化，我们可以更好地理解和解决实际问题，提高工程设计和实验研究的效率。
本文将生动地介绍平面任意力系的简化结果，并探讨其在实际应用中的指导意义。
首先，平面任意力系的简化结果可以分为两个主要方面：合力和力矩的简化。
合力是指力系所有力的合力向量，它代表了力系的整体作用。
力矩是指力系相对某个点的力矩矢量的合，它代表了力系对该点的转动效果。
对于合力的简化，我们可以通过矢量图形法或使用力的三角形法则来求解。
通过绘制力的矢量图形，我们可以直观地观察和分析力系的合力方向和大小。
而力的三角形法则则是借助三角形法则计算力系合力的方法，通过将力的矢量进行相加，然后按照三角形法则构造合力矢量。
这样，我们就可以将平面任意力系中的多个力简化为一个合力，从而减少问题的复杂度。
对于力矩的简化，我们可以通过计算力系相对某个点的力矩之和来求解。
力矩的计算公式为力的大小乘以力与旋转中心的距离。
通过将平面任意力系中的多个力的力矩按照右手规则进行矢量相加，我们可以得到力系的总力矩，进而了解力系的转动效果。
通过对力矩的简化，我们可以确定力系的旋转方向和转动速度，为实际应用中的工程设计提供重要参考。
平面任意力系的简化结果在实际应用中有着广泛的指导意义。
首先，它帮助我们理解和分析平衡与稳定问题。
通过求解平面任意力系的合力和力矩，我们可以判断力系是否会平衡（合力为零）和是否具有稳定性（力矩为零）。
这对于建筑结构、桥梁设计等领域非常重要，能够保证工程的安全性和可靠性。
其次，平面任意力系的简化结果还可以应用于机械设计和控制系统中。
在机械设计中，我们常常需要分析机械零件的受力情况和力对机械元件的影响。
通过简化平面任意力系，我们可以选择合适的材料和尺寸，提高机械零件的稳定性和耐久性。
在控制系统中，理解平面任意力系的简化结果有助于优化传动系统和减少能量损失，提高系统的运行效率。
平面任意力系简化
静力学研究的两个基本问题
1.作用于物体上的力系的简化 2.力系的平衡条件
平面任意力系：力系中各力的作用线处于同一 平面内,但即不平行也不汇交
第三章 平面任意力系
§3.1 平面任意力系的简化
刚体上平面力系 F1、F2、…、Fn O Mn F2′ F1′ M2 M1 Fn 将各力平移到O点（简化中心） 得到汇交于O点的一 个平面汇交力系 F1′=F1 F2′=F2 … Fn′=Fn
第三章 平面任意力系
§3.2 平面任意力系的简化结果分析
三、FR′≠ 0，MO≠0 此时可进一步简化为一个合力 O d O′ FR
平移 FR′到O′点
FR = FR′= ∑F MO′ = FR′.d 如果 MO′ = MO d = MO /FR′
则FR 称为原力系的合力
此时 MO（FR） = FR.d = MO = ∑MO（Fi）
Fn′
F1 F2
和一个平面力偶系 M1=MO（F1）
M2=MO（F2） … Mn=MO（Fn）
ห้องสมุดไป่ตู้
第三章 平面任意力系
平面汇交力系 F1′=F1
F2′=F2 … Fn′=Fn O
Mn
M2
M1 FR′
—可合成为一个力FR′ （主矢量） FR′= F1′+ F2′+ …+ Fn′=∑F ′ = F1+ F2+ …+ Fn=∑F
= ∑MO（Fi）
平面任意力系向一平面内任一点简化，一般 可得到一个力和一个力偶。力通过简化中心， 为力系中各力的矢量和，力偶的矩等于力系 中各力对简化中心之矩的代数和。
第三章 平面任意力系
§3.2 平面任意力系的简化结果分析
平面任意力系的简化
此种情况下主矩与简化中心的位置无关。
20
(c) FR' 0 , Mo 0 力系可以简化为一个合力FR ,其 大小和方向均与FR‘相同，而作用线位置与简化中 心点O的距离为:
Mo d FR
FR
FR
MO
=
(a)
α
x
=
O d A
(c)
合力FR在主矢 FR的左侧还是右侧？根据合力FR 对简化中心矩的转 向应与主矩MO的转向一致的原则来确定。
m2 F2 d 2
合力偶矩 m R d ( P 1P 2 )d P 1d P 2 d m1 m2
对由n个力偶组成的力偶系：
m m1 m2 mn
i 1
mi
n
mi
结论: 平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力
偶矩的代数和。
表明，在同平面内的一个力和一个力偶可等效或合成一个力。 ●该定理既是复杂力系简化的理论依据，又是分析力对物体 作用效应的重要方法。 例如单手攻丝时，而且丝锥易折断。
5
二、平面汇交力系的合成
设有四个力组成的平面汇交力系，应用平行四边形（或三 角形）法则：
F2
b
c
F3
R12
R12 F 1 F 2 R123 R12 F 3
MO =m1+m2+…+mn
mO ( F 1 ) mO ( F 2 ) ... mO ( F n ) mO ( F i )
原力系中各力对简化中心之矩的代数和称为力系对简化中心
的主矩 （它是不是合力偶？） 主矩一般与简化中心的位置有关（why？）。
15
F '1
平面任意力系的简化.
F2
Fn
O点:简化中心
= F'1 M1
F'2
M2
=
F'R MO
F'n
O Mn
O
Fi Fi
（i =1，2，…，n）
M i M O (Fi )
平面一般力系
平面汇交力系 平面力偶系
一个力 F'R ，称为力系的主矢 一个力偶 MO ，称为力系的主矩
力系的主矢 F'R ：
FR' x F1x F2x Fnx F1x F2 x Fnx
FR' ( FR'x )2 ( FR'y )2 709.4kN
（第四象限）
70.84
y
C
力系对点 O 的主矩为
MO MO F
MO
O
70.84º
A x
3F1 1.5P1 3.9P2 2355kN m
F'R （2）合力 FR 的大小和方向与主矢 F'R 相同。
(1) FR 0, MO 0
(2) FR 0, MO 0
(3) FR 0, MO 0
(4) FR 0, MO 0
1.主矢不等于零，主矩等于零，即
FR 0, MO 0
F1
F'R
F'R
O
F2 =
MO
=
O
O
Fn
F'R 就是原力系的合力，而合力的作用线过简化中心 O 。
MO≠0 MO＝0
FR 0, MO 0
最后结果
合力 合力
合力偶 平衡
说明
合力作用线过简化中心
理论力学第四章任意力系
由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义。
合力矩定理：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系 中各力对于同一点之矩的代数和。
二、空间任意力系的简化与合成
1、空间一般力系向一点简化 把研究平面一般力系的简化方法用来研究空间一般力系的
简化问题，须把平面坐标系扩充为空间坐标系。
设作用在刚体上有
F1 F2
AB
I
Fi
y
R'
Ox
y
MO
O
简化结果：主矢 R ，主矩 MO 。
1. R' 0 , MO 0 ;
R'
2 . R' 0 , MO 0 ;
x
3 . R' 0 , M O 0 ;
4. R' 0 , M O 0 .
4. R' 0 , M O 0 .
为最一般的情况。此种情况还可以继续
2 . R' 0 , MO 0 ;
简化结果为一合力偶,MO = M 此时力系等效于一个力偶的作用.
因为力偶 可以在平面内任意 移动，故 这种情况下主矩与 简化中心 O 无关。
F1 F2
AB
I
Fi
y
MO Ox
y
MOOΒιβλιοθήκη 简化结果：主矢 R ，主矩 MO 。
1. R' 0 , MO 0 ;
求：１）合力的大小与方向；２）合力与基线OA的交点到O点的
距离 x 及合力作用线方程。(力系向Ｏ点简化的最后结果）
y 3m
解:１）求 FR'x , FR'y
▼
P1
1.5
9m
F1
3m
P2
平面力系的简化
cos
FRy FR
式中： ， ——分别是 与x轴和y轴的夹角
固定端（插入端）约束。
它是使被约束体插入约束内部，被约束体一端与约束成为一体而完全 固定，即不能移动也不能转动的一种约束形式。
例
（a）
图 2-13
（b）
固定端约束的约束力是由约束与被约束体紧密接触而产生的一个 分布力系。如图所示
O，若设合力作用线到简化中心的距离为d，则 d | MO | / | FR |。
情况（3）证明 其中 O 为合力 FR 的作用点，
（a）
（b）
（c）
FR FR FR M (FR ，FR) MO
图 2-15
另外，由图2-15（b）及证明过程知
n
MO (FR ) FR d MO MO (Fi ) i 1
注意
固定端约束与平面铰链约束中的固定铰链是有本质区别的。 从约束效果上看，固定端约束既限制被约束体移动又限制其转动， 而平面铰链约束则只限制被约束体移动，并不限制其转动； 从约束力的表示方法上看，固定端约束除与铰链约束一样， 用一对正交分力表示约束力的主矢之外， 还必须加上一个约束力偶，正是这个约束力偶起着限制转动的作用。
点A处的力F就由点B处的力 F F 及附加力偶等效代替了， 而且该力偶的力偶矩M等于原来的F对新作用点B的矩。
意义
在理论上，它建立了力与力偶这两个基本要素之间的联系。 在实践上，应用力线平移定理，可以很方便地简化一个复杂的力系。
例
攻螺纹用的铰杠丝锥
图 2-11 （a）
图 2-11 （b）
二、平面力系的简化 主矢与主矩
三、简化结果的进一步讨论 合力矩定理的证明
对平面力系向作用面内一点简化后得到的主矢和主矩做进一步分析后，
说明平面任意力系向任意一点简化的结果。
平面任意力系向任意一点简化的结果1. 概述任意力系是指作用在一个物体上的多个力, 这些力可能来自于不同的方向, 具有不同的大小和作用点。
在实际工程应用中, 经常需要对这些力进行简化, 以便于分析和计算。
对于平面任意力系向任意一点的简化, 是一种常见的力学分析方法, 本文将对其进行详细的说明。
2. 平面任意力系的简化平面任意力系是指作用在同一个平面内的多个力组成的力系。
当需要对平面任意力系作用在一点进行简化时, 可以采用以下方法：3. 平行力的合成如果平面任意力系中的多个力都是平行的, 则可以使用平行力的合成原理将它们简化为一个等效的合力。
合力的大小等于各力的代数和, 方向由各力的相对方向决定。
这种简化方法在实际应用中非常常见, 如对梁上的多个集中力进行简化。
4. 共点力的合成当平面任意力系中的力作用在同一点上时, 可以利用共点力的合成原理将它们简化为一个等效的合力。
合力的大小等于各力的代数和, 方向由各力的相对方向决定。
这种方法常用于对物体受到的多个外力进行简化。
5. 一般情况下的简化如果平面任意力系中的力不具有上述特殊情况, 则可以使用力的分解和合成原理进行简化。
具体来说, 可以将各力分解为水平方向和垂直方向的分力, 然后分别对水平方向和垂直方向的力进行合成, 最终得到合力的大小和方向。
这种方法在一般情况下都适用, 但需要注意力的方向和正负问题, 以保证简化后的结果是正确的。
6. 结论平面任意力系向任意一点简化的结果, 可以通过平行力的合成、共点力的合成和力的分解和合成等原理进行。
在实际应用中, 需要根据具体情况选择合适的简化方法, 并注意力的大小和方向的计算。
通过简化,可以简化分析和计算过程, 提高工程设计的效率和准确性。
7. 应用举例为了更好地理解平面任意力系向任意一点简化的结果，我们可以通过一些实际的力学问题来进行举例说明。
（1）桥梁的力简化假设一座桥梁上受到多个施加力，有些力是水平方向的，有些力是垂直方向的，这时我们可以利用力的分解和合成原理来简化这些受力。
第03章 平面任意力系
第三章平面任意力系3.1 平面任意力系的简化·主矢与主矩3.2 平面任意力系的平衡条件与平衡方程3.3 物体系统的平衡·静定与静不定问题3.4 平面简单桁架的内力计算3.1 平面任意力系的简化·主矢与主矩所谓平面任意力系是指力系中各力的作用线在同一平面内且任意分布的力系，简称平面力系。
在实际工程中经常会遇到平面任意力系的情形，例如，下图所示的曲柄连杆机构，受力F ，矩为M 1，M 2的力偶以及支座反力F Ax ，F Ay 和F N 的作用，这些力及力偶构成平面任意力系。
3、固定端（或插入端）约束FAxFAyM AA4、平面任意力系的简化结果分析（1）简化为一个力偶当F R = 0，M O ≠0则原力系合成为合力偶，其矩为∑=)(i O O M M F 此时主矩与简化中心选择无关，主矩变为原力系合力偶。
由此很容易证得平面任意力系的合力矩定理：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。
即∑=)()(R i O O M M F F 当F R ’= 0，M O = 0则原力系平衡。
（3）平面力系平衡例题3-3考虑一小型砌石坝的1m长坝段，受重力和的静水压力作用。
已知h = 8 m，a= 1.5 m，b= 1 m，P1=600 kN，P2=300 kN，单位体积的水重γ = 9.8 kN/m3。
求（1）将重力和水压力向O点简化的结果，（2）合力与基线OA的交点到点O的距离x，以及合力作用线方程。
解：（1）以点O 为简化中心，求主矢∑=′x RxF F ()()kNF F yxR1.95322=+=′∑∑F 329.0cos =′=∑RxF F θ944.0cos −=′=∑RyF F β°±=79.70θ°±°=21.19180β故主矢在第四象限内，与x 轴的夹角为°−79.70F R ’M O θβkN 6.313=22121h qh γ==kN P P F F y Ry 90021−=−−==′∑（2）以点O 为简化中心，求主矩F R ’M O θβ()()()q M P M P M M O O O O ++=21bP a P hh 212321−+×−=γmkN ⋅−= 27.236表明主矩的方向与假设方向相反，及主矩的方向为顺时针。
平面任意力系向作用面内一点简化的结果
平面任意力系向作用面内一点简化的结果
作用面内一点的平面任意力系，是指在平面中给定一点（以
0,0,z作为该点坐标），其几何形状由作用面的方程确定，使得由该点施加任意力系的受力情况可以被完全描述。
所有受力点都在z = 0的“平面”上。
首先，必须解决z=0平面上所有受力点质量、力大小和方向之间的关系。
这些关系可以通过定义力矩来解决，即对给定的力做旋转，使得力矩大小等于0。
根据力矩的定义，力矩是由质量、力大小和方向之间的关系决定的。
其次，需要解决的是力矩的大小和受力点之间的关系。
这可以通过考虑受力点距离作用面中心点距离来实现，即，如果受力点距离作用面中心点更近，则其力矩也更大；反之，则力矩也更小。
再次，需要考虑力大小和受力点之间的关系。
由于力与受力点之间的距离决定了力的大小，因此，距离越近，力越大；距离越远，力越小。
最后，需要考虑力的方向和受力点之间的关系。
由于力的方向与受力点之间的夹角决定了力的方向，因此，夹角越小，力的方向越向夹角小的方向。
总之，通过上述步骤，可以完全描述在作用面内一点施加任意力系的受力情况，即解决平面任意力系向作用面内一点的简化问题。
3§2-3 平面任意力系的简化
4）主矢的作用点：简化中心。
5）力系对O点主矩的解析式： MO MO (Fi ) ( xi Fiy yi Fix )
xi , yi 为力作用点的坐标。
§2-3 平面任意力系的简化 2、平面任意力系向作用面内一点简化
主矢和主矩求法： 1）取直角坐标系Oxy，则主矢的解析式为：
FRx FRy Fix i Fiy j Fix i Fiy j FR
2）主矢的大小：FR ( Fix )2 ( Fiy ) 2
§2-3 平面任意力系的简化 3、固定端约束力分析 固定端在接触面上受一群约束力。在平面问题中，这些力为平 面任意力系，向A点简化，得到一个约束力和一个约束力偶。
FA 大小和方向未知，用两个正交分力表示。
Q：固定端与固定铰有何不同？
固定端限制物体各方向的移动和转动。 固定铰不能限制转动，因而没有约束力偶。
Fi Fi FR
合力?
主矢：FR Fi 主矩：MO MO 3 平面任意力系的简化 2、平面任意力系向作用面内一点简化 Q：简化中心对主矢和主矩有何影响? 主矢大小与简化中心无关， 主矩与简化中心有关。
因为作用在扳手一端的力 F ，与作 用在中点C的力F 和力偶M等效。 力偶M使丝锥转动，而力 F 使螺纹 不正，甚至折断丝锥。
§2-3 平面任意力系的简化 2、平面任意力系向作用面内一点简化 设刚体上作用平面任意力系 F1 , F2 ,, Fn 在平面内任取一点O为简化中心， 应用力的平移定理，把各力都平移到O点。 得到两个简单力系： 1）平面汇交力系 F1, F2,, Fn 作用于O点，且 Fi Fi 2）平面力偶系 M1, M 2 ,, M n 其矩 Mi MO ( Fi )
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3.力的平移定理是平面任意力系简化为平面汇交力系和平面力偶系
的依据。
F′
B dF
＝
F″
B
d
F
＝
A
A
F′ MB
A
2. 平面任意力系向作用面内一点简化·主矢与主矩
F1
y
F2
FR′
O
简化
中心 Fn
y
j
MO
Oi
x
F1 F1
F2 F2
LL
Fn Fn
F1′ M1
M2
O Mn
Fn′
cos
cos(F'R , i)
F'Rx FR
200 250
0.8
∴ =36.9°
MA MA(Fi ) P2 6 506 300Ngcm
2、简化最终结果 主矢 FR 250N 方向： =36.9°
主矩 M A 300N gcm
y
P2
P1
MA B
作用在刚体上的力,可以向刚体内任一点平移,但必须同时附加一 力偶,这个附加力偶的矩等于原来的力对新作用点的矩。
对力的平移定理的几点说明
1.当力平移时，力的大小、方向都不改变，但附加力偶的矩的大小 与正负一般要随指定B点的位置的不同而不同。
2.力的平移的过程是可逆的，由此可得重要结论： 作用在同一平面内的一个力和一个力偶，也可以简化为作用于
F2′
M1 M O (F1)
M 2 MO (F2 )
x LL
M n MO (Fn )
平面任意力系 向一点简化 平面汇交力系+平面力偶系
平面汇交力系可以合成为一个作用于点O的力，用矢量表示为
F'R F'1 F'2 L F'n F1 F2 L Fn Fi
3. 平面任意力系的简化结果分析
1. 平面任意力系简化为一个力偶的情形 如果力系的主矢等于零，而主矩不等于零，即 F'R= 0 ，MO ≠ 0
则原力系合成为合力偶。合力偶矩为 MO=∑MO(Fi )
根据力偶的性质（力偶矩与矩心的选择无关），易知，此时主矩与简 化中心选择无关。
2. 平面任意力系简化为一个合力的情形·合力矩定理 (1)如果力系的主矢不等于零，而主矩等于零，即 F'R ≠ 0 ，MO = 0
合力FR的作用线到简化中心O的距离d 为
d
MO FR '
O d
FR O′
从图中可以看出 由主矩的定义知
MO (FR ) FRd MO
MO MO (Fi )
所以
MO (FR ) MO (Fi )
平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩，等于力系中各力对
同一点的矩的代数和。这就是平面任意力系的合力矩定理。
一物体的一端完全固定在另一物体上，这种约束称为固定端约束。
A
A
FA A MA
MA
FAy FAx
A
几点说明
①认为Fi这群力在同一平面内； ②将Fi向A点简化得一力和一力偶； ③FA方向不定，可用正交分力FAx, FAy表示； ④FAx，FAy，MA为固定端约束反力； ⑤FAx, FAy限制物体平动，MA限制物体转动。
C 30° x
O
3m
所以，主矢的大小为
FR (F'Rx )2 (F'Ry )2 4.662kN
y
主矢方向
cos(F'R , i)
F'Rx FR
0.986
(F'R , i) 9.5
A
cos(F'R ,
j)
F'Ry FR
0.165
2、求主矩MO
(F'R , i) 80.5
称为原力系的主矢，主矢与简化中心的选择无关。
附加力偶系可以合成为一个力偶，其力偶矩为
MO M1 M2 L Mn MO (F1) MO (F2 ) L MO (Fn ) MO (Fi )
称为原力系对简化中心O的主矩，主矩与简化中心的选择有关。
结论：
平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一个力偶，这 个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O ；这力偶的矩等于该力系 对简化中心O的主矩。主矢与简化中心位置无关，而主矩一般与简化中心 位置有关。
平面任意力系的简化
1. 力的平移定理 2. 平面任意力系向作用面内一点简化·主矢与主矩 3. 平面任意力系的简化结果分析
平面任意力系的简化
各力的作用线在同一平面内且任意分布的力系称为平面任意力系。
1. 力的平移定理
F′
B
d
F
＝
F″
B
d
F
＝
A
A
F′ MB
A
F' F'' F M Fd M B (F )
2、力系简化最后结果。
y
解：1、建立如图坐标系
P1
F'Rx Fx P3 200N
A
P2
FR
4
B
6 3C
F'Ry Fy P1 P2 100 50 150N
P3 x
∴主矢 FR (F'Rx )2 (F'Ry )2 2002 1502 250N
A
最终结果 合力
大小： FR FR 250N 方向: =36.9°
在A点左还是右？
位置图示： d M A 300 1.2cm FR 250
FR FR
C
P3 x
【例2】在长方形平板的O，A，B，C点上分别作用着有四个力：F1=1kN，
F2=2kN，F3=F4=3kN（如图），试求以上四个力构成的力系对O点的简化
此时，简化中心恰好选在力系合力的作用线上，显然，F'R就是原力系 的合力。
(2)如果力系的主矢和主矩都不等于零，即 F'R ≠ 0 ，MO ≠ 0
此时，原力系可进一步简化成只剩下作用于O '点的一个力 ，该力称为 原力系的合力。如图所示
FR′
MO
O
O′
FR′
FR
O
O′
d
F'R F''R FR FR″
FR′
MO
O
O′
FR′
FR
O
O′
d
FR
O
O′
d
FR″
3. 平面任意力系平衡的情形 如果力系的主矢和主矩都等于零，即 F'R= 0 ，MO = 0
则原力系是平衡力系，物体在该力系作用下处于平衡状态。
【例1】图示力系，已知：P1=100N, P2=50N, P3=200N,图中距离单位：cm。 求：1、力系主矢及对A点之矩？
主矢的解析表达式为
F'R F'Rx + F'Ry Fxi Fy j
主矢FR'的大小及方向余弦为
FR ( Fx )2 ( Fy )2
cos(F'R ,
i)
Fx FR
cos(F'R
,
j)
Fy FR
主矩的大小为
MO MO (Fi )
实例 分析
固定端约束
MO
O
F'R FR
MO MO (Fi )
F2 cos 60 g3 F3g2 F4 sin 30 g3 0.5kN gm
3、最后合成结果
由于主矢和主矩都不为零，所以最后合成结果是一个合力FR。
合力FR到O点的距离 d
MO FR
0.11m
B
x C
结果，以及该力系的最后合成结果。
y
解：1、求主矢F'R，建立如图坐标系Oxy
F2
F'Rx FxA 60°B NhomakorabeaF3
F2 cos 60 F3 F4 cos 30
2m
4.598kN
F1
F4
F'Ry Fy
F1 F2 sin 60 F4 sin 30 0.768kN