数学模型与算法

• 常微分方程的解法
只有线性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函 数时，才可以肯定得到这样的解，而绝大多数变系数方程、 非线性方程都是所谓“解不出来”的 数值解法：欧拉方法、龙格——库塔方法 matlab符号运算命令dsolve算解析解
• 差分方程模型
所谓差分方程就是随时间变化的离散数据前后数据的关系 它的解法和常微分方程解法一模一样 通解、特解 Z变换
各种物理性质的定常（即不随时间变化）过程，都可用椭圆 型方程来描述。其最典型、最简单的形式是泊松(Poisson) 方程： 带有稳定热源或内部无热源的稳定温度场的温度分布，不可 压缩流体的稳定无旋流动及静电场的电势：
热传导过程，气体扩散现Leabharlann Baidu及电磁场的传播等随时间变化的 非定常物理问题：
一维振动与波动问题：
• 马氏链模型
定义：系统未来时刻的情况只与现在有关，而与过去的历史 无直接关系。 特殊转移矩阵：正则阵，吸收链 应用：应用马尔可夫链的计算方法进行马尔可夫分析，主要 目的是根据某些变量现在的情况及其变动趋向，来预测它 在未来某特定区间可能产生的变动，作为提供某种决策的 依据。
• 神经网络模型
• 偏微分方程的数值解
• 数据的统计描述和分析
定义：研究的对象是受随机因素影响的数据的科学 内容：统计描述、参数估计、假设检验 实例：是否有显著区别，是否提高
• 方差分析
定义：用数理统计分析试验结果、鉴别各因素对结果影响程 度的方法称为方差分析 类别：单因素方差分析（均衡数据，非均衡数据，多重比 较），双因素方差分析（单独影响和交互影响），正交试 验
• 对策论
1、社会及经济的发展带来了人与人之间或团体之间的竞争及矛盾， 应用科学的方法来解决这样的问题。 2、定义：对策论亦称竞赛论或博弈论。是研究具有斗争或竞争性 质现象的数学理论和方法。（研究对策行为中斗争各方是否存 在着最合理的行动方案，以及如何找到这个合理的行动方案的 数学理论和方法。） 3、理论：零和对策，稳定解的条件，纯策略，混合策略，线性规 划解；二人非常数和对策 4、实例：轰炸机和战斗机……
inf 500 inf 0 650 inf inf inf inf 550 650 0 400 inf inf inf inf inf inf inf inf inf 400 inf inf 0 450 450 inf inf inf 450 0 inf 350
1550 1250 950 500 1200 0 650 1050 1500 900 900 1050 1150 550 650 0 400 850 1050 1250 1400 1550 900 1050 400 0 450 600 800 950 1400 450 1500 850 450 0 250 550 850 1300 600 1800 1150 800 350
• 动态规划
把全过程转化为一系列结构相似的子问题 定义：多阶段决策过程最优化 方法：逆序解法，顺序解法
• 图与网络模型
定义：可以用图或网络结构来描述的优化问题 算法：迪克斯特拉算法，Floyd算法……
0 300 400 inf inf A1 inf inf inf inf inf inf 300 0 300 inf inf 350 inf inf inf 400 300 0 300 inf 350 inf inf inf inf inf 300 0 450 500 inf inf inf 450 0 inf inf 350 350 500 inf 0 inf inf inf inf 500 inf inf inf inf inf inf 550 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 450 inf 250 inf inf inf inf inf inf inf 350 0
• 层次分析法
定义：对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法， 它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。 步骤：建立递阶层次结构模型；构造出各层次中的所有判断矩阵； 层次单排序及一致性检验；层次总排序及一致性检验。
• 插值与拟合
1、插值：拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插值、 Hermite 插值、三次样条插值和B样条函数插值 2、拟合：最小二乘拟合
0 300 400 700 1150 A10 650 1650 1200 1350 900 550 300 0 300 600 1050 350 400 300 0 300 750 350 700 600 300 0 450 500 1150 1050 750 450 0 950 650 350 350 500 950 0 1650 1550 1250 950 500 1200 1200 900 900 1050 1150 550 1350 1050 1250 1400 1550 900 900 600 800 950 1400 450 550 250 550 850 1300 600 1800 1150 800 350 0
• 插值与拟合
1、插值：拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插值、 Hermite 插值、三次样条插值和B样条函数插值 2、拟合：最小二乘拟合
• 数据的统计描述和分析
定义：研究的对象是受随机因素影响的数据的科学 内容：统计描述、参数估计、假设检验 实例：是否有显著区别，是否提高
• 方差分析
定义：用数理统计分析试验结果、鉴别各因素对结果影响程 度的方法称为方差分析 类别：单因素方差分析（均衡数据，非均衡数据，多重比 较），双因素方差分析（单独影响和交互影响），正交试 验
数学模型与算法
概述
342818 3435 2016.09.28
• 线性规划
解法：图解法、MATLAB、lingo 数值解法：单纯形法，大M法，两阶段法
• 整数规划
定义：部分变量限定为整数 整数规划用matlab求解都需要自己编写算法，lingo不需要。
算法：分枝定界法、蒙特卡洛算法（随机取样法）、隐枚举 法…… 0-1规划指派问题（最小值）：
inf inf 250 inf
• 排队论模型
1、概念：性态问题，即研究各种排队系统的概率规律性， 主要是研究队长分布、等待时间分布和忙期分布等，包括 了瞬态和稳态两种情形；最优化问题，又分静态最优和动 态最优，前者指最优设计，后者指现有排队系统的最优运 营。 2、前提：排队系统的统计推断，即判断一个给定的排队系 统符合于哪种模型，以便根据排队理论进行分析研究。 3、典型排队模型：指数分布，泊松分布，生灭过程，等待 制排队模型（单服务台模型、多服务台模型），损失制排 队模型，混合制排队模型，有限源排队模型，服务率或到 达率依赖状态的排队模型，非生灭过程排队模型，爱尔朗 （Erlang）排队模型 4、排队系统的优化：M/M/1模型中的最优服务率μ，M/M/s 模型中的最优的服务台数s*
• 回归分析
1、定义：简单地说，回归分析就是对拟合问题作的统计分 析。 2、应用：建立因变量y与自变量x1,x2,…,xm之间的回归模型 （经验公式）；对回归模型的可信度进行检验；判断每个 自变量xi(i=1,2,…,m)对y的影响是否显著；诊断回归模型是 否适合这组数据；利用回归模型对y进行预报或控制。 3、类型：一元线性回归（最小二乘估计），多元线性回归 （和一元线性回归差不多），多项式回归，非线性回归， 逐步回归 4、F检验，t检验
• 现代优化算法
1、模拟退火算法 当搜索最优解的迭代过程中，如果新的可行解的目标函数值 大于上一个解的目标函数值，新的解以一定概率取代上一 个解。 2、粒子群算法 模拟鸟群寻找食物的行为，选定一些可行解（粒子）模拟鸟 群。每个粒子以两个方向合成的速度来更新自己，一个是 粒子本身找到的最优解方向，一个是整个粒子群目前找到 鱼群算法 的最优解方向 3、遗传算法 将可行解以一定规则编码，模拟生物遗传的方式更新可行解。 有交叉、变异等过程。优化的机理是：适者生存，那些较 优的“基因”能被保留，较差的组成部分“基因”会被淘 汰，最后迭代到基本不变时即视为最优解。 蚁群算法、鱼群算法
16 17 24 17
15 21 22 19
19 19 18 22
22 18 17 16
1 0 7 1
0 4 5 3
3 1 0 5
7 1 0 0
• 非线性规划
定义：目标函数或约束条件中包含非线性函数。可行解可以 在任意点达到 方法：MATLAB函数，迭代法。 凸规划的可行域为凸集，其局部最优解即为全局最优解 无约束问题方法：一维搜索法（试探法、斐波那契法、0.618 法、插值法、切线法），多维非线性规划（梯度法、牛顿 法、变尺度法、最小二乘法） 有约束问题的方法：消元法、拉格朗日乘子法，罚函数法