高考数学总复习经典测试题解析版12.7 正态分布

12.7 正态分布

一、选择题

1．已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (2≤X ≤4)＝0.6826，则P (X >4)＝( )

A ．0.1588

B ．0.1587

C ．0.1586

D ．0.1585 解析 通过正态分布对称性及已知条件得

P(X ＞4)＝1－2＝1－0.6826

2

＝0.1587，故选B .

答案 B

2. 设随机变量ξ服从正态分布 ),1(2σN ，则函数2()2f x x x ξ=++不存在零点的概率为( ) A.41 B. 31 C.21 D.32 解析 函数2()2f x x x ξ=++不存在零点,则440,1,ξξ∆=-<>

因为2~(1,)N ξσ，所以1,μ=()11.2

P ξ>=

答案 C

3．以Φ(x )表示标准正态总体在区间(－∞，x )内取值的概率，若随机变量ξ

服从正态分布N (μ，σ2)，则概率P (|ξ－μ|＜σ)等于( )． A ．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ) B ．Φ(1)－Φ(－1) C ．Φ⎝

⎛⎭

⎪⎫

1－μσ D ．2Φ(μ＋σ) 解析 由题意得，P (|ξ－μ|＜σ)＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫

|ξ－μσ|＜1＝Φ(1)－Φ(－1)． 答案 B

4．已知随机变量X ～N (3,22)，若X ＝2η＋3，则D (η)等于( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 解析 由X ＝2η＋3，得D (X )＝4D (η)，而D (X )＝σ2＝4，∴D (η)＝1. 答案 B

5．标准正态总体在区间(－3,3)内取值的概率为( )．

A ．0.998 7

B ．0.997 4

C ．0.944

D ．0.841 3 解析 标准正态分布N (0,1)，σ＝1，区间(－3,3)，即(－3σ，3σ)，概率

P ＝0.997 4.

答案 B

6．已知三个正态分布密度函数φi (x )＝1

2πσi e －

x －μi 2

2σ

2

i

(x ∈R ，i ＝1,2,3)

的图象如图所示，则( )．

A ．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ 3

B ．μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3

C ．μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ

3

D ．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ 3

解析 正态分布密度函数φ2(x )和φ3(x )的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x )的对称轴的横坐标值比φ1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1＜μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x )和φ2(x )的图象一样“瘦高”，φ3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2＜σ3. 答案 D

7．在正态分布N ⎝ ⎛

⎭⎪⎫0，19中，数值前在(－∞，－1)∪(1，＋∞)内的概率为( )．

A ．0.097

B ．0.046

C ．0.03

D ．0.0026 解析 ∵μ＝0，σ＝1

3

∴P (X ＜1或x ＞1)＝1－P (－1≤x ≤1)＝1－P (μ－3σ≤X ≤μ＋3σ)＝1－0.997 4＝0.002 6. 答案 D 二、填空题

8. 随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，已知P (ξ＜0)＝0.3，则P (ξ＜2)＝________.

答案 0.7

9．某班有50名学生，一次考试后数学成绩ξ(ξ∈N )服从正态分布N (100,102)，已知P (90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为

________．

解析由题意知，P(ξ＞110)＝1－2Pξ

2

＝0.2，∴该班学生数学

成绩在110分以上的人数为0.2×50＝10.

答案10

10．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若X在(0,1)内取值的概率为0.4，则X在(0,2)内取值的概率为________．

解析∵X服从正态分布(1，σ2)，∴X在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同均为0.4.∴X在(0,2)内取值概率为0.4＋0.4＝0.8

答案0.8

11．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，记Ф(x)＝P(ξ＜x)，给出下列结论：①Φ(0)＝0.5；②Φ(x)＝1－Φ(－x)；③P(|ξ|＜2)＝2Φ(2)－1.

则正确结论的序号是________．

答案①②③

12．商场经营的某种包装大米的质量(单位：kg)服从正态分布X～N(10,0.12)，任选一袋这种大米，质量在9.8～10.2 kg的概率是________．

解析P(9.8

答案0.954 4

三、解答题

13．某人乘车从A地到B地，所需时间(分钟)服从正态分布N(30,100)，求此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率．

解析由μ＝30，σ＝10，P(μ－σ

此人在20分钟至40分钟到达目的地的概率为0.682 6，

又由于P(μ－2σ

所以此人在10分钟至20分钟和40分钟至50分钟到达目的地的概率为

0.954 4－0.682 6＝0.271 8，由正态曲线关于直线x＝30对称得此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.135 9.

14．若一批白炽灯共有10 000只，其光通量X服从正态分布，其概率密度函数

是φ

μ，σ(x)＝

1

62π

e－

x－2

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，x∈(－∞，＋∞)，试求光通量在下列范