信号分析25卷积的性质

X
第
系统级(串)联(从系统的观点看卷积结合律)
5 页
f ( t ) h 1 ( t ) h 2 ( t ) f ( t ) [ h 1 ( t ) h 2 ( t )] f(t)h(t) 系统级联，框图表示：
f(t)
h 1 (t)
h 2 (t)
g (t)
f(t) h 1 (t)
f(t) h 1 (t) h 2 (t)
7 页
g ( 1 ) ( t) f( t) h ( 1 ) ( t) f( 1 ) ( t) h ( t)
意义:卷积后积分和先对其任一积分再卷积的结果相同.
推广： g (n )( t) f( t) h (n )( t) f(n )( t) h ( t)
微分性质积分性质联合使用
g ( n m ) ( t ) f ( n ) ( t ) h ( m ) ( t ) f ( m ) ( t ) h ( n ) ( t )
微分n次， 积分m次
g(t)f(n)(t)h (n)(t)
m=n, 微分次数＝
f 1 ( t) f 2 ( t) f 1 ( t) f 2 ( 1 ) ( t) 积分次数 X
求系统零状态响应的另一方法
第 8
页
yzs(t) f(t)h(t) yzs(t) f(t)h(1)(t)
yz(st)f(t)s(t)
*
t1
δ(t-t0)
(1) =
t0 δ(t-t2)
=
t2
t0 t1X+t2
第
结论2：
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Fra Baidu bibliotek
如f(t) 果 f1 (t)f： 2 (t) 则f1 (t： t1 )f2 (t t2 )f1 (t t2 )f2 (t t1 )f(t t1 t2 )
结论3： f(t)(t)f'(t)
结论4： 结论5：
f(t)
h(t) g(t) h t h 1 (t) h 2 (t)
结论：时域中，子系统级联时，总的冲激响应等 于子系统冲激响应的卷积。
X
二．微分积分性质
第 6
页
已知 g(t)f(t)h(t)
则： g ( t) f ( t) h ( t) f ( t) h ( t) 微分性
g (t)f(t) h (t)f()h (t )d
两端对t 求导
交换律
d g ( t) d h ( t ) d f( t )
f()
d
h () d
d t
d t
d t
即
g ( t) f ( t) h ( t) f ( t) h ( t)
意义:卷积后求导和先对其任一求导再卷积的结果相同.
X
第
积分性 已:g 知 (t)f(t)h(t)
线性组合.
X
注意
第
f1(t)f2(t)f1(t)f2(1)(t)成
立
条 9 页
因 t 为 d fd 1t(t)d f1(t)f1() 即 , 只 f1(有 ) 0 时 当 有f1(t)tdfd1t(t)
例 sg ： t nt
用微积分性质
sgn(t)
(2)
导数相同的原信
被求导信号为
号唯一吗?
有始信号
t
f(t)(t) f()d
(t)(t)t(t)
X
第
结论6：
13 页
利用卷积积分的重现性可表示一个周期信号
系统并联，框图表示：
h(t)
f (t) h1(t)
f (t)
f (t) h2(t)
f(t)h1(t)
g(t) f(t)h1(t)f(t)h2(t) f(t)h(t) f(t)h2(t)
f(t)
h(t)
g(t) h t h 1 t h 2 t
结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于
各子系统冲激响应之和。
系统并联运算
3．结合律
f ( t ) f 1 ( t ) f 2 ( t ) f ( t ) [ f 1 ( t ) f 2 ( t )]
系统级联运算
X
第
证明交换律
3
页
f1tf2t f1()f2(t)d
令t，则 : : ， dd
f1tf2t f2()f1(t)df2tf1t
第 1 页
第五节 卷积积分的性质
•运算规律 •微积分性质 •与冲激函数卷积(重现性)
X
一．运算规律(代数运算)
第 2
页
1．交换律
f1 (t) f2 (t) f2 (t) f1 (t)
2．分配律
f 1 ( t ) [ f 2 ( t ) f 3 ( t ) f ] 1 ( t ) f 2 ( t ) f 1 ( t ) f 3 ( t )
sgn(t) (1) (t)
(1)(t)
2
1
Ot
O
t
O
t
直接 sgn(t)
(t)
f(t)(1)(t)sg(n1)(t)
1
(1)
(t)2(t)2(t)
错误原因：
O
t
O
t
t dsgnt()
无始信号
dt sgnt()
1正f(t确 )sgt)n ((t)sg t)nd(t
X
第
例:激励f(t)=1,系统的冲激响应为h(t)=e-tε(t),
求系10 页
统的零状态响应
解:实用计算法:
y z( s t) f(t) h (t) 1 e t (t)
e(t)(t )d
t
e(t)d ete 1正确
用卷积微积分性:
y z( t s ) f( t) h ( t) f( t) h ( 1 )( t) 0错误结果
X
三.与冲激函数的卷积(重现性)
结论: yzs (t)是激励的导数与系统阶跃响应的卷积.
信号的分解: f (t) f (t) (t) f (t) f (t) (1) (t)
f (t) f (t) (t) f ( ) (t )d
yzs (t) f ( ) (t )d
说明:信号还可分解一系列接入时间不同幅值不同的 ε(t
第 11
页
f t t f t d f t d f t
结论1：
f(t)
δ(t)
f(t)
f(t)(t)f(t)
* (1) =
f(t)
f(t)(t t0 ) f(t t0 )
*
f(t-t1)
f( t t1 )( t t2 ) f( t t1 t2 )
•卷积结果与交换两函数的次序无关。因为倒置 f1 与倒置 f2对乘积的积分面积不影响,即与t无关。
•一般选简单函数为移动函数。如矩形脉冲或(t)。
X
第
系统并联(从系统的观点看卷积分配律)
4 页
f ( t ) [ h 1 ( t ) h 2 ( t ) f ] ( t ) h 1 ( t ) f ( t ) h 2 ( t )