应用弹塑性力学 李同林 第四章(1)

第四章弹性变形·塑性变形·本构方程

当我们要确定物体变形时其内部的应力分布和变形规律时，单从静力平衡条件去研究是解决不了问题的。因此，弹塑性力学研究的问题大多是静不定问题。要使静不定问题得到解答，就必须从静力平衡、几何变形和物性关系三个方面来进行研究。考虑这三个方面，就可以构成三类方程，即力学方程、几何方程和物性方程。综合求解这三类方程，同时再满足具体问题的边界条件，从理论上讲就可使问题得到解答。

在第二、三两章中，我们已经分别从静力学和几何学两方面研究了受力物体所应满足的各种方程，即平衡微分方程式(2-44)和几何方程式(3-2)等。所以，现在的问题是，必须考虑物体的物性，也即考虑物体变形时应力和应变间的关系。应力应变关系在力学中常称之为本构关系或本构方程。本章将介绍物体产生变形时的弹性和塑性应力应变关系。

大量实验证实，应力和应变之间的关系是相辅相成的，有应力就会有应变，而有应变就会有应力。对于每一种具体的固体材料，在一定条件下，应力和应变之间有着确定的关系，这种关系反映了材料客观固有的特性。下面我们以在材料力学所熟知的典型塑性金属材料低碳钢轴向拉伸试验所得的应力应变曲线(如图4-1所示)为例来说明和总结固体材料产生弹性变形和塑性变形的特点，并由此说明塑性应力应变关系比弹性应力应变关系要复杂的多。

在图4-1中，OA段为比例变形阶段。在这一阶段中，应力和应变之间的关系是线性的，即可用虎克定律来表示:

σ=Eε(4-1)

式中E为弹性模量，在弹性变形过程中，E为常数。A点对应的应力称为比例极限，记作σP。由A点到B 点，已经不能用线性关系来表示，但变形仍是弹性的。B点对应的应力称为弹性极限，记作σr。对于许多材料，A点到B点的间距很小，也即σP与σr数值非常接近，通常并不加以区分，而均以σr表示，并认为当应力小于σr时，应力和应变之间的关系满足式(4-1)。在当应力小于σr时，逐渐卸去载荷，随着应力的减小，应变也渐渐消失，最终物体变形完全得以恢复。若重新加载则应力应变关系将沿由O到B的原路径重现。BF段称为屈服阶段。C点和D点对应的应力分别称为材料的上屈服极限和下屈服极限。应力到达D点时，材料开始屈服。一般来说，上屈服极限受外界因素的影响较大，如试件截面形状、大小、加载速率等，都对它有影响。因此在实际应用中一般都采用下屈服极限作为材料的屈服极限，并记作σs。有些材料的屈服流动阶段是很长的，应变值可以达到0.01。由E点开始，材料出现了强化现象，即试件只有在应力增加时，应变才能增加。如果在材料的屈服阶段或强化阶段内卸去载荷，则应力应变不会顺原路径返回，而是沿着一条平行于OA线的MO'''(或HO'、KO'')路径返回。这说明材料虽然产生了塑性变形，但它的弹性性质却并没有变化。如果在点O'''(或O'、O'')重新再加载，则应力应变曲线仍将沿着O'''MFG (或O'HEFG、O''KFG)变化，在M点(或H点、K点)材料重新进入塑性变形阶段。显然，这就相当于提高了材料的屈服极限。经过卸载又加载，使材料的屈服极限升高，塑性降低，增加了材料抵抗变形能力的现象，称为强化(或硬化)。

显然，我们注意到材料变形一旦进人塑性变形阶段，应力和应变就不再具有一一对应的关系。在F点之前，试件处于均匀应变状态，到达F点后，试件往往开始出现颈缩现象。如果再继续加载则变形将主要集中于颈缩区进行，F点对应的应力是材料强化阶段的最大应力，称为强度极限，用Qa表示。由于颈缩区的截面逐渐缩小，所以试件很快受拉被剪断。试件在断裂之前。一般产生有较大的塑性变形。韧性较好的低碳钢材料的应力应变曲线所反映的变形特征既典型又具有代表性。这也为大量固体材料的力学试验结果所证实。综上所述.并对大量固体材料力学试验资料综合分析知，固体材料弹性变形具有以下特点:

(1)弹性变形是可逆的。物体在变形过程中，外力所做的功以能量（应变能)的形式贮存在物体内，当卸载时，弹性应变能将全部释放出来，物体的变形得以完全恢复。

(2)无论材料是处于单向应力状态，还是复杂应力状态，在线弹性变形阶段，应力和应变成线性比例关系。

(3)对材料加载或卸载，其应力应变曲线路径相同。因此，应力与应变是一一对应的关系。

而固体材料的塑性变形具有以下特点:

(l)塑性变形不可恢复，所以外力功不可逆。塑性变形的产生过程，必定要消耗能量(称耗散能或形变功)。

(2)在塑性变形阶段，应力和应变关系是非线性的。因此，不能应用叠加原理。又因为加载与卸载的规律不同，应力与应变也不再存在一一对应的关系，也即应力与相应的应变不能唯一地确定，而应当考虑到加载的路径(即加载历史)。

(3)当受力固体产生塑性变形时，将同时存在有产生弹性变形的弹性区域和产生塑性变形的塑性区域。并且随着载荷的变化，两区域的分界面也会产生变化。

但判断物体中某一点是否由弹性状态转变到塑性状态，必然要满足一定的条件(或判据)，这一条件就称为屈服条件。在分析物体的塑性变形时，材料的屈服条件是非常重要的关系式(详见§4-4)。

无疑，在弹性区，材料在加载或卸载的过程中都服从应力应变成线性比例关系，即广义虎克定律(详见§4-3)。但在塑性区，加载过程服从塑性规律，而在卸载过程中则服从弹性的虎克定律。为了考虑材料的变形历史、应研究应力和应变增量之间的关系，以这种关系为基础的理论，称为增量理论。在比例变形条件下，通过对增量理论的应力和应变增量关系的积分，就可以得到全量理论的应力和应变关系。增量形式的应力与应变增量的关系和全量形式的应力应变关系都是非线性的关系式，它们就是塑性变形的应力应变关系(详见§4-7)。

此外，若对材料加载，应力超过屈服极限后，卸去载荷，然后再反向加载(即由轴向拉伸改为压缩)，则这时产生的新的屈服极限将有所降低，如图4-2所示，σs''<σs'且σs''<σs。这种具有强化性质的材料随着塑性变形的增加，屈服极限在一个方向上提高，而在相反方向上降低的效应，是德国的包辛格(J. Bauschinger)首先发现的，故称之为包辛格效应。包辛格效应使材料具有各向异性性质。由于这一效应的数学描述比较复杂，一般塑性理论(在本教程)中都忽略它的影响。