八年级数学上阶段方法技巧训练：分式求值的方法高品质版

2x
的值．
方法 5 设参数求值
7．已知 x = y = z 2 34
x 2－ y 2＋ 2z 2 ≠0，求 xy＋ yz＋ xz
的值．
解：设 x = y = z = k ≠0，则x＝2k，y＝3k， 2 34
z＝4k. 所以 x x 2 y － ＋ y y 2 z ＋ ＋ 2 x zz2=2 (k 2k 贩 )3 2 k － ＋ ( 3 3 k k)24 ＋ k＋ 2·2 ( k 4k ?)4 2 k
x2 ＋ y2 ＋ z2 y＋z z＋x x＋y
＋x＋y＋z＝x＋y＋z.
所以
x2 ＋y2 ＋z2 y＋z x＋z x＋y
=
0.
条件分式的求值，如需对已知条件或所求条件 分式变形，必须依据题目自身的特点，这样才 能收到事半功倍的效果．条件分式的求值问题 体现了数学中的转化思想．
同类变式
6．已知实数x满足4x2－4x＋1＝0，求2x＋ 1
同类变式
4．已知x＋y＝12，xy＝9，求
x 2＋ 3 xy＋ y 2 x 2 y＋ xy 2
的值．
方法 4 巧变形法求值
5．已知 y＋ xz＋z＋ yx＋x＋ zy=1，且x＋y＋z≠0，
求
x2 ＋ y2 ＋ z2 y＋z x＋z x＋y
的值．
解：因为x＋y＋z≠0，
所以给已知等式的两边同时乘(x＋y＋z)，
27k 2 27
=
=.
26k 2 26
随着年岁的叠加，我们会渐渐发现：越是有智慧的人，越是谦虚，因为昂头的只是稗子，低头的才是稻子；越是富有的人，越是高贵，因为真正的富裕是灵魂上的高贵以 及精神世界的富足；越是优秀的人，越是努力，因为优秀从来不是与生俱来，从来不是一蹴而就。随着沧桑的累积，我们也会慢慢懂得：成功的路，其实并不拥挤，因为 能够坚持到底的人实在太少；所有优秀的人，其实就是活得很努力的人，所谓的胜利，其实最后就是自身价值观的胜利。人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生， 只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；生活，只有将尘世况味种种尝遍，才能熬出头。这世间，从来没有最好，只有更好。每天，总想要努力醒得比太阳还早，因为总 觉得世间万物，太阳是最能赐人力量和能量的。每当面对喷薄的日出，心中的太阳随之冉冉腾起，生命之火熊熊燃烧，生活的热情就会光芒四射。我真的难以想象，那些 从来不早起的人，一生到底能够看到几回日升？那些从来没有良好习惯的人，活到最后到底该是多么的遗憾与愧疚？曾国藩说：早晨不起，误一天的事；幼时不学，误一 生的事。尼采也说：每一个不曾起舞的日子，都是对生命的辜负。光阴易逝，岂容我待？越是努力的人，越是没有时间抱怨，越是没有工夫颓丧。每当走在黎明的曙光里， 看到那些兢兢业业清洁城市的“美容师”，我就会由衷地欣赏并在心底赞叹他们，因为他们活得很努力很认真。每当看见那些奔跑在朝霞绚烂里的晨练者，我就会从心里 为他们竖起大拇指，因为他们给自己力量的同时，也赠予他人能量。我总觉得：你可以不优秀，但你必须有认真的态度；你可以不成功，但你必须努力。这个世界上，从 来没有谁比谁更优秀，只有谁比谁更努力。我也始终认为：一个活得很努力的人，自带光芒万丈；一个人认真的样子，比任何时候都要美好；一个能够自律自控的人，他 的人生也就成功了大半。世间每一种的好，从来都只为懂得努力的人盛装而来。有时候，我真的感觉，人生的另一个名字应该叫做努力，努力了就会无悔，努力了就会无 愧；生活的另一种说法应该叫做煎熬，熬过了漫漫黑夜，天就亮了，熬过了萧萧冬日，春天就来了。人生不易，越努力越幸运；余生不长，越珍惜越精彩。人生，是一本 太仓促的书，越认真越深刻；生命，是一条无名的河，越往前越深邃。愿你不要为已逝的年华叹息，不要为前路的茫茫而裹足不前愿你相信所有的坚持总能奏响黎明的号 角，所有的努力总能孕育硕果的盛驾光临。愿你坚信越是成功的人越是不允许自己颓废散漫，越是优秀的人越是努力……生活中很多时候，我们遇到一些复杂的情况，会 很容易被眼前的障碍所蒙蔽，找不到解决问题的方法。这时候，如果能从当前的环境脱离出来，从一个新角度去解决问题，也许就会柳暗花明。一个土豪，每次出门都担 心家中被盗，想买只狼狗栓门前护院，但又不想雇人喂狗浪费银两。苦思良久后终得一法：每次出门前把WiFi修改成无密码，然后放心出门每次回来都能看到十几个人捧 着手机蹲在自家门口，从此无忧。护院，未必一定要养狗换个角度想问题，结果大不同。一位大爷到菜市场买菜，挑了3个西红柿到到秤盘，摊主秤了下：“一斤半3块 7。”大爷：“做汤不用那么多。”去掉了最大的西红柿。摊主:“一斤二两，3块。”正当身边人想提醒大爷注意秤时，大爷从容的掏出了七毛钱，拿起刚刚去掉的那个大 的西红柿，潇洒地换种算法，独辟蹊径，你会发现解决问题的另一个方法。生活中，我们特别容易陷入非A即B的思维死角，但其实，遭遇两难困境时换个角度思考，也许 就会明白：路的旁边还有路。一个鱼塘新开张，钓费100块。钓了一整天没钓到鱼，老板说凡是没钓到的就送一只鸡。很多人都去了，回来的时候每人拎着一只鸡，大家 都很高兴！觉得老板很够意思。后来，钓鱼场看门大爷告诉大家，老板本来就是个养鸡专业户，这鱼塘本来就没鱼。巧妙的去库存，还让顾客心甘情愿买单。新时代，做 营销，必须打破传统思维。孩子不愿意做爸爸留的课外作业，于是爸爸灵机一动说：儿子，我来做作业，你来检查如何？孩子高兴的答应了，并且把爸爸的“作业”认真 的检查了一遍，还列出算式给爸爸讲解了一遍不过他可能怎么也不明白为什么爸爸所有作业都做错了。巧妙转换角色，后退一步，有时候是另一种前进。一个博士群里有 人提问：一滴水从很高很高的地方自由落体下来，砸到人会不会砸伤？或砸死？群里一下就热闹起来，各种公式，各种假设，各种阻力，重力，加速度的计算，足足讨论 了近一个小时 后来，一个不小心进错群的人默默问了一句：你们没有淋过雨吗 人们常常容易被日常思维所禁锢，而忘却了最简单也是最直接的路有两个年轻人，大学毕
方法 3 整体代入法求值
3．已知x2－5x＋1＝0，求
x 4＋
1 x4
的值．
解：由x2－5x＋1＝0得x≠0，∴x＋ 1 ＝5. x
∴x4＋
1 x
4
＝(x2＋ x1 2
)2－2
＝[(x＋ 1 )2－2]2－2
x
＝527.
在求解有关分式中两数(或两式)的平方和问题 时，可考虑运用完全平方公式进行解答．
得 x(x ＋ y＋ z)＋ y(x ＋ y＋ z)＋ z(x ＋ y＋ z)
y＋ z
z＋ x
x ＋ y
＝x＋y＋z，
即
x 2＋ x (y ＋ z)＋ y 2＋ y (z ＋ x )＋ z2＋ z(x ＋ y ) y ＋ z y ＋ z z ＋ x z ＋ x x ＋ y x ＋ y
＝x＋y＋z.
所以
习题课 阶段方法技巧训练（二）
专训2 分式求值的方法
分式的求值既突出了式子的化简计算，又考 查了数学方法的运用，在计算中若能根据特点， 灵活选用方法，往往会收到意想不到的效果．常 见的分式求值方法有：设参数求值、活用公式求 值、整体代入法求值、巧变形法求值等．
方法 1 直接代入法求值来自1. 【中考•咸宁】 a， b互为倒数，代数式
a2＋2ab＋b2 a＋b
¸
骣 ççç桫 a1＋1b÷÷÷ 的值为____1____．
原式＝
(a＋ b)2 a＋ b
a＋ b? ab
(a＋ b)2 ab
a＋ bga＋ b=ab,
由a，b互为倒数可得ab＝1，所以原式＝1，故答
案为1.
方法 2 化简求值
2．先化简，再求值：
x2－y2 x2＋2xy＋y2
－x＋y x－y
,
其中x＝1，y＝－3.
解：原式＝
x－ y x＋ y (x－ y)2－ (x＋ y)2 x＋ y- x－ y= (x－ y)(x＋ y)
= - 4 x y ，当x＝1，y＝－3时，原式 x 2－ y 2
＝- 3 .
2
本题考查了分式的化简与求值．正确化简分式 是解题的关键，熟练掌握整式的因式分解是化 简的基础．