三元基本不等式

基本不等式在求最值中的应用与完善

杨亚军

函数的最值是函数这一章节中很重要的部分，它的重要性不仅在题型的多样、方法的灵活上，更主要的是其在实际生活及生产实践中的应用。高考应用题几乎都与最值问题有关,而基本不等式是解决此类实际问题的有力工具.本文着重就基本不等式在求最值中的应用与完善谈一些个人的体会.只有扎实地掌握好基本不等式求最值的基本技能与注意事项，才能更好地去解决实际应用问题。

一、基本不等式的内容及使用要点

1、二元基本不等式：

①a，b∈R时，a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时“=”号成立）；

②a，b≥0时，a+b≥2 （当且仅当a=b时“=”号成立）。

这两个公式的结构完全一致，但适用范围不同。若在非负实数范围之内，两个公式均成立，此时应根据题目的条件和结论选用合适的公式

及公式的变形：ab≤ ，ab≤ 。对不等式ab≤ ，还有更一般的表达式：|ab|≤ 。

由数列知识可知，称为a，b的等差中项，称为a，b的等比中项，故算术平均数与几何平均数的定理又可叙述为：“两个正数

的等比中项不大于它们的等差中项”。

2.三元基本不等式：

当a，b，c>0时，a+b+c≥ ，当且仅当a=b=c时，等号成立，……

乃至n元基本不等式；当a

i >0（i=1，2，…，n）时，a

1

+a

2

+…+a

n

≥

。

二元基本不等式的其它表达形式也应记住：当a>0，b>0时，

≥2，a+ ≥2等。

当字母范围为负实数时，有时可利用转化思想转化为正实数情形，

如a<0时，可得到a+ ≤-2。

基本不等式中的字母a，b可代表多项式。

3.利用基本不等式求函数的最大值或最小值是高中求函数最值的主要方法之一。利用基本不等式求函数最值时，其条件为“一正二定三等”，“一正”指的是在正实数集合内，“二定”指的是解析式各因式的和或积为定值（常数），“三等”指的是等号条件能够成立。

利用基本不等式求函数最值的方法使用范围较广泛，既可适用于已学过的二次函数，又可适用于分式函数，高次函数，无理函数。

利用基本不等式求函数最值时，可能上面的三个条件不一定满足，此时不能认为该函数不存在最值，因为通过化归思想和初等变形手段可以使条件得到满足。常用的初等变形手段有均匀裂项，增减项，配系数等。

在利用基本不等式求最值时，若不能直接得到结论，应考虑与间接法的解题思路连用，如通过解不等式的途径。

一般说来，“见和想积,拆低次,凑积为定值,则和有最小值；

见积想和, 拆高次,凑和为定值,则积有最大值。”

二、基本不等式求最值的应用

例1、已知a>1，0

a b+log

b

a≤-2。

解题思路分析：

由对数函数可知：，log

b

a<0，因此由的结构特点联想到用基本不等式去缩小，但条件显然不满足，应利用相反数的概念去转化。

∵ log

a

b<0

∴ -log

a

b>0

∴≥2 =2

∴ log

a

b+ ≤-2

即 log

a b+log

b

a≤-2

当且仅当，log

a 2b=1，log

a

b=-1时，等号成立，此时

ab=1。

例2、已知x，y，z均为正数，且xyz(x+y+z)=1，求证：(x+y)(y+z)≥2。解题思路分析：

这是一个含条件的不等式的证明，欲证不等式的右边为常数2，联想到二元基本不等式及条件等式中的“1”。下面关键是凑出因式xyz和x+y+z。对因式(x+y)(y+z)展开重组即可。

(x+y)(y+z)=xy+xz+y2+yz=(xy+y2+yz)+xz=y(x+y+z)+xz。

将y(x+y+z)，xz分别看成是两个因式，得用二元基本不等式：

y(x+y+z)+xz=2 =2 =2

当且仅当

时等号成立 例3、（1）已知x>1，求3x+ +1的最小值；

（2）已知x ，y 为正实数，且 =1，求 的最大值；

（3）已知x ，y 为正实数，3x+2y=10，求函数W

的最值； （4）已知x>0，求函数f(x)=4x+

的最小值； （5）已知a>b>0，求函数y=a+ 的最小值；

（6）求函数y=x(10-x)(14-3x)⎪⎭⎫ ⎝

⎛<<3140x 的最大值； （7）求函数y=sin 2θcosθ，θ∈⎪⎭

⎫ ⎝⎛20π,的最值。 解题思路分析：

这一组练习主要介绍在利用基本不等式求最大值或最小值时，为满足“一正二定三等”的条件所涉及的一些变形技巧。

（1） 在分式的位置凑出分母x-1，在3x 后面施加互逆运算：±3 原式=(3x-3)+3+

+1=3(x-1)+ +4≥2 =4

+4 （2）因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤

。同时还

应化简 中y 2前面的系数为

下将x，分别看成两个因式

≤

∴≤

（3）若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，≤ ，本题很简单

≤

否则，这样思考：

条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。

W>0，W2=3x+2y+2 ≤

=10+(3x+2y)=20

∴W≤

（4）函数式为和的形式，故考虑凑积为常数。分母为x的二次，为使积的结果在分式位置上出现x2，应对4x均匀裂项，裂成两项即可。

f(x)=2x+2x+ ≥

（5）本题思路同（1）：

y=(a-b)+b+ ≥

（6）配x项前面系数为4，使得与后两项和式中的x相消

y= (4x)(10-x)(14-3x)≤