计算机工作原理-原码反码补码

定义

●原码

正数的符号位为0,负数的符号位为1,其它位按照一般的方法来表示数的绝对值。

用这样的表示方法得到的就是数的原码。

【例1】当机器字长为8位二进制数时:

X=+1011011 [X]原码=01011011

Y=-1011011 [Y]原码=11011011

[+1]原码=00000001 [-1]原码=10000001

[+127]原码=01111111 [-127]原码=11111111 原码表示的整数范围是:

-(2n-1-1)~+(2n-1-1),其中n为机器字长。

则:8位二进制原码表示的整数范围是-127~+127

16位二进制原码表示的整数范围是-32767~+32767

●反码

对于一个带符号的数来说,正数的反码与其原码相同,负数的反码为其原码除符号位以外的各位按位取反。

【例2】当机器字长为8位二进制数时:

X=+1011011 [X]原码=01011011 [X]反码=01011011

Y=-1011011 [Y]原码=11011011 [Y]反码=10100100

[+1]反码=00000001 [-1]反码=11111110

[+127]反码=01111111 [-127]反码=10000000

负数的反码与负数的原码有很大的区别,反码通常用作求补码过程中的中间形式。

反码表示的整数范围与原码相同。

补码

正数的补码与其原码相同,负数的补码为其反码在最低位加1。

引入补码以后,计算机中的加减运算都可以统一化为补码的加法运算,其符号

位也参与运算。

【例3】(1)X=+1011011 (2)Y=-1011011

(1)根据定义有:[X]原码=01011011 [X]补码=01011011

(2)根据定义有:[Y]原码=11011011 [Y]反码=10100100

[Y]补码=10100101

补码表示的整数范围是-2n-1~+(2n-1-1),其中n为机器字长。

则:8位二进制补码表示的整数范围是-128~+127(-128 表示为10000000,无对应的原码和反码)

16位二进制补码表示的整数范围是-32768~+32767

当运算结果超出这个范围时,就不能正确表示数了,此时称为溢出。

所以补码的设计目的是:

⑴使符号位能与有效值部分一起参加运算,从而简化运算规则.

⑵使减法运算转换为加法运算,进一步简化计算机中运算器的线路设计

●补码与真值之间的转换

正数补码的真值等于补码的本身;负数补码转换为其真值时,将负数补码按位求反,末位加1,即可得到该负数补码对应的真值的绝对值。

【例4】[X]补码=01011001B,[X]补码=11011001B,分别求其真值X。

(1)[X]补码代表的数是正数,其真值:

X=+1011001B

=+(1×26+1×24+1×23+1×20)

=+(64+16+8+1)

=+(89)D

(2)[X]补码代表的数是负数,则真值:

X=-([1011001]求反+1)B

=-(0100110+1)B

=-(0100111)B

=-(1×25+1×22+1×21+1×20)

=-(32+4+2+1)

=-(39)D

●补码加、减运算规则

运算规则

[X+Y]补= [X]补+[Y]补

[X-Y]补= [X]补+[-Y]补

若已知[Y]补,求[-Y]补的方法是:将[Y]补的各位(包括符号位)逐位取反再在最低位加1即可。

例如:[Y]补= 101101 [-Y]补= 010011

溢出判断,一般用双符号位进行判断:

符号位00 表示正数11 表示负数

结果的符号位为01时,称为上溢;为10时,称为下溢

例题:设x=0.1101,y=-0.0111,符号位为双符号位

用补码求x+y,x-y

[x]补+[y]补=00 1101+11 1001=00 0110

[x-y]补=[x]补+[-y]补=00 1101+00 0111=01 0100

结果错误,正溢出

数值在计算机中表示形式为机器数,计算机只能识别0和1,使用的是二进制,而在日常生活中人们使用的是十进制.

数值有正负之分,计算机就用一个数的最高位存放符号(0为正,1为负).这就是机器数的原码了.假设机器能处理的位数为8.即字长为1byte,原码能表示数值的范围为

(-127~-0 +0~127)共256个.

有了数值的表示方法就可以对数进行算术运算.但是很快就发现用带符号位的原码进行乘除运算时结果正确,而在加减运算的时候就出现了问题,如下: 假设字长为8bits

( 1 ) 10- ( 1 )10 = ( 1 )10 + ( -1 )10 = ( 0 )10

(00000001)原+ (10000001)原= (10000010)原= ( -2 ) 显然不正确.

因为在两个整数的加法运算中是没有问题的,于是就发现问题出现在带符号位的负数身上,对除符号位外的其余各位逐位取反就产生了反码.反码的取值空间和原码相同且一一对应. 下面是反码的减法运算:

( 1 )10 - ( 1 ) 10= ( 1 ) 10+ ( -1 ) 10= ( 0 )10

(00000001) 反+ (11111110)反= (11111111)反= ( -0 ) 有问题.

( 1 )10 - ( 2)10 = ( 1 )10 + ( -2 )10 = ( -1 )10

(00000001) 反+ (11111101)反= (11111110)反= ( -1 ) 正确