二次函数存在性问题总结

已知，抛物线322

--=x x y 交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C. 1、线段最值 ①线段和最小

点P 是抛物线对称轴上一动点，当点P 坐标为多少时，PA+PC 值最小.

A B

C

O x

y

②线段差最大

点Q 是抛物线对称轴上一动点，当点Q 坐标为多少时，|QA-QC|值最大.

A B

C

O x

y

③线段最值

连接BC ，点M 是线段BC 上一动点，过点M 作MN y

A B

C

O x

y

N

M

变式①

点N 是第四象限内抛物线上一动点，连接BN 、CN ，求BCN S ∆的最大值及点N 的坐标

A B

C

O x

y

N

变式②

点N 是第四象限内抛物线上一动点，求点N 到线段BC 的最大距离及点N 的坐标

A B

C

O x

y

N

M

2、等腰三角形的存在性问题

点D 为抛物线322

--=x x y 的顶点，连接BC ，点P 是直线BC 上一动点，是否存在点P ，使△PAD

为等腰三角形，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.

A B

C

O x

y

D

3、菱形的存在性问题

点D 为抛物线322

--=x x y 的顶点，连接BC 点P 是直线BC 上一动点，点Q 为坐标平面内一点，是否存在以A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形，若存在，求出点P 坐标，若不存在，说明理由.

A

B

C

O x

y

D

4、平行四边形的存在性问题

点D 为抛物线322

--=x x y 的顶点，点M 是抛物线上一动点，点N 为直线BC 上一动点，是否存

在以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点M 坐标，若不存在，说明理由.

A B

C

O x

y

D

5、直角三角形的存在性问题

点P 为抛物线322

--=x x y 的对称轴上的一动点，是否存在点P ，使△PBC 为直角三角形，若存

在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.

A B

C

O x

y

6、等腰直角三角形的存在性问题

点M 在线段BC 上，过点M 作MN 平行于x 轴交抛物线322

--=x x y 第三象限内于点N ，点R 在x 轴上，是否存在点R ，使△MNR 为等腰直角三角形，若存在，求出点R 坐标，若不存在，说明理由.

A

B

C

O

x

y

M

N

7、相似的存在性问题

点D 为抛物线322

--=x x y 的顶点，点E 是OD 与BC 的交点，点F 为x 轴上的一动点，是否存在

点F ，使△BEF 和△OCE 相似，若存在，求出点F 坐标，若不存在，说明理由.

A

B

C O x

y

D

E