二倍角正弦、余弦、正切值
二倍角的正弦,余弦,正切公式
复习
sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin
tan tan tan 1 tan 2 , tan 2
2、已知等腰三角形一个 底角的正弦值 5 为 , 求这个三角形的顶角的 正弦 , 余弦, 13 正切值.
3、化简 :
1 cos 50
0
0 2 0
sin 70 1 cos 160
.
小结
本节我们学习二倍角的正弦、
余弦和正切公式，我们要熟记公式，
在解题过程中要善于发现规律，学 会灵活运用.
作业
课本135页练习
1 例2已知 tan 2 , 求tan的值 3
2 tan 1 解： 2 tan 2 1 tan 3
由此得： tan 6tan 1 0
2
解得： tan 2 5
或 tan 2 5
练习
2(sin 2 1 ) 1、求证 : 1 tan . 1 sin 2 cos 2
我们由此能否得到
的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中
看成
即可），
S 2 :
sin 2 2 sin cos
C 2 :
cos 2 cos sin
2 2
2 cos 2 1 1 2 sin 2
T2 :
2 tan tan 2 2 1 tan
举例
5 例1 已知 sin 2 , , 求 sin 13 4 2 4 , cos 4 , tan 4 .
4
解：由 又因为 于是
二倍角的正弦余弦正切公式
cos2α＝cos2α－sin2α
(C2 α)
tan tan
∵ tan(α + β)＝ 1 tan tan
∴ 当α＝β时, tan2α ＝
tan
2
2 tan 1 tan2
.
(T2 α )
利用sin2α+cos2α=1, 公式C2α还可以变形为： cos2α=2cos2α–1=1 –2sin2α.
引例
把下列各式化为一个角的三角函数形式
(1) 3 sin 1 cos
(2)s2in
2
cos
(3)a sin x b cos x
化asin x bcos x 为一个角的三角
函数形式
asin x bcos x
a2
b2
a
sin x
a2 b2
a
令
况，还可以运用于诸如将4α 作为2α 的2倍，将
α 作为 的2倍，将 α 作为 的2倍，将3α 作为3
2
的2倍等等.
2
4
2
例1.已知sinα ＝ 5 ，α ∈( ,π )，求sin2α ，
cos2α ，tan2α 的1值3 .
2
解：∵sinα＝ 5 ，α∈（ , π ),
13
2
∴cosα ＝－ 1 sin2 1 ( 5 )2 12.
3
2
例3 利用三角公式化简 sin 50 (1 3 tan10 ).
例4 若sin( ) 1 ,求sin( 2 ).
解：（2
）6（
3
2）
6
二倍角的正弦余弦正切公式
二倍角的正弦余弦正切公式二倍角指的是角度的两倍，即一个角度的两倍。
在三角函数中，我们通常使用θ来代表一个角度，那么二倍角就用2θ表示。
接下来，让我们来看一下二倍角的正弦、余弦和正切公式：1.二倍角的正弦公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ这个公式表示了一个角度的二倍角的正弦值与这个角度的正弦值、余弦值的关系。
具体来说，这个公式表明一个角度的二倍角的正弦值等于这个角度的正弦值和余弦值的乘积的2倍。
2.二倍角的余弦公式：cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ= 2cos^2θ - 1= 1 - 2sin^2θ这个公式表示了一个角度的二倍角的余弦值与这个角度的正弦值、余弦值的关系。
具体来说，这个公式有三种等价的形式，它们分别表示一个角度的二倍角的余弦值等于这个角度的余弦值的平方减去正弦值的平方、等于2倍的余弦值的平方减去1、等于1减去2倍的正弦值的平方。
3.二倍角的正切公式：tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan^2θ)这个公式表示了一个角度的二倍角的正切值与这个角度的正切值的关系。
具体来说，这个公式表明一个角度的二倍角的正切值等于角度的正切值的两倍除以1减去角度的正切值的平方。
使用这些二倍角公式可以方便地计算二倍角的三角函数值，从而简化三角函数的计算。
此外，二倍角公式还有很多应用，例如在解三角方程、求和差化积等问题中。
需要注意的是，这些公式只适用于特定的角度范围，通常是0到360度或者0到2π弧度之间。
当角度超过这个范围时，可能需要利用三角函数的周期性质进行转化。
另外，这些公式的推导可以通过三角函数的定义、三角恒等式和半角公式来完成。
总结起来，二倍角的正弦、余弦和正切公式是三角函数中的重要公式，它们可以方便地计算二倍角的三角函数值，简化三角函数的计算，并且在解三角方程、求和差化积等问题中有广泛的应用。
二倍角的正弦、余弦、正切公式
5 2 12 所以 cos 2 1 sin 2 1 ( ) 13 13
2
sin4 sin[ (2 )] 2 sin2 cos2 2
5 12 120 2 ( ) 13 13 169
理解公式的推导方法
S(α+β)
β＝α
S2α
C2α
作 商
C(α+β)
作 商
T(α+β) β＝α
T2α
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作业
教材P137面习题3.1 A组14、15、
18、19（2）（4）题
tan 2的值.
例5. 已知 tan 2, 求 sin 2 , cos 2 ,
tan 2的值.
2 tan sin 一般地： 2 1 tan2 2 1 tan cos 2 2 1 tan
万能公式 2 tan tan 2 2 1 tan
公式中角有什么特点？
cos 1 sin
2 2
cos2 cos sin
2 2
(1 sin ) sin
2 2
公式左端的角是右端 角的二倍
1 2 sin
2
灵活运用公式
sin 2 2 sin cos
cos2 cos2 sin 2 2 1 2sin 2 2cos 1
两倍角的正弦、余弦、 正切公式
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin tan tan tan 1 tan tan
二倍角的正弦、余弦、正切公式
归纳小结
(1)二倍角公式是和角公式的特例，体现了 二倍角公式是和角公式的特例， 二倍角公式是和角公式的特例 将一般化归为特殊的基本数学思想方法。 将一般化归为特殊的基本数学思想方法。 (2)二倍角公式与和角、差角公式一样，反 二倍角公式与和角、 二倍角公式与和角 差角公式一样， 映的都是如何用单角α的三角函数值表示 映的都是如何用单角 的三角函数值表示 复角（ 的三角函数值， 复角（和、差、倍）的三角函数值，结合 前面学习到的同角三角函数关系式和诱导 公式可以解决三角函数中有关的求值、 公式可以解决三角函数中有关的求值、化 简和证明问题。 简和证明问题。
化简 sin 50 (1 + 3 tan10 )
o o
cos10o + 3 sin 10o o 解： 原式 = sin 50 ⋅ o cos10 o o 2 sin 40 = sin 50 ⋅ o cos10 o o 2 sin 40 = cos 40 ⋅ o cos10 o sin 80 = =1 o cos10
［例2］若270°＜α＜360°， 化简：
1 1 + 2 2
求值
1 1 + cos 2α 2 2
（1）cos80°cos40°cos20° （2）sin10°sin30°sin50°sin70°
例3
1+sin2 −cos2 θ θ 求 ： 证 = tanθ 1+sin2 +cos2 θ θ
2
1 + 2 sin θ cos θ − (1 − 2 sin θ ) 证明： 证明：左边 = 2 1 + 2 sin θ cos θ + ( 2 cos θ − 1)
同样对于正切也有这样的结论
二倍角的正弦余弦正切公式
通过和角公式展开sin(2α)，得到sin(2α) = 2sinαcosα
二倍角的正弦公式的应用
在解三角函数问题中的应用
已知一个角的正弦值，求这个角的余弦值或正切值时，可以通过二倍角的正弦公式进行计算
在证明三角恒等式中的应用
证明一些三角恒等式时，可以通过二倍角的正弦公式进行推导和化简
03
二倍角的正弦公式
二倍角的正弦公式的推导
从倍角公式推导
sin(2α) = 2sinαcosα
从两角和的正弦公式推导
sin(2α) = sin(α+α) = 2sinαcosα
二倍角的正弦公式的证明
利用单位圆证明
通过单位圆上的点(cosα,sinα)和点(cos(2α),sin(2α))，利用 两点间的距离公式证明sin(2α) = 2sinαcosα
根据倍角公式证明，$\cos(\pi/4 \theta) = \sqrt{2 + 2\cos(2\theta \pi/2)} / 2$。
二倍角的余弦公式的证明
利用倍角公式证明
根据倍角公式，$\cos(2\theta - \pi/4) = \cos(2(\theta - \pi/4)) = 1 - 2\sin^2(\theta \pi/4)$。
后续研究方向
可以进一步研究多倍角的正弦、余弦和正切 公式，推广到更一般的公式。
可以研究不同象限的角度在二倍角公式中的 表现，并讨论三角函数值的符号对公式的影
响。
THANK YOU.
主要结论总结
本文已推导出二倍角的正弦、余弦和正切公 式，并对其进行了证明和举例说明。
通过三角函数定义和基本公式，推导出了二 倍角公式的一般形式，并分别给出了正弦、
二倍角的正弦、余弦、正切公式优质课课件
引例
等腰三角形ABC的顶角是A，底角是B，C，
cosB= 3
5
，求顶角A的正弦、余弦、正切值.
二 倍 角 公 式：
sin 2 2sin cos
R
cos 2 cos2 sin 2 R
2cos2 1 1 2sin2
tan 2
2 tan 1 tan 2
k 2
,且 4
k 2
，k Z
倍角的相对性
(1)sin 4 2sin_ cos_ (2) cos cos2_ sin2_ 2 cos2_1
1 2sin2_
(3) tan
2
2 tan_ 1 tan2_
四、典例剖析
例1.已知sin 4 , ＜＜，
52
求sin 2, cos 2, tan 2的值.
练习：1.解决引例提出的问题. 在ABC中，B=C,cos B 3 ,求sin A, cos A, tan A.
5
2.灵活应用公式.
(1) cos2 75 sin2 75 2 tan 22.5
(2) 1 tan2 22.5 (3) sin15 cos15
(4)4 cos 75 cos15
5
课堂小结
• 1.倍角公式（推导、熟记、灵活应用）。 • 2.公式的特征、成立的条件、倍角的相
对性。
• 3.转化与化归的数学思想。 • 4.算法的合理性。
作业
在ABC中,sin A 3 , tan B 2, 5
求 tan 2A 2B的值.
谢谢大家！
知识与方法总结重要。
例2.在ABC中, cos A 4 , tan B 2, 5
求 tan 2 A B的值.
二倍角的正弦、余弦、正切公式课件
总结和应用
二倍角的正弦、余弦和正切公式是解决与角度相关的问题时的重要工具。通 过掌握这些公式，我们可以更灵活地应用三角函数解决实际问题。
示例二
如果一个角度为45°，那么它的二 倍角就是90°。
示例三
在单位圆上，角度θ的二倍角就 是2θ 。
二倍角的正弦公式
二倍角的正弦公式是将正弦公式中的θ替换为2 θ 得到的。 sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)
1 用途一
简化三角函数表达式，将一个角度的正弦值转化为二倍角角度的正弦值。
2 用途二
计算二倍角角度的正弦值，从而解决与角度相关的问题。
二倍角的余弦公式
二倍角的余弦公式是将余弦公式中的θ替换为2 θ 得到的。 cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ)
1 用途一
简化三角函数表达式，将一个角度的余弦值 转化为二倍角角度的余弦值。
2 用途二
计算二倍角角度的余弦值，从而解决与角度ຫໍສະໝຸດ 相关的问题。二倍角的正切公式
二倍角的正切公式是将正切公式中的θ替换为2 θ 得到的。 tan(2θ) = 2tan(θ) / (1 - tan²(θ))
1 用途一
简化三角函数表达式，将一个角度的正切值 转化为二倍角角度的正切值。
2 用途二
计算二倍角角度的正切值，从而解决与角度 相关的问题。
演示例题
通过实际问题的例题演示，我们可以更好地理解二倍角的正弦、余弦和正切 公式的应用。
• 总结一：二倍角可以简化三角函数表达式。 • 总结二：二倍角的公式可用于求解二倍角角度的正弦、余弦和正切值。 • 应用：在几何、物理、工程等领域的计算中，二倍角的公式经常被使用。
必修四二倍角的正弦、余弦、正切公式(附答案)
二倍角的正弦、余弦、正切公式[学习目标] 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用．知识点一 二倍角公式的推导(1)S 2α：sin 2α＝2sin αcos α，sin α2cos α2＝12sin α； (2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 思考1 二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式．根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式．你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？答案 sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos 2α－sin 2α；tan 2α＝tan(α＋α)＝2tan α1－tan 2α. 思考2 根据同角三角函数的基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1，你能否只用sin α或cos α表示cos 2α？答案 ∵cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－(1－cos 2α)＝2cos 2α－1；或cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(1－sin 2α)－sin 2α＝1－2sin 2α.知识点二 二倍角公式的常用变形(1)sin 2α2sin α＝cos α，sin 2α2cos α＝sin α； (2)(sin α±cos α)2＝1±sin 2α；(3)sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2； (4)1－cos α＝2sin 2α2,1＋cos α＝2cos 2α2. 二倍角的余弦公式cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α变形较多，应用灵活．其中sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2也称作降幂公式，1－cos α2＝sin 2α2，1＋cos α2＝cos 2α2也称作升幂公式．这些公式在统一角或函数名时非常有用．思考 函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x －12的最小正周期是 ． 答案 π解析 ∵f (x )＝32sin 2x ＋12(2cos 2x －1) ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴T ＝2π2＝π.题型一 利用倍角公式化简求值例1 求下列各式的值． (1)cos π12cos 512π； (2)13－23cos 215°. 解 (1)原式＝cos π12·sin π12＝12sin π6＝14. (2)原式＝－13(2cos 215°－1)＝－13cos 30° ＝－36. 跟踪训练1 求下列各式的值．(1)cos 72°cos 36°；(2)1sin 50°＋3cos 50°. 解 (1)cos 72°cos 36°＝2sin 36°cos 36°cos 72°2sin 36°＝2sin 72°cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14. (2)原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°＝2(12cos 50°＋32sin 50°)12×2sin 50°cos 50°＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°12sin 80°＝4. 题型二 三角函数式的化简或证明例2 求证：3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4 A . 证明 ∵左边＝3－4cos 2A ＋2cos 22A －13＋4cos 2A ＋2cos 22A －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2A 1＋cos 2A 2＝⎝⎛⎭⎫2sin 2A 2cos 2A 2＝(tan 2A )2 ＝tan 4 A ＝右边，∴3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4 A .跟踪训练2 化简：1＋sin 2θ－cos 2θ1＋sin 2θ＋cos 2θ. 解 方法一 原式＝(1－cos 2θ)＋sin 2θ(1＋cos 2θ)＋sin 2θ＝2sin 2θ＋2sin θcos θ2cos 2θ＋2sin θcos θ＝2sin θ(sin θ＋cos θ)2cos θ(cos θ＋sin θ)＝tan θ.方法二 原式＝(sin θ＋cos θ)2－(cos 2θ－sin 2θ)(sin θ＋cos θ)2＋(cos 2θ－sin 2θ)＝(sin θ＋cos θ)[(sin θ＋cos θ)－(cos θ－sin θ)](sin θ＋cos θ)[(sin θ＋cos θ)＋(cos θ－sin θ)]＝2sin θ2cos θ＝tan θ. 题型三 利用二倍角公式给值求值例3 已知sin(π4＋α)sin(π4－α)＝16，且α∈(π2，π)，求sin 4α的值． 解 ∵(π4＋α)＋(π4－α)＝π2， ∴sin(π4－α)＝cos(π4＋α)． ∵sin(π4＋α)sin(π4－α)＝16， ∴2sin(π4＋α)cos(π4＋α)＝13， ∴sin(π2＋2α)＝13，∴cos 2α＝13. 又∵α∈(π2，π)，∴2α∈(π，2π)． ∴sin 2α＝－1－cos 22α＝－223， ∴sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝－429. 跟踪训练3 已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos 2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 的值．解 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x . ∵sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝513，且0<x <π4， ∴π4＋x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝1213， ∴原式＝2×1213＝2413.合理配凑、巧用倍角公式求解例4 求cos π11cos 2π11cos 3π11cos 4π11cos 5π11的值． 分析 添加“sin π11”及系数2，创造条件，注意重复使用倍角公式． 解 原式＝－cos π11cos 2π11cos 4π11cos 8π11cos 5π11 ＝－24sin π11cos π11cos 2π11cos 4π11cos 8π11cos 5π1124sin π11 ＝－sin 16π11cos 5π1124sin π11＝sin 5π11cos 5π1124sin π11＝12·sin 10π1124sin π11＝sinπ1125sin π11＝132.1.12sin π12cos π12的值等于( ) A.14 B.18 C.116D.122．sin 4π12－cos 4π12等于( ) A ．－12 B ．－32 C.12 D.323.2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α等于( ) A ．tan 2α B ．tan α C ．1 D.124．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝210，则sin 2x ＝ . 5．求值：sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°.一、选择题 1．已知x ∈(－π2，0)，cos x ＝45，则tan 2x 等于( ) A.724 B ．－724 C.247 D ．－2472．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.16 B.13 C.12 D.233．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值为( ) A ．－13 B ．－79 C.13 D.794．若1－tan θ2＋tan θ＝1，则cos 2θ1＋sin 2θ的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．－2 D ．－125．已知等腰三角形底角的正弦值为53，则顶角的正弦值是( ) A.459 B.259 C ．－459 D ．－2596．如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，则sin θ2的值是( ) A ．－105 B.105 C ．－155 D.155二、填空题7．2sin 222.5°－1＝ .8．sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝ .9．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝ . 10．函数f (x )＝cos x －sin 2x －cos 2x ＋74的最大值是 ． 三、解答题11．已知角α在第一象限且cos α＝35，求1＋2cos (2α－π4)sin (α＋π2)的值．12．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，π2)，求α.13．求值：sin 2α＋sin 2⎝⎛⎭⎫π3＋α＋sin 2⎝⎛⎭⎫π3－α.当堂检测答案1.答案 B解析 原式＝14sin π6＝18. 2．答案 B解析 原式＝⎝⎛⎭⎫sin 2π12＋cos 2π12·⎝⎛⎭⎫sin 2π12－cos 2π12＝－⎝⎛⎭⎫cos 2π12－sin 2π12＝－cos π6＝－32. 3.答案 A解析 原式＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α. 4．答案 －2425解析 sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝cos 2[(x －π4)]＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1 ＝2×⎝⎛⎭⎫2102－1＝－2425. 5．解 ∵sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·2sin 40°cos 10°＝1， cos 80°1－cos 20°＝sin 10°2sin 210°＝2sin 210°， ∴sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°＝1－cos 20°2sin 210°＝ 2.课时精练答案一、选择题1．答案 D解析 cos x ＝45，x ∈(－π2，0)，得sin x ＝－35， 所以tan x ＝－34，所以tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝2×(－34)1－(－34)2＝－247，故选D. 2．答案 A解析 因为cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋cos[2⎝⎛⎭⎫α＋π4]2＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π22＝1－sin 2α2， 所以cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－sin 2α2＝1－232＝16，选A. 3．答案 B解析 cos(2π3＋2α)＝－cos(π3－2α)＝－cos[2(π6－α)] ＝－[1－2sin 2(π6－α)]＝2sin 2(π6－α)－1＝－79. 4．答案 A解析 ∵1－tan θ2＋tan θ＝1，∴tan θ＝－12. ∴cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ(sin θ＋cos θ)2＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝1－tan θ1＋tan θ＝1－⎝⎛⎭⎫－121＋⎝⎛⎭⎫－12＝3.5．答案 A解析 设底角为θ，则θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，顶角为π－2θ. ∵sin θ＝53，∴cos θ＝1－sin 2θ＝23. ∴sin(π－2θ)＝sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×53×23＝459.6．答案 C解析 ∵5π2<θ<3π，|cos θ|＝15， ∴cos θ<0，cos θ＝－15. ∵5π4<θ2<32π，∴sin θ2<0. ∵sin 2θ2＝1－cos θ2＝35， ∴sin θ2＝－155. 二、填空题7．答案 －22解析 原式＝－cos 45°＝－22. 8．答案 116解析 原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12° ＝sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°cos 6°＝sin 96°16cos 6°＝cos 6°16cos 6°＝116. 9．答案 3解析 1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2＝2sin θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ22cos θ2⎝⎛⎭⎫cos θ2＋sin θ2 ＝tan θ2＝3. 10．答案 2解析 ∵f (x )＝cos x －(1－cos 2x )－(2cos 2x －1)＋74＝－cos 2x ＋cos x ＋74＝－⎝⎛⎭⎫cos x －122＋2. ∴当cos x ＝12时，f (x )max ＝2. 三、解答题11．解 ∵cos α＝35且α在第一象限，∴sin α＝45. ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725， sin 2α＝2sin αcos α＝2425， 原式＝1＋2(cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4)cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝145. 12．解 ∵sin 22α＋sin 2αcos α－(cos 2α＋1)＝0， ∴4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0.∵α∈(0，π2)，∴2cos 2α>0. ∴2sin 2α＋sin α－1＝0.∴sin α＝12(sin α＝－1舍)．∴α＝π6. 13．解 原式＝1－cos 2α2＋1－cos ⎝⎛⎭⎫23π＋2α2＋ 1－cos ⎝⎛⎭⎫23π－2α2＝32－12cos 2α－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫23π＋2α＋cos ⎝⎛⎭⎫23π－2α ＝32－12cos 2α－cos 2π3·cos 2α ＝32－12cos 2α＋12cos 2α＝32.。
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
已知 sinα＝35，cosα＝45，则 sin2α等于(
)
A.7B.125源自5C.1225D.2245
[答案] D
[解析] sin2α＝2sinαcosα＝2245.
已知 cosα＝13，则 cos2α等于(
)
A.13
B.23
C．－79
D.79
[答案] C
[解析] cos2α＝2cos2α－1＝29－1＝－79.
[拓展]倍角公式的变形公式 剖析：(1)公式的逆用： 2sinαcosα＝sin2α；sinαcosα＝12sin2α； cosα＝s2isni2nαα； cos2α－sin2α＝cos2α； 1－2tatannα2α＝tan2α.
(2)公式的有关变形： 1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα ＝(sinα±cosα)2； 1＋cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α； cos2α＝1＋c2os2α；sin2α＝1－c2os2α.
自主预习 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下表
三角函数
公式
正弦 sin2α＝ 2sinαcosα
余弦
cos2α＝cos2α－sin2α ＝ 2cos2α－1 ＝ 1－2sin2α
正切
2tanα tan2α＝ 1－tan2α
简记 S(α＋β) S2α C(α＋β) C2α
T(α＋β) T2α
[总结]对倍角公式的理解： ①成立的条件：在公式S2α，C2α中，角α可以为任意角， T2α则只有当α≠k2π＋π4(k∈Z)时才成立． ②倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其他如4α是2α的 二倍、α是α2的二倍、3α是32α的二倍等等都是适用的．
B．π
C．3π
高中数学-二倍角的正弦、余弦、正切公式
1.二倍角的正弦、余弦、正切
∵ sin(α＋β)＝sinαcos β＋cosαsin β,
∴ 当α＝β 时，sin(α+β)＝sin2α＝2sinαcosα
sin2α＝2sinαcosα ∵ cos(α +β)＝cosαcosβ －sinαsinβ
(S2 α)
∴ 当α = β时, cos(α＋β)＝cos2α ＝cos2α －sin2α
例6. 求值： cos215°+sin250°–cos175°·cos95°
•
解:原式＝
1 cos30 1 cos100 sin5
2
2
cos 5
1 1 cos30 1 sin10 1 sin10
2
2
2
1 3 4
例7. 已知sin( ) 5 ,且0 ,
4
13
4
求3sin2 4sin cos cos2 的值。
3. 6
(4)1－cos 2 π＝－1(2cos 2π －1)
2
82
8
＝－1cosπ＝－ 2.
24
4
练习1.已知sinα＝5 ，α∈( ,π)，求sin2α，
13
cos2α，tan2α的值.
2
解：∵sinα＝ 5 ，α∈（ , π ),
13
2
∴cosα＝－ 1 sin 2 1 ( 5 )2 12.
例13 化简
2
2,
2 2cos
1
其中180 360.
4
例14 已知: x+y=3–cos4θ，x – y=4sin2θ,
1
1
求证：x 2 y2 2.
例15 求证 sin4 cos2 cos tan .
二倍角的正弦、余弦和正切公式
4
2
4
3
2
6
2
6+2 3
＝ × ＋ × ＝
，
3
2
3
2
6
π
π
π
sin − ＝ sin cos － cos sin
2
4
2
4
2
4
3
2
6
2
6−2 3
＝ × － × ＝
，故C正确、D错误.
3
2
3
2
6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
9. 已知 sin
cos
2
－
25
.
− －1，
9
7
2α＝2× －1＝－ .
25
25
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
12.
为
2
等腰三角形一个底角的余弦值为 ，则这个三角形顶角的正弦值
3
4 5
9
.
设 A 是等腰△ ABC 的顶角，则
sin B ＝ 1 − cos2 ＝ 1 −
2
cos B ＝ ，
cos20°
＝
sin20°+2sin40°
cos20°
考点二
例2
(1)
(1)
二倍角的正弦、余弦、正切公式的逆用和变形应用
π
5
cos cos π的值为(
12
12
π
5
cos cos π＝
12
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
反思与感悟 利用倍角公式证明三角恒等式，关键是 找到左、右两边式子中的倍角关系，先用倍角公式统 一角，再用同角三角函数基本关系式等完成证明.
例 3 在△ABC 中，cos A＝45，tan B＝2，求 tan(2A＋2B)的值. 解 方法一 在△ABC 中，由 cos A＝45，0<A<π，
得 sin A＝ 1－cos2A＝
(2)(sin α±cos α)2＝ 1±sin 2α ；
1－cos 2α
1＋cos 2α
(3)sin2α＝
2
，cos2α＝ 2 ；
(4)1－cos α＝2sin2α2 ,1＋cos α＝2cos2α2 .
探究点一 二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导
思考1 二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示 2α的三角函数的公式.根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、 正切公式.你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？试一试？ 答 sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos2α－sin2α； tan 2α＝tan(α＋α)＝1－2tatnanα2α.
探究点二 余弦的二倍角公式的变形形式及应用
思考 余弦的二倍角公式是否有其他变形？
答 二倍角的余弦公式cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－
2sin2α
变
形
较
多
，
应
用
灵
活
.
其
中
sin2α
＝
1－cos 2
2α
，
cos2α
＝
1＋cos 2
二倍角正弦余弦正切的公式
二倍角正弦余弦正切的公式
二倍角正弦余弦正切（Double-Angle Trigonometric Identities）是在学习三角函数时，我们经常会用到的一个概念。
它会帮助我们解决许多复杂的运算问题，简化我们的计算过程。
二倍角正弦余弦正切的基本定理是：对于任意角度θ，有以下关系：（1）sin2θ = 2sinθcosθ
（2）cos2θ = cos2θ-sin2θ
（3）tan2θ = 2tanθ/(1-tan2θ)
这些公式在数学中有着重要的意义，我们可以利用它们来解决许多具体的问题。
例如，我们可以用它们来计算正弦、余弦和正切函数的值，甚至是求解复杂的几何问题。
另外，二倍角正弦余弦正切的公式也可以用于解决微积分问题，例如积分计算和求导。
此外，它还可以用于解决物理学、化学以及其他科学问题，可以说二倍角正弦余弦正切的公式是数学和科学领域的一个重要工具。
总之，二倍角正弦余弦正切的公式是非常有用的，它可以用于解决各种复杂的数学和科学问题。
学习和掌握这个定理，对我们今后的学习和研究都有很大的帮助。
二倍角的正弦余弦正切公式
二倍角的正弦余弦正切公式
二倍角的正弦、余弦、正切公式知识点包括倍角公式、条件求值问题常有两种解题途径、证明三角恒等式常用方法、二倍角公式的使用技巧等部分，有关二倍角的正弦、余弦、正切公式的详情如下：
倍角公式
条件求值问题常有两种解题途径
①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；
②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．
证明三角恒等式常用方法
从左边推到右边；
从右边推到左边；
找中间量，常用技巧：切化弦，降次消元，拆项拆角，“1”的代换以及公式变形等．指导思想是统一三角函数名称，统一为相同的角．
二倍角公式的使用技巧
1．正用：从条件出发，顺着问题的线索，以“展开”公式的方式使用．
2．逆用：逆向转换，应用时要求对公式特点有一个整体感知．
主要形式有2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝，cos2α－sin2α＝cos 2α，＝tan 2α等．
3．变形用：将公式进行简单等价变形后，利用其新形式．主要形式有1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α，
4．三角函数式的化简要注意“三变”：
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等．
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，其手法通常有：“常值代换”“逆用变用公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等．。
二倍角的正弦、余弦、正切公式
S 2α
C 2α
应用
T2α
2.体会换元的思想 体会换元的思想
作业：课本138页 、 题 作业：课本 页15、16题
2
π
8 8 2tan 22.5° = tan 45° = 1 (4) 1 − tan2 22.5° 1 ° ° 1 ° ° (5)sin 22.5 cos 22.5 = • 2sin 22.5 cos 22.5 = 2 sin 45° =
2
− sin
2
π
2 π 2 = cos = 4 2
2 4
三、例题讲解
4 ,0 < A < π , 得 5
解： 在△ABC中， cos A = 中 由
sin A = 1 − cos 2
所以 又
sin A 3 5 3 tan A = = × = , cos A 5 4 4
tanB=2
3 4 A = 1− = 5 3 5 2× 2 tan A 4 = 24 tan 2 A = = 2 1 − tan 2 A 7 3 1− 4
的公式吗？ 的公式吗？
分析： 代入上述三式得： 分析：令 β =α ，代入上述三式得：
倍角公式
S2α
sin 2α =2 sin α ⋅ cos α
2 tanα tan2α = 1− 1 − tan2 α
C2α cos2α = cos2 α − sin2 α =1-2sin 2 α =2 cos 2 α -1
例2
4 在∆ABC中， A= ， B=2，求 tan A+2B）的值. cos tan （2 5
tan 2A+ tan 2B tan(2A+ 2B) = 1− tan 2A⋅ tan 2B
二倍角的正弦、余弦、正切公式
二倍角的正弦、余弦、正切公式 复习【复习目标】1．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．2．灵活应用二倍角的正弦、余弦、正切公式解决有关的求值、化简、证明等问题．【知识梳理】1．二倍角的正弦公式α2S :α2sin =2．二倍角的余弦公式α2C :α2cos = ＝ ＝3．二倍角的正切公式α2T :α2tan =4．公式的逆向变换及有关变形⑴222)cos (sin cos cos sin 2sin 2sin 1ααααααα±=+⋅±=±⑵αα2cos 22cos 1=+，αα2sin 22cos 1=-(称之为升幂公式) ⑶22cos 1cos 2αα+=，22cos 1sin 2αα-= (称之为降幂公式)． 【典型例题】1、化简求值：⑴ 8cos 212π- （2）cos 4π8－sin 4π8（3）︒--︒+100cos 1100cos 1 （4） 2－sin 22＋cos4（5）12tan 112tan ππ- （6）0sin50sin70;︒︒︒⋅⋅sin1(7))2,0(,2cos 21212121παα∈+- (8))4(cos )4tan(2sin cos 222απαπαα---(9)2tan 12tan 2cos 1x x x -+ (10)βαβαβα2cos 2cos 21cos cos sin sin 2222⋅-⋅+⋅2、若α满足条件02sin <α，0sin cos <-αα，则α在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3、函数f (x )＝cos 2(x 2－7π8)－sin 2(x 2＋7π8)的最小正周期和最大值分别是( ) A ．2π，22 B ．π， 2 C.π2，22 D.π2，2 4、3－sin70°2－cos 210°＝( ) A.12 B.22 C ．2 D.325、（1）已知sin(x ＋π4)sin(π4－x )＝16，x ∈(π2，π)，求sin4x 的值．（2）设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值6、已知函数)8cos()8sin(2)8(sin 21)(2πππ++++-=x x x x f ，求:⑴函数)(x f 的最小正周期；⑵求)(x f 的单调递增区间.7、已知)2(cos )cos sin (cos )(,2x x x a x x f R a -+-=∈π满足)0()3(f f =-π，求函数)(x f 在]2411,4[ππ上的最大值和最小值．8、已知a ＝(cos 32x ，sin 32x )，b ＝(cos x 2，－sin x 2)，x ∈[0，π2]． (1)求a ·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ·b －2λ|a ＋b |的最小值为－32，求λ的值．。
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3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
一、教材分析
本节课是对公式的引入改变教材中直接填结果的做法，是通过提出问题，设置情景对和角公式中的角
βα、的关系特殊情形βα= 时的简化，让学生探讨
发现、推证得出二倍角公式，这样学生会感到自然，好接受，并可清晰知道和角的三角函数与二倍角公式的联系，同时让学生学会怎样发现数学规律，并体会到化归（这里是将一般化归到特殊）这一基本数学思想在发现中所起的作用，对教材的例题则有所增减，处理方式也有适当改变。
二、教学目标 1.知识目标
（1）通过探究推导出二倍角公式，并了解两角和与差与二倍角公式之间的内在联系；
（2)能正确运用二倍角的公式进行求值、化简、证明，培养自己的运算能力及逻辑推理能力；
（3）通过对公式的变式使用，养成对数学概念、公式、定理好的学习品质。
2.能力目标
在三角函数化简、求值、证明的解题过程中，要把握好公式的准确性与运算的逻辑性。
3.情感目标
（1）在学习活动中，自我体验“做”数学的乐趣，感受从一般到特殊的数学归纳思想，提高学生学习数学的兴趣。
三、教学重难点
重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；
难点：灵活应用两角和与差、倍角公式进行三角函数式化简求值。
四、教学方法
用探究、启发式的教学方法并充分利用多媒体辅助教学。
通过教师在教学过程中的点拨，不断引导学生探究与思考
五、学情分析
从学生的认知角度上看，已经比较熟练的掌握了两角和与差的三角函数的基础上。
从学习情感方面看，大部分学生愿意主动学习。
从能力上看，学生主动学习能力、探究的能力、较弱。
六、教学过程
环
节
教师活动学生活动设计意图教学用时
创设情境
导入课件展示：
请同学们写出以下两角和的
正弦、余弦和正切公式
sin(α+β)=
cos(α+β)=
tan(α+β)=
思考1：
学生独立完成，老师订
正，并不断引导学生探
究、思考。
引导学生回忆旧知
识，由旧知识引入
新课
10
分
钟
新课你能用
)
cos(
)
sin(β
α
β
α+
+、
)
tan(β
α+推导出
α
α2
cos
2
sin、、α2
tan的推
导公式吗？
学生探究讨论发言
激发学生学习兴
趣，引导学生运用
已有知识探索新
知识
合作学习
探索新知课件展示：
结论：
=
α2
sin
=
α2
cos
=
α2
tan
思考2：α的取值范围是
思考3：把上述关于
α
cos2的式子能否变成
只含有α
sin或α
cos
的式子呢？
_________
2
sin=
α
_________
2
cos=
α
学生共同合作，得出：
利用同角三角函数的
基本关系得出二倍角
余弦其他形式。
对公式反复的基
础运用，以加深影
响，并由此得出一
些公式的变形。
12
分
钟
当
堂例1已知sin2α=13
5
,4
π
<
教师师范解题过程
与思路，引导学生
15
训
练
应用新知α<2
π
,求sin4α,cos4
α,tan4α的值.
解:由
4
π<α<
2
π,得
2
π<2α<
π.
又∵sin2α=
13
5,
∴cos2α
=a2
sin
12
-
-=
13
12
)
13
5
(
12-
=
-
-.
于是sin4α=sin[2×(2
α)]=2sin2αcos2α=2×
13
5×
(
13
12
-)=
169
120
-;
cos4α=cos[2×(2
α)]=1-2sin22α=1-2×
(
13
5)
2=
129
119;
tan4α=
a
a
4
cos
4
sin=(-
169
120)×
119
169=
119
120
-.
例2；
（1）在△ABC
中,cosA=
5
4,tanB=2,求
tan(2A+2B)的值.
（2），π）
π
（
，
2
,
13
5
sin∈
=α
α
学生思考发言
学生独立完成，同桌讨
论
运用新知识解题。
学生自己运用新知
识解题，深化对知
识的理解和应用
求ααcos2sin2、、α2tan 的值。
小结归
纳 拓展深化 【课件展示】 本节课你学到了什么？
教师根据学生的回答，归纳总结。
学生独立思考、自主发言
及时的巩固本节课的知识。
2分钟
作业布置
1分钟。