南通市2014届高三第二次调研数学测试

B
（第 16 题）
所以平面 CEM∥平面 PAD．而 CE 平面 PAD，故 CE∥平面 PAD．„„„„„„„„„ 7分 （2） （接（1）中方法 1）因为 PD＝AD，且 F 是 PA 的中点，所以 DF PA ． 因为 AB⊥平面 PAD， DF 平面 PAD，所以 DF AB ． 10 分 因为 CE∥DF，所以 CE PA ， CE AB ． 因为 PA，AB 平面 PAB， PA AB A ，所以 CE 平面 PAB． 因为 CE 平面 PBC，所以平面 PBC⊥平面 PAB． 14 分 „„„„„„„„„„ „„„„„„„„„

【答案】1 14．设实数 a，b，c 满足 a2＋b2 ≤c≤1，则 a＋b＋c 的最小值为 ▲ ． 【答案】 1 ． 2
二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．请在答题卡指定区域 内作答. 解答时Βιβλιοθήκη Baidu写出文字 ．．．．．．． 说明、证明过程或演算步骤． 15． （本小题满分 14 分）
64 4 ， 0 ≤ x ≤ 4 ， 所以浓度 f ( x) 4 y 8 x 20 2 x ， 4 x ≤10 ．
则当 0 ≤ x ≤ 4 时， 由 3分
64 解得 x ≥ 0 ， 所以此时 0 ≤ x ≤ 4 ． „„„„„„„„ 4≥ 4 ， 8 x
当 4 x ≤10 时，由 20 2 x ≥ 4 解得 x ≤ 8 ，所以此时 4 x ≤ 8 ． 综合得 0 ≤ x ≤ 8 ， 若一次投放 4 个单位的制剂， 则有效净化时间可达 8 天． „„„„„ 7分 （2）设从第一次喷洒起，经 x（ 6 ≤ x ≤ 10 ）天， 浓
g(x
i （其中 i 为虚数单位）的模为 ▲ ． 1 i
【答案】 2 ． 2 4．从编号为 0，1，2，„，79 的 80 件产品中，采用系统抽样的 方法抽取容量是 5 的样本，若编号为 28 的产品在样本中，则 该样本中产品的最大编号为 【答案】76． 5． 根据如图所示的伪代码，最后输出的 a 的值为 ▲ ． 【答案】48． 6． 若 log a 12 1 ，则 a 的取值范围是 ▲ ． a 1
轨
迹
方
程
为
x2 y 2 1． 4 32
„„„„„„„„„10 分
x)( R， 0) ， ②（方法 1）设 M ( x，y ) ，则 A( y，
因为点 A 在椭圆 C2 上，所以 2 ( y 2 8x2 ) 8 ，即 y 2 8 x 2 又 x2 8 y2 8 （ii）
（
sin( A B) sin A cos B cos Asin B sin C sin C
由 正
s
A s C

i
B i c
n acos ( B ) b bc A 16 9 7 ． „„„„ 14 分 ac cos B 25 c2 c2 n
c
A o
16． （本小题满分 14 分） 在四棱锥 P－ABCD 中，AB∥DC，AB⊥平面 PAD， PD＝AD，AB＝2DC，E 是 PB 的中点． 求证： （1）CE∥平面 PAD； （2）平面 PBC⊥平面 PAB． 【证】 （1） （方法 1）取 PA 的中点 F，连 EF，DF．„„ 2 分 因为 E 是 PB 的中点，所以 EF // AB，且 EF 1 AB ． 2 因为 AB∥CD，AB＝2DC，所以 EF∥CD，„„„„„„ 4 分 D C
在△ABC 中，已知 AB AC 9 ，AB BC 16 ．求：
（1）AB 的值；
sin( A B) 的值． sin C 【解】 （1） （方法 1） 因为 AB AC 9 ，AB BC 16 ，
南通市 2014 届高三第二次调研测试 数学学科参考答案及评分建议
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案直接填写在答题卡相应位 ．．．．．． 置上 ． ．． 1． 已知集合 A x x ≥ 3 x x 1 ，则 ðR A 【答案】 x 1≤ x 3 ． 2． 某学校有 8 个社团，甲、乙两位同学各自参加其中一个社团，且他俩参加各个社团的可 能性相同，则这两位同学参加同一个社团的概率为 ▲ ． 【答案】 1 ． 8 3． 复数 z ▲ ．
+ ． 【答案】 4 ，
a 1 i 2
While i≤6
▲ ．
a a i
i i 2
End while
Print a
（第 5 题）
7． 若函数 f ( x) x3 ax2 bx 为奇函数，其图象的一条切线方程为 y 3x 4 2 ，则 b 的 值为 ▲ ． 【答案】 3 ． 8. 设 l，m 表示直线，m 是平面 内的任意一条直线．则“ l m ”是“ l ”成立的 ▲ 条件． （在“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分又不必要”中选填一个） 【答案】充要．
（方法 2）设 A，B，C 的对边依次为 a，b，c， 则 由 条 件 „„„„„„„„„„„ 3 分 „„„„„„ 得
bc cos A 9 ， ac cos B 16 ．
两式相加得 c(b cos A a cos B) 9 16 25 ， 即 c 2 25 ， 故 AB c 5 ． 7分 （方法 3）设 A，B，C 的对边依次为 a，b，c， 则 由 条 件
因 此 所 求 椭 圆 的 标 准 方 程 为
x2 y2 1 ． 8
„„„„„„„„„„ 4 分
（2）①设 M ( x ，y ) ， A(m ，n) ，则由题设知： OM 2 OA ， OA OM 0 ．
即
m2 1 y 2 ， 4 2 1 n x 2． 4
17． （本小题满分 14 分） 为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒 1 个单位的净化剂， 空气中 释放的浓度 y（单位：毫克/立方米）随着时间 x (单位：天)变化的函数关系式近似为
16 1 ， 0 ≤ x ≤ 4 ， 8 x y 5 1 x ， 4 x ≤ 10． 2
（2）
„„„„„„„„„„„
2 / 14
4分
所以 AB AC AB BC 9 16 25 ，即 AB AC CB 25 ，


亦
AB 5 ．
即
2 AB 25
，
故
„„„„„„„„„„„ 7 分
x 2 y 2 4(m2 n2 ) ， mx ny 0 ，
解
得
„„„„„„„„„8 分
因为点 A(m ，n) 在椭圆 C2 上，所以
y 2 即 x 8 2
2
m2 n2 1 ， 8
1 ，亦即 x y 1 ． 4 32
2
2
2
所
以
点
M
的
18． （本小题满分 16 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，设曲线 C1： 面积为
4 2 ，曲线 C1 上的点到原点 O 的最短距离为 2 2 ．以曲线 C1 与坐标轴的交点为顶点 3
x y a b
1(a b 0) 所围成的封闭图形的
的椭圆记 为 C2． （1）求椭圆 C2 的标准方程；
度

1 x a 2 x


x
a a x
x
a a ．„„ )10 分 x
1 8
8] ，而 1 ≤ a ≤ 4 ， 因为 14 x [4，
所以 4 a [4 ， 8] ，故当且仅当 14 x 4 a 时，y 有最小值为 8 a a 4 . 令 8 a a 4≥ 4 ， 解得 24 16 2 ≤ a ≤ 4 ， 所以 a 的最小值为 24 16 2 1.6 ． „„„ 14 分
若多次喷洒， 则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的 浓度之 和．由实验知,当空气中净化剂的浓度不低于 4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气 的作用．
4 / 14
（1）若一次喷洒 4 个单位的净化剂，则净化时间可达几天? （2）若第一次喷洒 2 个单位的净化剂，6 天后再喷洒 a（ 1 ≤ a ≤ 4 ）个单位的药剂， 要使接下来的 4 天中能够持续有效净化， 试求 a 的最小值 （精确到 0.1， 参考数据： ． 2 取 1.4） 【解】 （1）因为一次喷洒 4 个单位的净化剂，
8
2
（i）
（i） + （ii） 得 x2 y 2 8 1 12 ， 9 13 分 所以 SAMB OM OA | | ( x 2 y 2 ) 8 | | 1 ≥ 16 . 9 9
5 / 14
（2） 设 AB 是过椭圆 C2 中心 O 的任意弦， l 是线段 AB 的垂直平分线． M 是 l 上的点 （与 O不 重合） ． ①若 MO＝2OA，当点 A 在椭圆 C2 上运动时，求点 M 的轨迹方程； ②若 M 是 l 与椭圆 C2 的交点，求△AMB 的面积的最小值．
2ab 4 2， 【解】 （1）由题意得 ab 又 a b 0 ，解得 a 2 8 ， b 2 1 ． 2 2 ． 2 2 3 a b
（第 16 题）
P E
A
B
3 / 14
EF CD ，于是四边形 DCEF 是平行四边形，
从而 CE∥DF，而 CE 平面 PAD， DF 平面 PAD， 故 CE∥平面 PAD． „„„„„„„„ 7 分 P F A M E
（方法 2）取 AB 的中点 M，连 EM，CM． „„„„„„ 2 分 因为 E 是 PB 的中点，所以 EM // PA． 因为 AB∥CD，AB＝2DC，所以 CM // AD．„„„„„„ 4 分 因为 EM 平面 PAD， PA 平面 PAD， 所以 EM∥平面 PAD．同理，CM∥平面 PAD． 因为 EM CM M ， EM ，CM 平面 CEM， D C
得
bc cos A 9 ， ac cos B 16 ．
„„„„„„„„„„„ 3 分
由余弦定理得 1 b2 c 2 a 2 9 ，1 c 2 a 2 b2 16 ， 2 2 两
AB c 5 ．
式
相
加
得
c 2 25
，
故
„„„„„„„„„„„ 7 分 2 ） „„„„„„„„„„ 10 分 弦 定 理 得
1 / 14
9． 在平面直角坐标系 xOy 中，设 A 是半圆 O ： x2 y 2 2 （ x ≥ 0 ）上一点，直线 OA 的 倾斜角为 45°，过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为 H ，过 H 作 OA 的平行线交半圆于点 B ， 则直线 AB 的方程是 ▲ ． 【答案】 3x y 3 1 0 ． 10．在△ABC 中，D 是 BC 的中点，AD＝8，BC＝20，则 AB AC 的值为 ▲ ． 【答案】－36． 11．设 x，y，z 是实数，9x，12y，15z 成等比数列，且 1 ， 1 ， 1 成等差数列，则 x z 的 z x z x y 值是 ▲ ． 34 【答案】15． 12．设 π 是函数 f ( x) sin 2 x 的一个零点，则函数 f ( x) 在区间 0 ， 2π 内所有极值点之 6 和为 ▲ ． 【答案】 14 π 3 13． 若不等式(mx－1)［3m 2－( x + 1)m－1］≥0 对任意 m (0 ， ) 恒成立，则实数 x 的值 为 ▲ ．