5安培环路定理(大学物理 - 磁场部分)

第五节
安培环路定理
一、定理表述
磁感应强度沿闭合回路的线积分， （ B 的环流），等于环路所包围的电流 代数和乘以 0。
L B dl 0 I
二、定理证明 特例：以无限长载流直导线为例。
§5.安培环路定理 / 一、表述。二、证明
长直导线周围的 B 线为一系列的同 心圆，选取路径方 向与 B 相同；
B 0nI
§5.安培环路定理 / 六、举例
例3：一环形载流 螺线管，匝数为 N ，内径为 R1 ， 外径为 R2 ，通有 电流 I ，求管内磁 感应强度。
解：在管内作环路 半径为 r ， 环路内电流代数和为
I NI
§5.安培环路定理 / 六、举例
o R1 rR
2
L B dl 0 I
r < R 区域
§5.安培环路定理 / 六、举例
I
R
选取半径为 r 的环路， 环路内电流代数和为： 2 r I 2 I r I 2 2 R R
Bdl cos 0 I
I
R
由于环路上各点 B 大小 相等，方向 B // dl 0 , cos 1
§5.安培环路定理 / 六、举例
B2r 0 NI
0 NI B 2r 当 r >> ( R2 – R1) 时
N n 2r
o R1 rR
2
为沿轴向线圈密度；
B 0nI 与直螺管的结论一致。
§5.安培环路定理 / 六、举例
例4：圆柱形载流导 体半径为 R ，通有 电流为 I ，电流在 导体横载面上均匀 分布，求圆柱体内、 外的磁感应强度的 分布。 解：1.圆柱体内部
解：理想密绕螺线 管，管内的磁场是 均匀的，管外的磁 场为 0 ；
§5.安培环路定理 / 六、举例
...............B
作闭合环路 abcda, 环路内的电流代数 和为：
I nabI
...............
a
b
B
B外 0
d
c d c b
B 的环流为：
b a
c
a
B dl B dl B dl B dl B dl
§5.安培环路定理 / 五、解题方法
六、举例
例1：如图所示，求环路L的环流 B dl 。 解：由环路定理
I1 I2
I3
L B dl 0 I
0 ( 2I1 I 2 )
L
§5.安培环路定理 / 六、举例
例2：密绕载流螺 线管通有电流为 I， 线圈密度为 n，求 管内一点的 B 。
的 B 都为 0。 6.若 B dl 0 环路内并不一定无电流。
§5.安培环路定理 / 三、明确几点
四、选取环路原则
1.利用安培环路定理计算磁场 B ,要求磁 场具有高度的对称性 ; 2.目的是将: 写成
L B dl 0 I
L Bdl cos B dl 0 I 0 I B dl 要求环路上各点 B 大小相等，B 的方向 与环路方向一致， B // dl, cos 1
左边= L B dl
I
B
L Bdl cos
由于环路上各点的 B 大 小相等；且 B // dl ；
L
0, cos 1
§5.安培环路定理 / 二、定理证明
0 I 2r 0 I 左边= B dl 2r L 右边= 0 I 0 I
左边=右边
I
由于环路上各点 B 大小 相等，方向 B // dl , 0 , cos 1
B dl B2r 0 I
R
r
L
0 I 1 B 2r r
§5.安培环路定理 / 六、举例
§5.安培环路定理
ห้องสมุดไป่ตู้
§5.安培环路定理 / 四、选取环路原则
或 Bdl , cos 0
3.环路要经过所研究的场点。
§5.安培环路定理 / 四、选取环路原则
五、解题方法
1.场对称性分析；
2.选取环路； 3.确定环路内电流的代数和 I ； 4.应用环路定理列方程求解。
应用环路定理求 B 要比毕萨定律简 单，但只适用于具有高度对称的场。
d
b
B dl B dl 0,
d
§5.安培环路定理 / 六、举例
c
a
Bdl , cos 0
d c
B dl 0
...............
a
螺线管外B =0； B dl B dl
a b
b
B
d
c
Bab 0 I 0nabI
r
L
B dl B2r 0 I 2 r B 2r 0 2 I R
I
0 I B r r 2 2R
2.圆柱体外一点 r > R 区域 在圆柱体外作一环路，
§5.安培环路定理 / 六、举例
L L
r R r
环路内电流代数和为：
I I Bdl cos 0 I
I L
定理成立。
三、明确几点
L B dl 0 I
1.电流正负规定 电流方向与环路方向满足右手定则电 流 I 取正；反之取负。
§5.安培环路定理 / 三、明确几点
2. I 为环路内的电流代数和。
3.环流 B dl 只与环路内的电流有关， 而与环路外电流无关。 4. B为环路上一点的磁感应强度，不是任 意点的，它与环路内外电流都有关。 5.若 B dl 0 并不一定说明环路上各点