(完整word版)数列中裂项求和的几种常见模型
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数列中裂项求和的几种常见模型
数列问题是高考的一大热点,而且综合性较强,既注重基础知识的掌握,又注重数学思想与方法的运用。而此类问题大多涉及数列求和,所以数列求和方法是学生必须掌握的,主要的求和方法有:公式法、拆项重组法、并项求和法,裂项相消法、错位相加法、倒序相加法等等,而裂项相消法是其中较为基础、较为灵活的一种,也是出现频率最高,形式最多的一种。下面就例举几种裂项求和的常见模型,以供参考。
模型一:数列{}n a 是以d 为公差的等差数列,且),3,2,1(0,0 n a d n ,则
)1
1(111
1 n n n n a a d a a 例1已知二次函数()y f x
的图像经过坐标原点,其导函数为
'()62f x x ,数列{}n a 的前
n 项和为n S ,点(,)()n n S n N 均在函数()y f x
的
图像上。
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设1
1
n n n b a a
,n T 是数列{}n b 的前n 项和,求使得20
n m
T 对所有n N
都成立的最小
正
整
数
m ;
(2006年湖北省数学高考理科试题)
解:(Ⅰ)设这二次函数f(x)=ax 2
+bx (a ≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x -2,得
a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x 2
-2x. 又因为点(,)()n n S n N 均在函数()y f x
的图像上,所以n S =3n
2
-2n.
当n ≥2时,a n =S n -S n -1=(3n 2-2n )- )1(2)132 n n (
=6n -5. 当n =1时,a 1=S 1=3×12
-2=6×1-5,所以,a n =6n -5 (n N )
(Ⅱ)由(Ⅰ)得知13
n n n
a a
b = 5)1(6)56(3 n n =)1
61
561(
21 n n ,
故T n = n
i i b 1
=21
)161561(...)13171()711(n n =21(1-161 n ). 因此,要使2
1(1-
161
n )<20
m (n N )成立的m,必须且仅须满足2
1
≤20
m ,即m ≥10,所以满足要求的最小正整数m
为10..
例2在xoy 平面上有一系列点),,(111y x P
),(222y x P ,…,),(n n n y x P ,…,(n ∈N *),点P n 在
函数)0(2 x x y 的图象上,以点P n 为圆心的圆P n 与x 轴都相切,且圆P n 与圆P n +1又彼此外切. 若n n x x x 11,1且. (I )求数列}{n x 的通项公式; (II )设圆P n 的面积为123,,:2
n n n n S T S S S T
L 求证
解:(I )圆P n 与P n+1彼此外切,令r n 为圆P n 的半径, ,)()(,||1212111 n n n n n n n n n n y y y y x x r r P P 即 两边平方并化简得,4)(121 n n n n y y x x
由题意得,圆P n 的半径,4)(,212212 n n n n n n n x x x x x y r
),(21
1,2,01
111
N n x x x x x x x x n
n n n n n n n 即
11
}1{
1 x x n 是以数列为首项,以2为公差的等差数列, 所以1
21,122)1(11 n x n n x n n 即
(II )4
4
22)12(
n x y r S n n n n
,
])12(1
311[2
221
n S S S T n n 因为 ))12)(32(1
5.313.111(
n n .
2
3)12(223)]1211(211[)]}
1
21
321()5131()311[(211{
n n n n
所以,.2
3
n
T
模型二:分母有理化,如:
n n n n 11
1
例3已知)2(4
1)(2
x x x f ,)(x f 的反函数为)(x g ,点)1,(1
n n a a A 在曲
线)(x g y 上)( N n ,且11 a
(I)证明数列{2
1n
a }为等差数列; (Ⅱ)设1
111
n n n a a b ,记n n b b b S
21,求n S
解(I)∵点A n (1
1, n n a a )在曲线y =g (x )上(n ∈N +),
∴点(n n a a ,11
)在曲线
y =f (x )上(n ∈N +)4)1(12
n
n
a a ,并且a n >0
2
1
141n
n a a
,),1(4112
2
1
N n n a a n
n
,∴数列{
2
1n
a }为等差数列 (Ⅱ)∵数列{2
1n
a }为等差数列,并且首项为2
11a =1,公差为4,
∴
2
1n
a =1+4(n —1),∴3
41
2 n a n ,∵a n >0,∴3
41 n a n ,
b n =1
1
11 n n a a =
4
3
4141
4341
n n n n ,
∴S n =b 1+b 2+…+b n =4
3
414.......459415 n n =
4
1
14 n 例4设4012
2
N
,则不超过1
N
n 的最大整数为 。
(2008年全国高中数
学联合竞赛浙江省预赛试题) 解:Q
,
112212N N N
n n n ,
1
1)1)11)N
n ,