二重积分的概念和性质

(3)用若干个小平顶柱体
体积之和近似表示曲顶柱
体的体积: n
o
y
V f(i,i)i
i1
(4)令小区域的
最大直
径x趋 于
零
，
n
•
i
(i,
曲顶柱体的体积为:
V lim 0
f (i ,i ) i .
i 1
２．求平面薄片的质量
设 有 一 平 面 薄 片 ， 占 有 xo 面 上 y 的 闭 区 域
从
而（ 1xy） d
D
1. 6
三、二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质）
性质１ 当k为常数时，
k (x f,y)d kf(x,y)d .
D
D
性质２ [f(x,y)g(x,y)d ]
D
f(x,y)dg (x,y)d.
D
D
（性质1、2 称为积分的线性性质）
y
性质３对区域具有可加性 (D D 1D 2)
f(,) D
.
二 重 积 分 中 值 定 理 的何几意 义 ：
当f (x, y) 0时，曲顶柱体 z
的 体 积 等 于 同 一 个 底的上
平 顶 柱 体 的 体.积
O
x
zf(x,y) •zf(i,i)
积 分 和
式
对二重积分定义的说明：
(1) 在二重积分的定义中，有两个任意性.
(2 )当 f(x ,y )在 闭 区 域 上 连 续 时 ， 定 义 中 和 式
的 极 限 必 存 在 ， 即 二 重 积 分 必 存 在 .
二重积分的几何意义
z
当被积函数f ( x, y) 0时,
o
y
V f ( x, y)d是曲顶柱体体积,
推论：
若 f,g为连续 f(x,y函 )g(数 x,y)且有一点 (x0,y0)有 f(x0,y0)g(x0,y0)则 有
f(x,y)d g (x,y)d.
D
D
性质６ 设 M 、 m 分 别 是 f(x,y)在 闭 区 域 D上 的
最 大 值 和 最 小 值 ， 为 D的 面 积 ， 则
m f(x,y)dM
闭区域 D任意分成
n
个小闭区域
，
1
2
,
，
n，其中 i 表示第 i 个小闭区域，也表示它的
面积，在每个 i 上任取一点(i ,i )，
n
作乘积 f (i ,i ) i ，并作和 f (i ,i ) i ，
i 1
记m 1ina{dx(i)}分 ( 割 的)， 细 度
其
中 d(
i） P1m ,P2ai x P1P2(
当被D积函数小于零时，二重 x
积分是柱体的体积的负值．
物理意义: 平面薄板的质量.
m
(x,
y)d
D
zf(x,y)
在直角坐标系下用平
y
行于坐标轴的直线网来划
x
分区域D，
y
则面积元素为 D
d xy dxdy
o
x
故二重积分可写为
f ( x, y)d f ( x, y)dxdy
D
D
思考题： 根据二重积分的几何意义计算积分 z
求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、 求和、取极限”的方法，如下动画演示．
播放
步骤如下：
(1)先把曲顶柱体的底区域D任意分割为n个小区
域 1,2, ,n ,每个 小 i也区 表.域 示
(2)在每个小 i区 任域 取一 (i,点 i)曲 , 顶柱体高
为f(i,i),体积近似为 z
zf(x,y)
f(i,i)i,i1,2,,n.
每小块的质 (i,量 i)近 i,i似 1,2, 为 ,n ：
(3)所有小块质量之和近似 y 等于薄片总质量
(i,i )
n
•
m (i ,i ) i
i 1
(4)令小区域的最大直径
on
i
x
趋于零，薄片的质量为：M
lim
0
i 1
( i
,i
)
i
.
二、二重积分的定义
定义 设 f ( x, y)是有界闭区域D上的有界函数，将
D （二重积分估值不等式）
证明 : 由闭区域上连续最函值数定的理, m f(x,y)M，
由性质 1和性质 4
m m d m d f( x ,y ) d M M d d M
DD D
D
D
性质７ 设函数 f ( x, y)在闭区域D上连续， 为D 的面积，则在 D 上至少存在一点( , )使得
z a2x2y2
1.
R2 x 2 y 2 d
y
D
D : x2 y2 R2
o
x
解:曲 面 zf(x,y) R2 x2 y2是 上 半,球
从 而 R2 x2 y2d14R3 2R3
D
23
3z
2. (1 x y)d , D : x y 1, x 0, y 0. o y
D
x
解:曲面 z f(x,y)1xy是一个,平面
f (x ,y )d f (x ,y )d f (x ,y )d .
D
D 1
D 2
D1
D2
O
x
性质４ 若 为D的面积，1dd.
D
D
性质５ 若在D上 f(x ,y ) g (x ,y ),
则有 f(x,y)dg (x,y)d.
D
D（不等式性质）
特殊地 f(x,y)df(x,y)d.
D
D
f ( x , y ) f ( x , y ) f ( x , y )
D ， 在 点 (x ,y)处 的 面 密 度 为 (x ,y)， 假 定 (x ,y)在 D 上 连 续 ， 平 面 薄 片 的 质 量 为 多 少 ？
Fra Baidu bibliotek
(1)将薄片分割成若干小块,区域D分割为n区域: 1, 2, , n,每个 小 i也区 表域 .示其 (2)取任意小块，将其近似看作均匀薄片，
的
i
直)
径
d
d
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零
时，这和式的极限总存在且相等，则称此极限为函
数 f ( x, y)在闭区域 D 上的二重积分，
记为 f ( x, y)d ，
D
n
即
D
f
( x,
y)d
lim
0 i1
f
(i ,i
) i.
积被 积 分积 分 区函 变 域数 量
被 积 表 达
面 积 元 素
f(x,y)df(,)
证
D
明 由 性
质（6二得 重积分中值定理）
mf(x,y)dM,
D
f(x, y)d
m D
M,
因为f (x, y)在闭区域 D连续，对于实C， 数
满足mC M，由连续函数的介值,定理
(,)D, 使得：
f (,) C.
由连续函数的,介 (,值 )D 定 ,使理得
f(x,y)d
一、二重积分 二、三重积分 三、对弧长的曲线积分 四、第一类曲面积分积分 五、数量值函数积分学的应用
第九章 第一节
二重积分
本节的主要内容
一、问题的提出； 二、二重积分的定义； 三、二重积分的性质.
一、问题的提出
１．求曲顶柱体的体积 曲顶柱体体积=？ 特点：曲顶.
zf(x,y) D
柱体体积=底面积×高 特点：平顶.