戴维宁定理和诺顿定理和含源单口的等效电路

例4－5 求图(a)所示单口网络的戴维宁等效电路。
解：在单口网络的端口上标明开路电压uoc的参考方向， 注意到i=0，可求得
uoc 1V (2) 2A 3V
将单口网络内1V电压源用短路代替，2A电流源用开路 代替，得到图(b)电路，由此求得
Ro 1 2 3 6
根据uoc的参考方向，即可画出戴维宁等效电路，如图 (c)所示。
例4－6 求图(a)所示单口网络的戴维宁等效电路。
解: 标出单口网络开路电压uoc的参考方向，用叠加定理求 得uoc为
uoc (10 ) 2A 10V (15 ) 4et A (30 60et )V
u
(6 12 ) ( i 3i ) ( 8 )i 6 12
Ro
u 8 i
例4－8 求(a)所示电桥电路中电阻RL的电流i 。
解：断开负载电阻RL，得到图(b)电路，用分压公式求得
R2 R4 uoc R R R R uS 2 3 4 1
isc称为短路电流。Ro称为诺顿电阻，也称为输入电阻 或输出电阻。电流源isc和电阻Ro的并联单口，称为单口网 络的诺顿等效电路。 在端口电压电流采用关联参考方向时，单口的 VCR方 程可表示为
1 i u isc Ro
( 4 9)
诺顿定理的证明与戴维宁定理的证明类似。在单口 网络端口上外加电压源u [图(a)]，分别求出外加电压源单
解：uoc的参考方向如图(b)所示。由于i=0，使得受控电流 源的电流3i=0，相当于开路，用分压公式可求得uoc为
12 uoc 18 V 12 V 12 6
为求Ro，将18V独立电压源用短路代替，保留受控源， 在 a、b端口外加电流源i，得到图(c)电路。通过计算端口 电压u的表达式可求得电阻Ro
10 V i1 2A 5
得到
isc 2i1 4A
为求 Ro ，将 10V 电压源用短路代替，在端口上外加电 压源u，如图(b)所示。由于i1=0，故
i＝ 2i1 0
i 求得 Go 0 u
或
1 Ro Go
由以上计算可知，该单口等效为一个4A电流源[图(c)]。
源与线性电阻串联电路来近似模拟，仪器端接负载电
阻RL时的电压为
RL U U oc Ro RL
上式可改写为
U oc U U oc Ro RL 1 RL (4 11) U U
代入已知条件可求得电阻Ro
1 0.6 Ro 900 600 0.6
12 uoc 12 V ( 24 V ) 4V 12 24
为求isc,将单口短路，并设isc的参考方向由 a指向 b，如
图(b)所示。
12 V ( 24 12 )V isc i1 i2 0.5A 12 24
为求Ro，将单口内的电压源用短路代替，得到图(c)电
( 4 5)
将独立电压源用短路代替，得到图(c)电路，由此求得
R1 R2 R3 R4 Ro R R R R 2 3 4 1
( 4 6)
用戴维宁等效电路代替单口网络，得到图(d)电路，由
此求得
uoc i Ro RL
(4 7)
从用戴维宁定理方法求解得到的图(d) 电路和式 (4 － 7) 中，还可以得出一些用其它网络分析方法难以得出的有用 结论。例如要分析电桥电路的几个电阻参数在满足什么条 件下，可使电阻RL中电流i为零的问题，只需令式(4－7)分 子为零，即
则可调整2.8k电位器的滑动端来改变Imax，使指针停留在
0处(称为电阻调零)。
§4－3 诺顿定理和含源单口的等效电路
一、诺顿定理
诺顿定理：含独立源的线性电阻单口网络 N，就端口 特性而言，可以等效为一个电流源和电阻的并联 [ 图 (a)] 。 电流源的电流等于单口网络从外部短路时的端口电流 isc； 电阻Ro是单口网络内全部独立源为零值时所得网络 No的等 效电阻[图(b)]。
例4－11 求图(a)单口网络的诺顿等效电路。
解：为求isc，将单口网络从外部短路，并标明短路电流isc 的参考方向，如图(a)所示。由 KCL和VCR求得
R1 uS isc i2 i3 iS 2 iS1 iS 2 R1 R2 R3
为求Ro，将单口内电压源用短路代替，电流源用开路
例4-14 图(a)表示某低频信号发生器。现用示波器或高内
阻交流电压表测得仪器输出的正弦电压幅度为1VLeabharlann Baidu当仪器
端接900负载电阻时，输出电压幅度降为0.6V，如图(b)所
示。 (l) 试求信号发生器的输出特性和电路模型；
(2)已知仪器端接负载电阻RL时的电压幅度为0.5V，求
电阻RL。
解：(l)就该信号发生器的输出特性而言，可视为一个含源 电阻单口网络，在线性工作范围内，可以用一个电压
示。
还可以利用以下公式从uoc,isc和Ro中任两个量求出第三 个量
uoc Ro isc
uoc Ro isc
uoc isc Ro
(4 10)
例4－13 求图(a)所示单口的戴维宁-诺顿等效电路。
解：为求uoc，设单口开路电压uoc的参考方向由 a指向 b， 如图(a)所示。注意到i=0，由KVL求得
独产生的电流[图(b)]和单口网络内全部独立源产生的电流
i″=-isc [图(c)]，然后相加得到端口电压－电流关系式
1 i i i u isc Ro
' "
上式与式(4－9)完全相同。这就证明了含源线性电阻 单口网络，在外加电压源存在唯一解的条件下，可以等效
为一个电流源isc和电阻Ro的并联。
该单口求不出确定的uoc，它不存在戴维宁等效电路。
二、含源线性电阻单口网络的等效电路
从戴维宁-诺顿定理的学习中知道，含源线性电阻单口 网络可以等效为一个电压源和电阻的串联或一个电流源和
电阻的并联 [ 图 (b) 和 (c)] 。只要能计算出确定的 uoc,isc 和 Ro
[图(d)、(e)、(f)]，就能求得这两种等效电路。
代替，得到图(b)电路，由此求得
( R1 R2 ) R3 Ro R1 R2 R3
根据所设isc的参考方向，画出诺顿等效电路[图(c)]。
例4－12 求图(a)所示单口的戴维宁-诺顿等效电路。
解：为求isc,将单口网络短路，并设isc的参考方向如图(a)所 示。用欧姆定律先求出受控源的控制变量i1
戴维宁等效电路。
在单口网络端口上外加电流源i ,根据叠加定理，端口 电压可以分为两部分组成。一部分由电流源单独作用(单口 内全部独立电源置零)产生的电压u’=Roi [图(b)]，另一部分 是外加电流源置零(i=0)，即单口网络开路时，由单口网络
内部全部独立电源共同作用产生的电压u”=uoc [图(c)]。由
式中Imax=US/Ro是万用表短路(Rx=0)时指针满偏转的电流。
上式表明，当被测电阻Rx 由变化到0时，相应的电流 I则从0变化到Imax；当被测电阻与万用表内阻相等(Rx=Ro)
时，I=0.5Imax，即指针偏转一半，停留在万用表刻度的中
间位置，当开关处于R1、R10、R100、R1k的不同位 置时，可以求得电阻Ro分别为25、250、2500、25k 左右，相应的满偏转电流Imax分别为50mA、5mA、0.5mA 和50A(设US=1.25V)。若电池的实际电压US大于1.25V，
戴维宁定理：含独立电源的线性电阻单口网络N，就端 口特性而言，可以等效为一个电压源和电阻串联的单口网络
[图(a)]。电压源的电压等于单口网络在负载开路时的电压uoc；
电阻Ro是单口网络内全部独立电源为零值时所得单口网络 N0的等效电阻 [图(b)]。
uoc 称为开路电压。Ro称为戴维宁等效电阻。在电子 电路中，当单口网络视为电源时，常称此电阻为输出电阻， 常用Ro表示；当单口网络视为负载时，则称之为输入电阻， 并常用Ri表示。电压源uoc和电阻Ro的串联单口网络，称为
将单口网络内的2A电流源和 4e 戴维宁等效电阻为
t
电流源分别用开路
代替，10V电压源用短路代替，得到图(b)电路，由此求得
Ro 10 5 15
根据所设uoc的参考方向，得到图(c)所示戴维宁等效电 路。其uoc和Ro值如上两式所示。
例4－7 求图(a)单口网络的戴维宁等效电路。
路，用电阻并联公式求得
12 24 Ro 8 12 24
根据所设uoc和isc的参考方向及求得的uoc=4V,isc=0.5A, Ro=8，可得到图(d)和(e)所示的戴维宁等效电路和诺顿等 效电路。
本题可以只计算uoc、isc 和Ro中的任两个量，另一个可 用式(4－10)计算出来。 例如uoc=Roisc=80.5V=4V isc=uoc/Ro=4V/8=0.5A Ro =uoc/isc=4V/0.5A=8
R2 R4 uoc 0 R1 R2 R3 R4
由此求得
R1 R4 R2 R3
(4 8)
这就是常用的电桥平衡(i=0)的公式。根据此式可从已
知三个电阻值的条件下求得第四个未知电阻之值。
例4－9 图(a)是MF—30型万用表测量电阻的电原 理图。试用戴维宁定理求万用表测量电阻时的电流I。
《 电 路 基 础 简 明 教 程 》 电 子 教 案
讲课内容
第四章
网络定理
§4－2 戴维宁定理
§4－3 诺顿定理和含源单口 的等效电路
§4－2 戴维宁定理
由第二章已经知道，含独立电源的线性电阻
单口网络，可以等效为一个电压源和电阻串联单
口网络，或一个电流源和电阻并联单口网络。本
章介绍的戴维宁定理和诺顿定理提供了求含源单 口网络两种等效电路的一般方法，对简化电路的 分析和计算十分有用。这两个定理是本章学习的 重点。本节先介绍戴维宁定理。
先将图中虚线部分用一个2k电阻来模拟(当2.8k电
位器的滑动端位于最上端时，它是10k和2.5k电阻的并 联)。图(b)是该万用表的电路模型，可进一步简化为图(c)
所示的电路。由此求得万用表外接电阻 Rx时的电流
US Ro US 1 I I max R Ro Rx Ro Rx Ro 1 x Ro
该信号发生器的电路模型为1V电压源与600电阻的串 联。 (2)由式(4－11)可求得输出电压幅度为0.5V时的负载电 阻
（图见下页）
1. 计算开路电压uoc的一般方法是将单口网络的外部负 载断开，用网络分析的任一种方法，算出端口电压uoc。如
图(d)所示。
2. 计算isc的一般方法是将单口网络从外部短路，用网 络分析的任一种方法，算出端口的短路电流isc，如图(e)所
示。
3. 计算Ro的一般方法是将单口网络内全部独立电压源 用短路代替，独立电流源用开路代替得到单口网络 N0，再 用外加电源法或电阻串并联公式计算出电阻 Ro，如图(f)所
解：万用表可用来测量二端器件的直流电阻值。将被测电阻 接于万用表两端，其电阻值可根据电表指针偏转的角度，
从万用表的电阻刻度上直接读出。为了便于测量不同的
电阻，其量程常分为R1, R10, R100, R1k等档，用开 关进行转换。 图(a)是一个含源线性电阻单口网络，可用戴维宁定理来 简化电路分析。
此式与式(4－5)完全相同，这就证明了含源线性电阻
单口网络，在端口外加电流源存在唯一解的条件下，可以 等效为一个电压源uoc和电阻Ro串联的单口网络。 只要分别计算出单口网络N的开路电压uoc和单口网络
内全部独立电源置零(独立电压源用短路代替及独立电流源
用开路代替)时单口网络N0的等效电阻Ro，就可得到单口网 络的戴维宁等效电路。 下面举例说明。
此得到
u u u Roi uoc
' "
当单口网络的端口电压和电流采用关联参考方向时，
其端口电压-电流关系方程可表为
u Roi uoc
端口电压表达式的方法证明如下。
(4 5)
戴维宁定理可以在单口外加电流源i，用叠加定理计算
u u u Ro i uoc
' "