三角形等积变形
三角形等积变形
三角形的等积变形是指保持三角形面积不变的情况下，通过改变其形状而产生的变化。
以下是一些常见的三角形等积变形：1.直角三角形的等积变形：可以通过改变直角三角形的两条直角边的长度来实现等积变形。
例如，将直角三角形的两条直角边同时缩放，或保持一个直角边不变，将另一条直角边拉长或缩短，以使面积保持不变。
2.等边三角形的等积变形：等边三角形的边长相等，可以通过改变等边三角形的边长来实现等积变形。
可以将等边三角形的边长同时拉长或缩短，使得面积保持不变。
3.锐角三角形的等积变形：对于锐角三角形，可以通过改变其两条边长和夹角的关系来实现等积变形。
可以保持其中一条边不变，改变另一条边的长度和夹角的大小，以使面积保持不变。
4.钝角三角形的等积变形：钝角三角形也可以通过改变边长和夹角的关系来进行等积变形。
可以保持其中一条边不变，改变另一条边的长度和夹角的大小，使面积保持不变。
这些是一些常见的三角形等积变形的示例。
以下是一些额外的例子：1.等腰三角形的等积变形：等腰三角形的两条边相等，可以通过改变等腰三角形的边长和顶角的大小来实现等积变形。
可以保持其中一条边不变，改变另一条边的长度和顶角的大小，使面积保持不变。
2.不等边三角形的等积变形：对于不等边三角形，可以通过同时改变三条边的长度来实现等积变形。
保持三条边的比例关系不变，但同时拉长或缩短三条边的长度，使面积保持不变。
3.相似三角形的等积变形：相似三角形具有相似的形状但尺寸不同，可以通过改变相似三角形的比例尺寸来实现等积变形。
保持两个相似三角形的比例关系不变，但同时缩放整个三角形的尺寸，使面积保持不变。
五大模型——三角形等积变形、共角模型
xueersi学而思网校小升初几何重点考查内容萤内容拱黑一，岛头模型（共角模型）两个三角形中有一小南相等或互补，这西小三房形叫械挂角王角形花角三角形的面枳比等于对成角（相等角或互补制三、三角夥的等秋霓形直知8平有于CD ,可加£」皿=£路两个三庵形高相等，面积比等于它们的底之比两个三用形底相尊*面积比等于它们的商之比&L 皿* &皿1 = BD；CD（★★★）已知三角形DEF的面积为18, AD : BD = 2 : 3, AE : CE= 1 : 2, BF : CF = 3 : 2,则三角形ABC的面积为？伽(…)如图，已知三角形ABC面积为1,延长AB至D,使BD = AB;延长BC至E,使CE = 2BC;延长CA至F,使AF = 3AC，求三角形DEF的面积。
^9(★★★ ★)如图将四边形ABCD四条边AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点E、F、G、H,若四边形ABCD的面积为5cm2,贝U四边形EFGH的面积是多少？例4工―(★★★)图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍，EF的长是BF长的3倍。
那么三角形AEF的面积是多少平方厘米(★★★★)如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成。
求阴影部分的面积。
4. ★★★★如图， 角形AEF 的面积是18平方厘米，三角形 ABC 的面积是（）平方厘米?C. 725. ★★图中的E 、F 、G 分别是正方形 ABC D 三条边的三等分点， 如果正方形的边长是 12, 那么阴影部分的面积是（）A . 50B . 48 C. 56 D . 45羌I 赛班 ABC 的BA 边延长1倍到D, CB 的边延长2倍到E, AC 边延 :ABC 的面积等于1 ,那么三角形DEF 的面积是多少？ B . 8 C. 3. ★★★★★如图, ABCD 的面积是 A . 130 把四边形 ABCD 的各边都延长 6,则EFGH 的面积是（）？ B. 145 C. 160D 是BC 的中点，AD 的长是 AE 长的3倍，EF 的长是BF 长的3倍.。
六年级数学上册讲义：直线型计算综合(一)
六年级数学上册讲义：直线型计算综合（一）知识点回顾 一、等积变形等底等高的两个三角形面积相等，这就是说两个三角形的形状可以不同，但只要底与高分别相等，它们的面积就相等。
第一类：两个三角形有一个公共顶点，而这个公共顶点所对的边在一条直线上且相等。
第二类：两个三角形有一条公共的底边，而这条底边上的高相等，即这条底边所对的顶点在一条与底边平行的直线上。
二、比例模型两个三角形的高相等，面积比等于它们的底边之比 两个三角形的的底相等，面积之比等于它们的高之比三、鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图⑴ 图⑵EDCBAEDCB A四、蝴蝶模型任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”或“蝴蝶模型”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯ ②()()1243::AO OC S S S S =++蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
本讲重点 1. 等积变形2. 三角形内接正方形3. 鸟头模型4. 蝴蝶模型A BC DO ba S 3S 2S 1S 4热身小练习1.如下图，在三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，阴影部分的面积是20平方厘米，三角形ABC的面积是平方厘米。
2.图中两个正方形的边长分别是5cm和3cm，阴影部分的面积是2cm。
3.下图的三角形ABC中，AD：DC=2：3，AE=EB，则甲乙两个图形面积的比是。
典型例题例1：如图，正方形ABCD的边长为12，P是AB边上任意一点，点M，N，I，H分别是边BC,AD 第2题图第3题图的三等分点，点E，F,G是边CD的四等分点，求图中阴影部分面积。
三角形等积变形
定理一：等底等高的三角形面积相等。
定理二：底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等。
定理三：若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
1. 校园里有两块三角形空地，计划分别种上玫瑰和牡丹，玫瑰园和牡丹园一共占地多少平方米？2. 如下图，已知阴影部分的面积为28平方厘米，求平行四边形的面积。
3. 下图由两个正方形组成，其边长6cm和4cm，求阴影部分的面积。
4. 已知平行四边形的底边为10cm，高为5cm，求两个阴影面积之和是多少？5. 在△ABC中，已知CD=2BD，如果△ABD的面积为15平方厘米，求△ACD的面积。
6. 在△ABC 中，AD=BD ，DE=BD ，△BEC 的面积为7.5平方厘米，求△ABC 的面积。
7. △ABC 的面积为28平方厘米，CD=3BD ，求△ABD 和△ACD 的面积。
8. 平行四边形ABCD 的面积为135平方厘米，CE=2AE,求△ABE 的面积。
9. 已知E 是BC 的中点，△ABC 的面积是60平方厘米，DE=3BD ，求△ABD 的面积。
D B CE AB C DA10. 已知△AOD的面积是15平方厘米，△BOC的面积是30平方厘米，CO=2AO，求阴影部分的面积及梯形ABCD的面积。
11. 如下图，在三角形ABC中，AD=BD，CE=3BE。
若三角形BED的面积是1平方厘米，求△ABC的面积。
12.在△ABC中，已知D是AB的中点，DE=2CE，△ADE的面积为28平方厘米，求△ABC的面积。
13.已知△ABC的面积是56平方厘米，△ADC的面积是20平方厘米，BE=3AE，求△BDE 的面积。
1. 如下图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求△ABC的面积。
2. 如下图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AC、BC的三等分点，且平行四边形的面积为54平方厘米，求阴影部分的面积。
小学数学《三角形的等积变形》练习题(含答案)
三角形ABC的面积=（12+4）×高÷2=8×高
三角形ADC的面积=4×高÷2=2×高
所以，三角形ABC的面积是三角形ABD面积的4/3倍；三角形ABD的面积是三角形ADC面积的3倍。
巩固理解结论：两个三角形等高时，面积的倍数=底的倍数
【例2】如右图，E在AD上，AD垂直BC，AD=12厘米，DE=3厘米。
而四边形CEFH是它们的公共部分，
所以三角形DHF的面积=三角形BCH的面积，
进而可得阴影面积=三角形BDF的面积=三角形BCD的面积= 10×10÷2=50（平方厘米）。
法2：连接CF，那么CF平行BD，
所以，阴影面积=三角形BDF的面积=三角形BCD的面积=50（平方厘米）。
附加题目
【附1】 如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH．求四边形EFGH的面积．
巩固理解结论：两个三角形等底时，面积的倍数=高的倍数
【例3】用两种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．
分析：法1：如图（1），将BC边四等分，连接各等分点，则△ABD、△ADE、△AEF、△AFC面积相等。
法2：如图（2），D是BC的二等分点，E、F是AC、AB的中点，从而得到四个等积三角形△ADF、△BDF、△DCE、△ADE．
【例7】图中△AOB的面积为15cm2，线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积.
分析：
【例8】（北京市第一届“迎春杯”刊赛）如右图.将三角形ABC的BA边延长1倍到D，CB边延长2倍到E，AC边延长3倍到F.如果三角形ABC的面积等于l，那么三角形DEF的面积是？
分析：连结AE、BF、CD(如右下图).由于三角形AEB与三角ABC的高相等，而底边EB=2BC，所以三角形AEB的面积是2.同理，三角形CBF的面积是3，三角形ACD的面积是1.
小学数学《三角形的等积变形》练习题(含答案)
内容概述
我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2
从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．
如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；
如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；
这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1/3，则三角形面积与原来的一样。这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．
于是：三角形ABD的面积=12×高÷2=6×高
三角形ABC的面积=（12+4）×高÷2=8×高
三角形ADC的面积=4×高÷2=2×高
所以，三角形ABC的面积是三角形ABD面积的4/3倍；三角形ABD的面积是三角形ADC面积的3倍。
巩固理解结论：两个三角形等高时，面积的倍数=底的倍数
【例2】如右图，E在AD上，AD垂直BC，AD=12厘米，DE=3厘米。
【例6】如右图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF=2CF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米?
【例7】图中△AOB的面积为15cm2，线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积.
【例8】（北京市第一届“迎春杯”刊赛）如右图.将三角形ABC的BA边延长1倍到D，CB边延长2倍到E，AC边延长3倍到F.如果三角形ABC的面积等于l，那么三角形DEF的面积是？
例题精讲
第三讲三角形的等面积变形
例 3，正方形 ABCD 和正方形 CEFG，且正方形 ABCD 边长为 10 厘米，则图中三角形 BDF 面积为多少平方厘米？
A
DG FHBEC分析:连接 CF.则 CF∥BD。则三角形 BCD 与三角形 BDF 就是这两条平行线之间的等积模型。 因为他们有一条公共的底边 BD，而他们的高的长度正好是这两条平行线之间的距离，两条
E
D
F
G
O
C
连接 FD、OD,则三角形 OFD 与三角形 OFE 是等积三角形，所以面积相等，所以凹四边形 CFDO 的面积等于三角形 CEF 的面积，都是 32 平方厘米，而 CDF 的面积为长方形面积的 一半模型，所以等于长方形面积的一半，即 12×8÷2=48（平方厘米），所以三角形 CDF 的 面积=48-32=16（平方厘米），所以 OG=16×2÷8=4（厘米）。 学案 4 如下图所示，已知三角形 BEC 的面积等于 20 平方厘米，E 是 AB 边上靠近 B 点的四等 分点。三角形 AED 的面积是多少平方厘米？平行四边形 DECF 的面积是多少平方厘米？
请同学们自己试一试吧。 学案 2，
F
A B
D
C
E
如上图，已知三角形 ABC 的面积为 1，延长 AB 至 D,使 BD=AB,延长 BC 至 E,使 CE=2BC, 延长 CA 至 F,使 AF=3AC,求三角形 DEF 的面积。 分析：连接 CD,AE.因为 AB:BD=1:1,所以三角形 DBC 的面积：三角形 ABC 的面积=1：1， 所以也是 1 个单位，因为 BC:CE=1:2,所以三角形 DCE 的面积为 2 个单位，同理三角形 ACE 的面积也是 2 个单位，因为 AC:AF=1:3,所以三角形 AEF 的面积为 6 个单位，因为三角形 ADC 的面积为 2 个单位，而 AC:AF=1:3,所以三角形 ADF 的面积为 6 个单位，这样 DEF 的 面积为 6+6+2+2+1+1=18 个平方单位。
三角形的等积变形
三角形的等积变形一、等积变形【例1】★★★三个正方形ABCD，BEFG，HKPF如图所示放置在一起，图中正方形BEFG 的周长等于14厘米。
求图中阴影部分的面积。
二、倍比关系【例2】★★★如图，有四个长方形的面积分别是1平方厘米、2平方厘米、3平方厘米和4平方厘米，组合成一个大的长方形，求图中阴影部分的面积。
【几个重要的模型】模型一：同一三角形中，相应面积与底的正比关系：即：两个三角形高相等，面积之比等于对应底边之比。
bS1︰S2 =a︰b ；模型一的拓展：等分点结论（“鸟头定理”）如图，三角形AED占三角形ABC面积的23×14=16模型二：任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）S 4S 3s 2s 1O DCBA①S 1︰S 2=S 4︰S 3 或者S 1×S 3=S 2×S 4 ②AO ︰OC=（S 1+S 2）︰（S 4+S 3） 模型三：梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）①S 1︰S 3=a 2︰b 2②S 1︰S 3︰S 2︰S 4= a 2︰b 2︰ab ︰ab ; ③S 的对应份数为（a+b ）2模型四：相似三角形性质hh H cb a CB Aac b HC BA①a b c hA B C H=== ; ②S 1︰S 2=a 2︰A 2模型五：燕尾定理S △ABG ：S △AGC ＝S △BGE ：S △GEC ＝BE ：EC ； S △BGA ：S △BGC ＝S △AGF ：S △GFC ＝AF ：FC ； S △AGC ：S △BCG ＝S △ADG ：S △DGB ＝AD ：DB ；F D CBAS 4S 3s 2s 1ba。
三角形的等积变换
三角形的等积变换
一个平面上的三角形是由三条边及其所对的三个角所确定的一个图形。
对于一个给定的三角形，我们可以进行一系列的等积变换，将其变形成为另外一个三角形。
等积变换是指变换前后保持三角形面积不变的变换。
下面我们将介绍常见的三角形等积变换及其性质。
1. 平移变换
平移变换是指将一个图形沿着某个方向平移一段距离后得到的新图形。
对于一个三角形，平移变换可以以任意一条边或其延长线作为平移的方向，并将它平移一个向量。
平移变换不改变三角形的面积及其内角大小。
2. 旋转变换
3. 翻折变换
4. 相似变换
5. 仿射变换
综上所述，三角形的等积变换包括平移变换、旋转变换、翻折变换、相似变换和仿射变换，它们可以将一个三角形变形为其他形态的三角形，但不改变其面积及其内角大小。
在三角形的等积变换中，相似变换是最为常见和重要的变换。
三角形等积变形
三角形等积变形
三角形是几何学中的一个基本形状，具有三条边和三个角。
在数学中，我们学习过三角形的性质和各种定理，但在生活中，三角形的形状也经常出现在我们的眼前。
而在艺术中，三角形等积变形是一种常见的设计元素，可以为作品增添美感和动感。
在建筑设计中，三角形等积变形常常被用来设计建筑的外观和结构。
例如，许多现代建筑采用了三角形的形状，不仅可以增加建筑的美感，还可以提高建筑的稳定性和结构强度。
这种设计不仅具有美学上的价值，还具有实用性，体现了建筑师对结构和功能的兼顾。
在艺术作品中，三角形等积变形也经常被运用。
艺术家们通过将三角形等积变形组合在一起，创造出各种美丽的图案和设计。
这些作品不仅具有装饰性，还可以传达出艺术家的情感和思想。
三角形等积变形的组合可以产生无穷无尽的可能性，让人们在欣赏作品的同时，感受到艺术家的创意和灵感。
在日常生活中，三角形的形状也随处可见。
比如，许多家具和装饰品都采用了三角形的设计，为家居空间增添动感和现代感。
此外，一些日常用品如餐具、文具等也常常采用三角形的形状，方便使用的同时也美观大方。
总的来说，三角形等积变形在各个领域都有着重要的作用。
无论是在建筑设计、艺术创作还是日常生活中，三角形的形状都能给人带
来美的享受和视觉上的愉悦。
通过运用三角形等积变形，人们可以创造出无限的可能性，展现出自己的创意和想象力。
让我们一起欣赏和探索三角形等积变形的魅力，感受美的力量和无限的可能性。
讲义模板三角形的等积变形
龙文教育学科教师辅导讲义课题三角形的等积变形教学目标灵活运用三角形和四边形的面积公式重点、难点掌握三角形的等积变形技巧考点及考试要求能求较规则图形的面积，或较规则变化的图形的面积教学内容、问题探究4.画一个三角形，使它的面积与上面的五边形面积相等。
---------------- 1归纳总结：1、三角形的面积=丄底边长迸高；即：______________________________________ 。
2所以，两个面积相等的三角形，当底边相等时，高也相等；反之亦然。
2、当两个三角形高相等时，面积之比等于底边长之比。
即：若h i = h2 ；则-----------------------1.用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形4.E 匚3、当两个三角形的底边长相等时，面积之比等于高之比。
即：若 印=:a 2 ；则 ________________________快速反应:1. 如右图，在梯形 ABCD 中，AC 与BD 是对角线，其交点 0,已知△ AOB 的面积为4,△ A0D 的面积为2，则△ C0D 勺面积为 ，△ BOC 的面积为 .2 .如右图，已知在厶 ABC 中，BE=3AE CD=2AD 若厶ADE 的面积为1平方厘米.则△ BDE 的面积为 ，△ ABC 的面积为典型例题：例1.如图，四边形 ABCD 面积为1，且AB=AE BC=BF DC=CG AD=DH 则四边形 EFGH 的面积为BD=2AD AG=2CG BE=EF=FC 若S ABC = 27 ,则图中阴影部分的面积为例4.如图，在平行四边形 ABCD 中,直线CF 交AB 于E ,交DA 延长线于F ,若S A ADE=1则厶BEF 的面积为 _____________________例2.如图，在△ ABC 中, 例3.如图，ABC 场平行四边形, EF 平行AC,如果△ ADE 的面积为4平方厘米.则三角形CDF 的面积为E F cC ________ BF二、拓展提升问题探索:1 .如下各图，长方形ABCD勺长均为20,宽均为12,分别求阴影部分的面积。
小升初之三角形等积变形
A三 角 形 等 积 变 形1、等积形：面积相等的两个图形称为等积形。
2、三角形的等积变形。
三角形的等积变形指的是使三角形面积相等的变换。
3、三角形面积计算公式。
S ∆ = 底⨯高÷ 24、三角形等积变形中惯用到的几个重要结论。
（1） 平行线间的距离到处相等。
（2） 等底等高的两个三角形面积相等。
（3） 底在同一条直线上并且相等，它们所对的角的顶点是同一种，这样的两个三角形面积相等（4） 若两个三角形的高（或底）相等，其中一种三角形的底（或高）是另一种三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一种三角形面积的几倍。
（5） 若几个三角形的底边相等，并在两条平行线中的同始终线上，并且相等的底边所对的顶点在两条平行线中的另一条上，则这几个三角形面积相等。
分别作出下面三个三角形各边上个高，并对应指出。
（如：BC 边上的高是 AD ）ACB CCBAEE E典型例题：例 1、∆ABC 中，D 是BC 边中点，连接 AD ， ∆ABC 与∆ACD 的面积有什么关系？B D E C例 2、三角形 ABC 中，BD=DC ，AE=2BE ，已知△ACD 的面积是 60 平方厘米，求阴影部分的面积。
ABDC例 3、在三角形 ABC 中（如图），DC=2BD ，CE=3AE ，阴影部分的面积是 20 平方厘米。
求三角形 ABC 的面积。
BDC例 4、长方形 ABCD 的面积是 16 平方厘米,E 、F 分别为 AD 、DC 边上的中点，求阴影部分的面积．ADFBCEBO例 5、以下图，图中 BO=2DO ，阴影部分的面积是 10 平方厘米，求梯形 ABCD 的面积是多少平方厘米？ADBC知识反馈：1、思考：已知平行四边形的底是 16 厘米，高是底的二分之一，求阴影部分的面积。
2、如图所示 CD=2BD ，△ABC 中的面积为 6，求△ACD 的面积是多少？ABDC3、已知三角形 ABC 面积为 8，2BD=AB ，BE=CE ，求三角形 DBE 的面积？DCA4、平行四边形 ABCD 的面积是 32 平方厘米,E 、F 分别为 AD 、DC 边上的中点，求阴影部分的面积．AFEADO5、图中 CD ＝3BD ， ∆ABD 的面积为 2，求∆ABC 的面积是多少？ABDC6、如图，在三角形 ABC 中，D 是 BC 的中点，E 、F 是 AC 的三等分点。
六年级下册数学讲义-小升初培优：第02讲 三角形面积——等积变形(上)(解析版)全国通用
第02讲三角形面积——等积变形（上）教学目标：1、让学员理解并掌握等积变形的思想方法；2、把等积变形的知识点与生活实际问题结合起来；3、让学员在操作、观察、填表、讨论、归纳等数学活动过程中，体会等积变形、转化等数学思想方法，发展空间观念，发展初步的推理能力。
教学重点：掌握等积变形的思想方法。
教学难点：等积变形在实际问题中的应用。
教学过程：【环节一：预习讨论，案例分析】【知识回顾——温故知新】（参考时间-2分钟）1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，可以用符号“□”表示。
从□ABCD的一边AD上一点向对边BC画垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形BC边上的高，边BC叫做平行四边形的底；2.平行四边形的对边相等、对角相等；平行四边形四条边确定了，它的形状、大小还不能完全确定；3.如果用字母S表示平行四边形的面积，用a和h分别表示平行四边形的底和高，那么平行四边形的面积公式为：S=ah。
（其中h是底a上的高）。
【知识回顾——上期巩固】（参考时间-3分钟）如图，在一个平行四边形中，两对平行于边的直线将这个平行四边分为9个小平行四边形，如果原来这个平行四边形的面积为99cm2，而中间那个小平行四边形（阴影部分）的面积为19 cm2，求四边形ABCD的面积。
解析部分：把四边形ABCD的面积分为阴影部分和周围空白的4个三角形来看。
仔细观察，可以发现：周围空白的4个三角形分别占所在平行四边形（由2个小平行四边形组成）的一半，则4个三角形的面积等于周围8个小平行四边形面积的一半。
给予新学员的建议：对于图形进行纸上的多多操作并有所思考，画图尽可能的精确。
哈佛案例教学法：鼓励学员积极参与小组内的讨论，并积极发言进行回答，带动起课堂氛围。
参考答案：S=（99-19）÷2+19=59（cm2）【预习题分析——本期预习】（参考时间-7分钟）如图，在△ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE，那么与△ABE等积的三角形一共有哪几个三角形？解析部分：求三角形的面积一般需要知道三角形的底和高，而本题这些条件都未知。
三角形的等积变形六年级
第四讲三角形的等积变形〈精讲〉一、知识要点：三角形的面积公式是从平行四边形的面积推导而来的，两个同样的三角形可以拼成一个平行四边形，所以，三角形的面积是和它等底等高的平行四边形面积的一半。
三角形的面积公式是：、三角形的面积＝底×高÷2，所以两个三角形主要它们的底和高相等，这两个三角形的面积就相等。
在解答一些求平面图形面积的题目时，经常要用到“等底等高的两个三角形面积相等”的方法来解答。
三角形的面积与三角形的底和高有关。
在观察三角形的底和高是否相等时，要注意看等分点，等分后的线段相等；平行线之间的距离相等。
钝角三角形的高可能在三角形之外，要注意观察。
还有时候，要通过画辅助线，才能找到等底等高的三角形，而三角形底边的中点和顶点的连线能把一个三角形平分成两个面积相等的三角形。
二、典型例题解析：例1、如图所示，三角形ABC的面积为56平方厘米，是平行四边形DEFC的2倍，求阴影部分的面积。
例2、如图，四边形ABCD中，E为AB的中点，F为CD的中点。
如果四边形ABCD的面积是120平方厘米，求阴影部分BEDF的面积是多少？例3、图中小正方形边长是6厘米，求三角形AGC的面积。
例4、求如图所示的长方形中，阴影部分的面积和（单位：厘米）三角形的等积变形〈精练〉1、如图三角形ABC的面积为36平方厘米，BD＝2DC，求三角形ADC的面积。
2、求阴影部分的面积（单位：厘米）3、求图中阴影部分的面积（单位：厘米）4、如图，四边形ABCD中，AE长5厘米，AB长10厘米，FC长12厘米，DC长15厘米，求阴影部分的面积5、如图，阴影部分面积是54平方厘米，三角形ABC是平行四边形CDEF面积的3倍，求三角形ABC的面积。
姓名学校学号________________ 成绩三角形的等积变形〈作业〉1、如图所示的大正方形的边长是10厘米，求阴影部分的面积。
2、如图所示的长方形的长为12厘米，宽为6厘米，把它的长3等份，宽2等份，然后在长方形内任取一点，把这一点与分点及顶点联结起来。
六年级数学奥数培优教案(下册)三角形之等积变形
我们已经知道三角形的面积公式为： S ∆ =21⨯ 底⨯高 。
这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)．同样若三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：【结论 1】等底等高------若两个三角形等底等高，则这两个三角形的面积相同（图①）；【结论 2】同底看高------若两个三角形等底，但高不等，则这两个三角形面积比等于高之比（图②）；【结论 3】同高看底------若两个三角形等高，但底不等，则这两个三角形面积比等于底之比（图③）；=∆∆DBC ABC s s : ;=∆∆DBC ABC s s : ;=∆∆ADC ABD s s :【例1】用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．【例2】如图，在△ABC 中， FC : DF : BD = 4 : 3 : 2 ，已知△AFC 的面积为 48cm 2，E 为 AF 的中点。
求阴影部分的面积。
专题：三角形之等积变形【例 3】如右图，长方形 ADEF 的面积是 16 平方厘米，三角形 ADB 的面积是 3 平方厘米，三角形 ACF 的面积是 4 平方厘米，则三角形 ABC 的面积是多少？AFC DBE1、如图，△ABC 的每边长都是 96cm ，用折线把这个三角形分割成面积相等的 4 个三角形，求线段 CE 和 CF 的长度和为 。
2、用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及 1∶3∶4。
3、如图，△ABC 的面积为 1，且 BD =21DC , AF = 21FD , CE = EF ,则△DEF 的面积是多少？4、如图，已知在△ABC 中，BE=3AE ，CD=2AD ．若△ADE 的面积为 1 平方厘米．求三角形 ABC 的面积．1、如图，怎样把四边形 ABCD 改成一个等积的三角形？（作图说明）2、如图，在△ABC 中，BD = 2AD ，AG = 2CG ，BE = EF = FC = 31BC ，求阴影部分面积占△ABC面积的几分之几？3、如图，在平行四边形 ABCD 中，直线 CF 交 AB 于 E ，交 DA 延长线于 F ，若 S △ADE =1，求△BEF 的面积．4。
2024年 三角形中的重要模型等积模型(含答案)
专题07 三角形中的重要模型-等积模型三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。
本专题就三角形中的等积模型（蝴蝶（风筝）模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1. 等积变换基础模型1）等底等高的两个三角形面积相等；如图1，当AB //CD ，则ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB //CD 。
图1 图2 图32）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如图2，当点D 是BC 边上的动点时，则S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC 。
如图3，当点D 是BC 边上的动点，BE ⊥AD ，CF ⊥AD 时，则S △ABD ∶S △ADC ＝BE ∶CF 。
A ．4B ．3【答案】D 【分析】利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，由此利用已知条件可以分别求出BDC BED S S 、V V ．A．9B．【答案】B【分析】利用中线等分三角形的面积进行求解即可．V【详解】解：∵BD是ABC【答案】12【分析】根据高相等的两个三角形的面积之比等于底之比可得答案．【详解】解：:QCG GF=【答案】14.4【分析】连接BF , 12BDC ABC S S =V V ；根据示为2BDC S V 和3S V∵CD 为AB 边上中线，∵2BE CE =， S \V 2ABC BDC S S \==V V(1)如图2，延长ABC V 的边BC 到点D ，使CD BC =，连接DA （用含a 的代数式表示）；(2)如图3，延长ABC V 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使面积为2S ，则2S = （用含a 的代数式表示）；(3)在图3的基础上延长AB 到点F ，使BF AB =，连接FD ，积为3S ，则3S =（用含a 的代数式表示）；Q 延长ABC V 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD BC =，AE \12ACD AED ECD S S S D D D ==，ACD ABC S D ，22ECD ABC S S a D D \==，即2S （3）由（2）得2ECD ABC S S D D ==同理：22EFA ABC S S a D D ==，2ECD BFD S a D D =，3ECD EFA S S S S D D \=++∵点E 是线段AD 的中点，12BCE ABC S =V ．∥，连接，若过C作CE AB模型2.蝴蝶（风筝）模型蝴蝶模型（定理）提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
最新小学奥数 三角形的等积变形教师版
A
乙 E
甲
B
D
C
连接 AD.因为 BE=3,AE=6,所以 BE:AE=3:6=1:2,设甲部分的面积为 1 个单位，那么三角形
AED 的面积为 2 个单位，这样 ABD 的面积为 3 个单位，因为 BD:CD=1:1,所以三角形 ADC
的面积也为 3 个单位，这样乙部分的面积为 3+3-1=5 个单位，所以乙部分是甲部分面积的 5
，它们 所对的顶点同为 A 点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相
等． 同时也可以知道△ABC 的面积是△ABD 或△AEC 面积的 3 倍．
例如在右图中，△ABC 与△DBC 的底相同（它们的底都是 BC），它所对的两个顶 点 A、D 在与底 BC 平行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形 的面积相等．
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例如右图中，△ABC 与△DBC 的底相同（它们的底都是 BC），△ABC 的高是△DBC 高的 2 倍（D 是 AB 中点，AB=2BD，有 AH=2DE），则△ABC 的面积是△DBC 面积的 2 倍．
上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据． 例 1 用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．
方法 2：如右图，先将 BC 二等分，分点 D、连结 AD，得到两个等积 三角形，即△ABD 与△ADC 等积．然后取 AC、AB 中点 E、F，并连结 DE、 DF．以而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、△DCE、△ADE 等积．
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例 2 用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比 为及 1∶3∶4．
A
B
E
C
D
如图，连接 AD,因为 BC:CE=1：1，所以三角形 ACD 的面积：三角形 ABC 的面积=1：1， 所以三角形 ACD 的面积=1，三角形 ABD 的面积=2，因为 AB:BE=1:2,所以三角形 ADE 的 面积为 4. 5、三角形 ABC 被分成了甲、乙两部分，BD=DC=4,BE=3,AE=6,乙部分面积是甲部分面积的 几倍？
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例5 如右图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE 的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．
解法1：连结BD，在△ABD 中 ∵ BE=3AE， ∴ S△ABD=4S△ADE=4 （平方厘米）． 在△ABC中，∵CD=2AD， ∴ S△ABC=3S△ABD=3×4=12 （平方厘米）．
上述结论，是我们研究三角形等积变形的 重要依据．
方法2：如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD， 得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC等 积．然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以 而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、 △DCE、△ADE等积．
例2 用三种不同的方法将任意一个三角形分成 三个小三角形，使它们的面积比为及 1∶3∶4．
三角形等积变形
我们已经掌握了三角形面积的计算公式： 三角形面积=底×高÷2
这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决 于三角形底和高的乘积．
①等底等高的两个三角形面积相等．
例如在右图中，若△ABD与 △AEC的底边相等 （BD=DE=EC=BC） ，它们所对的顶点同为A点， （也就是它们的高相等） 那么这两个三角形的面积 相等． 同时也可以知道△ABC 的面积是△ABD或 △AEC面积的3倍．
证明：∵△ABC与△DBC等 底等高， ∴S△ABC=S△DBC 又∵ S△AOB=S△ABC—S△BOC S△DOC=S△DBC— S△BOC ∴S△AOB=S△COD．
例4 如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形
分析 本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二 是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可以利用三角 形等积变形的方法，如右图， 把顶点A移到CB的延长线上的A′处， △A′BD与△ABD面积相等，从而 △A′DC面积与原四边形ABCD面积也 相等．这样就把四边形ABCD等积地 改成了三角形△A′DC．问题是A′位 置的选择是依据三角形等积变形原 则．过A作一条和DB平行的直线与 CB的延长线交于A′点． 解：①连结BD； ②过A作BD的平行线，与CB的 延长线交于A′． ③连结A′D，则△A′CD与四边形 ABCD等积．
例9 如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E， 交DA延长线于F，若S△ADE=1，求△BEF的面积． 解：连结AC，∵AB//CD， ∴S△ADE=S△ACE 又∵AD//BC， ∴S△ACF=S△ABF 而 S△ACF=S△ACE+S△AEF∶ S△ABF=S△BEF+S△AEF ∴ S△ACE=S△BEF ∴S△BEF=S△ADE=1．
再 见
方法 1：如下左图，将 BC边八等分，取 1∶3∶4的分点D、E， 连结AD、AE，从而得 到△ABD、△ADE、 △AEC的面积比为 1∶3∶4．
DE，从而得到三个三角形：△ADE、△BDE、 △ACD．其面积比为1∶3∶4．
当然本题还有许多种其他分法，同学们可 以自己寻找解决
例3 如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线， 其交点O，求证：△AOB与△COD面积相等
②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角 的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两 个三角形面积相等．
例如在右图中，△ABC与 △DBC的底相同（它们的 底都是BC），它所对的 两个顶点A、D在与底BC 平行的直线上，（也就 是它们的高相等），那 么这两个三角形的面积 相等．
③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角 形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个 三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍． 例如右图中，△ABC与 △DBC的底相同（它们的底 都是BC），△ABC的高是 △DBC高的2倍（D是AB中点， ABБайду номын сангаас2BD，有AH=2DE），则 △ABC的面积是△DBC面积 的2倍．
例8 如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE， BC=BF，DC=CG，AD=DH．求四边形EFGH的面积．
解：连结BD，将四边形ABCD分 成两个部分S1与S2．连结FD， 有S△FBD=S△DBC=S1 所以 S△CGF=S△DFC=2S1． 同理 S△AEH=2S2， 因此 S△AEH+S△CGF=2S1+2S2=2 （S1+S2）=2×1=2． 同理，连结AC之后，可求 出S△HGD+S△EBF=2所以四边 形EFGH的面积为2+2+1=5（平 方单位）．
解法2：连结CE，如右图所示，在△ACE中，
∵ CD=2AD， ∴ S△ACE=3S△ADE=3 （平方厘米）． 在△ABC中，∵BE=3AE ∴ S△ABC=4S△ACE =4×3=12（平方厘 米）．
例6 如下页图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG， BE=EF=FC。求阴形面积。
解：连结BG，在△ABG中，
∴ S△ADG+S△BDE+S△CFG
例7 如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果 △ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的面积．
解：连结AF、CE， ∴S△ADE=S△ACE； S△CDF=S△ACF；又∵AC 与EF平行， ∴S△ACE=S△ACF； ∴ S△ADE=S△CDF=4（平方 厘米）．