信号与系统--第六章 傅里叶变换的应用

18
§6.3 理想低通滤波器
• Gibbs现象
– 有第一类间断点的信号通过理想低通产生的现象。
H
k
u(t)
F u t
1
j
-σ
o
ω
σ
-σ o
ω
σ
σ截断
19
§6.3 理想低通滤波器
f (t)
FFft
FFuu
fc(t)
o
t0
t
l i m f t l i m F 1 F fG ti 的 b b 连 s 现 续 象 点 ， ， 第 得 一 到 类 原 间 信 断 号 点 ft
– f t 满足Paley－Wiener定理，由 F 如何 构造 hthtut？ (1) FjFjFj2已知 (2)令s j ，构造 FsFs，零点／极点分
布在 s 全平面；
(3)取 FsFs 在左半开平面的零／极点构造
H(s)， H(s)即为所求。由此方法得到的H(s)是 严格最小相位的，在不考虑比例因子的差别时 H(s)是唯一的。
– Btr 4
16
§6.3 理想低通滤波器
– t r 也可有其他定义：tr:0 :1 或 tr:0 .1 :0 .9 l e v e l电 平 ,
但无论怎样定义总有 Btr C（常数）。
– 为实现脉冲信号
的传输，
o
t
t
需满足 2 trB C ,即 CB 。
17
§6.3 理想低通滤波器
–
yt
信号与系统
第六章 傅里叶变换的应用
第六章 傅里叶变换的应用
• §6.1 傅里叶系统函数 • §6.2 无失真传输 • §6.3 理想低通滤波器 • §6.4 系统的物理可实现性 • §6.5 希尔伯特变换 • §6.6 带通信号通过带通系统
2
§6.1 傅里叶系统函数
• 1.定义：
–
适用范围
v(t)
29
§6.5 希尔伯特变换
– f t f tu t因 果 信 号
F f t F f t u t
F R jX
R
jX
1 2
1 j
1 2
R
X
1
1 2
j
X
-
jR
1
R 1 X 1
X 1 R 1
30
§6.6带通信号通过带通系统 ——复包络方法
– (2) 若at常数,tFft,非线性调制 t-td-tFf d,为调频,特别的,
tKf t,tK-tf d线性调频
– (3) 若 a t 常 数 , t K f t 为 调 相 非 线 性 调 制
– (4) 若 ft含 于 a t和 t中 ,则 为 幅 相 联 合 调 制
幅 相 联 合 调 制 非 线 性 调 制
34
§6.6带通信号通过带通系统
令 F x t X F x * t X *
X
X X *
X* e j
-ωH
o
ω
ωH
-ωH
o
ω
ωH
-ωH o
ωH
ω
-ωH o
ωH
ω
35
§6.6带通信号通过带通系统
F st 1 2 X c X * c
lnF
12
d,
则存在hthtutL20,L2,,
其H F。
21
§6.4 系统的物理可实现性
– ft L 2 , ,则 + ft2 d t + F 2 d f
-
-
– L 2 空间中，满足Paley－Wiener定理的幅度谱 才可能有因果实现，不满足则不能实现。
物理可实现
L2 ,
P-W条件
t0uu 14
§6.3 理想低通滤波器
• 冲激响应δ(t：) h tF 1F S a t t0
输
入
非因果
o
h(t)
t 非BIBO稳定
o
t0
t0
t
15
t0
§6.3 理想低通滤波器
Y(t)
• 阶跃响应： 1
o
t
o
t
t0
yt t Sat0d
t0
– B 2 等效带宽
– t r 上升时间，m in y t:m a x y t,tr 2
• Rff Rfˆfˆ
• 复信号没有定义Hilbert变换
• 一个实信号ft,若 F0,当 ,0,
则 fˆtFft存 在 。
28
§6.5 希尔伯特变换
• 2.应用
– 一个实信号f(t)的解析信号 ztftjfˆt
– FztFf tjF fˆt
Fj-jsgnF 2FU
解析信号f t的F在域为因果信号右边信号
24
§6.5 希尔伯特变换
• 定义：实信号 f x 的Hilbert变换 fˆ x 定义为：
fˆx@ 1fx1 x 1-+ x f d
• fˆ x 的逆Hilbert变换 f x ：
fx@ 1fˆx1 x 1-+ x fˆ d
25
§6.5 希尔伯特变换
f x
hx 1
x
fˆ x
Ythtvt
h(t)
零状态，因果/非因果
冲激响应
3
§6.1 傅里叶系统函数
–
适用范围
v(t)
YtHpvt
H(p)
零状态，因果/非因果
系统算子
p 1vtet vt,t0
4
§6.1 傅里叶系统函数
–
V(s)
YsHsVs H(s)
系统函数
适用范围
零状态，因果系统、因果信号
5
§6.1 傅里叶系统函数
பைடு நூலகம்
V(jω)
39
结束
32
§6.6带通信号通过带通系统
• 2.复包络
st atcosct t at和t都是实函数
1a t
2
ejctt
e-jctt
1 a t ejtejct 1 a t e e -jt -jct
2
2
1 2
x t ejct
1 2
xt
ejct
*
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§6.6带通信号通过带通系统
• 定义：带通信号的复包络为xtatejt x t 为 基 带 带 限 信 号 s t 为 带 通 带 限 信 号
7
§6.1 傅里叶系统函数
• 2.矩阵 A n * n ,d e t I A 0 1 , L ,n 特 征 根
A i ii,0 i R n ,i 1 ,2 ,L ,n ,i为 n 个
线 性 无 关 的 特 征 向 量 。
span1,L,n, X Rn,X = 1122Lnn
n
n
n
A X = A ii iA i iii……谱方法
F s t
-ωC
o
ω ωC
-ωC
o
ω ωC
36
§6.6带通信号通过带通系统
• 3.带通系统
h t h 0 tc o s c t t 1 2 h b te j c t 1 2 h b * te - j c t
为带通系统的冲激响应
hbth0tejt
为带通系统的冲激响应的复包络
37
§6.6带通信号通过带通系统
i1
i1
i1
8
§6.1 傅里叶系统函数
vt
Yt
T:H(s)
–
若vtL1
T21
,T21 ,则vt
Vnejn1t
n-
,t
T21
,T1 2
,
BIBO稳定
ytTvt VnTejn1t
VnH jn1 ejn1t
n-
n-
算子谱 特征函数
与线性代数中的谱方法相对应。 （特征根）
9
§6.1 傅里叶系统函数
– 若vtL1,,则vt +Vejtdf , -
ytTvt +V Tejt df -
+VHejtdf -
htvt
10
§6.2 无失真传输
• 1. vt
Asin1tBsin2t
H(s)
Yt
Csin1t1Dsin2t2
Csin1t 11Dsin2t 22
– 若 C AD B ，则产生幅度失真；
22
§6.4 系统的物理可实现性
– H K，物理可实现，htKtL2
+ht2dt+K2df
-
-
– 任意有限频段为零的 f t ，不可实现。
–
f
t
1
2
exp
t2 2
F
e2
+
2
- 12 df
? 1
+ 2 - 2
df
物理不可实现,但 f tL2 ,
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§6.4 系统的物理可实现性
k
ω o ω o
– (1)群延迟：dd t0时 间 延 迟
– (2)无失真传输系统 全通。 – (3)无失真传输系统 BIBO稳定。
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§6.3 理想低通滤波器
• 定义：对 带限信号
F F u u
能无失真传输的系统。
H
HHej
k
-σ o
ω
σ
-σ
o
ω
σ
HKuu
Hb
ω
o
F ht
-ωC
o
ω ωC
38
§6.6带通信号通过带通系统
• 4.带通信号通过带通系统
st
ht
a t cos ct t h0 t cos ct t
Y t
Ytstht1R eY % tej ct 2
Y% thbtst
零状态响应
带通信号的复包络
带通系统的冲激响应的复包络
输出信号的复包络
hx 1
x
fˆ x • 非BIBO稳定 f x • 非因果
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§6.5 希尔伯特变换
• F 1 t js g n e j 2 s g n ,相 当 于 2 移 相 器 。
H
1
o
2
ω o
ω
2
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§6.5 希尔伯特变换
• Hilbert变换器对fˆ t 存在的信号构成全通系统； • f t, fˆt 0
– 若 1 12 2，则产生相位失真；
线性失真
– 若产生新的频率则称为非线性失真。
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§6.2 无失真传输
• 2.无失真传输 输出克隆输入
xt
输 入
Yt Y
输 出
t
kx
t
t0
h t k t t0
H F h t ke jt0
H k, t0
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§6.2 无失真传输
H
t
Sa
t0 d
1
tt0 sin x dx
x
1
0 sin x 1
dx
x
0
tt0
sin x
x
dx
1 2
1
Si
t0
max
y
t
y
t
|tt0
1 2
1
Si
1.0895
正弦积分
min
y
t
y
t
|tt0
1 2
1
Si
0.0895
当 时,阶跃响应的峰起：max y t 1.0895是不变的。
• 1.带通信号
– 基带信号：未经调制，等效带宽有限的信号。
– 带通信号：基带信号经调制即成为带通信号。
–
f t 调制器 St statco s ct t
cosct
载波角 频率
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§6.6带通信号通过带通系统
– (1) 若 a t A B f t , t 常 数 , 调 幅 线 性 调 制
Y j H jV j
H(jω)
y t F 1 H j V j
系统函数
– 傅里叶系统函数：H jFht
– 适用范围：零状态，v t 是稳定信号，htL1,
即BIBO稳定，因果/非因果。
6
§6.1 傅里叶系统函数
– 微分方程：由 HpN Dp p,ytN Dp pvt DpytNpvt y0,L, yn1 0在零状态时为0, y0,L, yn1 0在零状态时不为0
– Gibbs现象：第一类间断点的不一致收敛现象
– 当 时，相对峰起为9%不变量；
– 当 t t 0 时，12y t0 y t0 。 20
§6.4 系统的物理可实现性
－Paley-Wiener准则
• 物理可实现 hthtut因果
• Paley－Wiener定理：
对f
tL2,,若满足+ -