第3章 静定梁和静定刚架
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第三章—静定梁和静定刚架
q
图（1） 图（2）
M
N
Q
P P
P
M
N
Q
FBX FBY
FAX FAY
P
FN 3 FN 2 FN1
§3-1 静定梁的内力计算的回顾
三．荷载与内力之间的微分关系
qy
由平衡条件可导出 微分关系如下：
M
N
qx
O
Q dx y
M dM
N dN x
Q dQ
dN dx
qx
dQ dx
qy
dM dx
FQ
BC
Q C
MC 0 Y 0
MC 26KN m QC 9KN
M E 16KN m
G EF
QE
7kN
ME 0 Y 0
M E 30 KN m QE 7KN
§3-2 分段叠加法作弯矩图
MG 0 Y 0
MG 0 QG 7KN
MG
G
QG
7kN
Step3: 绘制内力图 A BC D E F G
§3-3 静定多跨梁
【例3.2】 试求图示梁的内力图
解： Step1: 分层求支反力
ABC部分：
MB 0 Y 0
RC 0.5P RB 1.5P
P
A BC
RB
RC
DE RD
CDE部分：
M D 0 RE 0.25 P Y 0 RD 0.75P
P
AB
a 2a
P
AB
RE
F MF
RF
C D EF
a 2a a
C D
E F
EF部分：
ME 0 Y 0
M F 0.25Pa RF 0.25P
§3-3 静定多跨梁
图（1） 图（2）
M
N
Q
P P
P
M
N
Q
FBX FBY
FAX FAY
P
FN 3 FN 2 FN1
§3-1 静定梁的内力计算的回顾
三．荷载与内力之间的微分关系
qy
由平衡条件可导出 微分关系如下：
M
N
qx
O
Q dx y
M dM
N dN x
Q dQ
dN dx
qx
dQ dx
qy
dM dx
FQ
BC
Q C
MC 0 Y 0
MC 26KN m QC 9KN
M E 16KN m
G EF
QE
7kN
ME 0 Y 0
M E 30 KN m QE 7KN
§3-2 分段叠加法作弯矩图
MG 0 Y 0
MG 0 QG 7KN
MG
G
QG
7kN
Step3: 绘制内力图 A BC D E F G
§3-3 静定多跨梁
【例3.2】 试求图示梁的内力图
解： Step1: 分层求支反力
ABC部分：
MB 0 Y 0
RC 0.5P RB 1.5P
P
A BC
RB
RC
DE RD
CDE部分：
M D 0 RE 0.25 P Y 0 RD 0.75P
P
AB
a 2a
P
AB
RE
F MF
RF
C D EF
a 2a a
C D
E F
EF部分：
ME 0 Y 0
M F 0.25Pa RF 0.25P
§3-3 静定多跨梁
01-静定梁和超定结构知识点小结
第3章 静定梁和静定刚架（知识点小结）一、杆件内力分析方法1、内力分量轴力N F 是横截面上的应力沿截面法线方向的合力，一般以拉力为正，压力为负。
剪力S F 是横截面上的应力沿截面切线方向的合力，以绕截面处微段隔离体顺时针方向转动为正，反之为负。
弯矩M 是横截面上的应力对截面形心取矩的代数和，一般不规定正负号。
有时按习惯也可规定，在水平杆件中弯矩使杆件截面的下侧纤维受拉时为正，上侧受拉时为负。
2、截面法截面法是计算指定截面内力的基本方法，即沿指定截面假想将结构截开，切开后截面内力暴露为外力，取截面左侧（或右侧）作为隔离体，作隔离体受力图，建立平衡方程，从而可确定指定截面的内力。
由截面法可得截面上三个内力分量的运算规则如下：（1）轴力N F 等于截面左侧（或右侧）的所有外力（包括支座反力）沿截面法线方向的投影代数和；（2）剪力S F 等于截面左侧（或右侧）的所有外力（包括支座反力）沿截面切线方向的投影代数和；（3）弯矩M 等于截面左侧（或右侧）的所有外力（包括支座反力）对截面形心取矩的代数和。
3、内力图内力图表示结构上各截面的内力随横截面位置变化规律的图形，包括M 图、S F 图和N F 图。
内力图用平行于杆轴线方向的坐标表示横截面位置（又称基线），用垂直于杆轴线的坐标（又称竖标）表示相应截面的内力值。
轴力图、剪力图中，竖标正、负值分别画在杆件基线的两侧，要标明正负号；弯矩图画在杆件的受拉侧，不标正负。
内力图要画上竖标，标注某些控制截面处的竖标值，并写明图名和单位。
4、内力图的形状特征直杆段上内力图的形状特征归纳如表3-1所示。
熟练掌握内力图的这些形状特征，对于以后正确、迅速地绘制内力图、校核内力图是非常有帮助的。
5、区段叠加法作M图对承受横向荷载作用的任意结构中直杆段，都可采用区段叠加法作其弯矩图：先采用截面法求出该段两个杆端截面弯矩值并将其连以一虚线，然后以此虚线为基线，叠加相应简支梁在跨间相应荷载作用下的弯矩图，如图3-1所示。
第3章 多跨静定梁和静定平面刚架
A
q
YB
MB
MA
O
YA
+
M
YB
M M
M
MA
MB
M M M
（二） 多跨静定梁的组成形式及分层关系图 单跨静定梁组成的多跨静定梁形式：
（三） 多跨静定梁的受力分析及内力图的绘制
多跨静定梁的受力分析要利用分层关系图。 从力的传递来看：荷载作用在基本部分时，附 属部分不受影响；荷载作用在附属部分时，则基本部 分产生内力。 多跨静定梁的计算是先计算附属部分，后计算 基本部分。将附属部分的支座反力反向，就得附属部 分作用于基本部分的载荷。 先利用分层关系拆成单跨梁，从附属程度最高 跨开始，向下逐跨计算。
dM Q dx d 2M q 2 dx
（2）增量关系
Q P
M m
（3）积分关系 由d Q = – q· dx
MA
q(x)
MB
QB QA q( x) dx
xA
xB
由d M = Q· dx
QA QB
M B M A Q( x) dx
xA
xB
弯矩和剪力的图形特征： 1. 在无荷载的梁段上，剪力为常量，Q图是一水平直线，M 图为一倾斜直线。 2. 在均布荷载的梁段上，Q图是一倾斜直线，弯矩图为二次 抛物线形，曲线的凸向与荷载指向相同。 3. 在集中荷载作用处，Q图有突变呈阶形变化，突变数值等 于集中力的大小，而M图有一转折点，其尖顶的突出方向 与荷载的指向相同。 4. 在集中力偶作用处，Q图无变化，而M图有阶形突变，突 变数值等于集中力偶的大小，集中力偶两侧M图的切线相 互平行。
Q 图没有变化。
Q 图为斜直线，荷载向
结构力学 第三章 静定梁和静定平面钢架
２、截面法 若要求某一横截面上的内力，假想用一平面沿杆轴垂直方向将该 截面截开，使结构成两部分；在截开后暴露的截面上用力（内力）代 替原相互的约束。
对于截开后结构的两部分上，截面上的内力已成为外力，因此，
由任一部分的静力平衡条件，均可列出含有截面内力的静力平衡方程。 解该方程即将内力求出。
３、截面内力 截开一根梁式杆件的截面上有三个内力（分量），即：轴力ＦN 、 剪力ＦQ和弯矩Μ 。
dFN/dx=-qx
dFQ/dx=-qy dM/dx=Q
d2M/dx2=-qy
增量关系： DFN=-FPx
DFQ=-FPy
DM=m
１）微分关系及几何意义： dFN/dx=-qx dFQ/dx=-qy dM/dx=Q d2M/dx2=-qy （１）在无荷载区段，ＦQ图为水平直线；
当ＦQ≠０时，Μ图为斜直线;
右右为正。
ＦQ＝截面一侧所有外力在杆轴垂直方向上投影的代数和。左上为正， 右下为正。
Μ ＝截面一侧所有外力对截面形心力矩代数和。弯矩的竖标画在杆
件受拉一侧。
例3-1-1 求图（a）所示简支梁在图示荷载下截面的内力。
解：1）支座反力 ∑ΜA=0 FBy×4﹣10×4×2﹣100× (4/5)×2=0 Fby=60kN (↑) ∑ΜB=0 FAy=60kN (↑) ∑Fx= 0 FAx+100×(3/5)=0 FAx=－60kN (← ) 由 ∑Ｆy= 0 校核，满 足。
(下侧受拉)
区段叠加法求Ｅ、Ｄ截面弯矩； ΜE＝20×42/8＋120/2＝100kNm ΜＤ＝40×4/4＋120/2＝100kNm
(下侧受拉) (下侧受拉)
内力应考虑
说明：集中力或集中力偶作用点，注意对有突变的 分两侧截面分别计算。
《静定梁与静定刚架》课件
优化材料分布
根据刚架的受力特点，合理分布材 料，使材料得到充分利用，降低成 本。
注意事项
注意梁的挠度和侧弯
根据载荷大小和分布，合理选择截面尺寸和材料，以控制梁的挠度和侧弯在允许 范围内。
考虑施工条件限制
在设计和施工过程中，应充分考虑施工条件限制，如施工空间、吊装能力等。
注意事项
• 注意载荷变化的影响：载荷的大小和分布可能会 发生变化，应在设计时充分考虑这些因素对梁的 影响。
静定刚架的应用实例
工业厂房
静定刚架在工业厂房中应用广泛，如厂房的柱、梁、支撑等 结构，能够承受较大的荷载，保证厂房的正常运行。
设备支撑
在大型设备或机械的支撑结构中，静定刚架也得到了广泛应 用，能够提供稳定可靠的支撑，确保设备的正常运行和使用 寿命。
静定梁与静定刚架的比较与选择
受力特点
静定梁和静定刚架在受力特点上有所不同。静定梁主要承受弯矩和剪力作用，而静定刚架 则主要承受轴力和弯矩作用。因此，在选择时需要根据实际需求和受力特点进行比较。
静定梁在受力时，其支座反力的 大小和方向可以通过截面的平衡
条件求出。
静定梁的内力计算
静定梁的内力计算可以通过截面的平衡条件进行，不需要引入未知数和求解方程组 。
静定梁的内力包括剪力和弯矩，可以通过截面的平衡条件求出剪力和弯矩的大小和 方向。
静定梁的内力计算可以通过手算或使用计算软件进行，手算需要掌握截面的平衡条 件和内力的计算方法。
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
04
静定梁与静定刚架的应用实例
静定梁的应用实例
桥梁结构
静定梁广泛应用于桥梁设计中，如简 支梁桥、连续梁桥等，具有结构简单 、受力明确、施工方便等优点。
根据刚架的受力特点，合理分布材 料，使材料得到充分利用，降低成 本。
注意事项
注意梁的挠度和侧弯
根据载荷大小和分布，合理选择截面尺寸和材料，以控制梁的挠度和侧弯在允许 范围内。
考虑施工条件限制
在设计和施工过程中，应充分考虑施工条件限制，如施工空间、吊装能力等。
注意事项
• 注意载荷变化的影响：载荷的大小和分布可能会 发生变化，应在设计时充分考虑这些因素对梁的 影响。
静定刚架的应用实例
工业厂房
静定刚架在工业厂房中应用广泛，如厂房的柱、梁、支撑等 结构，能够承受较大的荷载，保证厂房的正常运行。
设备支撑
在大型设备或机械的支撑结构中，静定刚架也得到了广泛应 用，能够提供稳定可靠的支撑，确保设备的正常运行和使用 寿命。
静定梁与静定刚架的比较与选择
受力特点
静定梁和静定刚架在受力特点上有所不同。静定梁主要承受弯矩和剪力作用，而静定刚架 则主要承受轴力和弯矩作用。因此，在选择时需要根据实际需求和受力特点进行比较。
静定梁在受力时，其支座反力的 大小和方向可以通过截面的平衡
条件求出。
静定梁的内力计算
静定梁的内力计算可以通过截面的平衡条件进行，不需要引入未知数和求解方程组 。
静定梁的内力包括剪力和弯矩，可以通过截面的平衡条件求出剪力和弯矩的大小和 方向。
静定梁的内力计算可以通过手算或使用计算软件进行，手算需要掌握截面的平衡条 件和内力的计算方法。
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04
静定梁与静定刚架的应用实例
静定梁的应用实例
桥梁结构
静定梁广泛应用于桥梁设计中，如简 支梁桥、连续梁桥等，具有结构简单 、受力明确、施工方便等优点。
静定梁与静定刚架
（二）绘内力图：
H A
=0
V
A =130KN
X 0 Y 0 M 0
C
NC 0 QC 130 KN M C 130 KN .M
第3章 例题: 试绘制图示外伸梁的内力图。
解：
10KN/m A HA=0 4m C 2m D B E 30KN.m 20KN
（1）计算支座反力
2m
2kN E
2m F
F
2m
G 2kN
2m
（b）
A
4kN/m B
C
G 2kN
G
B
11kN 4
4kN
4
（d）
8 7
（e） 9
4 M（kN.m） 2 2
Q（kN）
2
第3章 例题2： 图示三跨静定梁，全长承受均布荷载q，试确定铰E、F的位置，使中 间一跨支座的负弯矩与跨中正弯矩数据数值相等。
第3章
3.3 静定平面刚架的内力计算 一、刚架的组成 1、刚架的特征 由若干梁和柱用刚结点联结而成的结构。具有刚结点是 刚架的主要特征。 2、刚架的应用 刚架在工程上有广泛的应用。
（1）斜梁的倾角为常数，而曲梁各截面的的倾角是变量。 （2）计算曲梁的倾角时，可先写出曲梁的轴线方程y=f(x),而后对x求一 阶导数，进而确定倾角：
dy tan ; dx
tan1 (tan )
（3）角以由x轴的正方向逆时针转到切线方向时为正，反时针方向为负。
例题：试求图示曲梁C截面的内力值。已知曲梁轴线方程为：
y 4f 4 4 (l x) x 2 (12 1.5) 1.5 1.75m l2 12
4f 4 4 tan yx 1.5 2 (l 2 x) x1.5 2 (12 2 1.5) 1 l 12 2 450 sin con 0.707 2
结构力学-静定梁与静定刚架
A BC
D
130 210
E
F
140
340
280 M图（kN·m）
130 D
120
40
A B C 30
E
F
FS 图（kN）
190
26
小结： 1）弯矩叠加是指竖标以基线或杆轴为准叠加，而非 图形的简单拼合； 2）应熟悉简支梁在常见荷载下的弯矩图； 3）先画M 图后画FS图，注意荷载与内力之间的微分 关系。
B (qlcosθ)/2
B (qlcosθ)/2
32
3) 作内力图。
(qlcosθ)/2 (qlsinθ)/2
ql2/8 M图 FQ 图
FN 图
(qlcosθ)/2 (qlsinθ)/2
33
例3-1-3 作图示斜梁的内力图。
x FxA A θ
FyA
q
l /cosθ
C qlcosθ
l
ql θ qlsinθ
1.荷载与内力之间的微分关系
qy
M FN
FS
o qx dx
M+dM x
FN+dFN
FS dFS
y
Fy 0, F SdS F qyd xF S0ddFxS q y .
MO 0, M M dM F Sd 2 xF SdF Sd 2 x0,
dM dxFS,
3）定点：求控制截面在全部荷载作用下的 M 值， 将各控制面的 M 值按比例画在图上，在各控制截 面间连以直线——基线。
4）连线叠加：对于各控制截面之间的直杆段，在 基线上叠加该杆段作为简支梁时由杆间荷载产生的 M图。
18
例3-1-1 作图示静定单跨梁的M图和FS图。
8kN
第3章 静定梁和静定平面刚架
(a) q A ql 2 ql 2 + l B ql 2 F Q图 ql 2 (b) A F Pb l F Pb l a l + FP B b F Pa l F Q图 F Pa l
图 -5 图 33-5
M图 ql2 8 F Pab l M图
A a l
M
B b
A l
M
B
M a l M M图 M图 (b)
图 -16 图 33-16
M图
ql 2 8 ql cos α 2 + F Q图 ql 2 =sin α + F N图 ql 2 cos α
ql 2 sin α
图 -17 图 33-17
第二节 多跨静定梁的计算 多跨静定梁是由若干根梁用铰联接而成的静定结构，它常用来跨 越几个相连的跨度，除了在桥梁上较常采用这种结构型式外，房屋建筑 中的檩条有时也采用这种形式。
x
y
FAx = 0
FAy = 70kN(↑) FBy = 50kN(↑)
（2）作剪力图
EC D B FQ图 10 10 （单位kN） 50 50 EC D D1 B
FQAC = FAy = 70kN FQDB = − FBy = −50kN
FQCA = FQCD = −10kN
M图 （单位kN.m） （3）作弯矩图
R FC R MC
B 40kN
R FNC =0
C
R R = −40kN M C = 80kN ⋅ m FQC
图 -2 图 33-2
二、内力图形状特征
q(x) MA F NA A F QA p(x) m(x) B F QB MB F NB
若x轴以向右为正，y轴以向下为正 取梁段AB中的微段为隔离体，由静 力平衡条件可得：
图 -5 图 33-5
M图 ql2 8 F Pab l M图
A a l
M
B b
A l
M
B
M a l M M图 M图 (b)
图 -16 图 33-16
M图
ql 2 8 ql cos α 2 + F Q图 ql 2 =sin α + F N图 ql 2 cos α
ql 2 sin α
图 -17 图 33-17
第二节 多跨静定梁的计算 多跨静定梁是由若干根梁用铰联接而成的静定结构，它常用来跨 越几个相连的跨度，除了在桥梁上较常采用这种结构型式外，房屋建筑 中的檩条有时也采用这种形式。
x
y
FAx = 0
FAy = 70kN(↑) FBy = 50kN(↑)
（2）作剪力图
EC D B FQ图 10 10 （单位kN） 50 50 EC D D1 B
FQAC = FAy = 70kN FQDB = − FBy = −50kN
FQCA = FQCD = −10kN
M图 （单位kN.m） （3）作弯矩图
R FC R MC
B 40kN
R FNC =0
C
R R = −40kN M C = 80kN ⋅ m FQC
图 -2 图 33-2
二、内力图形状特征
q(x) MA F NA A F QA p(x) m(x) B F QB MB F NB
若x轴以向右为正，y轴以向下为正 取梁段AB中的微段为隔离体，由静 力平衡条件可得：
第三章：静定梁和静定刚架
二.多跨静定梁 多跨静定梁
第三章 静定梁与静定钢架 二.多跨静定梁 多跨静定梁 基本部分--能独立 基本部分--能独立 1.多跨静定梁的组成 承载的部分。 1.多跨静定梁的组成 承载的部分。 附属部分--不能独 附属部分--不能独 立承载的部分。 立承载的部分。
基、附关系层叠图
练习:区分基本部分和附属部分并画出关系图 练习 区分基本部分和附属部分并画出关系图 第三章 静定梁与静定钢架
ql 2 / 2
Q=0的截面为抛 Q=0的截面为抛 物线的顶点. 物线的顶点.
ql / 2
ql
2
M图 Q图
第三章 静定梁与静定钢架
例: 作内力图
ql 2 / 2
M图 Q图
第三章 静定梁与静定钢架
1.无荷载分布段(q=0),Q图为水平线,M图为斜直线. 1.无荷载分布段 无荷载分布段(q=0),Q图为水平线 图为斜直线 图为水平线,M图为斜直线. 2.均布荷载段(q=常数),Q图为斜直线,M图为抛物线, 2.均布荷载段 常数 图为斜直线 图为抛物线 均布荷载段(q=常数),Q图为斜直线,M图为抛物线, 且凸向与荷载指向相同. 且凸向与荷载指向相同. 3.集中力作用处,Q图有突变,且突变量等于力值; M 3.集中力作用处 图有突变 且突变量等于力值; 集中力作用处,Q图有突变, 图有尖点,且指向与荷载相同. 图有尖点,且指向与荷载相同.
P
1 Pl 4 1 Pl 4
P 1 Pl
4
l/2
q
l/2
l/2
1 2 ql 4
l/2
l/2
ql 1 ql 2 4
l/2
l/2
l 静定梁与静定钢架
§3-2 静定刚架受力分析
一. 刚架的受力特点
结构力学第3章静定梁与静定刚架(f)
§3-2 多跨静定梁
例3-4 试作图a所示多跨静定梁的内力图，并求出各支座反力。
解：不算反力 先作弯矩图
1）绘AB、GH段弯矩图，与悬臂梁相同； 2）GE间无外力，弯矩图为直线，MF=0，可绘出； 同理可绘出CE段； 3）BC段弯矩图用叠加法画。
§3-2 多跨静定梁
由弯矩与剪力的微分关系画剪力图
由若干根梁用铰相联，并用若干支座与基础相联而组成的静定结构。
分析多跨静定梁的一般步骤
对如图所示的多跨静定梁，应先从附属部分CE开始分析：将 支座C 的支反力求出后，进行附属部分的内力分析、画内力图， 然后将支座 C 的反力反向加在基本部分AC 的C 端作为荷载，再 进行基本部分的内力分析和画内力图，将两部分的弯矩图和剪力 图分别相连即得整个梁的弯矩图和剪力图 。
弯矩图为直线：其斜率为剪力。图形从基线顺时针转，
剪力为正，反之为负。 弯矩图为曲线：根据杆端平衡条件求剪力，如图c。
剪力图作出后即可求支座反力 取如图e的隔离体可求支座 c— 的反力 弯矩—剪力 支座反力
§3-3 静定平面刚架
常见静定刚架的型式
悬臂刚 架
简支刚 架
三铰刚 架
§3-3 静定平面刚架
R FSR F E SD 8kN
FSR F 12kN
FSR B 0
§3-1 单跨静定梁
用截面法计算 控制截面弯矩。
MC 0
M A 20kN 1m 20kN m
M D 20kN 2m 58kN 1m 18kN m M E 20kN 3m 58kN 2m 30kN 1m 26kN m M F 12kN 2m 16kN m 10kN m 18kN m
第三章 静定梁与静定刚架
§3-1 单跨静定梁1 反力的求解简支梁伸臂梁悬臂梁 三个支座反力，可由三个平衡方程求解2 截面法求内力轴力（N）—截面一侧所有外力沿杆轴方向投影的代数 和。
以拉为正，压为负。
N+N剪力（Q）—截面一侧所有外力沿垂直杆轴方向投影的 代数和。
使隔离体顺时针转为正，逆时针转为负。
Q+Q弯矩（M）—截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数 和。
弯矩图画在杆件的受拉侧！！！截面法—将指定截面切开，取截面任一侧部 分为隔离体，利用平衡条件求得内力。
P1 A由∑X=0 得 HA 由∑MB=0 得 VAP2K由∑Y=0 得 VBBP1HA VA A K QM N步骤：先求反力，再求指定截面的内力。
隔离体与周围约束要全部截断，用相应的约束力代替。
约束力要符合约束力的性质： 链杆： 轴力受弯杆件：轴力、剪力、弯矩 只画隔离体本身所受的荷载与截断约束处的约束力。
未知力假设为正方向，已知外力按实际方向画出。
任 意 截 面{轴力=截面一侧所有轴线方向力的代数和 剪力=截面一侧所有垂直轴线方向力的代数和 弯矩=截面一侧所有力对截面取矩的代数和例：求M、 Q、 N值。
A FP1=10kN C2m 2m FP2=5kNB解：1) 求支反力FxA FP1=10kN FP2=5kN FyBFyA∑Fx=0 ∑MA=0 ∑Fy=0FxA=-5kN （ ） FyB =5kN （ ） FyA =5kN （ ）2）取隔离体，求C左截面内力左部分为隔离体 MCL LA5kN 5kNCNCLQC∑ FX = 0 ∑ FY = 0 ∑MX = 0L N C = 5 KN L Q C = 5 KN L M C = 10 KN ⋅ m3）取隔离体，求C右截面内力 右部分为隔离体 NCRMCRCRB5kNQC∑ FX = 0 ∑ FY = 04）画内力图 M图10kN⋅ mR NC = 0 R Q C = −5 KN R M C = 10 KN ⋅ m∑MX=0Q N5kN5kNAaPb lBPb lPab lPa lq AlBql 2ql 82ql 2a m lm Aa l bBm lb m lm l内力图-表示结构上各 截面内力数值的图形 P 横坐标--截面的位置 A 纵坐标--内力的数值a l bPbB弯矩图—必须绘在 杆件受拉的一侧， 不须标正负号。
第3章 静定梁和静定刚架的受力分析
通过前述简支梁弯矩图的叠加法来绘制。
34
《 第3章 静定梁和静定刚架的受力分析 》
- 34/147页 -
（d）M图
将一个直杆段隔离体上的受力通过简支梁等 效后，利用叠加法绘制其弯矩图的方法，称为 区段叠加法。
区段叠加法的具体作法：
（1）作出杆段两端截面的弯矩竖标，并将
这两个竖标的顶点用虚线相连；
3）弯矩图上某点的曲率等于该点的横向荷载的 集度，但正负号相反。
4）轴力图上某点的斜率等于该点轴向均布荷 载的集度 ，但正负号相反。
18
《 第3章 静定梁和静定刚架的受力分析 》
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因此： 若剪力等于0，M 图平行于杆轴； 若剪力为常数，则 M 图为斜直线； 若剪力为x 的一次函数，即为均布荷载时，M 图 为抛物线。
内力图的含义？需彻底弄清，以免与后面的 影响线混淆概念。
u 弯矩图--习惯绘在杆件受拉的一侧，不需标 正负号
u 轴力和剪力图--可绘在杆件的任一侧，但需 标明正负号
作内力图：1. 由内力方程式画出图形;
2. 利用微分关系画出图形；
3. 区段叠加法。
《 第3章 静定梁和静定刚架的受力分析 》
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(3) 力——即作受力图，这是该方法最关键的一
步。既要包括全部已知力，也要标出
未知力。
(4) 平——利用平衡方程，计算隔离体上的未知力。
6
《 第3章 静定梁和静定刚架的受力分析 》
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1. 隔离体 作隔离体应注意下列几点：
（1）隔离体与其余部分的联系要全部切断， 代之以相应的约束力；
（3）对于各控制截面之间的直杆段，在基线 上叠加该杆段作为简支梁时由杆间荷载产生的 M图 (注意，竖标垂直于原杆轴)。
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3)杆BE
q
X 0
M BE
QBE
N BE q 4a sin 0 3 N BE 4 qa 2.4 qa 5 Y 0 QBE q 4a cos 0 4 QBE 4 qa 3.2 qa 5 MB 0 M BE q 4a 2a 0 M BE 8 qa 2
B l/2
由整体平衡：
F
FyB ql 8
x
0
3 FxA ql () 8
l/2
M
C
0
FxB
(2) 作M图 AD杆：
MDA＝ql2/16 (右拉) M中＝ql2/16 (右拉)
2/16 ql D
ql2/16
C
q 3ql/8 ql2/16
E
A ql/8
M图
B ql/8
ql/8
(3) 作Q、N图 很容易作出剪力图和轴力图如下图示。
2m
解：(1)支座反力 X A 80kN, YA 20kN, DY 60kN
40 kN B C D
M BA
NBA 160 kN· m QBA B
B
160
20 kN/m
4m
4m
60kN
20 kN/m
40 A M图
80kN
20kN
A 2m
80
A
20
2m
(2)求杆端力并画杆单元弯矩图。
因此，静定多跨梁的内力分析应先“附属”后
“基本”，即先次后主。
多跨静定梁的两种基本组成型式
【例】
先附属，后基本 中间铰处有集中力 处理到基本部分上
例题3－3 用叠加法作弯矩图
结点平衡求 支座反力
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第三章 静定梁和静定刚架
§3-1 单跨静定梁 §3-2 多跨静定梁 §3-3 静定平面刚架
§3-4 少求或不求反力绘弯矩图
§3-5 静定结构的特性
§3—1 单跨静定梁 单跨静定梁应用很广，是组成各种结构的 基本构件之一，是各种结构受力分析的基础。这里做简 略的回顾和必要的补充。
1. 反力
常见的单跨静定梁有： 简支梁 外伸梁 悬臂梁
dFs = -q ( x) dx
dM = Fs dx
d 2M = -q ( x ) 2 dx
据此，得直梁内力图的形状特征
梁上情况
q=0
水平线
⊕
⊖㊀
q=常数 q→ q↑
斜直线 抛物线
F 作用处
有突变
Fs 图
M图
Fs=0 处突变值为F
有尖角
铰或 自由端 如变号 无变化 (无m）
作用处
m
斜直线
→
↑
有极值 尖角指向同F 有极值 有突变 M=0
M = FAb FS = FA
M
FS
F
y
作用力与反作用力
取右半边梁，同样可算出FS, M
3.内力的正负规定:
①剪力Fs: 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。 Fs(+) Fs(+) Fs(–) Fs(–) 左上右下为正
②弯矩M：使微段梁产生下凹形的为正弯矩；反之为负弯矩。 M(+) M(–) M(–)
解：
首先计算支反力 FAy=58kN（↑） FBy=12kN（↑） 作剪力图（简易法）
FAy 38 FBy
作弯矩图：
1.分段： 分为CA、 AD、DE、EF、FG、 GB六段。 2.定点:
MC=0 MA=－20kN· m MD=18kN· m ME=26kN· m MF=18kN· m MG左=6kN· m MG右=－4kN· m MB左=－16kN· m
§ 4–2
剪力和弯矩，剪力图和弯矩图
一、梁的弯曲内力
1.横截面上存在两种内力: 剪力FS: 相切于横截面的内力系的合力,作用线通过形心; 弯矩M: 垂直于横截面的内力系的合力偶,矩心为横截面形心;
a
A
m m
F
截面法：切、代、平
B
b
FA
l
FB
取左半边梁:
FS
A FA C
M
F B FB
M
C
= 0 : M - FAb = 0 = 0 : FA - FS = 0
=32.4kN· m
§3—2 多跨静定梁
1.多跨静定梁的概念 若干根梁用铰相联,并用若干支座与基础 相联而组成的静定结构。
2.多跨静定梁的特点:
(1)几何组成: 可分为基本部分和附属部分。
基本部分：
不依赖其它部分的存在而能独立地维持其几 何不变性的部分。 如：AB、CD部分。
基本部分
B
附属部分：
练习: 作内力图
M图
无剪力杆的 弯矩为常数.
Fs图
自由端有外 力偶,弯矩等于外 力偶
练习: 利用上述关系作弯矩图,剪力图
思考题 B
2、图示多跨静定梁，在截面 A 点处，Fs图和M图均连续。
简易法绘制内力图的一般步骤：
（1）求支反力; （2）分段：凡外力不连续处均应作为分段点， 如集中力和集中力偶作用处，均布荷载两端点等。 （3）定点：选定控制截面,如集中力和集中力偶 作用点两侧的截面、均布荷载起迄点等。用截面法求 出这些截面的内力值，按比例绘出相应的内力竖标， 便定出了内力图的各控制点。 （4）联线：据各梁段的内力图形状，分别用 直线和曲线将各控制点依次相联，即得内力图。
A C
2m 14.5kN 4m
M=3kN.m
D
2m
B
3.5kN
解： FA = 14.5 kN (↑) FB = 3.5 kN (↑)
看截面A左侧
F Qs
A左 A左
= -2q = -6 KN
= -2 3 = -6kN
F
看截面D右侧
SA右
= 14.5 - 2 3 = 8.5kN
FSD左 = FSD右 = -3.5kN
4kN
（a)
A
2m
↓
10kN
B
↓
C
2m
2m
2m
(b) B
10kN
C
解：分析几何组成 基本部分: AB、CF D ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ E F 附属部分: BC 2m 2m 2m 铰B处的的集中荷载 4kN完全由悬臂AB (基本部分)承受.
6kN/m
18kN· m (c)
A 18
5 B5
5 5
C
画层叠图(b)
1.无荷载分布段(Fs=0),Fs图为水平线,M图为斜直线. 2.均布荷载段(Fs=常数),Fs图为斜直线,M图为抛物线, 且凸向与荷载指向相同. 3.集中力作用处,Fs图有突变,且突变量等于力值; M 图有尖点,且指向与荷载相同.
M图
F F
Fs图
1.无荷载分布段(Fs=0),Fs图为水平线,M图为斜直线.
F MA A a l MB Fab l b B MB
MA
得的图线与水平基线之间的图 形即为叠加后所得的弯矩图。
这种方法只需将两杆端弯矩求出并连以直线（虚线），然 后，在此基础上叠加相应简支梁在荷载下的弯矩图，这种方法 称为区段叠加法或简支梁叠加法，简称叠加法。
P29 例 3-1 作梁的 Fs、M 图。
FAy
（2）梁某截面的内力与截面一侧外力的关系
FN ——数值等于该截面一侧所有外力(包括荷载和反 力)沿截面法线方向投影的代数和。（拉力为正） Fs ——数值等于该截面一侧所有外力沿截面切 线方向投影的代数和。（左上右下为正） M ——数值等于该截面一侧所有外力对截面形心力矩 的代数和。（左顺右逆为正）
3.联线
几点说明：
K
FAy
38 8
FBy Fs图(kN)
1.6m x
1.作EF段的弯矩图 用简支梁叠加法
K
20
12
M图(kN· m) Mk
Mmax=32.4kn· N
2.剪力等于零截面K 的位置 FsK=FsE－qx=8－5x=0 x=1.6m 3.K截面弯矩的计算
qx2 MK=ME+FsE x－ 2 2 5 1 6 =26+8×1.6－ 2
例 求下图所示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。
F=8kN 1 A q=12kN/m 2 B 2 3m
B
2m
1.5m 15kN
1 1.5m
1.5m 29kN
() ()
解：1、求支座反力
2、计算1-1截面的内力
F=8kN
M F
M1
=0
FA = 15kN FB = 29kN
y
=0
FS1 = 15 - 8 = 7kN M1 = 15 2 - 8 (2 - 1.5) = 26kN m
F1 F2
（ a）
B
F2
A
F1
FB
FC
（b） 注意: 多跨静定梁的内力计算顺序可根据作用于结构上的荷 载传力路线决定, 先附属部分后基本部分，从最上层的附属部分 开始，将附属部分的支反力反向施加于基本部分进行计算。
练习:区分基本部分和附属部分并画出关系图
P33 例 3-2 计算下图所示多跨静定梁
MA MB
L
（a）
A
MA
B
MB
（b） A
MA
B
MB
+
qL2 8
MA
MB
设从梁上任取一段 AB 其受力如（a）图 所示， 则它相当（b） 图所示的简支梁。 因此，梁段AB的弯 矩图可先绘出梁两端 力偶MA、MB和分布 荷载q分别作用时的弯 矩图，再将两图的竖 标叠加，即可求得所 求的弯矩图。
实际作图时，先将两端弯 矩MA、MB绘出并联以虚线， (a) 再以此虚线为基线绘出简支梁 在荷载F作用下的弯矩图。 值得注意的是竖标Fab/l (b) 仍应沿竖向量取(而非从垂直 于虚线的方向量取)。最后所
→ ↑
↙ ↑
→ ↑
↙ ↑
→ ↑
↙
反力只有三个，由静力学平衡方程求出。
qa 2
练习：求图示梁的支反力
A a
B `
q a q a FB
C
解： 取梁整体：
A
qa 2
B a
C
Fy=0 FA + FB - qa = 0 FA 3a MA=0 -FB a + qa + qa2 = 0 2 3 FA = qa( ) 2 5 FB = qa ( ) 2
看截面左侧
M
D右
看截面右侧
1 2 = 14 . 5 4 3 6 + 3 = 7kN.m M D右 2
（3）梁的内力图 内力图: 表明各截面内力随截面位置的变化规律。 横坐标——截面位置； 纵坐标——内力值。
结构力学习惯: M图—绘在杆件受拉侧，无需标注正负号。 FN图、 Fs图—可绘在杆件任一侧，需标注正负号 作内力图的方法： 列内力方程法、微分关系、叠加法
基本部分
C D
（(a) a）
（(b) b） A
层叠图：
必须依靠基 本 部分才能维持其 几何不变性的部 分。如BC部分。
为表明梁各部分之间的支撑关系，把基本部分 画在下层，而把附属部分画在上层，如(b)图所示， 称为层叠图。
（2）受力分析:
作用在基本部分上的力不传递给附属部分,而 作用在附属部分上的力可传递给基本部分，如图.
3－4 作此多跨静定梁的内力图
解： 本题可以在不
计算支反力的情 况下，首先绘出 弯矩图。
§3-1 单跨静定梁 §3-2 多跨静定梁 §3-3 静定平面刚架
§3-4 少求或不求反力绘弯矩图
§3-5 静定结构的特性
§3—1 单跨静定梁 单跨静定梁应用很广，是组成各种结构的 基本构件之一，是各种结构受力分析的基础。这里做简 略的回顾和必要的补充。
1. 反力
常见的单跨静定梁有： 简支梁 外伸梁 悬臂梁
dFs = -q ( x) dx
dM = Fs dx
d 2M = -q ( x ) 2 dx
据此，得直梁内力图的形状特征
梁上情况
q=0
水平线
⊕
⊖㊀
q=常数 q→ q↑
斜直线 抛物线
F 作用处
有突变
Fs 图
M图
Fs=0 处突变值为F
有尖角
铰或 自由端 如变号 无变化 (无m）
作用处
m
斜直线
→
↑
有极值 尖角指向同F 有极值 有突变 M=0
M = FAb FS = FA
M
FS
F
y
作用力与反作用力
取右半边梁，同样可算出FS, M
3.内力的正负规定:
①剪力Fs: 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。 Fs(+) Fs(+) Fs(–) Fs(–) 左上右下为正
②弯矩M：使微段梁产生下凹形的为正弯矩；反之为负弯矩。 M(+) M(–) M(–)
解：
首先计算支反力 FAy=58kN（↑） FBy=12kN（↑） 作剪力图（简易法）
FAy 38 FBy
作弯矩图：
1.分段： 分为CA、 AD、DE、EF、FG、 GB六段。 2.定点:
MC=0 MA=－20kN· m MD=18kN· m ME=26kN· m MF=18kN· m MG左=6kN· m MG右=－4kN· m MB左=－16kN· m
§ 4–2
剪力和弯矩，剪力图和弯矩图
一、梁的弯曲内力
1.横截面上存在两种内力: 剪力FS: 相切于横截面的内力系的合力,作用线通过形心; 弯矩M: 垂直于横截面的内力系的合力偶,矩心为横截面形心;
a
A
m m
F
截面法：切、代、平
B
b
FA
l
FB
取左半边梁:
FS
A FA C
M
F B FB
M
C
= 0 : M - FAb = 0 = 0 : FA - FS = 0
=32.4kN· m
§3—2 多跨静定梁
1.多跨静定梁的概念 若干根梁用铰相联,并用若干支座与基础 相联而组成的静定结构。
2.多跨静定梁的特点:
(1)几何组成: 可分为基本部分和附属部分。
基本部分：
不依赖其它部分的存在而能独立地维持其几 何不变性的部分。 如：AB、CD部分。
基本部分
B
附属部分：
练习: 作内力图
M图
无剪力杆的 弯矩为常数.
Fs图
自由端有外 力偶,弯矩等于外 力偶
练习: 利用上述关系作弯矩图,剪力图
思考题 B
2、图示多跨静定梁，在截面 A 点处，Fs图和M图均连续。
简易法绘制内力图的一般步骤：
（1）求支反力; （2）分段：凡外力不连续处均应作为分段点， 如集中力和集中力偶作用处，均布荷载两端点等。 （3）定点：选定控制截面,如集中力和集中力偶 作用点两侧的截面、均布荷载起迄点等。用截面法求 出这些截面的内力值，按比例绘出相应的内力竖标， 便定出了内力图的各控制点。 （4）联线：据各梁段的内力图形状，分别用 直线和曲线将各控制点依次相联，即得内力图。
A C
2m 14.5kN 4m
M=3kN.m
D
2m
B
3.5kN
解： FA = 14.5 kN (↑) FB = 3.5 kN (↑)
看截面A左侧
F Qs
A左 A左
= -2q = -6 KN
= -2 3 = -6kN
F
看截面D右侧
SA右
= 14.5 - 2 3 = 8.5kN
FSD左 = FSD右 = -3.5kN
4kN
（a)
A
2m
↓
10kN
B
↓
C
2m
2m
2m
(b) B
10kN
C
解：分析几何组成 基本部分: AB、CF D ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ E F 附属部分: BC 2m 2m 2m 铰B处的的集中荷载 4kN完全由悬臂AB (基本部分)承受.
6kN/m
18kN· m (c)
A 18
5 B5
5 5
C
画层叠图(b)
1.无荷载分布段(Fs=0),Fs图为水平线,M图为斜直线. 2.均布荷载段(Fs=常数),Fs图为斜直线,M图为抛物线, 且凸向与荷载指向相同. 3.集中力作用处,Fs图有突变,且突变量等于力值; M 图有尖点,且指向与荷载相同.
M图
F F
Fs图
1.无荷载分布段(Fs=0),Fs图为水平线,M图为斜直线.
F MA A a l MB Fab l b B MB
MA
得的图线与水平基线之间的图 形即为叠加后所得的弯矩图。
这种方法只需将两杆端弯矩求出并连以直线（虚线），然 后，在此基础上叠加相应简支梁在荷载下的弯矩图，这种方法 称为区段叠加法或简支梁叠加法，简称叠加法。
P29 例 3-1 作梁的 Fs、M 图。
FAy
（2）梁某截面的内力与截面一侧外力的关系
FN ——数值等于该截面一侧所有外力(包括荷载和反 力)沿截面法线方向投影的代数和。（拉力为正） Fs ——数值等于该截面一侧所有外力沿截面切 线方向投影的代数和。（左上右下为正） M ——数值等于该截面一侧所有外力对截面形心力矩 的代数和。（左顺右逆为正）
3.联线
几点说明：
K
FAy
38 8
FBy Fs图(kN)
1.6m x
1.作EF段的弯矩图 用简支梁叠加法
K
20
12
M图(kN· m) Mk
Mmax=32.4kn· N
2.剪力等于零截面K 的位置 FsK=FsE－qx=8－5x=0 x=1.6m 3.K截面弯矩的计算
qx2 MK=ME+FsE x－ 2 2 5 1 6 =26+8×1.6－ 2
例 求下图所示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。
F=8kN 1 A q=12kN/m 2 B 2 3m
B
2m
1.5m 15kN
1 1.5m
1.5m 29kN
() ()
解：1、求支座反力
2、计算1-1截面的内力
F=8kN
M F
M1
=0
FA = 15kN FB = 29kN
y
=0
FS1 = 15 - 8 = 7kN M1 = 15 2 - 8 (2 - 1.5) = 26kN m
F1 F2
（ a）
B
F2
A
F1
FB
FC
（b） 注意: 多跨静定梁的内力计算顺序可根据作用于结构上的荷 载传力路线决定, 先附属部分后基本部分，从最上层的附属部分 开始，将附属部分的支反力反向施加于基本部分进行计算。
练习:区分基本部分和附属部分并画出关系图
P33 例 3-2 计算下图所示多跨静定梁
MA MB
L
（a）
A
MA
B
MB
（b） A
MA
B
MB
+
qL2 8
MA
MB
设从梁上任取一段 AB 其受力如（a）图 所示， 则它相当（b） 图所示的简支梁。 因此，梁段AB的弯 矩图可先绘出梁两端 力偶MA、MB和分布 荷载q分别作用时的弯 矩图，再将两图的竖 标叠加，即可求得所 求的弯矩图。
实际作图时，先将两端弯 矩MA、MB绘出并联以虚线， (a) 再以此虚线为基线绘出简支梁 在荷载F作用下的弯矩图。 值得注意的是竖标Fab/l (b) 仍应沿竖向量取(而非从垂直 于虚线的方向量取)。最后所
→ ↑
↙ ↑
→ ↑
↙ ↑
→ ↑
↙
反力只有三个，由静力学平衡方程求出。
qa 2
练习：求图示梁的支反力
A a
B `
q a q a FB
C
解： 取梁整体：
A
qa 2
B a
C
Fy=0 FA + FB - qa = 0 FA 3a MA=0 -FB a + qa + qa2 = 0 2 3 FA = qa( ) 2 5 FB = qa ( ) 2
看截面左侧
M
D右
看截面右侧
1 2 = 14 . 5 4 3 6 + 3 = 7kN.m M D右 2
（3）梁的内力图 内力图: 表明各截面内力随截面位置的变化规律。 横坐标——截面位置； 纵坐标——内力值。
结构力学习惯: M图—绘在杆件受拉侧，无需标注正负号。 FN图、 Fs图—可绘在杆件任一侧，需标注正负号 作内力图的方法： 列内力方程法、微分关系、叠加法
基本部分
C D
（(a) a）
（(b) b） A
层叠图：
必须依靠基 本 部分才能维持其 几何不变性的部 分。如BC部分。
为表明梁各部分之间的支撑关系，把基本部分 画在下层，而把附属部分画在上层，如(b)图所示， 称为层叠图。
（2）受力分析:
作用在基本部分上的力不传递给附属部分,而 作用在附属部分上的力可传递给基本部分，如图.
3－4 作此多跨静定梁的内力图
解： 本题可以在不
计算支反力的情 况下，首先绘出 弯矩图。