第3章 静定梁和静定刚架

M(+)
下侧受拉为正（左顺右逆）
2. 内力
一般横截面上有三个内力分量:FN、Fs、M。 基本方法——截面法。
截面法是将结构沿所求内力 的截面截开，取截面任一侧的部 分为隔离体，由平衡条件计算截 面内力的一种基本方法。
F1
A
↙K ↘
F1
F2
B
（1）内力符号规定:
FAx
A
↙ K
Fs
M
FN
轴力FN —— 拉力为正； 剪力Fs —— 绕隔离体顺时针转为正(左上右下为正)； 弯矩M —— 使梁下侧受拉为正(左顺右逆为正) 。
dFs = -q ( x) dx
dM = Fs dx
d 2M = -q ( x ) 2 dx
据此，得直梁内力图的形状特征
梁上情况
q=0
水平线
⊕
⊖㊀
q=常数 q→ q↑
斜直线 抛物线
F 作用处
有突变
Fs 图
M图
Fs=0 处突变值为F
有尖角
铰或 自由端 如变号 无变化 (无m）
作用处
m
斜直线
→
↑
有极值 尖角指向同F 有极值 有突变 M=0
Fs 图 (kN) Fs 图 (kN) 由∑MB=0, 8 有 RA×8－20×9－30×7－5×4×4－10+16=0 12 得 RA=58kN（↑） 20 再由∑Y=0, 可得 20 RB=20+30+5×4－ 58=12kN （↑） 16 m MC=0, M A=－20×1=－20kN· M图(kN m) 4 MD=－20×2+58×1=18kN· m· 0 M =－20×3+58×2－30×1=26kN· m E 2 5 4 6 MF=12×2－16+10=18kN· = 10m 8 MG左=12×1－16+10=6kN· m 18 18 MG右=12×1－16=－4kN· m MB左=－16kN· m 26
看截面左侧
M
D右
看截面右侧
1 2 = 14 . 5 4 3 6 + 3 = 7kN.m M D右 2
（3）梁的内力图 内力图: 表明各截面内力随截面位置的变化规律。 横坐标——截面位置； 纵坐标——内力值。
结构力学习惯: M图—绘在杆件受拉侧，无需标注正负号。 FN图、 Fs图—可绘在杆件任一侧，需标注正负号 作内力图的方法： 列内力方程法、微分关系、叠加法
第三章 静定梁和静定刚架
§3-1 单跨静定梁 §3-2 多跨静定梁 §3-3 静定平面刚架
§3-4 少求或不求反力绘弯矩图
§3-5 静定结构的特性
§3—1 单跨静定梁 单跨静定梁应用很广，是组成各种结构的 基本构件之一，是各种结构受力分析的基础。这里做简 略的回顾和必要的补充。
1. 反力
常见的单跨静定梁有： 简支梁 外伸梁 悬臂梁
→ ↑
↙ ↑
→ ↑
↙ ↑
→ ↑
↙
反力只有三个，由静力学平衡方程求出。
qa 2
练习：求图示梁的支反力
A a
B `
q a q a FB
C
解： 取梁整体：
A
qa 2
B a
C
Fy=0 FA + FB - qa = 0 FA 3a MA=0 -FB a + qa + qa2 = 0 2 3 FA = qa( ) 2 5 FB = qa ( ) 2
基本部分
C D
（(a) a）
（(b) b） A
层叠图：
必须依靠基 本 部分才能维持其 几何不变性的部 分。如BC部分。
为表明梁各部分之间的支撑关系，把基本部分 画在下层，而把附属部分画在上层，如(b)图所示， 称为层叠图。
（2）受力分析:
作用在基本部分上的力不传递给附属部分,而 作用在附属部分上的力可传递给基本部分，如图.
A C
2m 14.5kN 4m
M=3kN.m
D
2m
B
3.5kN
解： FA = 14.5 kN (↑) FB = 3.5 kN (↑)
看截面A左侧
F Qs
A左 A左
= -2q = -6 KN
= -2 3 = -6kN
F
看截面D右侧
SA右
= 14.5 - 2 3 = 8.5kN
FSD左 = FSD右 = -3.5kN
2.均布荷载段(Fs=常数),Fs图为斜直线,M图为抛物线,且凸 向与荷载指向相同.
3.集中力作用处,Fs图有突变,且突变量等于力值; M图有 尖点,且指向与荷载相同. 4.集中力偶作用处, M图有突变,且突变量等于力偶值; Fs图 无变化.
M图
Fs图
4. 利用叠加法作弯矩图
当梁同时受几个荷载作用时，用叠加法作弯矩图很方便。 此时可不必求出支反力。
利用上述关系可迅速正确地绘制梁的内力图（简易法）
练习: 作内力图
铰支座有外 力偶,该截面弯矩 等于外力偶.
M图为直线的区段，可利用微分关系直接求得Fs图： M图的斜率即为Fs，如段梁的剪力值为： Fs=M/l
M图
Fs图
剪力正负号的判定：若弯矩图是从基线顺时针方向转的（ 以小于90°的转角），则剪力为正，反之为负。
6kN/m D E
9
4
F
按先属附后基本的原则 计算各支反力(c)图。 逐段作出梁的弯矩图 和剪力图。 校核： Fs: 集中力作用处、 支座处有突变，突变 方向从左-右看，与集 中力方向一致。
7.5
10
0 0 5
21.5
3 12
0
M图 (kN· m) 9
Fs图 (kN)
5
10 5
12
2.5 9.5
P3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ例
4kN
（a)
A
2m
↓
10kN
B
↓
C
2m
2m
2m
(b) B
10kN
C
解：分析几何组成 基本部分: AB、CF D ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ E F 附属部分: BC 2m 2m 2m 铰B处的的集中荷载 4kN完全由悬臂AB (基本部分)承受.
6kN/m
18kN· m (c)
A 18
5 B5
5 5
C
画层叠图(b)
FAy
（2）梁某截面的内力与截面一侧外力的关系
FN ——数值等于该截面一侧所有外力(包括荷载和反 力)沿截面法线方向投影的代数和。（拉力为正） Fs ——数值等于该截面一侧所有外力沿截面切 线方向投影的代数和。（左上右下为正） M ——数值等于该截面一侧所有外力对截面形心力矩 的代数和。（左顺右逆为正）
练习: 作内力图
M图
无剪力杆的 弯矩为常数.
Fs图
自由端有外 力偶,弯矩等于外 力偶
练习: 利用上述关系作弯矩图,剪力图
思考题 B
2、图示多跨静定梁，在截面 A 点处，Fs图和M图均连续。
简易法绘制内力图的一般步骤：
（1）求支反力; （2）分段：凡外力不连续处均应作为分段点， 如集中力和集中力偶作用处，均布荷载两端点等。 （3）定点：选定控制截面,如集中力和集中力偶 作用点两侧的截面、均布荷载起迄点等。用截面法求 出这些截面的内力值，按比例绘出相应的内力竖标， 便定出了内力图的各控制点。 （4）联线：据各梁段的内力图形状，分别用 直线和曲线将各控制点依次相联，即得内力图。
F MA A a l MB Fab l b B MB
MA
得的图线与水平基线之间的图 形即为叠加后所得的弯矩图。
这种方法只需将两杆端弯矩求出并连以直线（虚线），然 后，在此基础上叠加相应简支梁在荷载下的弯矩图，这种方法 称为区段叠加法或简支梁叠加法，简称叠加法。
P29 例 3-1 作梁的 Fs、M 图。
F1 F2
（ a）
B
F2
A
F1
FB
FC
（b） 注意: 多跨静定梁的内力计算顺序可根据作用于结构上的荷 载传力路线决定, 先附属部分后基本部分，从最上层的附属部分 开始，将附属部分的支反力反向施加于基本部分进行计算。
练习:区分基本部分和附属部分并画出关系图
P33 例 3-2 计算下图所示多跨静定梁
解：
首先计算支反力 FAy=58kN（↑） FBy=12kN（↑） 作剪力图（简易法）
FAy 38 FBy
作弯矩图：
1.分段： 分为CA、 AD、DE、EF、FG、 GB六段。 2.定点:
MC=0 MA=－20kN· m MD=18kN· m ME=26kN· m MF=18kN· m MG左=6kN· m MG右=－4kN· m MB左=－16kN· m
M = FAb FS = FA
M
FS
F
y
作用力与反作用力
取右半边梁，同样可算出FS, M
3.内力的正负规定:
①剪力Fs: 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。 Fs(+) Fs(+) Fs(–) Fs(–) 左上右下为正
②弯矩M：使微段梁产生下凹形的为正弯矩；反之为负弯矩。 M(+) M(–) M(–)
1.无荷载分布段(Fs=0),Fs图为水平线,M图为斜直线. 2.均布荷载段(Fs=常数),Fs图为斜直线,M图为抛物线, 且凸向与荷载指向相同. 3.集中力作用处,Fs图有突变,且突变量等于力值; M 图有尖点,且指向与荷载相同.
M图
F F
Fs图
1.无荷载分布段(Fs=0),Fs图为水平线,M图为斜直线.
=32.4kN· m
§3—2 多跨静定梁
1.多跨静定梁的概念 若干根梁用铰相联,并用若干支座与基础 相联而组成的静定结构。
2.多跨静定梁的特点:
(1)几何组成: 可分为基本部分和附属部分。
基本部分：
不依赖其它部分的存在而能独立地维持其几 何不变性的部分。 如：AB、CD部分。
基本部分
B
附属部分：
3.联线
几点说明：
K
FAy
38 8
FBy Fs图(kN)
1.6m x
1.作EF段的弯矩图 用简支梁叠加法
K
20
12
M图(kN· m) Mk
Mmax=32.4kn· N
2.剪力等于零截面K 的位置 FsK=FsE－qx=8－5x=0 x=1.6m 3.K截面弯矩的计算
qx2 MK=ME+FsE x－ 2 2 5 1 6 =26+8×1.6－ 2
3－4 作此多跨静定梁的内力图
解： 本题可以在不
计算支反力的情 况下，首先绘出 弯矩图。
RA=11.5kN 2
RC=10.5kN 4 8
RE=4kN 0
RG=6kN 4 0 0
M图 (kN· m)
4 （kN) 如CE段梁： RA=11.5kN
在此基础上， 剪力图可据微分 4 关系或平衡条件 求得。例如： 7· 5 FsCE=2kN 4 2 弯矩图为曲线的梁段，可利用平衡关系计算 可利用微分关系计算。 Fs图 弯矩为直线的梁段， FsB右=7.5kN 两端的剪力。如BC段梁,由∑M =0, 求得：
例 求下图所示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。
F=8kN 1 A q=12kN/m 2 B 2 3m
B
2m
1.5m 15kN
1 1.5m
1.5m 29kN
() ()
解：1、求支座反力
2、计算1-1截面的内力
F=8kN
M F
M1
=0
FA = 15kN FB = 29kN
y
=0
FS1 = 15 - 8 = 7kN M1 = 15 2 - 8 (2 - 1.5) = 26kN m
MA MB
L
（a）
A
MA
B
MB
（b） A
MA
B
MB
+
qL2 8
MA
MB
设从梁上任取一段 AB 其受力如（a）图 所示， 则它相当（b） 图所示的简支梁。 因此，梁段AB的弯 矩图可先绘出梁两端 力偶MA、MB和分布 荷载q分别作用时的弯 矩图，再将两图的竖 标叠加，即可求得所 求的弯矩图。
实际作图时，先将两端弯 矩MA、MB绘出并联以虚线， (a) 再以此虚线为基线绘出简支梁 在荷载F作用下的弯矩图。 值得注意的是竖标Fab/l (b) 仍应沿竖向量取(而非从垂直 于虚线的方向量取)。最后所
q=12kN/m
FS1
15kN
3、计算2-2截面的内力
M2
FS2
FS2 = 121.5 - 29 = -11kN M 2 = 291.5 - 121.5 1.5 = 30kN m 2
29kN
例：求指定截面上的内力 FsA左，FsA右，FsD左，FsD右，MD左，MD右 。
q = 3kN m
QD = QD左 = QD右 = - R B = -3.5KN
q = 3kN m
A
2m
M=3kN.m
D
4m 2m
B
3.5kN
14.5kN
看截面左侧 看截面右侧
1 2 = 4 14 . 5 3 6 = 4kN.m M D左 2
M
D左
= 2 3.5 - 3 = 4kN.m
= 23.5B = 7kN.m
§ 4–2
剪力和弯矩，剪力图和弯矩图
一、梁的弯曲内力
1.横截面上存在两种内力: 剪力FS: 相切于横截面的内力系的合力,作用线通过形心; 弯矩M: 垂直于横截面的内力系的合力偶,矩心为横截面形心;
a
A
m m
F
截面法：切、代、平
B
b
FA
l
FB
取左半边梁:
FS
A FA C
M
F B FB
M
C
= 0 : M - FAb = 0 = 0 : FA - FS = 0
3. 利用微分关系作内力图
梁的荷载集度 q 、剪力 Fs 、弯矩 M 三者间 存在如下的微分关系： 2 d M dM dFs = -q ( x ) = Fs = -q ( x) 2 dx dx dx
q(x) (a) A F Ax FAy (b) M M+dM FS FB Me F B
q
dx
FS +dFS