2021届内蒙古包头市第九中学高三上学期期中考试数学(理)试题Word版含解析

2021届内蒙古包头市第九中学高三上学期期中考试数学（理）试题一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B =，则B =( ) A ．{1，﹣3} B ．{1，0} C ．{1，3} D ．{1，5} 2．下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A ．i （1+i ）2B ．i 2（1﹣i ）C ．（1+i ）2D ．i （1+i ） 3．下列说法不正确的是( )A ．若“p 且q ”为假，则p ，q 至少有一个是假命题B ．命题“∃x ∈R ，x 2﹣x ﹣1＜0”的否定是““∀x ∈R ，x 2﹣x ﹣1≥0”C ．当a ＜0时，幂函数y=x a 在（0，+∞）上单调递减D ．“φ=”是“y=sin （2x+φ）为偶函数”的充要条件4．已知O 为坐标原点，点M 坐标为（﹣2，1），在平面区域上取一点N ，则使|MN|为最小值时点N 的坐标是( )A ．（0，0）B ．（0，1）C ．（0，2）D ．（2，0）5．记等比数列{a n }的前n 项积为T n (n ∈N *)，已知1120m m m a a a -+⋅-=，且21128m T -=，则m 的值为( )A ．4B ．7C ．10D ．126．矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，E 为线段BC 上的点，则AE DE ⋅的最小值为( ) A ．2 B ．154C ．174D ．47．函数()1331log 1xx f x xx ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则()4y f x x =+-零点个数为( )A.1B.2C.3D.4 8．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos 1cos bA cC =+，则sin 26A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的取值范围是( )A ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭9．()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x +=，当()0,1x ∈时，()21x f x =-，则()12log 6f 的值等于( )A ．12- B ．6- C ．56- D ．4-10．用数学归纳法证明不等式“()()()112221223n n n n n -⋅+-=⋅⋅-”()2n n N *≥∈且，从“n k =”到“1n k =+”时，左侧应添加的式子为( ) A ．21k - B ．23k - C ．()223k - D ．()221k -11．平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，以此类推，凸13边形的对角线条数为( )A ．42B ．65C ．143D ．169 12．函数f （x ）=sin ωx+cos ωx+1的最小正周期为π，当x ∈[m ，n]时，f （x ）至少有12个零点，则n ﹣m 的最小值为( ) A ．12π B ．73π C ．6π D ．163π二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数y=log a （x+2）﹣1（a ＞0，a ≠1）的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+1=0上，其中m ＞0，n ＞0，则+的最小值为 . 14．)1202x x x dx -+⎰=.15．等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 与T n ，若5623a b =，则911=ST ．16．设函数()y f x =在区间(),a b 上的导函数为()'f x ，()'f x 在区间(),a b 上的导函数为()''f x ，若在区间(),a b 上()''0f x <恒成立，则称函数()f x 在区间(),a b 上为“凸函数”．已知()4321131262f x x mx x =--，若对任意的实数m 满足2m ≤时，函数()f x 在区间(),a b 上为“凸函数”，则b a -的最大值为 .三、解答题(共70分，第17—21为必考题，每题12分，22、23为选考题，每题10分)17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ． （Ⅰ）若2c =，3C π=，且△ABC 的面积，求a ，b 的值；（Ⅱ）若()sin sin sin 2C B A A +-=，试判断△ABC 的形状．18．已知函数()221cos sin 2f x x x =-+，()0,x π∈． （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a=，角B 所对边b=5，若()0f A =，求△ABC 的面积．19．已知数列{}n a 满足：16a =，()11036n n a a n N *+=+∈，数列{}n b 满足()4n n b a n N *=+∈. (1)求证：数列{}n b 是等比数列. (2)若11lg lg n n n c b b +=⋅()n N *∈，求证：数列{}n c 的前n 项和1n T <. 20．数列{}n a 为公差不等于零的等差数列，其前n 项和n S 满足530S =，且1a 、3a 、9a 成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）数列{b n }满足，求{b n }通项公式；（Ⅲ）令（n ∈N *），求数列{c n }的前n 项和T n ．21．设函数f （x ）=ax 2﹣a ﹣lnx ，g （x ）=﹣，其中a ∈R ，e=2.718…为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论f （x ）的单调性； （Ⅱ）证明：当x ＞1时，g （x ）＞0；（Ⅲ）若f （x ）＞g （x ）在（1，+∞）内恒成立，求a 取值范围． 22、23为选考题，考生任选一题作答。

22.【选修4--4；极坐标参数方程选讲】 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为()2cos 22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数，M 是1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，P 点的轨迹为曲线2C 。

（Ⅰ）求2C 的参数方程；（Ⅱ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线=3πθ与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求AB ． 23．【选修4--5；不等式选讲】设a ，b ，c 均为正数，且a+b+c=1，证明： （Ⅰ）； （Ⅱ）2021届内蒙古包头市第九中学高三上学期期中考试数学（理）试题参考答案一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1、C ；2、C ；3、D ；4、B ；5、A ；6、B ；7、B ；8、B ；9、A ；10、D ；11、B ；12、D ；二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．3+214.+24 15．611 16.216．解：根据已知，|m|≤2时，f ″（x ）=x 2﹣mx ﹣3＜0在（a ，b ）上恒成立； ∴mx ＞x 2﹣3恒成立；（1）当x=0时，f ″（x ）=﹣3＜0显然成立； （2）当x ＞0时，；∵m 的最小值为﹣2；；解得0＜x ＜1； （3）当x ＜0时，m ；∵m 的最大值为2； ∴；解得﹣1＜x ＜0； 综上可得﹣1＜x ＜1；∴b ﹣a 的最大值为1﹣（﹣1）=2．三、解答题(共70分，第17—21为必考题，每题12分，22、23为选考题，每题10分)17．解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，a2+b2﹣ab=4，…．（2分）又因为△ABC的面积等于，所以，得ab=4．（4分）联立方程组解得a=2，b=2．（6分）（Ⅱ）由题意得：sinC+sin（B﹣A）=sin2A得到sin（A+B）+sin（B﹣A）=sin2A=2sinAcoA即：sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA﹣cosBsinA=2sinAcoA所以有：sinBcosA=sinAcosA，（8分）当cosA=0时，，△ABC为直角三角形（10分）当cosA≠0时，得sinB=sinA，由正弦定理得a=b，所以，△ABC为等腰三角形．（12分）18．解：（1）函数f（x）=cos2x﹣sin2x+=cos2x+，x∈（0，π），由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣π≤x≤kπ，k∈Z，k=1时，π≤x≤π，可得f（x）的增区间为[，π）；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，即有cos2A+=0，解得2A=π，即A=π，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，化为c2﹣5c+6=0，解得c=2或3， 若c=2，则cosB=＜0，即有B 为钝角，c=2不成立， 则c=3，△ABC 的面积为S=bcsinA=×5×3×=．19．(1)()10n n b n N *=∈；(2)1111n T n =-<+ 20．解：（Ⅰ）a n =2n （n ∈N *）． （Ⅱ）b n =2（3n +1）（n ∈N *）． （Ⅲ）=n （3n +1）=n •3n +n ，数列{c n }的前n 项和21．（Ⅰ）解：由f （x ）=ax 2﹣a ﹣lnx ，得f ′（x ）=2ax ﹣=（x ＞0），当a ≤0时，f ′（x ）＜0在（0，+∞）成立，则f （x ）为（0，+∞）上的减函数；当a ＞0时，由f ′（x ）=0，得x==，∴当x ∈（0，）时，f ′（x ）＜0，当x ∈（，+∞）时，f ′（x ）＞0，则f （x ）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数；综上，当a ≤0时，f （x ）为（0，+∞）上的减函数，当a ＞0时，f （x ）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数；（Ⅱ）证明：要证g （x ）＞0（x ＞1），即﹣＞0，即证，也就是证，令h （x ）=，则h ′（x ）=，∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，则h（x）min=h（1）=e，即当x＞1时，h（x）＞e，∴当x＞1时，g（x）＞0；22.【选修4﹣﹣4；极坐标参数方程选讲】解：（I）设P（x，y），则由条件知M（，）．由于M点在C1上，所以即从而C2的参数方程为（α为参数）（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ．射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1=4sin，射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2=8sin．所以|AB|=|ρ2﹣ρ1|=．23．【选修4﹣﹣5；不等式选讲】证明：（Ⅰ）由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca得：a2+b2+c2≥ab+bc+ca，由题设得（a+b+c）2=1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，所以3（ab+bc+ca）≤1，即ab+bc+ca≤．（Ⅱ）因为+b≥2a，+c≥2b，+a≥2c，故+++（a+b+c）≥2（a+b+c），即++≥a+b+c．所以++≥1．。