三角形与多边形.ppt
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错角相等;③全等三角形的三条对应边相等.
其中逆命题为真命题的有(
A.0个 B.1个
)
C.2个 D.3个
【解析】选C.命题①的逆命题为:相等的角是直角,它是一个
假命题;命题②的逆命题为:内错角相等,两直线平行,它是一
个真命题;命题③的逆命题为:三条边对应相等的两个三角形
全等,它是一个真命题,因此逆命题为真命题的有2个.
5.(2013·温州模拟)如图,在△ABC中,AB=AC,已知∠ACE= 140°,则∠A=( )
A.30°
B.40°
C.50°
D.100°
6.(2013·门平谷模拟)已知等腰三角形的顶角为50°,则这 个等腰三角形的底角为( A.50° B.65° ) C.80° D.50°或65°
180 50 65. 【解析】选B.等腰三角形的底角为 2
【解析】根据三角形三边关系定理得第三边的长度x在4～12 之间(不包括4和12),所以在4～12之间(不包括4和12)任意一 个数都符合题意. 答案:5(答案不唯一)
1.(2012·巴中中考)三角形的下列线段中能将三角形的面积 分成相等的两部分的是( A.中线 B.角平分线 ) C.高线 D.中位线
(2)(2012·铜仁中考)一个多边形每一个外角都等于40°,则 这个多边形的边数是 .
【名师助学】1.多边形的外角和与内角和定理的运用 (1)利用内角和公式为(n-2)·180°→由边数求内角和或由 内角和求边数. (2)因为任何多边形的外角和都等于360°,所以多边形的外角 和与边数无关,解题时常常将多边形的内角问题转化为外角问 题. 2.多边形的对角线将其分割成许多个三角形或特殊的四边形, 结合三角形或特殊的四边形的性质及判定进行角、线段的相 关计算和证明.
11或13 3.若等腰三角形两边长分别为3和5,则它的周长是_______.
4.如果一个正多边形的一个外角是60°,那么这个正多边形的 6 边数是__.
假 5.对顶角相等的逆命题是___命题.
60° 6.如图,已知∠1=100°,∠2=140°,那么∠3=_____.
热点考向 一
三角形三边之间的关系
7.(2013·吉安模拟)设一个不等边三角形的最小内角为∠A, 在下列四个度数中,∠A最大可取( A.20° B.58° C.60° ) D.89°
【解析】选B.∵∠A为不等边三角形的最小内角, ∴∠A是小于60°的角,∵在四个度数中只有20°,58°符合小 于60°的角的条件,∴∠A最大可取58°.
3.(2013·北京模拟)已知某多边形的每一个外角都是72°, 则它的边数为( A.4 B.5 ) C.6 D.8
【解析】选B.∵任何多边形的外角和为360°, ∴所求的多边形的边数为360÷72=5.
4.(2013·长沙模拟)若一个正多边形的一个内角是120°,则 这个正多边形的边数是( A.9 B.8 ) C.6 D.4
【学以致用】 1.(2011·黔南州中考)已知三角形的两边的长分别为3和6, 第三边是方程x2-6x+8=0的解,则这个三角形的周长是( A.11 C.11或13 B.13 D.11和13 )
【解析】选B.解方程x2-6x+8=0,得x=2或x=4,由于2,3,6不能
组成三角形,只有3,4,6能组成三角形,因此周长是13,故选B.
【典例】(2012·苏州模拟)若等腰三角形两边长分别为2和5,
则它的周长是
.
【纠错路径】 1.找错:通过分析错误解答的过程,第___步开始出现错误. ② 2.错因:____________________________________________ 当长度为5的边为底边时,由于2+2<5,所以2,2,5三 ___________________. 条线段组不成三角形 3.纠错:_____________________________________________ 由于2+2<5,2,2,5三条线段组不成三角形,∴当长度 ____________________________________________ 为2的边为底边时,等腰三角形的周长为5+5+2=12.
【解析】选C.设这个正多边形的边数为n, 由题意得(n-2)×180=n×120,解得n=6.
【高手支招】多边形的边数与内角和的关系 1.一个多边形的内角和取决于它的边数,随着边数的增加而增 加,并且每增加一条边,内角和就增加180°. 2.因为正多边形的每个内角都相等,所以正多边形的每个内角
(n 2) 180 . 的度数可以确定,它是 n
三角形与多边形
1.了解:三角形的稳定性;多边形的定义,多边形的顶点、边、
内角、外角、对角线等概念;命题、定理的意义.
2.理解:三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概
念.
3.掌握:三角形的内角和定理及其推论;三角形的任意两边之
和大于第三边.
4.会:按照边的关系和角的大小对三角形进行分类;识别两个 互逆的命题,知道原命题成立其逆命题不一定成立. 5.能:探索多边形内角和与外角和公式并会应用公式解决数学 问题.
C.15°
D.18°
【解析】选A.因为AE是△ABC的角平分线,∠BAC=128°,所以 ∠CAE=64°,又因为AD⊥BC于点D,∠C=36°,则∠CAD=90°36°=54°,因此∠DAE=∠CAE-∠CAD=10°
【解析】选A.三角形的中线将三角形分成两个等底同高的三
1 角形,而三角形的面积= 2 ×底×高,根据公式可知只要底与高
分别相等,它们的面积就相等.
2.(2012·梧州中考)如图,AE是△ABC的角平分线,AD⊥BC于 点D,若∠BAC=128°,∠C=36°,则∠DAE的度数是( )
A.10°
B.12°
1 1 BAC BC ∠ADC=______=90°.∠CAE=______=________.CF=___=_____. ∠BAE 2 BF 2 ∠ADB 1 S△ABC S△ABF 2 S△ACF=_____=_______.
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,若∠B的外角为145°,则∠A的 55 度数为___度.
热点考向 二
三角形的内角和定理及其推论
【例2】(1)(2012·云南中考)如图,在△ABC中,∠B=67°, ∠C=33°,AD是△ABC的角平分线,则∠CAD的度数为( )
A.40°
B.45°
C.50°
D.55°
(2)(2011·怀化中考)如图所示,∠A,∠1,∠2的大小关系是 ( )
A.∠A>∠1>∠2 C.∠A>∠2>∠1
4.多边形的内角和与外角和定理:
(n-2)·180° (1)n边形内角和等于_____________.
360° (2)多边形的外角和等于______.
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三、命题、定理 语句 条件 结论 1.判断一件事情的_____,叫做命题,命题由_____和_____两
真 假 部分组成.正确的命题是___命题,错误的命题是___命题. 条件 结论 2.互逆命题:在两个命题中,如果一个命题的_____和_____分
热点考向 四
判断命题的真假 )
【例4】(2012·淄博中考)下列命题为假命题的是( A.三角形三个内角的和等于180° B.三角形两边之和大于第三边 C.三角形两边的平方和等于第三边的平方
D.三角形的面积等于一条边的长与该边上的高的乘积的一半
【名师助学】1.任何命题都可以改写成“如果„,那么„”的 形式,“如果”后面的部分是条件,“那么”后面的部分是结 论. 2.对某个命题来说,反例是指符合命题的条件,但与命题的结 论相矛盾的例子. 3.注意事项: (1)一个命题正确,它的逆命题不一定正确. (2)任何一个命题都有逆命题,但任何一个定理不一定有逆定 理.
结论 条件 别是另一个命题的_____和_____,那么这两个命题称为互逆
命题.
正确 3.定理:经过证明被确认_____的命题叫做定理.
4.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个
互逆 定理,则这两个定理为_____定理.
1.如图,在△ABC中,AD是高线,AE是角平分线,AF是中线.
【例1】(1)(2013·温州中考)下列各组数可能是一个三角形 的边长的是( A.1,2,4 ) B.4,5,9 C.4,6,8 D.5,5,11
(2)(2012·长沙中考)现有3cm,4cm,7cm,9cm长的四根木棒,
任取其中三根组成一个三角形,那么可以组成的三角形的个数 是( A.1个 ) B.2个 C.3个 D.4个
2.证明角的不等关系时,经常用三角形外角性质来证明.
3.注意事项:
(1)三角形的一个外角等于和它“不相邻”的两个内角的和,
而不是等于任意两个内角的和.
(2)三角形角的相关计算,一定要分清外角、内角以及是否相
邻.
热点考向 三
多边形的外角和与内角和
【例3】(1)(2013·湛江中考)已知一个多边形的内角和是 540°,则这个多边形是( A.四边形 C.六边形 ) B.五边形 D.七边形
一、三角形的角平分线、中线和高 1.三角形的角平分线:一个三角形有三条角平分线,并且都在
内部 内心 三角形的_____,相交于一点,这个交点叫做三角形的_____.
2.三角形的中线:一个三角形有三条中线,并且都在三角形的 内部 _____,相交于一点.
3.三角形的高: 内部 (1)锐角三角形:锐角三角形的三条高都在其_____,相交于一 点. 直角边 (2)直角三角形:直角三角形有两条高与_______重合,另一条 直角顶点 高在三角形的内部,它们的交点是_________. 外部 (3)钝角三角形:钝角三角形有两条高在三角形的_____,一条
2.(2012·苏州模拟)等腰三角形的一个外角为110°,则这个 等腰三角形的顶角的度数为 .
【解析】当等腰三角形已知的这个外角为顶角的外角时,这个 等腰三角形的顶角的度数为180°-110°=70°;当等腰三角 形已知的这个外角为底角的外角时,这个等腰三角形的顶角的 度数为180°-70°-70°=40°. 答案:70°或40°
【名师助学】1.判断三条线段是否能组成三角形的两个方法
(1)可将最小的一条线段和较大的一条线段之和与最大的线段
相比较.
(2)用最大的线段与较小的线段之差与最小的线段进行比较.
2.注意事项
(1)已知等腰三角形的两边长求第三边的值或周长时,要将一
边分腰或底分别讨论. (2)三角形的第三边满足:小于另外两边的和,大于另外两边的 差.
8.(2013·无锡模拟)若一个三角形的一边长为3cm,则它的周 长可能为( A.4cm ) B.5cm C.6cm D.8cm
【解析】选D.∵三角形任意两边之和大于第三边,∴这个三角 形的另外两边之和大于3cm,∴这个三角形的周长大于6cm,只 有选项D符合题意.
9.(2013·湖南模拟)已知三角形的两边长为4,8,则第三边的 长度可以是 (写出一个即可).
1.(2013·陕西模拟)等腰△ABC中,AB=AC,周长为12,则腰长
AB的取值范围是( )
A.0<AB<12
C.3<AB<6
B.0<AB<6
D.6<AB<12
【解析】选C.设AB=x,则BC=12-2x,由三角形三边关系得:
0<12-2x<x+x,解得3<x<6.
2.(2013·上海模拟)命题:①直角都相等;②两直线平行,内
B.∠2>∠1>∠A D.∠2>∠A>∠1
(3)(2013·襄阳中考)如图,在△ABC中,D是BC延长线上一点, ∠B=40°,∠ACD=120°,则∠A的度数为( )
A.60°
B.70°
C.80°
D.90°
【名师助学】1.在三角形中解决角的问题,一般要将角转化到 同一个三角形中利用三角形内角和定理、外角的性质,从整体 上求解.
内部 高在三角形的_____,三条高不相交,但三条高所在的直线相交
于三角形外一点.
二、三角形与多边形的性质 大于 1.三角形三边之间的关系:三角形任意两边的和_____第三边, 小于 任意两边的差_____第三边. 180° 2.三角形的内角和定理:三角形三个内角的和等于______. 3.三角形的外角定理及推论: 等于 (1)三角形的一个外角_____与它不相邻的两个内角的和. 大于 (2)三角形的一个外角_____与它不相邻的任何一个内角.
其中逆命题为真命题的有(
A.0个 B.1个
)
C.2个 D.3个
【解析】选C.命题①的逆命题为:相等的角是直角,它是一个
假命题;命题②的逆命题为:内错角相等,两直线平行,它是一
个真命题;命题③的逆命题为:三条边对应相等的两个三角形
全等,它是一个真命题,因此逆命题为真命题的有2个.
5.(2013·温州模拟)如图,在△ABC中,AB=AC,已知∠ACE= 140°,则∠A=( )
A.30°
B.40°
C.50°
D.100°
6.(2013·门平谷模拟)已知等腰三角形的顶角为50°,则这 个等腰三角形的底角为( A.50° B.65° ) C.80° D.50°或65°
180 50 65. 【解析】选B.等腰三角形的底角为 2
【解析】根据三角形三边关系定理得第三边的长度x在4～12 之间(不包括4和12),所以在4～12之间(不包括4和12)任意一 个数都符合题意. 答案:5(答案不唯一)
1.(2012·巴中中考)三角形的下列线段中能将三角形的面积 分成相等的两部分的是( A.中线 B.角平分线 ) C.高线 D.中位线
(2)(2012·铜仁中考)一个多边形每一个外角都等于40°,则 这个多边形的边数是 .
【名师助学】1.多边形的外角和与内角和定理的运用 (1)利用内角和公式为(n-2)·180°→由边数求内角和或由 内角和求边数. (2)因为任何多边形的外角和都等于360°,所以多边形的外角 和与边数无关,解题时常常将多边形的内角问题转化为外角问 题. 2.多边形的对角线将其分割成许多个三角形或特殊的四边形, 结合三角形或特殊的四边形的性质及判定进行角、线段的相 关计算和证明.
11或13 3.若等腰三角形两边长分别为3和5,则它的周长是_______.
4.如果一个正多边形的一个外角是60°,那么这个正多边形的 6 边数是__.
假 5.对顶角相等的逆命题是___命题.
60° 6.如图,已知∠1=100°,∠2=140°,那么∠3=_____.
热点考向 一
三角形三边之间的关系
7.(2013·吉安模拟)设一个不等边三角形的最小内角为∠A, 在下列四个度数中,∠A最大可取( A.20° B.58° C.60° ) D.89°
【解析】选B.∵∠A为不等边三角形的最小内角, ∴∠A是小于60°的角,∵在四个度数中只有20°,58°符合小 于60°的角的条件,∴∠A最大可取58°.
3.(2013·北京模拟)已知某多边形的每一个外角都是72°, 则它的边数为( A.4 B.5 ) C.6 D.8
【解析】选B.∵任何多边形的外角和为360°, ∴所求的多边形的边数为360÷72=5.
4.(2013·长沙模拟)若一个正多边形的一个内角是120°,则 这个正多边形的边数是( A.9 B.8 ) C.6 D.4
【学以致用】 1.(2011·黔南州中考)已知三角形的两边的长分别为3和6, 第三边是方程x2-6x+8=0的解,则这个三角形的周长是( A.11 C.11或13 B.13 D.11和13 )
【解析】选B.解方程x2-6x+8=0,得x=2或x=4,由于2,3,6不能
组成三角形,只有3,4,6能组成三角形,因此周长是13,故选B.
【典例】(2012·苏州模拟)若等腰三角形两边长分别为2和5,
则它的周长是
.
【纠错路径】 1.找错:通过分析错误解答的过程,第___步开始出现错误. ② 2.错因:____________________________________________ 当长度为5的边为底边时,由于2+2<5,所以2,2,5三 ___________________. 条线段组不成三角形 3.纠错:_____________________________________________ 由于2+2<5,2,2,5三条线段组不成三角形,∴当长度 ____________________________________________ 为2的边为底边时,等腰三角形的周长为5+5+2=12.
【解析】选C.设这个正多边形的边数为n, 由题意得(n-2)×180=n×120,解得n=6.
【高手支招】多边形的边数与内角和的关系 1.一个多边形的内角和取决于它的边数,随着边数的增加而增 加,并且每增加一条边,内角和就增加180°. 2.因为正多边形的每个内角都相等,所以正多边形的每个内角
(n 2) 180 . 的度数可以确定,它是 n
三角形与多边形
1.了解:三角形的稳定性;多边形的定义,多边形的顶点、边、
内角、外角、对角线等概念;命题、定理的意义.
2.理解:三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概
念.
3.掌握:三角形的内角和定理及其推论;三角形的任意两边之
和大于第三边.
4.会:按照边的关系和角的大小对三角形进行分类;识别两个 互逆的命题,知道原命题成立其逆命题不一定成立. 5.能:探索多边形内角和与外角和公式并会应用公式解决数学 问题.
C.15°
D.18°
【解析】选A.因为AE是△ABC的角平分线,∠BAC=128°,所以 ∠CAE=64°,又因为AD⊥BC于点D,∠C=36°,则∠CAD=90°36°=54°,因此∠DAE=∠CAE-∠CAD=10°
【解析】选A.三角形的中线将三角形分成两个等底同高的三
1 角形,而三角形的面积= 2 ×底×高,根据公式可知只要底与高
分别相等,它们的面积就相等.
2.(2012·梧州中考)如图,AE是△ABC的角平分线,AD⊥BC于 点D,若∠BAC=128°,∠C=36°,则∠DAE的度数是( )
A.10°
B.12°
1 1 BAC BC ∠ADC=______=90°.∠CAE=______=________.CF=___=_____. ∠BAE 2 BF 2 ∠ADB 1 S△ABC S△ABF 2 S△ACF=_____=_______.
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,若∠B的外角为145°,则∠A的 55 度数为___度.
热点考向 二
三角形的内角和定理及其推论
【例2】(1)(2012·云南中考)如图,在△ABC中,∠B=67°, ∠C=33°,AD是△ABC的角平分线,则∠CAD的度数为( )
A.40°
B.45°
C.50°
D.55°
(2)(2011·怀化中考)如图所示,∠A,∠1,∠2的大小关系是 ( )
A.∠A>∠1>∠2 C.∠A>∠2>∠1
4.多边形的内角和与外角和定理:
(n-2)·180° (1)n边形内角和等于_____________.
360° (2)多边形的外角和等于______.
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三、命题、定理 语句 条件 结论 1.判断一件事情的_____,叫做命题,命题由_____和_____两
真 假 部分组成.正确的命题是___命题,错误的命题是___命题. 条件 结论 2.互逆命题:在两个命题中,如果一个命题的_____和_____分
热点考向 四
判断命题的真假 )
【例4】(2012·淄博中考)下列命题为假命题的是( A.三角形三个内角的和等于180° B.三角形两边之和大于第三边 C.三角形两边的平方和等于第三边的平方
D.三角形的面积等于一条边的长与该边上的高的乘积的一半
【名师助学】1.任何命题都可以改写成“如果„,那么„”的 形式,“如果”后面的部分是条件,“那么”后面的部分是结 论. 2.对某个命题来说,反例是指符合命题的条件,但与命题的结 论相矛盾的例子. 3.注意事项: (1)一个命题正确,它的逆命题不一定正确. (2)任何一个命题都有逆命题,但任何一个定理不一定有逆定 理.
结论 条件 别是另一个命题的_____和_____,那么这两个命题称为互逆
命题.
正确 3.定理:经过证明被确认_____的命题叫做定理.
4.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个
互逆 定理,则这两个定理为_____定理.
1.如图,在△ABC中,AD是高线,AE是角平分线,AF是中线.
【例1】(1)(2013·温州中考)下列各组数可能是一个三角形 的边长的是( A.1,2,4 ) B.4,5,9 C.4,6,8 D.5,5,11
(2)(2012·长沙中考)现有3cm,4cm,7cm,9cm长的四根木棒,
任取其中三根组成一个三角形,那么可以组成的三角形的个数 是( A.1个 ) B.2个 C.3个 D.4个
2.证明角的不等关系时,经常用三角形外角性质来证明.
3.注意事项:
(1)三角形的一个外角等于和它“不相邻”的两个内角的和,
而不是等于任意两个内角的和.
(2)三角形角的相关计算,一定要分清外角、内角以及是否相
邻.
热点考向 三
多边形的外角和与内角和
【例3】(1)(2013·湛江中考)已知一个多边形的内角和是 540°,则这个多边形是( A.四边形 C.六边形 ) B.五边形 D.七边形
一、三角形的角平分线、中线和高 1.三角形的角平分线:一个三角形有三条角平分线,并且都在
内部 内心 三角形的_____,相交于一点,这个交点叫做三角形的_____.
2.三角形的中线:一个三角形有三条中线,并且都在三角形的 内部 _____,相交于一点.
3.三角形的高: 内部 (1)锐角三角形:锐角三角形的三条高都在其_____,相交于一 点. 直角边 (2)直角三角形:直角三角形有两条高与_______重合,另一条 直角顶点 高在三角形的内部,它们的交点是_________. 外部 (3)钝角三角形:钝角三角形有两条高在三角形的_____,一条
2.(2012·苏州模拟)等腰三角形的一个外角为110°,则这个 等腰三角形的顶角的度数为 .
【解析】当等腰三角形已知的这个外角为顶角的外角时,这个 等腰三角形的顶角的度数为180°-110°=70°;当等腰三角 形已知的这个外角为底角的外角时,这个等腰三角形的顶角的 度数为180°-70°-70°=40°. 答案:70°或40°
【名师助学】1.判断三条线段是否能组成三角形的两个方法
(1)可将最小的一条线段和较大的一条线段之和与最大的线段
相比较.
(2)用最大的线段与较小的线段之差与最小的线段进行比较.
2.注意事项
(1)已知等腰三角形的两边长求第三边的值或周长时,要将一
边分腰或底分别讨论. (2)三角形的第三边满足:小于另外两边的和,大于另外两边的 差.
8.(2013·无锡模拟)若一个三角形的一边长为3cm,则它的周 长可能为( A.4cm ) B.5cm C.6cm D.8cm
【解析】选D.∵三角形任意两边之和大于第三边,∴这个三角 形的另外两边之和大于3cm,∴这个三角形的周长大于6cm,只 有选项D符合题意.
9.(2013·湖南模拟)已知三角形的两边长为4,8,则第三边的 长度可以是 (写出一个即可).
1.(2013·陕西模拟)等腰△ABC中,AB=AC,周长为12,则腰长
AB的取值范围是( )
A.0<AB<12
C.3<AB<6
B.0<AB<6
D.6<AB<12
【解析】选C.设AB=x,则BC=12-2x,由三角形三边关系得:
0<12-2x<x+x,解得3<x<6.
2.(2013·上海模拟)命题:①直角都相等;②两直线平行,内
B.∠2>∠1>∠A D.∠2>∠A>∠1
(3)(2013·襄阳中考)如图,在△ABC中,D是BC延长线上一点, ∠B=40°,∠ACD=120°,则∠A的度数为( )
A.60°
B.70°
C.80°
D.90°
【名师助学】1.在三角形中解决角的问题,一般要将角转化到 同一个三角形中利用三角形内角和定理、外角的性质,从整体 上求解.
内部 高在三角形的_____,三条高不相交,但三条高所在的直线相交
于三角形外一点.
二、三角形与多边形的性质 大于 1.三角形三边之间的关系:三角形任意两边的和_____第三边, 小于 任意两边的差_____第三边. 180° 2.三角形的内角和定理:三角形三个内角的和等于______. 3.三角形的外角定理及推论: 等于 (1)三角形的一个外角_____与它不相邻的两个内角的和. 大于 (2)三角形的一个外角_____与它不相邻的任何一个内角.