第七章第四节直线平面平行的判定和性质

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202新数学复习第七章立体几何7.4直线平面平行的判定及其性质学案含解析

第四节直线、平面平行的判定及其性质课标要求考情分析1。

以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．1.直线、平面平行的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线平行、线面平行、面面平行的判定及其应用等内容．2．题型主要以解答题的形式出现,解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想.知识点一直线与平面平行的判定定理和性质定理应用判定定理时，要注意“内”“外"“平行”三个条件必须都具备,缺一不可．知识点二平面与平面平行的判定定理和性质定理1。

平面与平面平行还有如下判定：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行．2．平面与平面平行还有如下性质：(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．(3）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”）(1）若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面．（×)(2)若直线a与平面α内无数条直线平行,则a∥α。

（×）（3）若直线a∥平面α，P∈平面α，则过点P且平行于a 的直线有无数条．（×)(4）如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行．(×）（5)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(√)2．小题热身（1）如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α的(D) A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线都不相交（2）下列命题中正确的是（D)A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α(3)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，则“m∥β”是“α∥β”的(B）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件（4)如图，在正方体ABCD。

直线、平面平行的判定及其性质课件

思考6：设直线a，b为异面直线，经过
直线a可作几个平面与直线b平行？过a，
b外一点P可作几个平面与直线a，b都
平行？
a
b
p
b a a
p b
理论迁移
例1 在空间四边形ABCD中，E，F分别是 AB，AD的中点，求证：EF//平面BCD.
A E B
F D
C
例2 在长方体ABCD—A1B1C1D1中. （1）作出过直线AC且与直线BD1平行的
思考4：有一块木料如图，
E
P为面BCEF内一点，要求过点P在平面BCEF内画一
F
P D
条直线和平面ABCD平行，
那么应如何画线？
A
C B
思考5：如图，设直线b在平面α内，直线a在平面α外，猜想在什么条件下直线 a与平面α平行？
a
a//b
α
b
探究（二）：直线与平面平行的判断定理
思考1：如果直线a与平面α内的一条直线b平行，则直线a与平面α一定平行吗？
D′
A′
P
C′
B′ D
C
A
B
例2 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证另一条也平行于这个平面.
如图，已知直线a，b
和平面α ，a∥b，
a
b
a∥α , a，b都在平面α外 .
c α
求证：b∥α .
作业: P61练习，习题2.2A组：1，2. （做在书上） P62习题2.2A组：5，6. P63习题2.2B组：1，2.
由此可得什么推论？
推论如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一
a
b
α
个平面内的两条直
线，那么这两个平 β

直线、平面平行的判定及其性质

直线、平面平行的判定及其性质新课讲解：1、直线与平面平行的判定及其性质（1）线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。

线线平行⇒线面平行（2）线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

线面平行⇒线线平行2、平面与平面平行的判定及其性质（两条相交直线即可代表一个平面）（1）两个平面平行的判定定理①如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

线面平行→面面平行②如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。

线线平行→面面平行③垂直于同一条直线的两个平面平行.（2）两个平面平行的性质①如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。

面面平行→线面平行②如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

面面平行→线线平行题型一：直线与平面平行的判定要点：利用判定定理时关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线。

例1.(2011·天津改编)如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，O 为AC 的中点，M 为PD 的中点。

求证：PB ∥平面ACM 。

变式练习1：如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1中点。

求证：BD 1∥平面AEC 。

变式练习2：如图，若PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、PD 的中点，求证：AF ∥平面PCE 。

A B CD A 1B 1C 1D 1E例2.正方体ABCD-A1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1分别有E、F，且B1E=C1F，求证：EF∥平面ABCD.变式练习1：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1E＝BF.求证：EF∥平面BB1C1C.题型二：平面与平面平行的判定例3.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别为所在边的中点．求证：平面MNP∥平面A1C1B。

新课标理科数学第七章第四节直线、平面平行的判定及其性质

高难度练习题及答案
高难度练习题1答案
由于直线a与直线b平行，且直线a与直线c垂直相交于点A，根据垂直平面的性质和直线的性质，可以证明直线b与直线c平行。
高难度练习题2答案
由于平面α与平面β平行，且平面α与平面γ垂直相交于直线a，根据垂直平面的性质和相交平面的性质，可以证明平面β与平面γ平行。
06
本节总结与回顾
本节重点回顾
直线与平面平行的判定定理
如果一条直线与平面内的一条直线平行，且这条直线不在这个平面内，那么这条直线与这个平面平行。
平面与平面平行的判定定理
如果两个平面有一个公共点，且过这个点的所有直线都分别在两个平面内，那么这两个平面平行。
直线与平面平行的性质定理
如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任何习题3答案
由于平面α与平面β平行，根据平面的性质，它们之间没有公共点。
中等难度练习题1答案
中等难度练习题2答案
由于平面α与平面β平行，且平面α与平面γ相交于直线a，根据平面的性质和相交平面的性质，平面β与平面γ平行。
由于直线a与直线b平行，且直线a与直线c相交于点A，根据平行直线的传递性，直线b与直线c平行。
C.两直线平行的传递性
高难度题目解析
D.空间两平面平行的判定定理
题目2：已知直线$a/backslash$/平面$alpha ，b subset alpha ，$过直线$a$作平面$beta $，使$beta/backslash$/$alpha $，这样的$beta $（）
高难度题目解析
A.只能作一个 B.至少可以作一个
新课标理科数学第七章第四节直线、平面平行的判定及其性质
• 引言 • 直线与平面平行的判定条件 • 直线与平面平行的性质 • 典型例题解析 • 练习题与答案 • 本节总结与回顾

直线、平面平行的判定与性质

[解析]
选项A，平行直线的平行投影可以依然是两条平行
直线；选项 B ，两个相交平面的交线与某一条直线平行，则这
条直线平行于这两个平面；选项 C，两个相交平面可以同时垂
直于同一个平面；选项D，正确． [答案] D
2．(2009·福建，10)设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，
l2是平面β内的两条相交直线．则α∥β的一个充分而不必要条件
∵AF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AF∥平面PDC.
∵AF∩EF＝F，∴平面AEF∥平面PCD.
∵AE⊂平面AEF，AE∥平面PCD.
∴线段PB的中点E是符合题意要求的点．
1．证明直线和平面平行的方法有：
(1)依定义采用反证法
(2) 判定定理( 线∥线 ⇒线∥面) ，即想方设法在平面内找出一条与已知直线平行的直线． (3)面面平行性质定理(面∥面⇒线∥面) 2．证明平面与平面平行的方法有：
(1)[证明] ∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴PA⊥AB.
∵AB⊥AD，PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，
∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.
(2)[解]
解法一：取线段 PB 的中点 E，PC 的中点 F，连
接 AE，EF，DF，则 EF 是△PBC 的中位线． 1 1 ∴EF∥BC，EF＝ BC，∵AD∥BC，AD＝ BC， 2 2 ∴AD∥EF，AD＝EF. ∴四边形 EFDA 是平行四边形，∴AE∥DF. ∵AE⊄平面 PCD，DF⊂平面 PCD， ∴AE∥平面 PCD. ∴线段 PB 的中点 E 是符合题意要求的点．
(1)依定义采用反证法
(2) 判定定理( 线∥面 ⇒面∥面) ．即证一平面内两条相交直
线与另一平面垂直．

直线平面平行的判定及其性质

解析几何中的应用
在解析几何中，直线与平面的平行关系也是非常重要的。例如，在求解一些涉及平面解析几何的问题时，需要使用直线与平面平行的判定定理和性质来解决
。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
直线与平面平行的判定定理的应用：在解析几何中，利用直线与平面平行的判定定理，可以用来判断一个点是否在一条直线上，或者判断两个平面是否平行
直线与平面平行的判定定理
如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线都没有交点。
直线与平面平行的判定定理的应用
在几何学中，这个定理经常被用来判断两条直线是否平行，或者一个平面是否平行于另一个平面。
02
直线与平面平行的性质
直线平行于平面的性质
直线平行于平面，则直线与平面内的任意一条直线都平行。
直线平行于平面，则直线与平面内的任意一条直线都平行或异面。
直线平行于平面，则直线与平面内的任意一条直线都没有公共点。
平面平行于直线的性质
平面平行于直线，则平面与直线的任意一条平行线都平行。
平面平行于直线，则平面与直线的任意一条垂线都垂直。
平面平行于直线，则平面与直线的任意一条垂线都垂直或平行。
直线与平面平行的判定定理的应用：在空间几何中，利用直线与平面平行的判定定理，即“如果直线与平面内的一条直线平行，则直线与该平
面平行”，可以用来判断建筑物的结构是否符合设计要求。
直线与平面平行的性质的应用：直线与平面平行的性质定理的应用，即 “如果直线与平面平行，则直线与平面的垂线互相垂直”，可以用来判断建筑物的高度和角度是否符合设计要求。
直线平行于平面的判定定理
如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线都平行。

直线、平面平行的判定与性质

⇒a∥b
线面平行⇒线线平行 ).
例1.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外的一点，在四棱锥P-ABCD中，M是PC的中点，证明：PA//平面BDM
P M D
O
证明：连接 AC, 交BD于点O, 连接OM , 在PAC中, C M , O分别为PC, AC的中点,
A
OM // PA 又OM 平面BDM, PA 平面BDM
∴AP∥GH.
二、平面与平面平行
1．判定定理
文字语言
图形
语言
符号语言
判定定理
如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一
个平面，那么这两个平面
平行(简记为 “线面平行⇒面面平行 ”)
⇒α∥β
2．两平面平行的性质定理
文字语言图形语言符号语言
如果两平行平面
性质同时和第三个平
定理面相交，那么它们的交线平行
直线、平面平行的判定与性质
一、直线与平面平行 1．判定定理
文字语言图形语言符号语言
判
如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行(简记为 ⇒l∥α
定
定理
线线平行⇒线面平行 ).
2．性质定理
文字语言图形语言符号语言
如果一条直线和一个平
性面平行，经过这条直线质的平面和这个平面相交，定那么这条直线就和交线理平行(简记
O
D
B
A
练习3.如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°，E 为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，使平面 A′DE⊥平面BCDE，F为线段A′C的中点．求证：BF∥平面A′DE.

高中数学课件：直线、平面平行的判定与性质

(2)连接FH，OH， ∵F，H分别是PC，CD的中点，∴FH∥PD. ∵PD⊂平面PAD，FH⊄平面PAD，∴FH∥平面PAD. 又∵O是AC的中点，H是CD的中点，∴OH∥AD，又∵AD⊂平面PAD，OH⊄平面PAD， ∴OH∥平面PAD. 又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD. 又∵GH⊂平面OHF，∴GH∥平面PAD.
的角为 60°，转化为三角形的一个角有关的问题还缺少所需要用的三角形，可连接 AD，取 AD 的中差什么点 M，连接 ME，MF，得三角形 MEF，利用平行找什么关系可找到 ME 与 MF 所成的角，然后利用余弦定理求解即可
[解题方略] 证明面面平行的常用方法
(1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)； (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(主要方法)； (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题常用)； (4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题常用)； (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化进行证明．
所以四边形BDC1D1为平行四边形，所以BD1∥C1D. BD1⊄平面AC1D，C1D⊂平面AC1D，所以BD1∥平面AC1D，又因为A1B∩BD1＝B，所以平面A1BD1∥平面AC1D.
2.如图，四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AB＝BC
＝
1 2
AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的
考法(二) 直线与平面平行性质定理的应用 [例2] 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面 BDM于GH. 求证：AP∥GH.

第四节直线、平面平行的判定与性质

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数学
第四节
直线、平面平行的判定与性质
结束
[一题多变] 解：存在．当 M 为 BC1 的中点时成立．证明如下：连接 DM，在△ABC1 中， D，M 分别为 AB，BC1 的中点 1 ∵DM 綊 AC1，又 DM⊄平面 A1ACC1 2 AC1⊂平面 A1ACC1，∴DM∥平面 A1ACC1.
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第四节
直线、平面平行的判定与性质
结束
(2)连接 BD，B1D1，∵底面是正方形， ∴AC⊥BD. ∵D1D⊥AC，D1D∩BD＝D， ∴AC⊥平面 BDD1B1. ∵D1E⊂平面 BDD1B1，∴D1E⊥AC.
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第四节
直线、平面平行的判定与性质
结束
迁移应用· 练透 1．解析：对于①，若 a∥b，b⊂ α，则应有 a∥α 或 a⊂ α，所以①不正确；对于②，若 a∥b，a∥α，则应有 b∥α 或 b⊂ α，因此②不正确；对于③，若 a∥α，b∥α，则应有 a∥b 或 a 与 b 相交或 a 与 b 异面，因此③是假命题．综上，在空间中，以上三个命题都是假命题．答案：A
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第四节
直线、平面平行的判定与性质
结束
热点命题· 悟通考点一 1．解析：由异面直线的判定定理，易知①是真命题；由线面平行的性质知，存在直线 l′⊂α，m′⊂α，使得 l∥l′，m∥m′， ∵m，l 是异面直线，∴l′与 m′是相交直线，又 n⊥l，n⊥m， ∴n⊥l′，n⊥m′，故 n⊥α，②是真命题；由线面平行的性质和判定知③是真命题；满足条件 l∥α，m∥β，α∥β 的直线 m， l 或相交或平行或异面，故④是假命题，于是选 B. 答案：B

第七章第四节直线、平面平行的判定及其性质

[归纳领悟归纳领悟] 归纳领悟 1．证明直线与平面平行，一般有以下几种方法：．证明直线与平面平行，一般有以下几种方法： (1)若用定义直接判定，一般用反证法；若用定义直接判定，一般用反证法；若用定义直接判定 (2)用判定定理来证明，关键是在平面内找(或作一条直线与用判定定理来证明，关键是在平面内找或作或作)一条直线与用判定定理来证明已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过程；已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过程； (3)应用两平面平行的一个性质，即两平面平行时，其中一应用两平面平行的一个性质，即两平面平行时，应用两平面平行的一个性质个平面内的任何直线都平行于另一个平面．个平面内的任何直线都平行于另一个平面． 2．线线平行与线面平行之间的转化体现了化归的思想方法．．
条件
∩b＝P a∥ a∥a′b∥b′ ＝ ∥ ∥ ′ ∥ ′ αb∥α ∥ a′，b′⊂βa， ′ ′ ， b⊂α ⊂
bα∩γ＝ a⊂β ∩ ＝ ⊂ a a∥b ∥ a∥α ∥
结论 α∥β ∥
α∥β ∥
α∥β ∥
[究疑点] 究 1．若一直线平行于平面α，那么平面内的任一条直线．若一直线平行于平面，那么平面α内的任一条直线与它有何位置关系？与它有何位置关系？提示：平行或异面．提示：平行或异面． 2．若两平面平行，那么在一个平面内的任一条直线与．若两平面平行，另一个平面内的任一条直线有何位置关系？另一个平面内的任一条直线有何位置关系？提示：平行或异面．提示：平行或异面． 3．如果一平面同时平行于两个平面，那么这两个平面．如果一平面同时平行于两个平面，有何位置关系？有何位置关系？提示：平行．提示：平行．
直线、直线、平面平行的判定及其性质以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认以立体几何的定义、公理和定理为出发点，识和理解空间中线面平行的判定定理与有关性质．识和理解空间中线面平行的判定定理与有关性质．

第七章第四节直线、平面平行的判定和性质

第七章第四节直线、平面平行的判定和性质1.( )A ．异面B ．相交C ．平行D ．不确定解析：由线面平行的性质定理容易推出该直线与交线平行．答案：C2．(2010·福州模拟)已知平面α、β和直线m ，给出条件：①m ∥α；②m ⊥α；③m ⊂α；④α⊥β；⑤α∥β.为使m ∥β，应选择下面四个选项中的 ( )A ．①④B ．①⑤C ．②⑤D ．③⑤解析：当m ⊂α，α∥β时，有m ∥β.答案：D3．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝7，∠A ＝60°，G 为重心，过G 的平面α与BC 平行，AB ∩α＝M ，AC ∩α＝N ，则MN ＝________.解析：如图，在△ABC 中，由余弦定理知BC ＝39，∵BC ∥α，∴MN ∥BC ，又G 是△ABC 的重心，∴MN ＝23BC ＝2393. 答案：23934．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外的一点，则在四棱锥P －ABCD 中，M 是PC的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH .求证：AP ∥GH .证明：连结AC ，交BD 于O ，连结MO .因为四边形ABCD 是平行四边形，所以O 是AC 的中点，又因为M 是PC 的中点，所以MO ∥P A .又因为MO ⊂平面BDM ，P A ⊄平面BDM ，所以P A ∥平面BDM .又因为经过P A 与点G 的平面交平面BDM 于GH ，所以AP ∥GH .5.(2009·12β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是 ( )A ．m ∥β且l 1∥αB ．m ∥l 1且n ∥l 2C ．m ∥β且n ∥βD ．m ∥β且n ∥l 2解析：∵m ∥l 1且n ∥l 2，又l 1与l 2是平面β内的两条相交直线，∴α∥β，而当α∥β时不一定推出m ∥l 1且n ∥l 2.答案：B6．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面P AO?解：当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面P AO .∵Q 为CC 1的中点，P 为DD 1的中点，∴QB ∥P A .连结DB .∵P 、O 分别为DD 1、DB 的中点，∴D 1B ∥PO .又D 1B ⊄平面P AO ，QB ⊄平面 P AO ，∴D 1B ∥面P AO ，QB ∥面P AO ，又D 1B ∩QB ＝B ，∴平面D 1BQ ∥平面P AO .7.设平面αβ内运动时，那么所有的动点C ( )A ．不共面B ．当且仅当A 、B 在两条相交直线上移动时才共面C ．当且仅当A 、B 在两条给定的平行直线上移动时才共面D ．不论A 、B 如何移动都共面解析：根据平行平面的性质，不论A 、B 如何运动，动点C 均在过C 且与α，β都平行的平面上．答案：D8．如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a 3，过P 、M 、N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝____________.解析：∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，∴MN ∥PQ .∵M 、N 分别是A 1B 1、B 1C 1的中点，AP ＝a 3， ∴CQ ＝a 3，从而DP ＝DQ ＝2a 3， ∴PQ ＝223a . 答案：223a9.若直线 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若l ∥α，m ⊂α，不一定有l ∥m ，反之，若l ∥m ，则l ⊂α或l ∥α.答案：D10．(2010·昆明模拟)已知m ，n 是不同的直线，α，β是不重合的平面，给出下列命题： ①若m ∥α，则m 平行于平面α内的任意一条直线；②若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n ；③若m ⊥α，n ⊥β，m ∥n ，则α∥β；④若α∥β，m ⊂α，则m ∥β.上面的命题中，真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)解析：①由m ∥α，则m 与α内的直线无公共点，∴m 与α内的直线平行或异面．故①不正确．②α∥β，则α内的直线与β内的直线与无共点，∴m 与n 平行或异面，故②不正确．③④正确．答案：③④11．(2010·徐州模拟)如图所示，四边形ABCD 为矩形，BC ⊥平面ABE ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .(1)设点M 为线段AB 的中点，点N 为线段CE 的中点．求证：MN ∥平面DAE ； (2)求证：AE ⊥BE .证明：(1)取DE 的中点P ，连结P A ，PN ，因为点N 为线段CE 的中点，所以PN ∥DC ，且PN ＝12DC ，又四边形ABCD 是矩形，点M 为线段AB 的中点，所以AM ∥DC ，且AM ＝12DC ，所以PN ∥AM ，且PN ＝AM ，故四边形AMNP 是平行四边形，所以MN ∥AP .而AP ⊂平面DAE ，MN ⊄平面DAE ，所以MN ∥平面DAE .(2)因为BC ⊥平面ABE ，AE ⊂平面ABE ，所以AE ⊥BC ，又BF ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ACE ，所以AE ⊥BF ，又BF ∩BC ＝B ，所以AE ⊥平面BCE .又BE ⊂平面BCE ，所以AE ⊥BE .12．如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，侧面PBC内有BE ⊥PC 于E ，且BE ＝63a ，试在AB 上找一点F ，使EF ∥平面P AD .解：在平面PCD 内，过E 作EG ∥CD 交PD 于G ，连结AG ，在AB 上取点F ，使AF ＝EG ，则F 即为所求作的点．EG ∥CD ∥AF ，EG ＝AF ，∴四边形FEGA 为平行四边形，∴FE ∥AG .又AG ⊂平面P AD ，FE ⊄平面P AD ，∴EF ∥平面P AD .又在△BCE 中， CE ＝BC 2－BE 2＝ a 2－23a 2＝33a .在Rt △PBC 中，BC 2＝CE ·CP∴CP ＝a 233a ＝3a .又EG CD ＝PE PC ， ∴EG ＝AF ＝23a . ∴点F 为AB 上靠近B 的一个三等分点．。

(完整版)直线平面平行、垂直的判定及其性质知识点

一、直线、平面平行的判定及其性质知识点一、直线与平面平行的判定ⅰ.直线和平面的位置关系（一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种）位置关系直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α=A a||α图形表示注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外ⅱ.思考：如图，设直线b在平面α内，直线a在平面α外，猜想在什么条件下直线a与平面α平行.（a||b）判定文字描述直线和平面在空间平面永无交点，则直线和平面平行（定义）平面外的一条直线一次平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行图形条件a与α无交点结论a∥αb∥α※判定定理的证明知识点二、直线与平面平行的性质性质文字描述一条直线与一个平面平行，则这条直线与该平面无交点一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面相交，这条直线和交线平行．图形条件a∥αa∥αa⊂βα∩β＝b结论a∩α＝∅a∥b线面平行，则线线平行特别提示证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行.判定文字描述如果两个平面无公共点，责成这两个平面平行一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．如果两个平面同时垂直于一条直线，那么这两个平面垂直。

图形条件α∩β＝∅a，b⊂βa∩b＝Pa∥αb∥αl⊥αl⊥β结论α∥βα∥βα∥β性质文字描述如果两个平行平面同时和第三平面相交，那么他们的交线平行如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面图形条件α∥ββ∩γ＝bα∩γ＝a α∥β a⊂β结论a∥b a∥α二、直线、平面垂直的判定及其性质知识点一、直线和平面垂直的定义与判定定义判定语言描述如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面互相垂直，记作l ⊥α一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 图形条件b 为平面α内的任一直线，而l 对这一直线总有l ⊥αl ⊥m ，l ⊥n ，m ∩n ＝B ，m ⊂α，n ⊂α 结论l ⊥α l ⊥α 要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线线垂直线面垂直）性质语言描述一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线垂直于同一个平面的两条直线平行.图形条件结论知识点三、二面角Ⅰ.二面角：：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle ）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角AB αβ－－. （简记P AB Q －－）二面角的平面角的三个特征:ⅰ. 点在棱上ⅱ. 线在面内 ⅲ.与棱垂直Ⅱ.二面角的平面角：在二面角αβ－l －的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面,αβ内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角. 作用：衡量二面角的大小；范围：00180θ<<.定义判定文字描述两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直图形结果α∩β=l α-l-β=90o α⊥β“任何”“随意”“无数”等字眼知识点五、平面和平面垂直的性质面面垂直线面垂直（如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与一个面平垂直）例题1.如图，若Ω是长方体ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1 D1，则下列结论中不正确的是A. EH∥FGB.四边形EFGH是矩形C. Ω是棱柱D. Ω是棱台2能保证直线a与平面α平行的条件是（ A ）A.a⊄α,b⊂α,a∥b B .b⊂α,a∥bC. b⊂α,c∥α,a∥b,a∥cD. b⊂α,A∈a,B∈a,C∈b ,D∈b且AC＝BD3下列命题正确的是（ D F ）A. 平行于同一平面的两条直线平行B. 若直线a∥α,则平面α内有且仅有一条直线与a平行C. 若直线a∥α,则平面α内任一条直线都与a平行D. 若直线a∥α,则平面α内有无数条直线与a平行E. 如果a、b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面F. 如果直线a、b和平面α满足a∥b，a∥α,b⊄α，那么b∥α4在空间，下列命题正确的是（A）平行直线的平行投影重合（B）平行于同一直线的两个平面平行（C）垂直于同一平面的两个平面平行（D ）垂直于同一平面的两条直线平行5已知m 、n 为两条不同的直线，a 、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A ．,,m n αα⊂⊂m ∥β，n ∥β⇒a ∥βB ．a ∥β，,m n αβ⊂⊂⇒m ∥nC ．m ⊥a,m ⊥n ⇒n ∥aD ．n ∥m,n ⊥a ⇒m ⊥a 6.下列命题中错误的是（A ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定直线平行于平面β（B ）如果平面α垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β （C ）如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ⋂=，那么l ⊥平面γ （D ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β8.求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面．已知：空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点求证：E F ‖平面BCD8题图 9题图9.如图，在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形，且∠DAB=60 ， ,PB=2, E,F 分别是BC,PC 的中点. (1) 证明：AD ⊥ 平面DEF;(2) 求二面角P-AD-B 的余弦值.课堂练习A 组3.m 、n 是空间两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下面四个命题中，真命题的序号是________．①m ⊥α，n ∥β，α∥β⇒m ⊥n ； ②m ⊥n ，α∥β，m ⊥α⇒n ∥β； ③m ⊥n ，α∥β，m ∥α⇒n ⊥β； ④m ⊥α，m ∥n ，α∥β⇒n ⊥β.4.如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2,E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。

2021高考数学(理)大一轮复习第七篇立体几何与空间向量第4节直线、平面平行的判定与性质

跟踪训练3:如图所示,P是△ABC所在平面外的一点,点A′, B′,C′分别是△PBC,△PCA,△PAB的重心. (1)求证:平面ABC∥平面A′B′C′;
(1)证明:分别连接 PA′,PB′,PC′并延长交 BC,AC,AB 于点 D,E,F,连接 DE,EF,DF.
因为点 A′,C′分别是△PBC,△PAB 的重心,所以 PA′= 2 PD,PC′= 2 PF,
第4节直线、平面平行的判定与性质
[考纲展示]
1.以立体几何的定义、公理和定理 2.能运用公理、定理和已获得的结
为出发点,认识和理解空间中线面论证明一些有关空间图形的平行关
平行的有关性质与判定定理.
系的简单命题.
知识梳理自测考点深度剖析核心素养提升
知识梳理自测
知识梳理
1.直线与平面平行的判定定理和性质定理
多维探究
[例1] 如图,四棱锥S-ABCD中,SD⊥平面ABCD,AB∥CD,AD⊥CD, SD=CD,AB=AD,CD=2AD,M是BC中点,N是SA的中点. 求证:MN∥平面SDC.
证明:法一如图,取SB的中点T,连接NT,MT. 在△SAB中,SN=NA,ST=TB,所以NT∥AB, 又AB∥CD,所以NT∥CD. 在△SBC中,BM=MC,BT=TS,所以MT∥SC. 又因为NT∩MT=T,SC∩CD=C,所以平面MNT∥平面SDC, 又因为MN⊂平面MNT,所以MN∥平面SDC.
解析:因为a∥平面α,所以直线a与平面α无交点,因此a和平面α内的任意一条直线都不相交,故选D.
2.若平面α∥平面β,直线a∥平面α,点B∈β,则在平面β内且过B点的所有直线中
(
)A
(A)不一定存在与a平行的直线

第七章第4讲直线、平面平行的判定与性质

第4讲直线、平面平行的判定与性质, [学生用书P131])1．直线与平面平行的判定定理和性质定理1．辨明两个易误点(1)直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件． (2)面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件． 2．线面、面面平行的判定中所遵循的原则一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，不可过于“模式化”．1．(2017·大连模拟)对于直线m ，n 和平面α，若n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] D2.教材习题改编下列命题为真的是( ) A ．若直线l 与平面α有两个公共点，则l ⊄αB ．若α∥β，a ⊂α，b ⊂β，则a 与b 是异面直线C ．若α∥β，a ⊂α，则a ∥βD ．若α∩β＝b ，a ⊂α，则a 与β一定相交C [解析] A 错误．直线l 和平面有两个公共点，则l ⊂α.B 错误．若α∥β，a ⊂α，b ⊂β，则a 与b 异面或平行．C 正确．因为a 与β无公共点，则a ∥β.D 错误．a 与β有可能平行．故选C.3.教材习题改编如果直线a ∥平面α，那么直线a 与平面α内的( ) A ．一条直线不相交 B ．两条直线不相交 C ．无数条直线不相交D ．任意一条直线都不相交D [解析] 因为a ∥平面α，直线a 与平面α无公共点，因此a 和平面α内的任意一条直线都不相交，故选D.4.教材习题改编设m ，n 表示直线，α、β表示平面，则下列命题为真的是( )A ．⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αn ∥α⇒m ∥n B ．⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αα∥β⇒m ∥β C ．⎭⎪⎬⎪⎫α∩β＝m n ∥α n ∥β⇒m ∥n D ．⎭⎪⎬⎪⎫α∥βm ∥αn ∥β⇒m ∥n C [解析] A 错误，因为m 可能与n 相交或异面．B 错误，因为m 可能在β内．D 错误，m 、n 可能异面相交，故选C.线面平行的判定与性质(高频考点)[学生用书P131]平行关系是空间几何中的一种重要关系，包括线线平行、线面平行、面面平行，其中线面平行在高考试题中出现的频率很高，一般出现在解答题中．高考对线面平行的判定及性质的考查主要有以下三个命题角度： (1)判断线面的位置关系； (2)线面平行的证明； (3)线面平行性质的应用．[典例引领](2016·高考全国卷丙)如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明MN ∥平面P AB ； (2)求四面体N -BCM 的体积．【解】(1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 的中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN ═ ∥AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT .因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A .取BC 的中点E ，连接AE ，由AB ＝AC ＝3，得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5. 由AM ∥BC ，得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体N -BCM 的体积V N -BCM ＝13×S △BCM ×P A 2＝453.判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)； (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄α，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．[题点通关]角度一判断线面的位置关系 1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是DD 1的中点，则BD 1与平面ACE 的位置关系为________．[解析] 如图，连接AC ，BD 交于O 点，连接OE ，因为OE ∥BD 1，而OE ⊂平面ACE ，BD 1⊄平面ACE ，所以BD 1∥平面ACE . [答案] 平行角度二线面平行的证明2．如图，四棱锥P -ABCD 中AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F ，H 分别为线段AD ，PC ，CD 的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点．(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：GH ∥平面P AD .[证明] (1)连接EC ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ═ ∥AE ，所以四边形ABCE 是平行四边形，所以O 为AC 的中点．又因为F 是PC 的中点，所以FO ∥AP ，FO ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ，所以AP ∥平面BEF . (2)连接FH ，OH ，因为F ，H 分别是PC ，CD 的中点，所以FH ∥PD ，所以FH ∥平面P AD .又因为O 是BE 的中点，H 是CD 的中点，所以OH ∥AD ，所以OH ∥平面P AD . 又FH ∩OH ＝H ，所以平面OHF ∥平面P AD . 又因为GH ⊂平面OHF ，所以GH ∥平面P AD .角度三线面平行性质的应用3. 如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH .求证：AP ∥GH .[证明] 如图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接MO ，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以O 是AC 的中点，又M 是PC 的中点，所以P A ∥MO .又MO ⊂平面MBD ，所以P A ∥平面MBD .因为平面P AHG ∩平面BMD ＝GH ，且P A ⊂平面P AHG ，所以AP ∥GH .面面平行的判定与性质[学生用书P132][典例引领]如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.【证明】(1)因为GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1.又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．(2)因为E，F分别为AB，AC的中点，所以EF∥BC，因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.因为A1G═∥EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.因为A1E∩EF＝E，所以平面EF A1∥平面BCHG.在本例条件下，线段BC1上是否存在一点M使得EM∥平面A1ACC1?[解] 存在．当M为BC1的中点时成立．证明如下：连接EM，AC1(图略)，在△ABC1中，E，M分别为AB，BC1的中点，所以EM═∥12AC1，又EM⊄平面A1ACC1，AC1⊂平面A1ACC1，所以EM∥平面A1ACC1.判定面面平行的方法(1)利用定义，即证两个平面没有公共点(不常用)；(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)；(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)；(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用)．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论．[解] (1)点F，G，H的位置如图所示．(2)平面BEG∥平面ACH，证明如下：因为ABCD-EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.平行关系的综合应用[学生用书P133][典例引领](2017·洛阳月考)如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．(1)求证：BE∥平面DMF；(2)求证：平面BDE∥平面MNG.【证明】(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE 的中位线，所以BE∥MO，又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.空间平行关系的转化平行关系之间的转化如图所示：在证明线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向是由题目的具体条件而定的，不可过于“模式化”．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.[证明] (1)如图，连接SB，因为E、G分别是BC、SC的中点，所以EG∥SB.又因为SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，所以直线EG∥平面BDD1B1.(2)连接SD，因为F、G分别是DC、SC的中点，所以FG∥SD.又因为SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，所以FG∥平面BDD1B1，又EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，所以平面EFG∥平面BDD1B1.,[学生用书P134])——立体几何中的探索性问题的求解方法如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D 是棱CC 1的中点，问在棱AB 上是否存在一点E ，使DE ∥平面AB 1C 1？若存在，请确定点E 的位置；若不存在，请说明理由．【解】点E 为AB 的中点时DE ∥平面AB 1C 1，证明如下：法一：取AB 1的中点F ，连接DE 、EF 、FC 1，因为E 、F 分别为AB 、AB 1的中点，所以EF ∥BB 1且EF ＝12BB 1.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，DC 1∥BB 1且DC 1＝12BB 1，所以EF ═ ∥DC 1，四边形EFC 1D 为平行四边形，所以ED ∥FC 1.又ED ⊄平面AB 1C 1，FC 1⊂平面AB 1C 1，所以ED ∥平面AB 1C 1.法二：取BB 1的中点H ，连接EH ，DH ，DE ，因为E ，H 分别是AB ，BB 1的中点，则EH ∥AB 1.又EH ⊄平面AB 1C 1，AB 1⊂平面AB 1C 1，所以EH ∥平面AB 1C 1，又HD ∥B 1C 1，同理可得HD ∥平面AB 1C 1，又EH ∩HD ＝H ，所以平面EHD ∥平面AB 1C 1，因为ED ⊂平面EHD ，所以ED ∥平面AB 1C 1.(1)立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设．(2)这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使……成立”，“只需使……成立”．如图，在四棱锥S -ABCD 中，已知底面ABCD 为直角梯形，其中AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝2，tan ∠SDA ＝23.(1)求四棱锥S -ABCD 的体积；(2)在棱SD 上找一点E ，使CE ∥平面SAB ，并证明．[解] (1)因为SA ⊥底面ABCD ，tan ∠SDA ＝23，SA ＝2，所以AD ＝3.由题意知四棱锥S -ABCD 的底面为直角梯形，且SA ＝AB ＝BC ＝2，V S -ABCD ＝13×SA ×12×(BC ＋AD )×AB ＝13×2×12×(2＋3)×2＝103. (2)当点E 位于棱SD 上靠近D 的三等分点处时，可使CE ∥平面SAB . 证明如下：取SD 上靠近D 的三等分点为E ，取SA 上靠近A 的三等分点为F ，连接CE ，EF ，BF ，则EF ═ ∥23AD ，BC ═ ∥23AD ，所以BC ═ ∥EF ，所以CE ∥BF .又因为BF ⊂平面SAB ，CE ⊄平面SAB ，所以CE ∥平面SAB ., [学生用书P273(独立成册)])1．设α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α内的两条不同直线，l 1，l 2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是( )A ．m ∥l 1且n ∥l 2B ．m ∥β且n ∥l 2C ．m ∥β且n ∥βD ．m ∥β且l 1∥αA [解析] 由m ∥l 1，m ⊂α，得l 1∥α，同理l 2∥α，又l 1，l 2相交，l 1，l 2⊂β，所以α∥β，反之不成立，所以m ∥l 1且n ∥l 2是α∥β的一个充分不必要条件．2．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序是( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④C [解析] 对于图形①，平面MNP 与AB 所在的对角面平行，即可得到AB ∥平面MNP ；对于图形④，AB ∥PN ，即可得到AB ∥平面MNP ；图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行．3．已知直线a ，b ，平面α，则以下三个命题： ①若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α； ②若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α； ③若a ∥α，b ∥α，则a ∥b . 其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3A [解析] 对于①，若a ∥b ，b ⊂α，则应有a ∥α或a ⊂α，所以①是假命题；对于②，若a ∥b ，a ∥α，则应有b ∥α或b ⊂α，因此②是假命题；对于③，若a ∥α，b ∥α，则应有a ∥b 或a 与b 相交或a 与b 异面，因此③是假命题．综上，在空间中，以上三个命题都是假命题．4. 如图所示，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，AD 上的点，且AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4，又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，则( )A ．BD ∥平面EFGH ，且四边形EFGH 是矩形B ．EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形C ．HG ∥平面ABD ，且四边形EFGH 是菱形D ．EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是平行四边形B [解析] 由AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4知EF ═ ∥15BD ，所以EF ∥平面BCD .又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，所以HG ═ ∥12BD ，所以EF ∥HG 且EF ≠HG .所以四边形EFGH 是梯形．5．设l ，m ，n 表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列命题： ①若m ∥l ，且m ⊥α，则l ⊥α； ②若m ∥l ，且m ∥α，则l ∥α；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，则l ∥m ∥n ； ④若α∩β＝m ，β∩γ＝l ，γ∩α＝n ，且n ∥β，则l ∥m . 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4B [解析] 由题易知①正确；②错误，l 也可以在α内；③错误，以墙角为例即可说明；④正确，可以以三棱柱为例说明，故选B.6．已知直线a ，b 异面，给出以下命题： ①一定存在平行于a 的平面α使b ⊥α；②一定存在平行于a 的平面α使b ∥α； ③一定存在平行于a 的平面α使b ⊂α；④一定存在无数个平行于a 的平面α与b 交于一定点．则其中论断正确的是( ) A ．①④ B ．②③ C ．①②③ D ．②③④D [解析] 对于①，若存在平面α使得b ⊥α，则有b ⊥a ，而直线a ，b 未必垂直，因此①不正确；对于②，注意到过直线a ，b 外一点M 分别引直线a ，b 的平行线a 1，b 1，显然由直线a 1，b 1可确定平面α，此时平面α与直线a ，b 均平行，因此②正确；对于③，注意到过直线b 上的一点B 作直线a 2与直线a 平行，显然由直线b 与a 2可确定平面α，此时平面α与直线a 平行，且b ⊂α，因此③正确；对于④，在直线b 上取一定点N ，过点N 作直线c 与直线a 平行，经过直线c 的平面(除由直线a 与c 所确定的平面及直线c 与b 所确定的平面之外)均与直线a 平行，且与直线b 相交于一定点N ，因此④正确．综上所述，②③④正确．7．棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是棱AA 1的中点，过C ，M ，D 1作正方体的截面，则截面的面积是________．[解析] 由面面平行的性质知截面与平面AB 1的交线MN 是△AA 1B 的中位线，所以截面是梯形CD 1MN ，易求其面积为92.[答案] 928．设α，β，γ是三个不同的平面，a ，b 是两条不同的直线，有下列三个条件：①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确条件的序都填上)．[解析] 由面面平行的性质定理可知，①正确；当b ∥β，a ⊂γ时，a 和b 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故填入的条件为①或③.[答案] ①或③9．已知平面α∥β，P ∉α且P ∉ β，过点P 的直线m 与α，β分别交于A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于B ，D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为________．[解析] 如图1，因为AC ∩BD ＝P ，图1所以经过直线AC 与BD 可确定平面PCD . 因为α∥β，α∩平面PCD ＝AB ， β∩平面PCD ＝CD ，所以AB ∥CD .所以P A AC ＝PBBD，即69＝8－BD BD ，所以BD ＝245. 如图2，同理可证AB ∥CD .图2所以P A PC ＝PB PD ，即63＝BD －88，所以BD ＝24.综上所述，BD ＝245或24.[答案] 245或2410. (2017·湖南省长沙一中高考模拟)如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点P 是棱AD 上一点，且AP ＝a3，过B 1、D 1、P 的平面交底面ABCD 于PQ ，Q 在直线CD 上，则PQ ＝________．[解析] 因为平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ，而平面B 1D 1P ∩平面ABCD ＝PQ ，平面B 1D 1P ∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，所以B 1D 1∥PQ .又因为B 1D 1∥BD ，所以BD ∥PQ ，设PQ ∩AB ＝M ，因为AB ∥CD ，所以△APM ∽△DPQ .所以PQ PM ＝PDAP＝2，即PQ ＝2PM .又知△APM ∽△ADB ，所以PM BD ＝AP AD ＝13，所以PM ＝13BD ，又BD ＝2a ，所以PQ ＝223a .[答案] 223a11．如图，在三棱台DEF -ABC 中，AB ＝2DE ，点G ，H 分别为AC ，BC 的中点．求证：BD ∥平面FGH .[证明] 如图，连接DG ，CD ，设CD ∩FG ＝O ，连接OH . 在三棱台DEF -ABC 中，AB ＝2DE ，点G 为AC 的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形，所以点O为CD的中点．又因为点H为BC的中点，所以OH∥BD.又因为OH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.12．如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，正确的命题是________．①|BM|是定值；②点M在圆上运动；③一定存在某个位置，使DE⊥A1C；④一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE.[解析] 取DC中点N，连接MN，NB，则MN∥A1D，NB∥DE，所以平面MNB∥平面A1DE，因为MB⊂平面MNB，所以MB∥平面A1DE，④正确；∠A1DE＝∠MNB，MN＝12A1D＝定值，NB＝DE＝定值，根据余弦定理得，MB2＝MN2＋NB2－2MN·NB·cos∠MNB，所以MB是定值．①正确；B是定点，所以M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，②正确；当矩形ABCD满足AC⊥DE时存在，其他情况不存在，③不正确．所以①②④正确．[答案] ①②④13. 如图所示的几何体ABCDFE中，△ABC，△DFE都是等边三角形，且所在平面平行，四边形BCED是边长为2的正方形，且所在平面垂直于平面ABC.(1)求几何体ABCDFE的体积；(2)证明：平面ADE∥平面BCF.[解] (1)取BC的中点O，ED的中点G，连接AO，OF，FG，AG.因为AO ⊥BC ，AO ⊂平面ABC ，平面BCED ⊥平面ABC ，所以AO ⊥平面BCED .同理FG ⊥平面BCED . 因为AO ＝FG ＝3，所以V ABCDFE ＝13×4×3×2＝833.(2)证明：由(1)知AO ∥FG ，AO ＝FG ，所以四边形AOFG 为平行四边形，所以AG ∥OF .又因为DE ∥BC ，DE ∩AG ＝G ，DE ⊂平面ADE ，AG ⊂平面ADE ，FO ∩BC ＝O ，FO ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，所以平面ADE ∥平面BCF .14. (2017·阜阳月考)如图，在三棱锥A -BOC 中，AO ⊥平面COB ，∠OAB ＝∠OAC ＝π6，AB ＝AC ＝2，BC ＝2，D ，E 分别为AB ，OB 的中点．(1)求证：CO ⊥平面AOB ；(2)在线段CB 上是否存在一点F ，使得平面DEF ∥平面AOC ，若存在，试确定F 的位置，并证明此点满足要求；若不存在，请说明理由．[解] (1)证明：因为AO ⊥平面COB ，所以AO ⊥CO ，AO ⊥BO ，即△AOC 与△AOB 为直角三角形．又因为∠OAB ＝∠OAC ＝π6，AB ＝AC ＝2，所以OB ＝OC ＝1.由OB 2＋OC 2＝1＋1＝2＝BC 2，可知△BOC 为直角三角形．所以CO ⊥ BO ，又因为AO ∩BO ＝O ，所以CO ⊥平面AOB .(2)在线段CB 上存在一点F ，使得平面DEF ∥平面AOC ，此时F 为线段CB 的中点．证明如下，如图，连接DF ，EF ，因为D ，E 分别为AB ，OB 的中点，所以DE ∥OA . 又DE ⊄平面AOC ，所以DE ∥平面AOC .因为E ，F 分别为OB ，BC 的中点，所以EF ∥OC . 又EF ⊄平面AOC ，所以EF∥平面AOC，又EF∩DE＝E，EF⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，所以平面DEF∥平面AOC.。

直线、平面平行的判定及其性质

直线、平面平行的判定及其性质考点梳理1．直线与平面平行(1)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)．即：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α.其他判定方法；α∥β，a⊂α⇒a∥β.(2)性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(线面平行⇒线线平行)．即：a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒a∥l.2．平面与平面平行(1)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(线面平行⇒面面平行)．即：a⊂α，b⊂α，a∩b＝M，a∥β，b∥β⇒α∥β.(2)性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．即：α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b.一个转化关系平行问题的转化关系两点提醒(1)在推证线面平行时，必须满足三个条件：一是直线a在已知平面外；二是直线b在已知平面内；三是两直线平行．(2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则该直线与交线平行．考点自测1．若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是()．A．平行B．相交C．异面D．以上均有可能解析借助长方体模型易得．答案 D2．在空间中，下列命题正确的是()．A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行解析选项A，平行直线的平行投影可以依然是两条平行直线；选项B，两个相交平面的交线与某一条直线平行，则这条直线平行于这两个平面；选项C，两个相交平面可以同时垂直于同一个平面；选项D，正确．答案 D3．(2013·长沙模拟)若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是( )．A ．b ⊂αB ．b ∥αC ．b ⊂α或b ∥αD ．b 与α相交或b ⊂α或b ∥α解析可以构造一草图来表示位置关系，经验证，当b 与α相交或b ⊂α或b ∥α时，均满足直线a ⊥b ，且直线a ∥平面α的情况，故选D.答案 D4．在空间中，下列命题正确的是( )．A ．若a ∥α，b ∥a ，则b ∥αB ．若a ∥α，b ∥α，a ⊂β，b ⊂β，则β∥αC ．若α∥β，b ∥α，则b ∥βD ．若α∥β，a ⊂α，则a ∥β解析若a ∥α，b ∥a ，则b ∥α或b ⊂α，故A 错误；由面面平行的判定定理知，B 错误；若α∥β，b ∥α，则b ∥β或b ⊂β，故C 错误．答案 D5．在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 是DD 1的中点，则BD 1与平面ACE 的位置关系为________．解析如图．连接AC 、BD 交于O 点，连接OE ，因为OE ∥BD 1，而OE ⊂平面ACE ，BD 1⊄平面ACE ，所以BD 1∥平面ACE .答案平行考向一线面平行的判定及性质【例1】►(2012·辽宁)如图，直三棱柱ABCA ′B ′C ′，∠BAC＝90°，AB ＝AC ＝2，AA ′＝1，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．(1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′； (2)求三棱锥A ′MNC 的体积．(锥体体积公式V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)[审题视点] (1)连接AB ′，AC ′，在△AC ′B ′中由中位线定理可证MN ∥AC ′，则线面平行可证；此问也可以应用面面平行证明．(2)证A ′N ⊥平面NBC ，故V A ′MNC ＝V A ′NBC －V MNBC ＝12V A ′NBC ，体积可求．(1)证明法一连接AB ′，AC ′，如图由已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，三棱柱ABCA ′B ′C ′为直三棱柱，所以M 为AB ′中点．又因为N 为B ′C ′的中点，所以MN ∥AC ′. 又MN ⊄平面A ′ACC ′，AC ′⊂平面A ′ACC ′，因此MN ∥平面A ′ACC ′.法二取A ′B ′的中点P ，连接MP ，NP ，AB ′，如图，而M ，N 分别为AB ′与B ′C ′的中点，所以MP ∥AA ′，PN ∥A ′C ′，所以MP ∥平面A ′ACC ′，PN ∥平面A ′ACC ′. 又MP ∩NP ＝P ，因此平面MPN ∥平面A ′ACC ′. 而MN ⊂平面MPN ，因此MN ∥平面A ′ACC ′.(2)解法一连接BN ，如图由题意A ′N ⊥B ′C ′，平面A ′B ′C ′∩平面B ′BCC ′＝B ′C ′，所以A ′N ⊥平面NBC .又A ′N ＝12B ′C ′＝1，故V A ′MNC ＝V NA ′MC ＝12V NA ′BC ＝12V A ′NBC ＝16.法二 V A ′MNC ＝V A ′NBC －V MNBC ＝12V A ′NBC ＝16.(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．注意说明已知的直线不在平面内．(2)证明直线与平面平行的方法：①利用定义结合反证；②利用线面平行的判定定理；③利用面面平行的性质．【训练1】如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ，BP ＝BC ＝2，E ，F 分别是PB ，PC 的中点．(1)证明：EF ∥平面P AD ； (2)求三棱锥EABC 的体积．(1)证明在△PBC 中，E ，F 分别是PB ，PC 的中点， ∴EF ∥BC .又BC ∥AD ，∴EF ∥AD . 又∵AD ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ， ∴EF ∥平面P AD .(2)解连接AE ，AC ，EC ，过E 作EG ∥P A 交AB 于点G ，则EG ⊥平面ABCD ，且EG ＝12P A .在△P AB 中，AP ＝AB ，∠P AB ＝90°，BP ＝2， ∴AP ＝AB ＝2，EG ＝22. ∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝12×2×2＝ 2.∴V EABC ＝13S △ABC ·EG ＝13×2×22＝13.考向二面面平行的判定和性质【例2】►(2013·济南调研) 如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别为所在边的中点．求证：平面MNP ∥平面A 1C 1B .[审题视点] 利用面面平行判定定理的证明即可．证明如图，连接D 1C ，则MN 为△DD 1C 的中位线，∴MN ∥D 1C . ∵D 1C ∥A 1B ，∴MN ∥A 1B . 同理可证，MP ∥C 1B .而MN 与MP 相交，MN ，MP 在平面MNP 内，A 1B ，C 1B 在平面A 1C 1B 内， ∴平面MNP ∥平面A 1C 1B .要证面面平行需证线面平行，要证线面平行需证线线平行，因此“面面平行”问题最终转化为“线线平行”问题来解决．【训练2】如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：(1)B ，C ，H ，G 四点共面； (2)平面EF A 1∥平面BCHG .证明 (1)∵GH 是△A 1B 1C 1的中位线，∴GH ∥B 1C 1. 又∵B 1C 1∥BC ，∴GH ∥BC ， ∴B ，C ，H ，G 四点共面．(2)∵E 、F 分别为AB 、AC 的中点，∴EF ∥BC ，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG.∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.考向三线面平行中的探索性问题【例3】►如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面ABC，若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．[审题视点] 取AB、BB1的中点分别为E、F，证明平面DEF∥平面AB1C1即可．解存在点E，且E为AB的中点．下面给出证明：如图，取BB1的中点F，连接DF，则DF∥B1C1.∵AB的中点为E，连接EF，则EF∥AB1.B1C1与AB1是相交直线，∴平面DEF∥平面AB1C1.而DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.解决探究性问题一般要采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾)，则不存在．【训练3】如图，在四棱锥P ABCD中，底面是平行四边形，P A⊥平面ABCD，点M、N分别为BC、P A的中点．在线段PD上是否存在一点E，使NM∥平面ACE？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．解在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE.证明如下：如图，取PD 的中点E ，连接NE ，EC ，AE ，因为N ，E 分别为P A ，PD 的中点，所以NE 綉12AD .又在平行四边形ABCD 中，CM 綉12AD .所以NE 綉MC ，即四边形MCEN 是平行四边形．所以NM 綉EC .又EC ⊂平面ACE ，NM ⊄平面ACE ，所以MN ∥平面ACE ，即在PD 上存在一点E ，使得NM ∥平面ACE .规范解答13——如何作答平行关系证明题【命题研究】通过近三年的高考试题分析，对线面平行、面面平行的证明一直受到命题人的青睐，多以多面体为载体，证明线面平行和面面平行，题型为解答题，题目难度不大．【真题探究】► (本小题满分12分)(2012·山东)如图，几何体EABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD . (1)求证：BE ＝DE ；(2)若∠BCD ＝120°，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . [教你审题] 一审取BD 的中点O ，证明BD ⊥EO ；二审取AB 中点N ，证明平面DMN ∥平面BEC ；找到平面BCE 和平面ADE 的交线EF ，证明DM ∥EF .[规范解答] 证明 (1)图(a)如图(a)，取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD，(2分)又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，(4分)因此BD⊥EO，又O为BD的中点，所以BE＝DE.(6分)(2)法一如图(b)，取AB的中点N，连接DM，DN，MN，图(b)因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，∴MN∥平面BEC.(8分)又因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°，又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°，所以DN∥BC.(10分)又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC. 又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC，又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.(12分)法二如图(c)，延长AD，BC交于点F，连接EF.图(c)因为CB＝CD，∠BCD＝120°，所以∠CBD ＝30°. 因为△ABD 为正三角形，所以∠BAD ＝60°，∠ABC ＝90°，因此∠AFB ＝30°，所以AB ＝12AF .(8分)又AB ＝AD ，所以D 为线段AF 的中点．连接DM ，由点M 是线段AE 的中点，因此DM ∥EF .(10分)又DM ⊄平面BEC ，EF ⊂平面BEC ，所以DM ∥平面BEC .(12分)[阅卷老师手记] (1)对题目已知条件分析不深入，不能将已知条件与所证问题联系起来； (2)识图能力差，不能观察出线、面之间的隐含关系，不能作出恰当的辅助线或辅助面； (3)答题不规范，跳步、漏步等．证明线面平行问题的答题模板(一)第一步：作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线；第二步：证明线线平行；第三步：根据线面平行的判定定理证明线面平行；第四步：反思回顾．检查关键点及答题规范．证明线面平行问题的答题模板(二)第一步：在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面；第二步：利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行；第三步：证明所作平面与所证平面平行；第四步：转化为线面平行；第五步：反思回顾．检查答题规范．【试一试】如图，在几何体ABCDEFG 中，下底面ABCD 为正方形，上底面EFG 为等腰直角三角形，其中EF ⊥FG ，且EF ∥AD ，FG ∥AB ，AF ⊥面ABCD ，AB ＝2FG ＝2，BE ＝BD ，M 是DE 的中点．(1)求证：FM ∥平面CEG ； (2)求几何体GEFC 的体积． (1)证明取CE 的中点N ，连接MN ，GN ，则MN 綉FG 綉12AB .故四边形MNGF 为平行四边形． ∴MF ∥GN .又MF ⊄平面CEG ，GN ⊂平面CEG ， ∴FM ∥平面CEG .(2)解在Rt △ABD 中，AB ＝AD ＝2，BD ＝22， ∴BE ＝2 2.∵AF ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴AF ⊥AB .在正方形ABCD 中，AB ⊥AD . 又AD ∩AF ＝A ，∴AB ⊥平面ADEF .又AE ⊂平面ADEF ，∴AB ⊥AE . ∴在Rt △ABE 中，AE ＝8－4＝2.又在Rt △AEF 中，EF ＝1，∴AF ＝4－1＝ 3. 又EF ∥AD ，EF ⊄平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴EF ∥平面ABCD .同理由FG ∥AB ，可得FG ∥平面ABCD .又EF ∩FG ＝F ，EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG . ∴平面EFG ∥平面ABCD . 又AF ⊥平面ABCD ，AF ＝3， ∴点C 到平面EFG 的距离等于3， ∴V GEFC ＝V CEFG ＝13×S △EFG ·d＝13×⎝⎛⎭⎫12×1×1×3＝36A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是()．A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l⊂α解析l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等；l⊂α时，直线l上所有的点到α的距离都是0；l⊥α时，直线l上有两个点到α距离相等；l与α斜交时，也只能有两个点到α距离相等．答案 D2．平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是()．A．AB∥CD B．AD∥CB C．AB与CD相交D．A，B，C，D四点共面解析充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立．答案 D3．(2012·北京模拟)以下命题中真命题的个数是()．①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，b⊂α，则a∥α；④若直线a∥b，b⊂α，则a平行于平面α内的无数条直线．A．1 B．2 C．3 D．4解析命题①l可以在平面α内，不正确；命题②直线a与平面α可以是相交关系，不正确；命题③直线a可以在平面α内，不正确；命题④正确．答案 A4．(2013·汕头质检)若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是()．A．若m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线B．若m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线C．已知α、β互相平行，m、n互相平行，若m∥α，则n∥βD．若m、n在平面α内的射影互相平行，则m、n互相平行解析A中，m、n可为相交直线；B正确；C中，n可以平行β，也可以在β内；D中，m、n也可能异面．故正确的命题是B.答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．解析过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共6条．答案 66．α、β、γ是三个平面，a 、b 是两条直线，有下列三个条件：①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的题号填上)．解析 ①中，a ∥γ，a ⊂β，b ⊂β，β∩γ＝b ⇒a ∥b (线面平行的性质)．③中，b ∥β，b ⊂γ，a ⊂γ，β∩γ＝a ⇒a ∥b (线面平行的性质)．答案 ①③三、解答题(共25分)7．(12分)如图，在四面体ABCD 中，F 、E 、H 分别是棱AB 、BD 、AC 的中点，G 为DE 的中点．证明：直线HG ∥平面CEF .证明法一如图，连接BH ，BH 与CF 交于K ，连接EK .∵F 、H 分别是AB 、AC 的中点，∴K 是△ABC 的重心，∴BK BH ＝23.又据题设条件知，BE BG ＝23，∴BK BH ＝BE BG ，∴EK ∥GH .∵EK ⊂平面CEF ，GH ⊄平面CEF ，∴直线HG ∥平面CEF .法二如图，取CD 的中点N ，连接GN 、HN .∵G 为DE 的中点，∴GN ∥CE .∵CE ⊂平面CEF ，GN ⊄平面CEF ，∴GN ∥平面CEF .连接FH ，EN∵F 、E 、H 分别是棱AB 、BD 、AC 的中点， ∴FH 綉12BC ，EN 綉12BC ，∴FH 綉EN ，∴四边形FHNE 为平行四边形，∴HN ∥EF . ∵EF ⊂平面CEF ，HN ⊄平面CEF ，∴HN ∥平面CEF .HN ∩GN ＝N ，∴平面GHN ∥平面CEF .∵GH ⊂平面GHN ，∴直线HG ∥平面CEF .8．(13分)如图，已知ABCDA 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，G 在BB 1上，且AE ＝FC 1＝B 1G ＝1，H 是B 1C 1的中点．(1)求证：E ，B ，F ，D 1四点共面；(2)求证：平面A 1GH ∥平面BED 1F .证明 (1)∵AE ＝B 1G ＝1，∴BG ＝A 1E ＝2，∴BG =A 1E ，∴A 1G =BE .又同理，C 1F 綉B 1G ，∴四边形C 1FGB 1是平行四边形， ∴FG 綉C 1B 1綉D 1A 1，∴四边形A 1GFD 1是平行四边形． ∴A 1G 綉D 1F ，∴D 1F 綉EB ，故E 、B 、F 、D 1四点共面．(2)∵H 是B 1C 1的中点，∴B 1H ＝32.又B 1G ＝1，∴B 1G B 1H ＝23.又FC BC ＝23，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°，∴△B 1HG ∽△CBF ，∴∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG ， ∴HG ∥FB .又由(1)知A 1G ∥BE ，且HG ∩A 1G ＝G ， FB ∩BE ＝B ，∴平面A 1GH ∥平面BED 1F .。

第七章第四节直线平面平行的判定和性质

202新数学复习第七章立体几何7.4直线平面平行的判定及其性质学案含解析

直线、平面平行的判定及其性质课件

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新课标理科数学第七章第四节直线、平面平行的判定及其性质

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第四节 直线、平面平行的判定与性质

第七章 第四节 直线、平面平行的判定及其性质

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(完整版)直线平面平行、垂直的判定及其性质知识点

2021高考数学(理)大一轮复习第七篇 立体几何与空间向量第4节 直线、平面平行的判定与性质

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