第7章、单位根检验内容及案例
金融计量学单位根检验法
SSR (a) e ˆt2(a)
其中：SSR (a ) 表示给定a时的残差平方 和函数。
由此，Point-Optimal 检验统计 量定义为：
SSR(a)aSSR(1)
PT
f0
其中：f 0 表示频率为0的残差谱估计。
图7-6 EViews中ERS 点最优检验对话框
7.3.3 Phillips- Perron检验
图7-4 EViews中的各种 单位根检验对话框
7.3.1 ERS-DFGLS检验
ERS-DFGLS检验是Elliott, Rothenberg, and Stock (1996)提出的 一种单位根检验法，全称为DickeyFuller Test with GLS Detrending (DFGLS)，即“使用广义最小二乘法去除 趋势的DF检验”。
Phillips-Perron检验，是一种非参 数单位根检验法。该检验的特点是使用 DF检验中的AR（1）模型形式，即以下三 种形式中的一种：
yytt
c c
t yt1 yt1 t
t
yt yt1 t
所以，PP检验不使用ADF检验中的AR（p）
形式。
PP检验的统计量可以写成：
f000.5T(f02f000.5)Sse(ˆ)
最后，使用ADF检验的模型形式
对y
d t
进行检验，即：
p
ytd ytd1
y d
i t(i1)
t
i2
H0: 0
H A : a
7.3.2 ERS Point-Optimal检验
ERS Point-Optimal 检验需要首 先利用模型(6.24)获得残差序列，即：
e ˆt(a)d(yt a)d(xt a)ˆ
单位根检验PPT课件
AR(1)过程 {yt}为一随机步游过程。
14
单位根检验：定义
❖ 看图识平稳 ：15源自单位根检验：定义❖ 看图识平稳 ：
16
单位根检验：定义
❖ 看图识平稳 ：
17
单位根检验：定义
❖ I(d)过程：有时原始序列是非平稳过程，但对 原始序列经过d次差分后可变为平稳过程，则 原序列记为I(d)过程；
12
单位根检验：定义
❖ AR(1)过程是平稳序列吗？
❖ 定理：若| |1，则AR(1)过程是平稳过程。因
为
（1）
Eyt
1
（2）cov(
yt
,
yt
h
)
2 |h| 1 2
var(
yt
)
1
2
2
（3） (t, h) |h|
❖ 证明过程略
13
单位根检验：定义
❖ 如果 | |1 ，AR(1)过程 {yt}还是平稳过程吗？ 为什么？
❖ 经济时间序列多为I(1)或I(2)过程； ❖ 显然，I(0)过程是平稳序列 。
18
单位根检验：定义
❖ 当回归模型中含有非平稳的I(d)序列时，常规 的统计推断都不再成立，因此必须检验被解 释变量和解释变量是不是平稳的。标准的检 验方法是“单位根检验”。
19
单位根检验：定义
❖ 一个随机过程的平稳性取决于其特征方程的 根的值。若所有的根都位于单位圆之外，则 该过程是平稳的。若某个(些)根的值位于单位 圆上或单位圆内，则该过程是非平稳的。若 特征方程的根取值为1，则称其为单位根。对 单位根的检验(即对随机过程单整阶数的检验) 也就是对随机过程平稳性的检验。
单位根检验的EViews操作课件
如何进一步学习时间序列分析的相关知识
01
阅读时间序列分析相关的专业书籍和学术论文，深入理解时间 序列分析的基本原理和方法。
02
学习EViews软件的使用方法，掌握各种时间序列分析工具和命
令。
参加时间序列分析相关的课程和培训，与专业人士交流学习，
03
提高自己的分析能力。
THANKS FOR WATCHING
设，认为数据不存在单位根。
03
根据单位根检验结果，可以进一步进行其他相关分析和建 模。
04
单位根检验的EViews操 作实例
单个时间序列数据的单位根检验
01
打开EViews软件，选择 “File”菜单中的“New”选 项，创建一个新的工作文件。
02
在工作文件中，选择 “Quick”菜单中的“Empty Group”选项，创建一个空的 工作组。
单位根检验的原理
单位根检验基于ADF（Augmented Dickey-Fuller）检验和PP（Phillips-Perron ）检验等统计方法，通过构建适当的回归模型并检验其残差是否具有单位根来确 定时间序列数据是否平稳。
如果残差存在单位根，则说明时间序列数据是非平稳的，即存在一个单位根；如 果残差不存在单位根，则说明时间序列数据是平稳的。
02
EViews软件介绍
EViews软件的特点
界面友好
01
EViews软件采用直观的图形界面，方便用户进行数据处理和统
计分析。
功能强大
02
EViews提供了丰富的数据处理、模型估计、统计分析和预测功
能，满足各种研究需求。
兼容性好
03
EViews支持多种数据格式和软件接口，方便与其他软件进行数
单位根检验内容及标准规定样式分析
第八章 单位根检验由于非平稳过程可能存在严重的伪回归问题，所以在对序列进行估计之前，需要检验序列的平稳性。
本章介绍了严格的平稳性的统计检验方法--单位根检验。
在简要介绍四种主要的非平稳随机过程以产输出单位根检验原理之后，文章主要介绍ADF 检验及PP 检验法，以及介结构突变和单位根检验。
8.1 四种典型非平稳过程简介前面我们知道，若一个时间序列含有某种变动趋势，即该序列的均值或自协方差函数随时间而改变，则称该序列为非平稳序列。
下面介绍四种典型的非平稳过程。
8.1.1随机游走过程t t t y y ξ+=-1，t=1，2，．．． （8.11）若}{t ξ为独立随机分布，即()0=t E ξ，()∞<=2σξt D 。
则称}{t y 为随机游走过程（Random Walk Process ）。
随机游动过程是单位根过程的特例。
在现实经济社会中，如股票价格的走势便是随机游走序列。
下图是t t t y y ξ+=-1，()1,0∈t ξ生成的序列。
图8.11 随机游走过程t t t y y ξ+=-1，()1,0∈t ξ生成的序列图8.1.2随机趋势过程t t t y y ξα++=-1，),0(2σξIID t ∈， （8.12）其中α称为漂移项，由于序列一阶差分后便趋于平稳，又称随机趋势过程为差分平稳过程。
图8.12 t t t y y ξ++=-11.0，()1,0∈t ξ生成的序列8.1.3趋势平稳过程t t t y ξβα++= ，其中t t t νρξξ+=-1，1<ρ，),0(2σν∈t （8.13）由于t t t y ξαβ+=-，即当减去退势后为平稳过程，故趋势平稳过程又称为退势平稳过程。
由t t t y ξβα++=，t t t νρξξ+=-1知：11)1(--+-+=t t t y ξβα （8.14）将（4）两边同时乘以ρ，与（3）两边同时相减，整理可得：t t t y t y νρβα+++=-1'' ， ),0(2σν∈t （8.15）其中，ρβρααα+-='，ρβρβ-=' 这样便得出趋势平稳过程的另一种形式。
平稳性和单位根检验
单尾检验
2 ADF检验Augment DickeyFuller test
• 为什么将DF检验扩展为ADF检验
• DF检验假定时间序列是由具有白噪声随机误差 项的一阶自回归过程AR1生成的; 但在实际检验 中;时间序列可能由更高阶的自回归过程生成;或 者随机误差项并非是白噪声;用OLS法进行估计 均会表现出随机误差项出现自相关;导致DF检验 无效;
0.025 -3.95 -3.80 -3.73 -3.69 -3.68 -3.66 3.59 3.47 3.42 3.39 3.38 3.38 3.25 3.18 3.14 3.12 3.11 3.11
0.05 -3.60 -3.50 -3.45 -3.43 -3.42 -3.41 3.20 3.14 3.11 3.09 3.08 3.08 2.85 2.81 2.79 2.79 2.78 2.78
趋势平稳过程
• 差分平稳过程和趋势平稳过程
– 具有随机性趋势的时间序列通过差分的方法消除随 机性趋势; 该时间序列称为差分平稳过程difference stationary process；
– 具有确定性趋势的时间序列通过除去趋势项消除确 定性趋势; 该时间序列称为趋势平稳过程trend stationary process;
–例如上述带截距项的随机游走序列;即为I1序列;
• I0代表一平稳时间序列;
• 现实经济生活中只有少数经济指标的时间序列 表现为平稳的;如利率等;
• 大多数指标的时间序列是非平稳的;例如;以当 年价表示的消费额 收入等常是2阶单整的;以不 变价格表示的消费额 收入等常表现为1阶单整;
• 大多数非平稳的时间序列一般可通过一次或多 次差分的形式变为平稳的;
m
单位根检验
单整：如果一个时间序列经过一次差分变成平稳的，则称原序列是1阶单整的，记为I（1）。
一般地，如果时间序列经过d次差分后变成平稳序列，则称原序列是d阶单整序列，记为I（d）。
单位根检验：单位根检验是指检验序列中是否存在单位根，因为存在单位根就是非平稳时间序列了.单位根就是指单位根过程，可以证明，序列中存在单位根过程就不平稳，会使回归分析中存在伪回归。
单位根检验是随机过程的问题。
定义随机序列{ x_t}，t=1,2,…是一单位根过程，若x_t=ρx_t-1 +ε，t=1,2… 其中ρ=1，{ε }为一平稳序列(白噪声)，且E[ε ]=0, V(ε )=σ <∞, Cov(ε ,ε )=μ <∞这里τ=1,2…。
特别地，若{ε}是独立同分布的，且E[ε]=0，V(ε)=σ<∞，则上式就变成一个随机游走序列，因此随机游走序列是一种最简单的单位根过程。
将定义式改写为下列形式：（ 1-ρL）x_t =ε，t=1,2,…其中L 为滞后算子，1-ρL为滞后算子多项式，其特征方程为1-ρz=0,有根z= 1/ρ。
当ρ=1时，时间序列存在一个单位根，此时{x_t }是一个单位根过程。
当ρ<1时，{x_t }为[1]。
而当ρ〉1时，{x_t }为一类具有所谓爆炸根的非平稳过程，它经过差分后仍然为非平稳过程，因此不为单整过程。
一般情况下，单整过程可以称作单位根过程。
单位根检验时间序列的单位跟研究是时间序列分析的一个热点问题。
时间序列矩特性的时变行为实际上反映了时间序列的非平稳性质。
对非平稳时间序列的处理方法一般是将其转变为平稳序列，这样就可以应用有关平稳时间序列的方法来进行相应得研究。
对时间序列单位根的检验就是对时间序列平稳性的检验，非平稳时间序列如果存在单位根，则一般可以通过差分的方法来消除单位根，得到平稳序列。
对于存在单位根的时间序列，一般都显示出明显的记忆性和波动的持续性，因此单位根检验是有关协整关系存在性检验和序列波动持续性讨论的基础。
单位根检验
影响
31
针对第四个问题,Perron提出
1. xt c t xt1 t H0 : 0
如果拒绝零假设,那么检验过程停止,该过 程是平稳过程 .不能拒绝,说明存在单位根,过 程非平稳,那么回归模型中的时间趋势项是不 是多余的参数呢?如果是,会导致检验的势降 低,进入步骤2.
包含一个确定性趋势和一个随机趋势
单位根过程
满足下面表达式的过程成为单位根过程
(1 B)xt t 1 t1 (B)t
其中
(1) 0,
j0
2 j
,程对时间序列的增量进行刻画，增 量平稳，但水平变量不平稳。
2. xt c t xt1 t H0 : 0
使用统计量 3 ,检验零假设. F统计量 (r为约束条件, k为无约束模型中的待估计参数)
j
[RSS(restricted) RSS(un restricted)] / RSS(restricted) / (T k)
单位根检验
非平稳过程
多数经济变量的时间序列都有随着时间增 加而增长的趋势, 不具有均值回复的特点.
两种刻画: 带趋势的平稳随机过程(前面已讲) 单位根过程
随机趋势过程
有一类随机过程, 如果再 t 时刻扰动项发生 变化, 那么它的影响会一直存在下去,不会随 着时间 t 增大会立刻衰减到0. 这样过程成为 随机趋势过程。 随机游动(走) 带常数项的随机游动 单位根过程
(B)ts (B)ts1 (B)t xt
所以
xt s
t
s
1
单位根检验内容及案例
第八章 单位根检验由于非平稳过程可能存在严重的伪回归问题，所以在对序列进行估计之前，需要检验序列的平稳性。
本章介绍了严格的平稳性的统计检验方法--单位根检验。
在简要介绍四种主要的非平稳随机过程以产输出单位根检验原理之后，文章主要介绍ADF 检验及PP 检验法，以及介结构突变和单位根检验。
8.1 四种典型非平稳过程简介前面我们知道，若一个时间序列含有某种变动趋势，即该序列的均值或自协方差函数随时间而改变，则称该序列为非平稳序列。
下面介绍四种典型的非平稳过程。
8.1.1随机游走过程t t t y y ξ+=-1，t=1，2，．．． （8.11） 若}{t ξ为独立随机分布，即()0=t E ξ，()∞<=2σξt D 。
则称}{t y 为随机游走过程（Random Walk Process ）。
随机游动过程是单位根过程的特例。
在现实经济社会中，如股票价格的走势便是随机游走序列。
下图是t t t y y ξ+=-1，()1,0∈t ξ生成的序列。
图8.11 随机游走过程t t t y y ξ+=-1，()1,0∈t ξ生成的序列图8.1.2随机趋势过程t t t y y ξα++=-1，),0(2σξIID t ∈， （8.12）其中α称为漂移项，由于序列一阶差分后便趋于平稳，又称随机趋势过程为差分平稳过程。
图8.12 t t t y y ξ++=-11.0，()1,0∈t ξ生成的序列8.1.3趋势平稳过程t t t y ξβα++= ，其中t t t νρξξ+=-1，1<ρ，),0(2σν∈t （8.13）由于t t t y ξαβ+=-，即当减去退势后为平稳过程，故趋势平稳过程又称为退势平稳过程。
由t t t y ξβα++=，t t t νρξξ+=-1知：11)1(--+-+=t t t y ξβα （8.14）将（4）两边同时乘以ρ，与（3）两边同时相减，整理可得：t t t y t y νρβα+++=-1'' ， ),0(2σν∈t （8.15）其中，ρβρααα+-='，ρβρβ-='这样便得出趋势平稳过程的另一种形式。
单位根检验
平稳性的单位根检验：DF检验、ADF检验、DFGLS检验、PP检验、KPSS检验、ERS检验和NP检验(2011-12-21 12:13:27)ADF检验作用检查序列平稳性的标准方法是单位根检验。
有6种单位根检验方法：ADF检验、DFGLS检验、PP检验、KPSS检验、ERS检验和NP检验，本节将介绍DF检验、ADF检验。
比较ADF检验和PP检验方法出现的比较早，在实际应用中较为常见，但是，由于这2种方法均需要对被检验序列作可能包含常数项和趋势变量项的假设，因此，应用起来带有一定的不便；其它几种方法克服了前2种方法带来的不便，在剔除原序列趋势的基础上，构造统计量检验序列是否存在单位根，应用起来较为方便。
来源ADF检验是在Dickey-Fuller检验(DF检验)基础上发展而来的。
因为DF检验只有当序列为AR(1)时才有效。
如果序列存在高阶滞后相关，这就违背了扰动项是独立同分布的假设。
在这种情况下，可以使用增广的DF检验方法（augmented Dickey-Fuller test ）来检验含有高阶序列相关的序列的单位根。
步骤一般进行ADF检验要分3步：1 对原始时间序列进行检验，此时第二项选level，第三项选None.如果没通过检验，说明原始时间序列不平稳；2 对原始时间序列进行一阶差分后再检验，即第二项选1st difference，第三项选intercept,若仍然未通过检验，则需要进行二次差分变换；3 二次差分序列的检验，即第二项选择2nd difference ，第四项选择Trend and intercept.一般到此时间序列就平稳了！在进行ADF检验时，必须注意以下两个实际问题：（1）必须为回归定义合理的滞后阶数，通常采用AIC准则来确定给定时间序列模型的滞后阶数。
在实际应用中，还需要兼顾其他的因素，如系统的稳定性、模型的拟合优度等。
（2）可以选择常数和线性时间趋势，选择哪种形式很重要，因为检验显著性水平的t 统计量在原假设下的渐近分布依赖于关于这些项的定义。
单位根检验操作讲解ppt课件
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
在原假设 H0:1或 H0:=0下，单位根的t检验统计量的值为：
ˆ或ˆ ...0.786011
ˆˆ ˆˆ
在1％、5％、10％三个显著性水平下，单位根检验的临界值分
别为- 4.4167、-3.6219、-3.2474，显然，上述 检验统计量值大于
相应DW临界值，从而接受 H 0 ，表明我国1978——2003年度GDP
利用EViews进行单位根检验 烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人 （ADF、DF检验的操作步骤基本相同）
在主菜单选择Quick / Series Statistics / Unit Root Test 输入待检验的序列名/单击OK / 出现单位根检验对话框
序列存在单位根，是非平稳序列。
继续讨论: 烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人
对GDP的一阶差分进行检验
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
方法1: 用时序图判断
由GDP的时序图初步判断序列是不平稳的(可以看出该序列可能 存在趋势项，若需用ADF检验则选择第三种模型进行检验)。
第七章非平稳时间序序列的特征与检验
逆序检验方法
检验原理 检验步骤
四、游程检验
游程的概念
游程检验
第三节 时间序列非平稳性的单位根检验法 本节基本内容： 单位根过程 单位根过程检验基础 DF单位根检验法 PP单位根检验法与ADF单位根检验法 其它高效的单位根检验法简介
一、单位根过程
时间序列 y 称为随机漫步过程，如果有：
H 0 : 1;
情 形 四 ： 假 设 数 据 由 （ 真 实 过 程 ） (7.30) 产 生 ， 在 回 归 模 型
yt yt 1 t t 中检验假设： H 0 : 1; 0
（一） 情形一的DF检验法
回归模型(7.29)系数 的OLS估计为：
例子： 平稳AR(1)的自相关图
(a) yt 0.5 yt 1 t ， t
i.i.d. N (0,1) 的样本自相关图
例子： 非平稳过程的样本自相关图
(b) yt yt 1 t ， t
i.i.d . N (0,1) 的样本相关图
三、逆序检验法
逆序数的定义
t t t 1 t
三、非平稳时间序列的统计特征
对单位根过程而言，有
k
1 k / t 2 2 V a r () y a r ( y ) t ( t k ) t V tk
C o v (, y ) ty tk
2 ( t k )
可以看出，随着时间长度的增加，相关系数趋近于常数1；在小样本条件下， 随着滞后期k的增加，相关系数会不断衰减。
0
2
t
i y e r e + r y = r e å t= t+ t -1 t -i 2 t -2 i = 0
单位根检验和协整分析
⑸ 虚假回归的直观解释 因为上述数据生成系统是真实的，所以对于回归模型
yt = 0 + 1xt + wt , 应有1 = 0，即 yt 与 xt 不相关，则模型变为
yt = 0 + wt 已知 yt I(1), wt I(0)，所以 yt = 0 + wt 两侧的单整阶数出 现矛盾。导致1 无法表现为零。
对于平稳过程表示为 I(0)。注意：单整过程是指单整阶数大于零的过程。 对于 I(d) 过程 xt
(L) (1- L) d xt = (L) ut
因含有 d 个单位根，所以常把时间序列单整阶数的检验称为单位根检验（unit root test）。
若 xt I(d)，yt I(c)，则
zt = (a xt + b yt) I (max[d, c]).
本章介绍计量经济学近20年来最新研究成果。如果把 第2、3章内容称为经典计量经济学，那么将要介绍的内容则应 该称为非经典计量经济学。
从1974年开始计量经济学工作者渐渐意识到当用含有单位 根的时间序列建立经典计量经济模型时会出现一些问题，这就 是虚假回归。
应该知道通过经济数据了解经济变量的变化规律有时是存 在相当大的局限性的，所以在建立模型时，必须依靠经济理论 ，同时对参数进行假设检验。实际上，有时只依靠经济理论仍 然不行。比如处于调整中的经济变量，哪些是它的外生变量， 哪些是它的无关变量，单凭经济理论就很难判别清楚。所以当 研究经济变量参数变化规律时，常常采用另外一种方法，即统 计理论方法，通过设计具有某种特征的能生成数据的随机过程 或数据生成系统研究经济问题。下面常常用到数据生成系统这 个概念。
t 1
=
1iuti ,
i0
(yt 只有有限记忆力)
单位根检验
10.3 单位根检验
10.3.2 单位根检验—ADF检验
ADF检验 是DF检验的改进，用于捕捉更高阶的自 相关。
检验假设 H0 : 0 ; H1 : 0
10.3 单位根检验
10.3.2 单位根检验—ADF检验
ADF检验 情形一：
yt yt 1 1yt1 2yt2 pyt p t
10.3 单位根检验
10.3.1 单位根检验 10.3.2 单位根检验——ADF检验 10.3.3 用EViews7.2进行单位根检验
10.3 单位根检验
10.3.1 单位根检验
需要同时考虑时间趋势和单位根过程， 因此，待检验的模型有两个
yt c yt 1 t
yt c t yt 1 t 因此，上述单位根检验分三种情况进行：
10.3 单位根检验
10.3.3 用EViews7.2进行单位根检验
选择哪种 检验方法
是对原数据 还是一阶或 者二阶差分 后的数据做 单位根检验
10.1 随机游动和单位根
10.1.2 伪回归
对事实上不存在任何相关关系的两个 变量进行回归，得出的估计结果能够通过 显著性检验。
10.1 随机游动和单位根
10.1.2 伪回归
xt 和 yt是完全独立的随机游动非平稳时 间序列
yt 0 1xt vt
t检验显示 ˆ1 显著不为0，拟合优度 R2 也不为0，样本增大时结论依然如此。
40
30 20
10
0 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76 79 82 85 88
10.1 随机游动和单位根
单位根检验PPT课件
❖ R-squared
0.379331
Mean dependent var
0.001161
❖ Adjusted R-squared 0.350463
S.D. dependent var
0.217449
❖ S.E. of regression 0.175250
是在相互独立的序列进行的实际回归中，经R2常 伴随着 高的 ，并且 系数显著。这种现象就
称为为伪回归（虚假回归）现象。
3
虚假回归（伪回归） ：定义
❖ 虚假回归：两个没有任何逻辑联系的序列进行回 归 ， 含 有很 高 的 R2， 因 为 两个 序 列 都与 时俱 进 （具有时间趋势，随时间推移而发生变化）。例 子，考研人数与手机数量。
❖ 可以通过数学推导证明； ❖ 已知随机步游是非平稳的，当 | |1 时，
AR(1)过程 {yt}为一随机步游过程。
14
单位根检验：定义
❖ 看图识平稳 ：
15
单位根检验：定义
❖ 看图识平稳 ：
16
单位根检验：定义
❖ 看图识平稳 ：
17
单位根检验：定义
❖ I(d)过程：有时原始序列是非平稳过程，但对 原始序列经过d次差分后可变为平稳过程，则 原序列记为I(d)过程；
31
单位根检验：DF和ADF检验
❖ DF和ADF检验在Eviews中的实现： ❖ 选择Quick/Series Statistics/Unit Root test，
输入序列名即可。 ❖ Lagged differences 为0即为DF检验 ❖ Lagged differences 不为0即为ADF检验
ADF检验为保证方程中的为白噪声，设随机过
[VIP专享]单位根检验详解
![[VIP专享]单位根检验详解](https://img.taocdn.com/s3/m/0180a4e0f46527d3250ce007.png)
2200 2000 1800 1600 1400 1200
50
100
150
200
250
300
图 1a 由 yt = yt-1+ ut 生成的序列 （2）随机趋势过程。
图 1b 深证成指
yt = + yt-1 + ut , y0 = 0, ut IID(0, 2) 其中称作位移项（漂移项）。由上式知，E(y1)= （过程初始值的 期望）。将上式作如下迭代变换，
所以不会对 DF 统计量的分布产生影响是因为当 yt I(1)，则全部的
7
yt-j I(0)。yt 与 yt-j 的交叉积渐进被忽略，从而使两式中 的 DF 统计量的分布渐近相同。
当模型（13.4）中含有位移项 和趋势项t 时，相应于 的 DF
统计量的分布分别与模型（13.2）和（13.3）的 DF 统计量的分布渐
1
yt
=
+
yt-1
+
ut
=
+
(+
yt-2
+
ut-1)
+
ut
=
…
=
t
+y0
+
t
ui
i 1
yt 由确定性时间趋势项t
和
y0
t
+ ui
组成。可以把
y0
t
+ ui
看作随机
i 1
i 1
的截距项。在不存在任何冲击 ut 的情况下，截距项为 y0。而每个冲 击 ut 都表现为截距的移动。每个冲击 ut 对截距项的影响都是持久的， 导致序列的条件均值发生变化，所以称这样的过程为随机趋势过程
单位根检验
T
y t −1 2 ∑
t =1
T ˆ β - 1 = u t y t −1 t =1
∑
∑ y t −1
t =1
2
(10)
检验单位根的 DF 统计量的表达式与通常意义的 t 统计量完全相同。
ˆ β −1 ˆ DF = t (β ) = = ˆ s( β )
ˆ β −1 su (
⇒
(1 / 2)(W (1) 2 −1) ( W (i) 2 di)1 / 2
0
∫
1
(12)
对于模型 (5.2)，DF 统计量的极限分布是 DF =
ˆ β −1 ˆ s( β )
⇒
(1 / 2)(W (1) − 1) − W (1) W (i )di
2
∫0
1
{ W (i ) 2 di − ( W (i )di ) 2 }1 / 2
10
y=y(-1)+u
2200
2000
5
1800
0
1600
-5
1400
-10 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
1200 50 100 150 200 250 300
图 5.4 由 yt = yt-1+ ut 生成的序列
深圳股票综合指数
β = 1 条件下的 (2) 式是含有随机趋势项的过程。将(2) 式作如下变换则展示
∑
t =1
T
yt −12 ) −1 / 2
∑
= 当 T → ∞ 时， DF =
t =1 T
T
ut yt −1 (
2
yt −12 )1 / 2 ∑
统计前沿--单位根检验
对非平稳时间序列进行平稳 化的常用方法是对其施行差分， 对于如上图中呈现出线性向上趋 势的非平稳时间序列，作一阶差 分即可平稳化，由于线性向上趋 势时间序列的趋势线为直线，直 线方程如下： Yt=a+bt 其一阶差分 △ Yt = Yt- Yt-1＝b （常数）
Yt
Y a bt
t
对于具有二次曲线变化趋势 的非平稳时间序列，作二阶差分 即可平稳化，（二次曲线的二阶 差分是常数）。时间序列Xt的一 、二阶差分的计算方法分别为：
四、单位根检验应用实例
例1 美国DPI的平稳性检 验及单整阶数的确定
我们现在研究美国1971 年第一季度至2004年第一季 度 的 个 人 可 支 配 收 入 DPI（ Disposable personal income ），下 面用单位根检验方法检验美 国DPI时间序列的平稳性。 1．DF检验 首先用DF检验方法来检验 DPI的平稳性。采用DF回归
说明滞后阶数p值的选择是合适 的。而ADF临界值为-1.94， 于是ADF统计量值<ADF临界值 ，即ADF检验结果为平稳的，也 即 DPI 的 一 阶 差 分 是 平 稳 的 ， DPI序列本身非平稳，但其一阶 差分是平稳的，于是美国的个人 可支配收入DPI的季度时间序列 数据是一阶单整。（同时这也是一
或
GENR DY＝Y-Y(-1) GENR DY2＝DY-DY(-1)
其中， Y(-1)表示Yt-1, DY(-1)表示DYt-1等，即滞 后一期变量。
二、单整（Integration） 设 Yt（t=1，2，…） 为 非 平稳的时间序列，若Yt 经过d 阶差分之后变为平稳序列 ， 而d-1阶差分之后仍为非平稳 序列，则称时间序列Yt 为d阶 单整，记为I(d)。称平稳时间 序列为0阶单整，记为I(0) 。 随机游动是一阶单整。
单位根检验
为了借用DF检验的方法，将模型变为如下式： 模型I： Yt Yt -1 i Yt -i t
i 1 p
模型Ⅱ：Yt Yt -1 i Yt -i t
i 1
p
模型Ⅲ：Yt t Yt -1 i Yt -i t
当 t 时，序列的方差趋于无穷大，说明随机游动过 程是非平稳的。
单位根过程
如果一个序列是随机游动过程，则称这个序列 是一个“单位根过程”。 为什么称为“单位根过程”？
将一阶自回归模型表示成如下形Fra bibliotek：Yt - Yt -1 εt 或 (1- L)Yt εt
其中， L 是滞后算子，即 LYt Yt -1
结论:
随机游动过程是非平稳的。 因此，检验序列的非平稳性就变为检验特征 方程是否有单位根，这就是单位根检验方法 的由来 。
从单位根过程的定义可以看出，含一个单位根 的过程，其一阶差分：
Yt Yt - Yt -1 ut
是一平稳过程，像这种经过一次差分后变为平
稳的序列称为一阶单整序列(Integrated Process)， Yt。 I（1） 记为
ˆ - t ˆ ˆ
Dickey、Fuller研究发现，DF检验的临界值同序列的 数据生成过程以及回归模型的类型有关，因此他们 针对如下三种方程编制了临界值表，后来Mackinnon 把临界值表加以扩充，形成了目前使用广泛的临界 值表，在EViews软件中使用的是Mackinnon临界值 表。
当 1 ，则序列的生成过程变为如下随机游动过程 (Random Walk Process)： 其中{ t } 独立同分布且均值为零、方差恒定为 。随机 游动过程的方差为：
2
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第八章 单位根检验由于非平稳过程可能存在严重的伪回归问题，所以在对序列进行估计之前，需要检验序列的平稳性。
本章介绍了严格的平稳性的统计检验方法--单位根检验。
在简要介绍四种主要的非平稳随机过程以产输出单位根检验原理之后，文章主要介绍ADF 检验及PP 检验法，以及介结构突变和单位根检验。
8.1 四种典型非平稳过程简介前面我们知道，若一个时间序列含有某种变动趋势，即该序列的均值或自协方差函数随时间而改变，则称该序列为非平稳序列。
下面介绍四种典型的非平稳过程。
8.1.1随机游走过程t t t y y ξ+=-1，t=1，2，．．． （8.11）若}{t ξ为独立随机分布，即()0=t E ξ，()∞<=2σξt D 。
则称}{t y 为随机游走过程（Random Walk Process ）。
随机游动过程是单位根过程的特例。
在现实经济社会中，如股票价格的走势便是随机游走序列。
下图是t t t y y ξ+=-1，()1,0∈t ξ生成的序列。
图8.11 随机游走过程t t t y y ξ+=-1，()1,0∈t ξ生成的序列图8.1.2随机趋势过程tt t y y ξα++=-1，),0(2σξIID t ∈， （8.12）其中α称为漂移项，由于序列一阶差分后便趋于平稳，又称随机趋势过程为差分平稳过程。
图8.12t t t y y ξ++=-11.0，()1,0∈t ξ生成的序列8.1.3趋势平稳过程t t t y ξβα++=，其中t t t νρξξ+=-1，1<ρ，),0(2σν∈t （8.13）由于t t t y ξαβ+=-，即当减去退势后为平稳过程，故趋势平稳过程又称为退势平稳过程。
由t t t y ξβα++=，t t t νρξξ+=-1知：11)1(--+-+=t t t y ξβα（8.14）将（4）两边同时乘以ρ，与（3）两边同时相减，整理可得：t t t y t y νρβα+++=-1''， ),0(2σν∈t （8.15）其中，ρβρααα+-='，ρβρβ-=' 这样便得出趋势平稳过程的另一种形式。
图8.13t t t y t y ν+++=-101.001.0，),0(2σν∈t 生成的序列8.1.4趋势非平稳过程t t t y t y ξβα+++=-1，),0(2σξIID t ∈（8.16）其中α称为漂移项，t β称为趋势项。
这种过程在实际经济中很少见。
8.2 单位根检验 8.2.1 DF 检验考虑AR(1)回归模型，),0(2σξIID t ∈ （8.21）(1) 如果 -1< β <1，则}{t y 平稳。
(2) 如果β=1，t y 序列是非平稳序列。
（8.21）式可写成：t t y ξ=∆显然t y 的差分序列是平稳的。
(3) 如果 ρ 的绝对值大于1，（8.21）式可写成：。
序列发散，且其差分序列是非平稳的。
因此，判断一个序列是否平稳，可以通过检验β是否严格小于1来实现。
生成随机游走过程：t t t y y ξ+=-1，00=y ，),0(2σξIID t ∈， OLS 估计式为：t t t y y ξβ+=-1零假设和备择假设分别为1:;1:10<=ββH H得到β的估计值βˆ，并对其进行显著性检验的方法，构造检验βˆ显著性的 t 统计量。
但是，Dickey-Fuller 研究了这个t 统计量在原假设下已经不再服从t 分布，t t t y y ξβ+=-1t t t y y ξβ+-=∆)1(它依赖于回归的形式(是否引进了常数项和趋势项) 和样本长度T 。
构造DF 统计量∑=--=-=Tt t y s s DF 221/)(1ˆ)ˆ(1ˆξβββ， ∑=-=TT tTs 22ˆ11)(ξξ (8.22)Mackinnon 进行了大规模的模拟，给出了不同回归模型、不同样本数以及不同显著性水平下的临界值，如表8.21。
8.21DF 分布百分位数表模型（a ）：数据生成过程：t t t y y ξ+=-1，00=y ，),0(~2σξIID t OLS 估计式：t t t y y ξβ+=-1 1:0=βH ；1:1<βH模型（b ）：数据生成过程：t t t y y ξ+=-1，00=y ，),0(~2σξIID t OLS 估计式：t t t y y ξβα++=-1 10:0==βα；H ；11:1<≠βα；H模型（c ）：数据生成过程：t t t y y ξα++=-1，00=y ，),0(~2σξIID tOLS 估计式：t t t y y ξγβα+++=-t 101:00===γβαα，；H ；01:00≠<≠γβαα，；H这样，就可以根据需要，选择适当的显著性水平，通过t 统计量来决定能否拒绝原假设。
这一检验被称为Dickey-Fuller 检验(DF 检验)根据Mackinnon 给出的临界值，若用样本计算的DF>临界值，则接受原假设，t y 非平稳；若DF<临界值，则拒绝原假设，接受备择假设。
2.ADF 检验(Augmented Dickey-Fuller Test) 关于AR(p)过程，t=1,2，…. （8.23）上式存在p 阶序列相关，用p 阶自回归过程来修正，在上式两端减去1-t y ，通过添项和减项的方法，可得（8.24） 其中 ， 。
零假设和备择假设为：1:0=βH ；1:1<βH 。
原假设为至少存在一个单位根；备选假设为：序列不存在单位根。
序列t y 可能还包含常数项和时间趋势项。
判断φ的估计值φˆ是接受原假设或者接受备选假设，进而判断一个高阶自相关序列AR(p) 过程是否存在单位根。
类似于DF 检验，Mackinnon 通过模拟也得出了不同回归模型、不同样本数以及不同显著性水平下的临界值。
这使我们能够很方便的在设定的显著性水平下判断高阶自相关序列是否存在单位根。
并且，Said-Dickey （1984）证明（8.24）式中的β 的DF 统计量的分布与（8.11）式中β的DF 统计量相似。
当（8.24）式中分别加入漂移项和趋势项后，其β的DF 统计量的分布分别与（8.12）式和（8.13）式中β的DF 统计量相似。
这样，DF 和ADF 检验法可以共用一个DF 分布百分位数表，作为临界值的参考。
在进行ADF 检验时，必须注意以下两个实际问题：第一，必须为回归定义合理的滞后阶数，通常采用AIC 准则来确定给定时间序列模型的滞后阶数。
在实际应用中，还需要兼顾其他的因素，如系统的稳定t p i i t i t t y y y ξηβα+++=∑-=--111Δ∑==pi i 1ββ∑+=-=p i j j i 1βηt p t p t t t y y y y ξβββα+++++=--- 2211性、模型的拟合优度等。
第二，选择哪种形式很重要，检验显著性水平的t 统计量在原假设下的渐近分布依赖是否存在常数项、趋势项，对应临界值也不同。
若原序列中不存在单位根，则检验回归形式选择含有常数，意味着所检验的序列的均值不为0；若原序列中存在单位根，则检验回归形式选择含有常数，意味着所检验的序列具有线性趋势，一个简单易行的办法是画出检验序列的曲线图，通过图形观察原序列是否在一个偏离0的位置随机变动或具有一个线性趋势，进而决定是否在检验时添加常数项。
若原序列中不存在单位根，则检验回归形式选择含有常数和趋势，意味着所检验的序列具有线性趋势；若原序列中存在单位根，则检验回归形式选择含有常数和趋势，意味着所检验的序列具有二次趋势。
同样，决定是否在检验中添加时间趋势项，也可以通过画出原序列的曲线图来观察。
如果图形中大致显示了被检验序列的波动趋势呈非线性变化，那么便可以添加时间趋势项。
8.3.PP 检验Phillips 和Perron 构建了PP 统计量p p t ,检验一阶自回归AR （1）的平稳性，对于（8.31）方程原假设和备择假设为接受原假设，则存在单位根；拒绝原假设则不存在单位根。
PP 统计量具体构造形式如下： σγγφφˆ2)()(210ˆ00210ˆ,f s f T f t t p p --= （8.82）式中，0f 是频率为零时的残差谱密度估计值，φˆt 是φˆ的t 统计量，σˆ是回归残差的标准差，0γ是回归残差的一致估计量。
同ADF 检验的t 统计量一样，通过模拟可以给出PP 统计量在不同显著水平下的临界值。
PP 检验中的滞后阶数可以有AIC 准则等方法确定。
8.3结构突变与单位根检验tt t y y ξβ+=-1⎩⎨⎧<=1:1:10ββH H8.31三种形式的结构突变首先从理论上分析三种突变情况。
第一，均值突变的随机游走过程和均值突变的退势平稳过程；第二，斜率突变的随机游走过程和斜率突变的退势平稳过程；第三，均值、斜率双突变的随机游走过程和均值斜率双突变的退势平稳过程。
以样本容量T 为200，突变点发生在t=100为例定义三种类型的虚拟变量如下：1）脉冲式虚拟变量101t 101t 01≠=⎩⎨⎧=，DP ，如下图：图8.31脉冲式虚拟变量2）阶跃式虚拟变量100t 100t 01≤>⎩⎨⎧=，DL ，如下图：图8.32 阶跃式虚拟变量3）累进式虚拟变量12t t 2101121t i i t t i i i i i t t t t t t DT <≥<≤⎪⎩⎪⎨⎧--=，，如下图：图8.33 累进式虚拟变量8.32三种外生结构突变模型Perron （1990）给出了结构突变点已知条件下的单位根检验方法。
结构突变点已知时，称其为外生性结构突变点。
假定发生结构突变的时点已知为b t 。
模型1：原假设：t y 为均值突变（水平）的单位根过程；备择假设：t y 为含有一个均值突变点（水平）的退势平稳过程。
H10：t y 为均值突变（水平）的单位根过程，即t y 在b t +1期发生脉冲式突变，表达式为：tt t DP y y t ξρα+++=-1 （8.31）其中t DP 代表脉冲虚拟变量。
定义为：1+ t t 1t t 01t bb ≠+=⎩⎨⎧=，DP其中b t +1表示突变发生时点。
因为模型是动态，一个时刻的脉冲式信息冲击要扩散到序列的以后各个时期。
（8.31）可以写为：⎪⎩⎪⎨⎧∑∑++=+++=tt tt y t y t ξαξρα00y y bb t t t t ≤>,, （8.32）H11：t y 为含有一个均值突变点（水平）的退势平稳过程，表达式为tt DL y t ξρβα+++=t （8.33）其中t DL 是阶跃式虚拟变量，定义为：bbtt t DL ≤>⎩⎨⎧=t t 01，模型2：原假设：t y 为结构突变的单位根过程；备择假设：t y 为斜率突变的退势平稳过程。