西安交大少年班选拔考试试题

西安交大少年班选拔考试试题
满分：100分 时量：90分钟 姓名_________ 得分_________ 一、选择题（每小题2分，共30分）
1、如果1-<<y x ，那么代数式
x
y
x y -++11的值是 （ ） （A ） 0 （B ） 正数 （C ）负数 （D ）非负数
2、已知： 4x =9y
=6， 则y 1x 1+等于 ( )
（A ）2 （B ）1 （C ）21
（D ）2
3 3、若不等式组⎩⎨
⎧>++<+-m x x m x 110
4的解集是4>x ，则 （ ）
（A ）29≤m （B ）5≤m （C ）29
=m （D ）5=m
4、已知0221≠+=+b a b a ，则b
a
的值为 （ ）
（A ）-1 （B ）1 （C ）2 （D ）不能确定
5、如图，四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，
∠ABC=60°，AD=4，CD=10，则BD 的长等于 （ ） （A ）134 （B ）38 （C ）12 （D ）310
6、已知三角形的三条边长分别8x 、x 2、84，其中x 是正整数，这样的互不全等的三角形共有（ ）个.
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
7、一个样本为1，3，2，2，a ，b ，c 。

已知这个样本的众数为3，平均数为2，那么这个样本
的方差为 （ ）
A.8
B.4
C.87
D.4
7
8、若实数a ，b 满足2
1202
a a
b b -++=，则a 的取值范围是 （ ）．
（A ）a ≤2- （B ）a ≥4 （C ）a ≤2-或 a ≥4 （D ）2-≤a ≤4
9、运算符号∆的含义是,,a a b
a b b a b
≥⎧∆=⎨<⎩，则方程(1)(12)5x x +∆-=的所有根之和为 （ ）
A ．2-
B ．0
C ．2
D ．4
10、若关于x 的方程2
27100x ax a ++-=没有实根，那么，必有实根的方程是 （ ）．
()A 、22320x ax a ++-=； ()B 、22560x ax a ++-=； ()C 、2210210x ax a ++-=； ()D 、22230x ax a +++=．
N
M
E
F
O
D A B
C
11、正方形ABCD 中，,E F 分别是,AB BC 上的点，DE 交AC 于M ，AF 交BD 于N ；若AF 平分
BAC ∠，DE AF ⊥；记BE x OM =
,BN y ON =,CF
z BF
=,则有 （ ）.
()A 、x y z >>； ()B 、x y z ==；
()C 、x y z =>； ()D 、x y z >=．
12、某公司员工分别住在A 、B 、C 三个住宅区，A 区有30人，B 区有15人，C 区有10人，三个区在一直线上，位置如图所示．公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为要使所有员工步行到停靠点的路程总和最少，那么停靠点的位置应在 ( )
(A)A 区 (B)B 区 (C)C
区 (D)A 、B 两区之间 13、若实数,,a b c 满足等式23||6a b +=，49||6a b c -=，则c 可能取的最大值为 （ ） A ．0. B ．1. C ．2. D ．3.
14、在△ABC 中，最大角∠A 是最小角∠C 的两倍，且AB ＝7，AC ＝8，则BC ＝ （ ） A.72. B. 10. C.
105. D. 73.
15、设正方形ABCD 的中心为点O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ ） A.
314. B. 37. C. 12. D. 47
二、填空题（每小题2分，共30分）
16、已知实数,x y 满足方程组3319,1,
x y x y ⎧+=⎨+=⎩则22x y += .
17、已知a ＝5－1，则2a 3＋7a 2－2a －12 的值等于 ．
18、一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t 分钟，货车追上了客车，则t ＝ ．
19、如图，在平面直角坐标系xOy 中，多边形OABCDE 的顶点坐标分别是O （0，0），A （0，6），B （4，
6），C （4，4），D （6，4），E （6，0）．若直线l 经过 点M （2，3），且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两 部分，则直线l 的函数表达式是 ．
（第19题
100米
200米
A 区
B 区
C 区
6
54321O
F
E
D
C
B
A 第十题图M C D
A
B
20、二次函数c bx x y ++=2
的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知
AC AB 3=，︒=∠30CAO ，则c = ．
21、设a ，b 是方程2
6810x x ++=的两个根，c ，d 是方程2
8610x x -+=的两个根，
则(a+ c )( b + c )( a − d )( b − d )的值 。

22、有人问一位老师所教班级有多少人，老师说：“一半学生在学数学，四分之一学生在学音乐，七分之一的学生在读外语，还剩不足六位同学在操场踢足球”，则这个班有_______名学生。

23、如图，在直角梯形ABCD 中，∠ABC =∠BCD = 90°， AB =BC =10，点M 在BC 上，使得ΔADM 是正三角形， 则ΔABM 与ΔDCM 的面积和是 。

24、销售某种商品，如果单价上涨％，则售出的数量就将减少150
m ，为了使该商品的销售总金额最大，那么m 的值应该确定为 。

25、已知t 是实数，若,a b 是关于x 的一元二次方程2
210x x t -+-=的两个非负实根，则2
2
(1)(1)a b --
的最小值是____________.
26、如果实数,a b 满足条件22
1a b +=，2
2
|12|21a b a b a -+++=-，则a b +=______.
27、如图所示，在等边三角形ABC 中，D ，E ，F 是三边中点， 在图中可以数出的三角形中，任选一对三角形（不计顺序）， 如果这2个三角形至少有一条边相等，便称之为一对“友好 三角形”，那么，图中的“友好三角形”共有_______对 28、跳格游戏：如图20-18所示，人从格外只能进入 第1格；在格中每次可向前跳1格或者2格，那么 人从格外跳到第6格可以有_______种方法。

29、如图，射线AM ，BN 都垂直于线段AB ，点E 为AM 上一点，过点 A 作BE 的垂线AC 分别交BE ，BN 于点F ，C ，过点C 作AM 的垂线 CD ，垂足为D ．若CD ＝CF ，则
AE
AD
= ．
30、设32213031x 2(a x a x a x a +++=+）,这是关于x 的一个恒等式(即对于任意x 都成立)。

则31a a +的
值是
三、解答题：（每小题10分，共40分）
1、如图，一次函数33+-=x y 的函数图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第
一象限内作Rt △ABC ，且使∠ABC=30°。

） （1）求△ABC 的面积；
（2）如果在第二象限内有一点P （m ，
2
3），试用含m 的代数式表示△APB 的面积，并求当△APB 与△ABC 面积相等时m 的值；
（3）是否存在使△QAB 是等腰三角形并且在
坐标轴上的点Q ？若存在，请写出点Q 所有可能的坐标； 若不存在，请说明理由。

2、如图，在△ABC 中，点D 是边AB 延长线上的一点，点F 是边AC 上的一点，DF 交BC 于点E ，并已知,BD CF DE EF ==,∠A =58°，求∠C 的值.
3、如图，ΔABC 中∠ACB =90°，点D 在CA 上，使得CD =1, AD =3，并且∠BDC =3∠BAC ，求BC 的长。

4、已知二次函数2
y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a . （1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值.
（2）设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C.如果关于x 的方程
20x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积.
第二大题图
C
A
D E。