抽象函数定义域,值域,解析式

抽象函数的定义域

1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域

由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中

b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。

2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域

方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。

3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域

结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。 4.已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域

若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。

例1已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域．

分析：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域．本题该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知

15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围．

解：

()f x 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤，410

33

x ∴≤≤．

故函数(35)f x -的定义域为41033

⎡⎤⎢⎥⎣⎦

，．

例2已知函数2

(22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域．

分析：若[]()f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定的()g x 的范围即为

()f x 的定义域．这种情况下，()f x 的定义域即为复合函数[]()f g x 的内函数的值域。

本题中令2

22u x x =-+，则2

(22)()f x x f u -+=，

由于()f u 与()f x 是同一函数，因此u 的取值范围即为()f x 的定义域．

解：由03x ≤≤，得2

1225x x -+≤≤．

令2

22u x x =-+，则2

(22)()f x x f u -+=，15u ≤≤．

故()f x 的定义域为[]15，

例3. 函数定义域是，则的定义域是（ ）

A. B. C. D.

分析：已知的定义域，求

的定义域，可先由

定义域求得

的定义域，再由的定义域求得

的定义域

解：先求

的定义域 的定义域是

，

即的定义域是，再求的定义域

的定义域是，故应选A

变式训练：

已知函数f(2x

）的定义域是［-1，1］，求f(log 2x)的定义域.

分析：先求2x

的值域为M 则log 2x 的值域也是M ，再根据log 2x 的值域求定义域。

解 ∵y=f(2x )的定义域是［-1，1］，即-1≤x ≤1,∴21

≤2x

≤2.

∴函数y=f(log 2x)中21

≤log 2x ≤2.即log 22≤log 2x ≤log 24,∴2≤x ≤4.

故函数f(log 2x)的定义域为［2，4］

例4 若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ϕ=-++的定义域．

分析：求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集．

解：由()f x 的定义域为[]35-，，则()x ϕ必有353255x x --⎧⎨

-+⎩，

，

≤≤≤≤解得40x -≤≤．

所以函数()x ϕ的定义域为[]40-，． 变式训练：

已知函数的定义域是，求的定义

域。

分析：分别求f(x+a)与f(x-a)的定义域，再取交集。 解：由已知，有

，即

函数的定义域由

确定

函数

的定义域是

例5 若函数f (x +1)的定义域为[－

21

，2]，求f (x 2)的定义域． 分析：已知f (x +1)的定义域为[－21，2]，x 满足－21≤x ≤2，于是2

1

＜x ＋1＜3，得到

f (x )的定义域，然后f (x 2)的定义域由f (x )的定义域可得．

解：先求f (x )的定义域： 由题意知－

21≤x ≤2，则21＜x ＋1＜3，即f (x )的定义域为[2

1

，3]， 再求f [h (x )] 的定义域： ∴

2

1

＜x 2＜3，解得－3＜x ＜－22＜x ＜3．

∴f (x 2)的定义域是{x |－3＜x 22＜x ＜3}．

的定义域由f (x )的定义域可得． 解：先求f (x )的定义域： 由题意知－

21≤x ≤2，则21＜x ＋1＜3，即f (x )的定义域为[2

1

，3]，