高阶方程的降阶和幂级数解法

第三节高阶方程的降阶和幂级数解法一般的高阶微分方程没有普遍的解法，处理问题的基本原则是降阶，即利用变换把高阶方程的求解问题化为较低阶的方程来求解。

因为一般地，低阶方程的求解会比求解高阶方程方便些。

特别地，对于二阶（变系数）齐线性方程，如能知道它的一个非零特解，则可利用降阶法求得与它线性无关的另一个特解，从而得到方程的通解；对于非齐线性方程，只需再运用常数变易法求出它的一个特解，问题也就解决了。

因此，问题的关键就在于寻找齐线性方程的一个非零特解。

这一节主要介绍一些可降阶的方程类型和求特解的幂级数解法。

4.3.1 可降阶的一些方程类型阶微分方程一般地可写为。

下面讨论三类特殊方程的降阶问题。

1）方程不显含未知函数，或更一般地，设方程不含，即方程呈形状：(4.3.1.1)若令，则方程即降为关于的阶方程(4.3.1.2)如果能够求得方程(4.3.1.2)的通解即。

再经过次积分得到其中为任意常数。

可以验证，这就是方程(4.3.1.1)的通解。

特别地，若二阶方程不显含（相当于的情形），则用变换，即可化为一阶方程。

例1求方程的解。

解令，则方程化为，这是一阶方程，积分后得。

于是其中为任意常数，这就是原方程的通解。

2）不显含自变量的方程 (4.3.1.3)我们指出，若令，并以它为新未知函数，而视为新自变量，则方程就可降低一阶。

事实上，在所作的假定下，，，采用数学归纳法不难证明，可用表出。

将这些表达式代入(4.3.1.3)就得到，这是关于的阶方程，比原方程(4.3.1.3)低一阶。

例2求解方程。

解令，直接计算可得，于是原方程化为，故有或，积分后得，即，所以就是原方程的通解，这里为任意常数。

例3 求方程的通解，已知特解。

解作变换，则代入原方程得。

令，则。

容易解得，其中为任意常数。

故，从而原方程的通解为，这里为任意常数。

3）齐线性方程 (4.3.1.4)我们知道,方程(4.3.1.4)的求解问题归结为寻求方程的个线性无关的特解。

但如何求这些特解呢？没有普遍的方法可循。

这是齐线性方程与常系数线性方程的极大差异之处。

但我们看到，如果知道方程的一个非零特解，则利用变换，可将方程降低一阶；或更一般地，若知道方程的个线性无关的特解，则可通过一系列同类型的变换，使方程降低阶。

并且新得到的阶方程也是齐线性方程。

事实上，设是方程(4.3.1.4)的个线性无关解，显然。

令，直接计算可得将这些关系式代入(4.3.1.4)，得到这是关于的阶方程，且各项系数是的已知函数，而的系数恒等于零，因为是(4.3.1.4)的解。

因此，如果引入新未知函数，并在的区间上用除方程的各项，我们便得到形状如 (4.3.1.5) 的阶齐线性方程。

由以上的变换知道，方程(4.3.1.5)的解与方程(4.3.1.4)的解之间的关系为,或。

因此,对于方程(4.3.1.5),我们就知道它的个线性无关解，。

事实上，显然是方程(4.3.1.5)的解。

假设这个解之间存在关系式或其中是常数。

那么，就有或。

由于线性无关,故必有，这就是说是线性无关的。

因此，若对方程(4.3.1.5)仿以上做法，令，则可将方程化为关于的阶齐线性方程 (4.3.1.6)并且还知道方程(4.3.1.6)的个线性无关解：由前面的讨论我们看到，利用个线性无关特解当中的一个解,可以把方程(4.3.1.4)降低一阶，成为阶齐线性方程(4.3.1.5)，并且知道它的个线性无关解；而利用两个线性无关解，，则可以把方程(4.3.1.4)降低两阶,成为阶齐线性方程(4.3.1.6),同时知道它的个线性无关解。

依次类推,继续上面的做法，若利用了方程的个线性无关解,则最后我们就得到一个阶的齐线性方程。

这就是说把方程(4.3.1.4)降低了阶。

特别地，对于二阶齐线性方程，如果知道它的一个非零解，则方程的求解问题就解决了。

事实上，设是二阶齐线性方程 (4.3.1.7) 的解，则由上面的讨论知道，经变换后，方程就化成，这是一阶线性方程，解之得，因而 (4.3.1.8)这里是任意常数。

取，我们得到方程(4.3.1.7)的一个特解：，它与显然是线性无关的，因为它们之比不等于常数。

于是，表达式(4.3.1.8)是(4.3.1.7)的通解，它包括了方程(4.3.1.7)的所有解。

例4已知是方程的解，试求方程的通解。

解这里，由(4.3.1.8)得到其中是任意常数，这就是方程的通解。

4.3.2 二阶线性方程的幂级数解法由上节课的讨论知道，二阶变系数齐线性方程的求解问题归结为寻求它的一个非零解。

由于方程的系数是自变量的函数，我们不能象常系数线性方程的解法那样利用代数方法去求解。

但是，从微积分学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。

因此，我们自然会想到，能否用幂级数来表示微分方程的解呢？所以我们接下来就来讨论这一问题。

首先看几个简单的例子。

按照微积分学的一般习惯，这里也以表示未知函数，而以表示自变量。

例1求方程的满足初始条件的解。

解设 (4.3.2.1) 是方程的解，这里是待定常数，由此我们有将的表达式代入方程，并比较的同次幂的系数，得到：，，，由，得，，，利用数学归纳法可以推得，一般地，代入(4.3.2.1)得这就是所求的解。

事实上，方程是一阶线性的，容易求得它的通解为，而由条件可以确定常数，即得方程的解为。

例2 求解方程，。

解同例1一样，以(4.3.2.1)形式上代入方程并比较的同次幂的系数，这时将有，，，因为不可能找到有限的，故方程没有形如(4.3.2.1)的解，事实上，直接解方程，可得通解为。

但若令，那么就将上述的初值问题化为，这时仿照例1的做法，就可求得，于是，这就是所求原方程的特解，相当于通解中取。

例3 求初值问题，的解。

解以级数 (4.3.2.1)形式上代入方程并比较的同次幂的系数，计及条件，我们有，，, , ，,或，，, , ，。

将这些确定的值代入(4.3.2.1)就得到：此级数岁任何都是发散的，故所给问题没有形如(4.3.2.1)的级数解。

例4求方程的满足初始条件及的解。

解设级数(4.3.2.1)为方程的解。

首先，利用初始条件，可以得到，因而将的表达式代入原方程，合并的各同次幂的项，并令各项系数等于零，得到：即，，，，，因而，，，，也即，对一切正整数成立。

将的值代回(4.3.2.1)就得到这就是方程的满足所给初始条件的解。

从上述的例子可看到，有些方程的解可表成的幂级数,如例1和例4，但另一些方程的解却不能表为的幂级数形式,如例2和例3，它们或者因为级数的系数无法确定，或者因为所得的级数不收敛。

那究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示呢？级数的形式怎样？其收敛区间又如何？这些问题在微分方程解析理论中有完满的解答，但因讨论时需要涉及解析函数等较专门的知识，在此我们仅叙述有关结果而不加证明。

考虑二阶齐线性方程 (4.3.2.2)及初始条件及的情况。

不失一般性，可设，否则，可引进新变量，经此变换，方程的形状不变，但这时对应于的就是了。

定理1若方程(4.3.2.2) 中系数和都能展成的幂级数，且收敛区间为，则方程(4.3.2.2)有形如 (4.3.2.3)的特解，也以为级数的收敛区间。

在例4中方程显然满足定理的条件，系数和可看作是在全数轴上收敛的幂级数,故方程的解也在全数轴上收敛，这与例4的实际计算结果完全一样。

但有些方程，例如阶贝塞耳（Bessel）方程 (4.3.2.4) 这里为非负常数，不一定是正整数。

在此。

显然它不满足定理1的条件，因而不能肯定有形如(4.3.2.3)的特解，当它满足下述定理2的条件，从而具有别种形状的幂级数解。

定理2 若方程(4.3.2.2)中系数和具有这样的性质，即和均能展成的幂级数，且收敛区间为，则方程(4.3.2.2)有形如即(4.3.2.5) 的特解，这里是一个待定的常数。

级数(4.3.2.5)也以为收敛区间。

例5求解阶贝塞耳（Bessel）方程 (4.3.2.4) 这里为非负常数。

解将方程改写成易见，它满足定理1的条件，且,按展成的幂级数的收敛区间为，由定理2，方程有形如 (4.3.2.5) 的解，这里，而和是待定的常数。

将(4.3.2.5)代入(4.3.2.4)中得把同次幂项归在一起，上式变为令各项的系数等于零，得一系列的代数方程：(4.3.2.6)因为，故从(4.3.2.6)的第一个方程解得的两个值和先考虑时方程(4.3.2.4)的一个特解。

这时我们总可以从(4.3.2.6)中逐个地确定所有的系数。

把代入(4.3.2.6)，得到，，或按下标为奇数或偶数，分别有从而求得，，一般地，将各代入(4.3.2.5)得到方程(4.3.2.4)的一个解(4.3.2.7)既然是求(4.3.2.4)的特解，我们不妨令，则(4.3.2.7)变为注意到函数的性质，即有，是由贝塞耳方程(4.3.2.4)定义的特殊函数，称为阶贝塞耳函数。

因此，对于阶贝塞耳方程，它总有一个特解。

为了求得另一个与线性无关的特解，我们自然想到，求方程(4.3.2.4)的形如的解，我们注意到只要非负整数，象以上对于时的求解过程一样，我们总可以求得，，使之满足(4.3.2.6)中的一系列方程，因而(4.3.2.8)是(4.3.2.4)的一个特解。

此时，若令，则(4.3.2.8)变为称为阶贝塞耳函数。

利用达朗贝尔判别法不难验证级数(4.3.2.7)和(4.3.2.8)对于任何值（在(4.3.2.8)中）都是收敛的，因此，当非负整数时，和都是方程(4.3.2.4)的解，而且是线性无关的,因为它们可展为由的不同幂次开始的级数，从而它们的比不可能是常数。

于是方程(4.3.2.4)的通解可写为这里是任意常数。

当自然数，而时，我们就不能从(4.3.2.6)中确定，因此不能象上面一样求得方程的通解。

这时可以用上节介绍过的降阶法，求出方程的与线性无关的特解。

事实上，由二阶齐线性方程的解的公式可直接得到方程（4.3.2.4）的通解为：其中是任意常数。

例6求方程的通解。

解引入新变量，则有，将上述关系式代入原方程，得到(4.3.2.9)这是的贝塞耳方程，由例5知，方程(4.3.2.9)的通解可表为，代回原来变量，就得到原方程的通解，其中为任意常数。