《2.3.1平面向量基本定理》同步练习(最新整理)

《2.3.1平面向量基本定理》同步练习

情景切入

情景：“神舟”十号宇宙飞船在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度．在力的分解的平行四边形法则中，我们看到一个力可以分解为两个不共线方向的力的和．

思考：平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示呢？

分层演练

基础巩固

1．e 1，e 2是平面内的一组基底，则下面四组向量中，不能作为一组基底的是( )A ．e 1和e 1＋e 2

B ．e 1－2e 2和e 2－2e 1

C ．e 1－2e 2和4e 2－2e 1

D ．e 1＋e 2和e 1－e 2

答案：C

2．下面三种说法：

①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；

②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．

其中正确的说法是________(填序号)．

答案：②③

3．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λ1a ＋λ2b (λ1，λ2∈R)，若c 与b 共线，则λ1＝________.答案：0

4．若3x ＋4y ＝a 且2x －3y ＝b ，其中a ，b 为已知向量，则x ＋y ＝________(用a ，b 表示)．

答案：

a ＋

b 517117能力升级

5．向量，，的终点A 、B 、C 在一条直线上，且＝－3，设＝p ，＝q ，OA → OB → OC → AC → CB → OA → OB →

＝r ，则以下等式成立的是( )OC →

A ．r ＝－p ＋q

B ．r ＝－p ＋2q 1232

C ．r ＝p －q

D ．r ＝－q ＋2q

3212解析：由＝－3，得－＝－3(－)，2＝－＋3，＝－＋AC → CB → OC → OA → OB → OC → OC → OA → OB → OC → 12OA →

，即r ＝－p ＋q .32OB → 1232

答案：A

6．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2＋＋＝0，那么＝OA → OB → OC → AO →

________.AD →

解析：由D 为BC 边中点可得：

＝(＋)，又2＋＋＝0，所以2＋2＝0，故＝，从而＝OD → 12OB →

OC → OA → OB → OC → OA → OD → AO → OD → AO → .12AD →

答案：12

7．在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝________.AD → DB → CD → 13CA →

CB → 解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，故λ＝.CD → CA → AD → CA → 23AB → CA → 23CB → CA → 13CA → 23CB → 23

答案：23

8．已知△ABC 和点M 满足＋＋＝0.若存在实数m 使得＋＝m 成立，则m MA → MB → MC → AB → AC → AM →

＝________.

解析：依题意可知M 为△ABC 的重心，连接AM 并延长交BC 于D ，则＝.①AM → 23AD →

因为AD 为中线，所以＋＝2＝m ，即2＝m .②AB → AC → AD → AM → AD → AM →

联立①②解得m ＝3.

答案：3

9．用向量证明三角形的三条边的中线共点．

证明：设AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条中线．

设＝a ，＝b ，＝，AC → BC → AG → 23AD →

则＝a －b ，＝a －b ，AB → AD → 12

＝－a ＋b ，BE → 12

设AD 与BE 交于点G 1，

并设＝λ，＝μ，AG 1→ AD → BG 1→ BE →

则＝λa －b ，＝－a ＋μb ，AG 1→ λ2BG 1→ μ2

又因为＝＋＝a ＋(μ－1)b .AG 1→ AB → BG 1→ (1－μ2)

所以Error!解得λ＝μ＝，即＝.23AG 1→ 23AD →

再设AD 与CF 交于点G 2，同理可得＝，故G 1点与G 2点重合，即AD 、BE 、CF 相AG 2→ 23AD → 交于一点．所以三角形的三条边的中线共点．

10．如右下图，在△ABC 中，

M 是边AB 的中点，E 是CM 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，MH ∥AF .求证：＝＝.BH → HF → FC →

证明：设＝a ，＝b .BH → BM →

则＝2b ，＝a －b ，＝2＝2a －2b ，＝＋＝2a －2b ＋2b ＝2a .BA → MH → AF → MH → BF → AF → BA →

所以＝－＝a .因此＝，HF → BF → BH → BH → HF →

同理可证：＝.因此结论成立．HF → FC →

11．如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为60°，与，OA → OB → OC → OA → OB → OA → OC → OB →

与的夹角都为30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ，求λ＋μ的值．OC → OA → OB → OC → 3OC → OA → OB →

解析：过C 分别作CN ∥OA ，交射线OB 于N ，作CM ∥OB ，交射线OA 于M ，则＝＋OC → OM →

＝λ＋μ.ON → OA → OB →

所以＝λ，＝μ.OM → OA → ON → OB →

由已知，||＝||＝1，OA → OB →

在平行四边形OMCN 中，

∠MOC ＝∠NOC ＝

∠NCO ＝30°，

所以△NOC 为等腰三角形．