大学数学概率论及试验统计第三版5-3

10
20
显然，X的下分位点就是 X的上1 分位点，即 ~ x x

1
3.双侧分位点
若有1， 2 使 2 则称1，2为X的双侧分位点.
显然，1，2 分别是X 的上1
P{ X 1 }

，P { X 2 }

2
(0 1)

2 2 1 x , 2 x
2 2
X

Y 10
~ t (10 )
3.F分布
设U ~ 2 (n1 ), V ~ 2 (n2 ), 且U，V相互独立， 则称随机变量 U n1 F V n2 服从自由度为(n1 , n2 )的F分布，记为F ~ F (n1 , n2 ).
F ( n1 , n2 )分布的概率密度为
例如，由 ( Z 0.025 ) 1 0.025 0.975, 反查表得 Z 0.025 1.96.
0.4
当接 近1时 , 常用的公式是:
事实上，

Z Z 1 ,0 1
2
0.2
0
( Z 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( Z ) ( Z )
F分布的性质 U ~ 2 ( n1 ),V ~ 2 ( n2 ), 若Y ~ F ( n1 , n2 ),
1 ~ F ( n2 , n1 ) Y
T分布与F分布的关系
若X ~ t( n ), 则Y X 2 ~ F( 1, n )。
证明略。
几个常用分布的分位点
1. 上分位点
设X的概率密度为 f ( x ).对于给定的 （0 1 ） , 若x 使 P { X x }
f ( x)
x
f ( x )d x
则称点x 为该概率分布的上 分位点.

x
x
( 1 ) 标准正态分布的上 分位点
设X ~ N ( 0 ,1 ), 若Z 满足 P { X Z } ( 0 1 ) 则称点Z 为标准正态分布的上 分位点.
由( Z ) 1 , 反查表即可得出上 分位点Z .
( 此性质可以推广到多个随机变量的情形. )
设 i2 ~ 2 ( ni ), 并且 i2 ( i 1, 2,, m ) 相互 独立, 则 i2 ~ 2 ( n1 n2 nm ).
i 1 m
性质2 ( 2分布的数学期望和方差 )
若 2 ~ 2 ( n), 则 E ( 2 ) n, D( 2 ) 2n.
1 2
与


2
0.1源自文库

2
0
分位点，即
2
0.05
1
10
2
20
§5.3 统计学 三大分布
基于正态分布的几个常用的分布
1. 2分布 设X 1，X 2， X n 是来自总体 N ( 0， 1 )的样本，
则称随机变量
2 2 2 X 12 X 2 Xn 2 服从自由度为 n的 2分布，记为 2 ~ （ n） .
2 ( n)分布的概率密度为
5
1 1 例如 F0.95 （ 12， 9 ） 0.357 F0.05 （ 9， 12 ） 2.80
2.下分位点
设X为随机变量 .对给定的 （ 0 1 ), 若有~ x ,使


P{ X ~ x } 则点~ x 称为X的下分位点.
0.1
0.05
0
~ x
t分布的性质：
(1) p( x ) p( x ).分布密度函 数 是偶函 数。
(2) t ( n) N (0,1).
所以当 n 足够大时 t 分布近似于 N (0, 1) 分布,
n
但对于较小的n, t分布与N (0,1)分布相差很大.
例如 总体X ~ N ( , ), Y ~ (10 ), X , Y相互独立.
X 则称随机变量 t 服从自由度为 n 的 t Y /n 分布, 记为 t ~ t ( n).
t 分布又称学生氏(Student)分布.
t ( n) 分布的概率密度函数为 n1 n1 2 2 x 2 p( x ) 1 , x n n πn 2
Z
2
( 2 ) 分布的上 分位点
2
设 ~ （n） , 若 （n）满足
2 2 2
P { （ n） } ( 0 1 )
2 2
则称 （n）为 （n）分布的上 分位点.
2 2
例如， ( 25 ) 34.382
2 0.1
0.2

当n 45时，利用近似公式 1 ( n ) ( Z 2 n 1 )2 2
5 0 0.4

0.2
t ( n )
5
( 4 )F分布的上 分位点
F分布 的上 分位 点可 查表获 得 .当接近1时F分布 的上 分位 点可 由以下 公式 得 到： 1 F1 （n1 , n2 ) F ( n2 , n1 )
dF ( x 10 5 )
0.5

0
F (n1 , n2 ) x
2
0.1
0
2 ( n)
10
20
( 3 ) t分布的上 分位点
设t ~ t ( n ), 若t ( n )满 足 条 件 P { t t ( n )} , ( 0 1 ) 则 称t ( n )为t分 布 的 上 分 位 点.
当 接 近1时 ， 可 用t ( n ) t1 ( n )转 换. 当n 45时 ， 可 用t ( n ) Z 近 似.
例如 设总体X ~ N ( , ), X 1 , X 2 , , X n是样本，则
2
（1 ）
i 1
n
n
Xi

~ N (0,1)
2 ) ~ ( n)
2
(2) (
i 1
Xi

学生氏资料
2. t分布 设 X ~ N (0, 1), Y ~ 2 ( n), 且 X , Y 独立,
n x 1 1 2 2 x e , n 2 n p( x ) 2 ( ) 2 0
x0 其他.
分布的性质：
2
性质1 ( 2 分布的可加性)
2 2 设 12 ~ 2 ( n1 ), 2 ~ 2 ( n2 ), 并且 12 , 2 独 2 立, 则 12 2 ~ 2 ( n1 n2 ).
n1 n1 2 1 n n n 1 2 1 y 2 2 n2 , y 0, n1 n2 ( y) n1 n2 n1 y 2 1 2 2 n2 其他. 0,