1.1(随机试验与样本空间)
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在公理化的基础上，现代概率论不仅在理论上取 得了一系列突破，在应用上也取得了巨大的成就，其 应用几乎遍及所有的科学领域，例如天气预报、地震 预报、工程技术、自动控制、产品的抽样调查、经济 研究、金融和管理等领域．
第1章 概率论基础
1.1 随机试验与样本空间
1.1.1 随机试验
客观世界中存在着两类现象: 必然现象 随机现象
概括许多内容大不相同的实际问题.
例如 只包含两个样本点的样本空间
Ω {H, T }
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的 模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的 模型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排
队的模型等.
1.1.2 样本空间
在具体问题的 研究中 , 描述随机 现象的第一步就是 建立样本空间.
在一定条件下必然出现的现象，
称为必然现象；
实例: “太阳从东边升起” “水从高处向低处流” “同性电荷互斥”
1.1.1 随机试验
必然现象的特征
条件完全决定结果
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 称为随机现象. 实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况. 结果有可能出现正面也可能出现反面.
1827 ） 、 高 斯 （ Gauss, 德 ,1777-1855 ） 和 泊 松
（Poisson,法,1781-1840）等一批数学家对概率论作 了奠基性的贡献．
【概率论简史】
1812年，拉普拉斯所著《概率的分析理论》实现了
从组合技巧向分析方法的过渡，开辟了概率论发展的
新时期．
19世纪后期，极限理论的发展成为概率论研究的中 心课题，是概率论的又一次飞跃，为后来数理统计的 产生和应用奠定了基础．契比谢夫（Chebyhev，俄， 1821-1894）对此做出了重要贡献．他建立了关于独立
(2) 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶 然性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具 有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象 规律性的一门数学学科. 如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?
1.1.1 随机试验
概率论中把满足以下特点的试验称为随机试验：
1.1.2 样本空间
关于样本空间的几点说明：
(1) 样本空间中的元素可以是数也可以不是数；
(2) 样本空间中的样本点可以是有限多个的， 也可以是无限多个的．仅含两个样本点的样本空 间是最简单的样本空间．
Байду номын сангаас
1.1.2 样本空间
说明
(3) 建立样本空间,事实上就是建立随机现 象的数学模型. 因此 , 一个样本空间可以
1.1.1 随机试验
实例2
用同一门炮向同
一目标发射同一种炮弹多
发 , 观察弹落点的情况.
结果: 弹落点会各不相同. 实例3 抛掷一枚骰子,观 结果有可能为:
察出现的点数. 1, 2, 3, 4, 5 或 6.
1.1.1 随机试验
实例4
从一批含有正品
其结果可能为:
和次品的产品中任意抽取
一个产品.
正品 、次品.
科，20世纪以来，广泛应用于工业、国防、国民
经济及工程技术等各个领域．本章介绍随机事件 与概率、古典概型与几何概型、条件概率与乘法
公式等概率论中最基本、最重要的概念和概率计
算方法．
【概率论简史】
概率的概念形成于16世纪，与用投掷骰子的方法 进行赌博有密切的关系． 1654年，一个名叫德梅尔（De Mere，法）的赌 徒就“两个赌徒约定赌若干局，且谁先赢c局便算赢 家，若在一赌徒胜a局（a<c），另一赌徒胜b局（b<c） 时便终止赌博，问应如何分赌本”为题求教于数学家 帕斯卡（Pascal，法，1623-1662），帕斯卡与费玛 （Fermat，法，1601-1665）通信讨论了这一问题， 并用组合的方法给出了正确的解答．
☺课堂练习
写出下列随机试验的样本空间. 1. 同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和. 2. 生产产品直到得到10件正品,记录生产产品 的总件数. 答案
1. Ω {3, 4, 5, , 18}. 2. Ω {10, 11, 12, }.
概率论与数理统计
第1章 概率论基础
1.1 随机试验与样本空间 2.2 随机事件及其概率 3.3 古典概型与几何概型 3.4 条件概率与乘法公式 3.5 全概率公式和贝叶斯公式
3.6 独立性
3.7 Excel数据分析功能简介
第1章 概率论基础
概率论是从数量化的角度来研究现实世界中一
类不确定现象（随机现象）规律性的一门数学学
【概率论简史】
1657年惠更斯（Huygens，荷，1629-1695）发
表的《论赌博中的计算》是最早的概率论著作，论著
中第一批概率论概念（如数学期望）与定理（如概率
加法、乘法定理）标志着概率论的诞生． 18世纪初，伯努利（Bernoulli,法,1700-1782）, 棣莫弗（De.Moivre,法,1667-1754）、蒲丰（Buffon, 法 ,1707-1788 ） 、 拉 普 拉 斯 （ Laplace， 法 ， 1749-
(1) 可以在相同条件下重复进行；
(2) 每次试验的可能结果不止一个，并且能事 先明确试验的所有可能结果；
(3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会 出现． 随机试验通常用大写字母E表示．
1.1.1 随机试验
说明 随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包 括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行 的 “调查”、“观察”或 “测量” 等.
随机变量序列的大数定律，推广了棣莫弗—拉普拉斯
的极限定理．契比谢夫的成果后被其学生马尔可夫发 扬光大，影响了20世纪概率论发展的进程．
【概率论简史】
1933 年 ， 柯 尔 莫 哥 洛 夫 （ Kolmogorov ， 俄 ， 1903-1987）在他的名著《概率论基础》一书中，提 出了概率公理化定义，并得到数学家们的普遍承 认．公理化体系给概率论提供了一个逻辑上的坚实基 础，使概率论成为一门严格的演绎科学，取得了与其 他数学学科同等的地位，并通过集合论与其他数学分 支紧密联系起来．
1.1 随机试验与样本空间
1.1.2
样本空间
定义1.1 随机试验的一切可能基本结果组成 的集合称为样本空间，记为 = { }，其中 表 示基本结果，又称为样本点． 研究随机现象首先要了解它的样本空间． 【例1.1】下面给出几个随机试验的样本空间． “抛一枚硬币观察哪一面朝上”：
1 = {正面，反面}．
实例5
过马路交叉口时,
可能遇上各种颜色的交通
指挥灯.
1.1.1 随机试验
实例6
出生的婴儿可
能是男,也可能是女. 实例7 明天的天气可
能是晴 , 也可能是多云 或雨. 随机现象的特征 条件不能完全决定结果
1.1.1 随机试验
说明 (1) 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性
联系 , 其数量关系无法用函数加以描述.
1.1.2 样本空间
“抛一颗骰子观察朝上一面的点数”：
2 = {1，2，3，4，5，6}．
“某品牌电视机的寿命”：
3 = {t | t 0}．
“110每天接到的报警次数”：
4 = {0，1，2，…}．
“圆心在原点的单位圆内任取一点”：
5 = {(x，y) | x2 + y2 1}．
第1章 概率论基础
1.1 随机试验与样本空间
1.1.1 随机试验
客观世界中存在着两类现象: 必然现象 随机现象
概括许多内容大不相同的实际问题.
例如 只包含两个样本点的样本空间
Ω {H, T }
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的 模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的 模型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排
队的模型等.
1.1.2 样本空间
在具体问题的 研究中 , 描述随机 现象的第一步就是 建立样本空间.
在一定条件下必然出现的现象，
称为必然现象；
实例: “太阳从东边升起” “水从高处向低处流” “同性电荷互斥”
1.1.1 随机试验
必然现象的特征
条件完全决定结果
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 称为随机现象. 实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况. 结果有可能出现正面也可能出现反面.
1827 ） 、 高 斯 （ Gauss, 德 ,1777-1855 ） 和 泊 松
（Poisson,法,1781-1840）等一批数学家对概率论作 了奠基性的贡献．
【概率论简史】
1812年，拉普拉斯所著《概率的分析理论》实现了
从组合技巧向分析方法的过渡，开辟了概率论发展的
新时期．
19世纪后期，极限理论的发展成为概率论研究的中 心课题，是概率论的又一次飞跃，为后来数理统计的 产生和应用奠定了基础．契比谢夫（Chebyhev，俄， 1821-1894）对此做出了重要贡献．他建立了关于独立
(2) 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶 然性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具 有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象 规律性的一门数学学科. 如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?
1.1.1 随机试验
概率论中把满足以下特点的试验称为随机试验：
1.1.2 样本空间
关于样本空间的几点说明：
(1) 样本空间中的元素可以是数也可以不是数；
(2) 样本空间中的样本点可以是有限多个的， 也可以是无限多个的．仅含两个样本点的样本空 间是最简单的样本空间．
Байду номын сангаас
1.1.2 样本空间
说明
(3) 建立样本空间,事实上就是建立随机现 象的数学模型. 因此 , 一个样本空间可以
1.1.1 随机试验
实例2
用同一门炮向同
一目标发射同一种炮弹多
发 , 观察弹落点的情况.
结果: 弹落点会各不相同. 实例3 抛掷一枚骰子,观 结果有可能为:
察出现的点数. 1, 2, 3, 4, 5 或 6.
1.1.1 随机试验
实例4
从一批含有正品
其结果可能为:
和次品的产品中任意抽取
一个产品.
正品 、次品.
科，20世纪以来，广泛应用于工业、国防、国民
经济及工程技术等各个领域．本章介绍随机事件 与概率、古典概型与几何概型、条件概率与乘法
公式等概率论中最基本、最重要的概念和概率计
算方法．
【概率论简史】
概率的概念形成于16世纪，与用投掷骰子的方法 进行赌博有密切的关系． 1654年，一个名叫德梅尔（De Mere，法）的赌 徒就“两个赌徒约定赌若干局，且谁先赢c局便算赢 家，若在一赌徒胜a局（a<c），另一赌徒胜b局（b<c） 时便终止赌博，问应如何分赌本”为题求教于数学家 帕斯卡（Pascal，法，1623-1662），帕斯卡与费玛 （Fermat，法，1601-1665）通信讨论了这一问题， 并用组合的方法给出了正确的解答．
☺课堂练习
写出下列随机试验的样本空间. 1. 同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和. 2. 生产产品直到得到10件正品,记录生产产品 的总件数. 答案
1. Ω {3, 4, 5, , 18}. 2. Ω {10, 11, 12, }.
概率论与数理统计
第1章 概率论基础
1.1 随机试验与样本空间 2.2 随机事件及其概率 3.3 古典概型与几何概型 3.4 条件概率与乘法公式 3.5 全概率公式和贝叶斯公式
3.6 独立性
3.7 Excel数据分析功能简介
第1章 概率论基础
概率论是从数量化的角度来研究现实世界中一
类不确定现象（随机现象）规律性的一门数学学
【概率论简史】
1657年惠更斯（Huygens，荷，1629-1695）发
表的《论赌博中的计算》是最早的概率论著作，论著
中第一批概率论概念（如数学期望）与定理（如概率
加法、乘法定理）标志着概率论的诞生． 18世纪初，伯努利（Bernoulli,法,1700-1782）, 棣莫弗（De.Moivre,法,1667-1754）、蒲丰（Buffon, 法 ,1707-1788 ） 、 拉 普 拉 斯 （ Laplace， 法 ， 1749-
(1) 可以在相同条件下重复进行；
(2) 每次试验的可能结果不止一个，并且能事 先明确试验的所有可能结果；
(3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会 出现． 随机试验通常用大写字母E表示．
1.1.1 随机试验
说明 随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包 括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行 的 “调查”、“观察”或 “测量” 等.
随机变量序列的大数定律，推广了棣莫弗—拉普拉斯
的极限定理．契比谢夫的成果后被其学生马尔可夫发 扬光大，影响了20世纪概率论发展的进程．
【概率论简史】
1933 年 ， 柯 尔 莫 哥 洛 夫 （ Kolmogorov ， 俄 ， 1903-1987）在他的名著《概率论基础》一书中，提 出了概率公理化定义，并得到数学家们的普遍承 认．公理化体系给概率论提供了一个逻辑上的坚实基 础，使概率论成为一门严格的演绎科学，取得了与其 他数学学科同等的地位，并通过集合论与其他数学分 支紧密联系起来．
1.1 随机试验与样本空间
1.1.2
样本空间
定义1.1 随机试验的一切可能基本结果组成 的集合称为样本空间，记为 = { }，其中 表 示基本结果，又称为样本点． 研究随机现象首先要了解它的样本空间． 【例1.1】下面给出几个随机试验的样本空间． “抛一枚硬币观察哪一面朝上”：
1 = {正面，反面}．
实例5
过马路交叉口时,
可能遇上各种颜色的交通
指挥灯.
1.1.1 随机试验
实例6
出生的婴儿可
能是男,也可能是女. 实例7 明天的天气可
能是晴 , 也可能是多云 或雨. 随机现象的特征 条件不能完全决定结果
1.1.1 随机试验
说明 (1) 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性
联系 , 其数量关系无法用函数加以描述.
1.1.2 样本空间
“抛一颗骰子观察朝上一面的点数”：
2 = {1，2，3，4，5，6}．
“某品牌电视机的寿命”：
3 = {t | t 0}．
“110每天接到的报警次数”：
4 = {0，1，2，…}．
“圆心在原点的单位圆内任取一点”：
5 = {(x，y) | x2 + y2 1}．