1.1(随机试验与样本空间)
概率统计-习题及答案-(1)
习题一1.1 写出下列随机试验的样本空间，并把指定的事件表示为样本点的集合：（1）随机试验：考察某个班级的某次数学考试的平均成绩（以百分制记分，只取整数）； 设事件A 表示：平均得分在80分以上。
（2）随机试验：同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和；设事件A 表示：第一颗掷得5点；设事件B 表示：三颗骰子点数之和不超过8点。
（3）随机试验：一个口袋中有5只球，编号分别为1，2，3，4，5，从中取三个球； 设事件A 表示：取出的三个球中最小的号码为1。
（4）随机试验：某篮球运动员投篮练习，直至投中十次，考虑累计投篮的次数； 设事件A 表示：至多只要投50次。
（5）随机试验：将长度为1的线段任意分为三段，依次观察各段的长度。
1.2 在分别标有号码1~8的八张卡片中任抽一张。
（1）写出该随机试验的样本点和样本空间；（2）设事件A 为“抽得一张标号不大于4的卡片”，事件B 为“抽得一张标号为偶数的 卡片”，事件C 为“抽得一张标号能被3整除的卡片”。
试将下列事件表示为样本点的集合，并说明分别表示什么事件？（a ）AB ； (b) B A +； (c) B ； (d) B A -； (e) BC ； (f) C B + 。
1.3 设A 、B 、C 是样本空间的事件，把下列事件用A 、B 、C 表示出来：（1）A 发生； （2）A 不发生，但B 、C 至少有一个发生；（3）三个事件恰有一个发生； （4）三个事件中至少有两个发生；（5）三个事件都不发生； （6）三个事件最多有一个发生；（7）三个事件不都发生。
1.4 设}10,,3,2,1{Λ=Ω，}5,3,2{=A ，}7,5,3{=B ，}7,4,3,1{=C ，求下列事件：（1）B A ； （2）)(BC A 。
1.5 设A 、B 是随机事件，试证：B A AB A B B A +=-+-)()(。
1.6 在11张卡片上分别写上Probability 这11个字母，从中任意抽取7张，求其排列结果为ability 的概率。
1.1-1.2 随机试验 样本空间、随机事件
S4 {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
E5: 记录某公共汽车站某日
上午某时刻的等车人数.
S5 {0, 1, 2, }.
E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命.
S6 : {t | t 0}
E7: 考察某地区一昼夜最高和最低气温.
S7 {( x , y ) T0 x y T1 }.
概率论的基本概念
第一节 随机试验
重点： 概率论的主要研究对象； 随机试验的概念
一、自然界所观察到的两类现象
1. 确定性现象
在一定条件下必然发生的现象 称为确定性现象. 实例
“太阳从东边升起”,
“水从高处流向低处”, “同性电荷必然互斥”,
特征
2. 随机现象
实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币, 观察正反两面 发生的情况”. 结果有可能：发生正面、反面.
的结果有一定的规律性——称为统计规律性.
定义 在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复 试验中其结果又具有统计规律性的现象，称为随机现象.
特征
说明
研究对象 ——概率论就是研究随机现象统计规律性的一
门数学学科.
研究方法 ——将随机试验的结果数量化.
样本空间(集合)、概率、随机变量(函数)等.
二、随机试验（Experiment ）
数。
E 4 ：抛一枚骰子，观察出现的点数。
E 5 ：记录某城市 120 急救
电话台一昼夜接到的呼唤次数。
在一批灯光中任意抽 E6 ： 取一只，测试它的寿命。
E 7 ：记录某地一昼夜的最高气温和最低气温。
定义： 随机试验是指具有以下三个特征的试验：
1. 可以在相同的条件下重复地进行; 可重复性 2. 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试 可知性 验的所有可能结果;
概率论与数理统计教程
1.1 随机事件和样本空间
一、随机现象 二、随机试验 三、样本空间 样本点 四、随机事件的概念 五、随机事件的关系
一、随机试验
1.必然现象（确定） 2.偶然现象（不确定）随机
说明： 1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 ,
其数量关系无法用函数加以描述. 2.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,
1、包含关系 若事件 A 出现, 必然导致 B 出现 则称事件 B 包含事件 A,记作B A 或 A B.
特别地 若事件A包含事件B,而且事件B包含 事件A, 则称事件A与事件B相等,记作 A=B.
2.两事件的和与并
“二事件 A, B至少发生一个”也是一个事件, 称为事件 A 与事件B的和事件.记作A B，显然 A B {e | e A或e B}.
若事件 A 、B 满足 A B 且 AB .
则称 A 与B 为互逆(或对立)事件. A 的逆记
作 A.
事件间的运算规律
设 A, B, C 为事件, 则有
(1) 交换律 A B B A, AB BA. ( AB)C A(BC).
(2) 结合律 ( A B) C A (B C),
实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数。 试验中,骰子“出现1点”, “出现2 点”, … ,“出现6点”, “点数不大于4”, “点 数为偶数” 等都为随机事件.
五、随机事件的关系及运算
（1）、随机事件间的关系
设试验 E 的样本空间为 , 而 A, B, Ak (k 1,2,)是 的子集.
推广：
N元情形
n
推广 称 Ak 为n个事件 A1, A2 ,, An 的积事件,
k 1
即A1, A2 ,, An同时发生;
概率论与数理统计教案随机变量及其分布
概率论与数理统计教案-随机变量及其分布教学目标：1. 理解随机变量的概念及其重要性。
2. 掌握随机变量的概率分布及其性质。
3. 学会计算随机变量的期望值和方差。
教学内容：第一章：随机变量的概念1.1 随机试验与样本空间1.2 随机变量及其定义1.3 随机变量的分类第二章：随机变量的概率分布2.1 离散型随机变量的概率分布2.2 连续型随机变量的概率分布2.3 随机变量概率分布的性质第三章：随机变量的期望值3.1 离散型随机变量的期望值3.2 连续型随机变量的期望值3.3 期望值的性质及其计算方法第四章：随机变量的方差4.1 离散型随机变量的方差4.2 连续型随机变量的方差4.3 方差的性质及其计算方法第五章：随机变量的不确定性度量5.1 标准差与协方差5.2 变异系数与相关系数5.3 不确定性度量在实际应用中的意义教学方法：1. 采用讲授法，系统讲解随机变量及其分布的基本概念、性质和计算方法。
2. 利用案例分析，让学生更好地理解随机变量在实际问题中的应用。
3. 布置练习题，巩固所学知识，提高学生的实际操作能力。
教学评估：1. 课堂问答，检查学生对随机变量及其分布的理解程度。
2. 课后作业，检验学生对随机变量期望值和方差的计算能力。
3. 课程报告，让学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的综合应用能力。
教学资源：1. 教材：《概率论与数理统计》2. 课件：随机变量及其分布的相关内容3. 案例资料：用于分析随机变量在实际问题中的应用4. 练习题及答案：用于巩固所学知识教学安排：1. 第一章：2课时2. 第二章：3课时3. 第三章：2课时4. 第四章：2课时5. 第五章：2课时总结：通过本章的学习，学生应掌握随机变量及其分布的基本概念、性质和计算方法，并能运用所学知识解决实际问题。
第六章：随机变量的函数6.1 离散型随机变量的函数6.2 连续型随机变量的函数6.3 函数随机变量的性质教学内容：本章主要介绍随机变量的函数，包括离散型随机变量的函数和连续型随机变量的函数。
《概率论与数理统计》第三版--课后习题答案.-(1)
习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1)某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数;解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故；(2)掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和;解：；(3)观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以；(4)从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品;解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：(5)检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则；(6)观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2);解：用表示最低气温, 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故：；(7)在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离;解：；(8)在长为的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度.解：；1.2(1)A 与B 都发生, 但C 不发生; ；(2)A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;；(3)A,B,C 中至少有一个发生; ；(4)A,B,C 中恰有一个发生;；(5)A,B,C 中至少有两个发生; ；(6) A,B,C 中至多有一个发生;；(7) A;B;C 中至多有两个发生;(8) A,B,C 中恰有两个发生. ；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
1.3 设样本空间, 事件=,具体写出下列各事件：(1); (2) ; (3) ; (4)（1）；(2) =；(3) =;(4) =1.6 按从小到大次序排列, 并说明理由.解：由于故，而由加法公式，有：1.7解：(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为：(2)由于事件可以分解为互斥事件，昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛对应事件概率为：(3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛的概率为：.1.8解：(1) 由于，故显然当时P(AB) 取到最大值。
1随机事件和概率
解 ：令A={第一次取到次品},B={第二次取到次品}, 需求P(B│A).
(1)在缩减的样本空间中计算.因第一次已经取得了次品, 剩下的产品共19件其中3件次品,从而
P(B│A)=3/19 (2)在原样本空间中计算,由于
二 、乘法公式
设P(B)>0,则有 P(AB)=P(B)P(A│B) 同样,当P(A)>0时,有： P(AB)=P(A)P(B│A) 上述乘法公式可推广至任意有限个事件的情形:
三、样本空间
试验E的所有基本结果构成的集合称为样本空间， 记为S。 S中的元素即E的每个基本结果称为样本点，记为 ω，即S={ω}。 基本事件是样本空间的单点集。 复合事件是由多个样本点组成的集合。 必然事件包含一切样本点，它就是样本空间S。 不可能事件不含任何样本点，它就是空集φ。
四、事件间的关系及其运算 例1 : 从一批产品中任取8件，观察其中的正品件数， 则这一试验的样本空间为：
可列个事件A1 , A2 , … , An的积记为A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An
或A1A2 … An ，也可简记为 在可列无穷的场合，用 件同时发生。” 。 表示事件“A1、A2 …诸事
4.互不相容事件
事件A与事件B不能同时发生，即AB=φ，则称A 和B是互不相容的或互斥的。 基本事件是两两互不相容的。 5.对立事件 若A，B互不相容，且它们的和事件为必然事件，即
例2: 设A，B，C为三个事件，试用A，B，C表
示下列事件： （1）A发生且B与C至少有一个发生； （2）A与B都发生而C不发生； （3）A，B，C恰有一个发生； （4）A，B，C中不多于一个发生； （5）A，B，C不都发生；
（6）A，B，C中至少有两个发生。
1.2 事件的概率
1-1随机试验随机事件和样本空间
概率论与集合论有关概念的对应关系
概率论
样本点
样本空间
集合论
元素
全集
记号
e
S
随机事件
基本事件
子集
单点集
A , B , C ……
{e}
不可能事件
空集
Φ
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例１、设试验为抛一枚硬币，观察是正面还 是反面，则样本空间为： S={正面，反面｝ 例２、设试验为从装有三个白球(记为1，2,3号) 与两个黑球(记为4,5号)的袋中任取两个球． (１)观察取出的两个球的颜色，则样本空间为： S={e00, e11, e01} e00 表示“取出两个白球”， e11 表示“取出两个黑球”， e01 表示“取出一个白球与一个黑球”
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五、随机数学简史
古——艺术及文学作品，游戏、决策
古希腊——哲学与宗教的思考 文艺复兴——数学讨论
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第一章 概率论的基本概念
§1.1 随机试验、随机事件和样本空间
说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性 联系, 其数量关系无法用函数加以描述. 2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶 然性, 但在大量重复试验或观察中, 这种结果的出现
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(2)
试验的所有可能结果:
正面，反面;
(3) 进行一次试验之前不能 故为随机试验. 确定哪一个结果会出现.
同理可知下列试验都为随机试验 1.“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.
2.“从一批产品中,依次任选三 件,记 录出现正品与次品的件 数”.
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3. 记录某公共汽车站某
《概率论与数理统计》1.1 随机试验与随机事件
i点 5, 6
}
在一起所构成的事件）
复合事件
事件 B = { 掷出奇数点 }
五. 随机事件间的关系及其运算
设试验 E 的样本空间为 S, A, B, Ak (k 1, 2, ) 是 S 的子集.
1. 事件的包含：如( A果中事的件每A个发样生本必点然都导包致含事在件BB中发）生.
注 ▲
则称 事件 B 包含事件 A 或 A 含于事 件 B 。记作：B A或 A B
从观察试验开始 研究随机现象，首先要对 研究对象进行观察或试验.
这里的试验指的是随机试验.
第一节 随机试验与随机事件
一. 试 验 : 为了研究随机现象，就要对客观事物进行 观察，观察的过程称之为试验。记为 E。
例1 E1：掷一枚硬币观察正面，反面出现的情况。 E2：记录一小时内，到某保险公司投保的户数 E3：射手射击一个目标，直到射中为止，观察 其射击的次数。 E4：从一批产品中抽取十件，观察其次品数。 E5：抛一颗骰子，观察其出现的点数。
A
B
为 A 与 B 的和 (并）, 记作：
A B 或 A B x xA 或 xB
AB
注
▲ 它是由事件 A 和 B 所有样本点构成的集合 n
▲ 称 Ak 为 n 个事件 A1 , A2 , , An 的和事件
k1
k 1 Ak 为可列个事件 A1 , A2 ,
的和事件
4. 事件的积(交)： 若 “两个事件A与 B 同时发生” 也是一个事件，
样本空间元素 是由试验目的 所确定的，不 同的试验目的 其样本空间也 是不一样的。
S
.e
样本点e
例 3．若试验 E是将一枚硬币抛掷两次. 试写出该试验 E 的样本空间.
1.1-1.2.试验、事件、样本空间.
下面我们来为随机试验建立一个数学模型
样本空间
现代集合论为表述随机试验提供了一个方便的工具 .
我们把随机试验的每个可能结果(基本事件) 称为样本点，记作ω (或e). 全体样本点的集合 称为样本空间. 样本空间用 (或S)表示.
/ S
.
样本点 ω/e
样本空间是由试验的内容所决定的。
所以在具体问题的研究中, 描述随机现象的第 一步就是建立样本空间.
引入样本空间后，事件便可以表示为样 本点的集合，即为样本空间的子集。
例如，掷一颗骰子，观察出现的点数
= { i ：i=1,2,3,4,5,6｝
事件B就是 的一个子集
B = {1,3,5｝
易见，B发生当且仅当B中的 某个样本点出现.
在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结 果）称为随机事件，简称为事件。随机事件一般用大 写英文字母A,B,C……等表示。例 ：
在E2中，“出现‘正反反(HTT)’”，“出现两次正面” “三次 出现同一面”等都是随机事件，可将依次记为A,B,C。
在E5中，“灯泡的寿命超过500小时”是一随机事件，我 们可用D表示此事件。
Ak A1 A2 An
k 1
例 在直角坐标系圆心在原点的单位圆内任取一点，记录
其坐标，令
An
( x, y) | x 2
y2
1 n2
,B表示取到(0,0)点，则
B Ak
k 1
定义4.（差事件） 称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B
6 ：{(x,y)| T0≤x≤y≤T1}
注意 1. 试验不同, 对应的样本空间也不同. 2. 同一试验, 若试验目的不同,则对应的样
考研数学概率论与数理统计笔记知识点(全)
三 二二维连续型随机变量量（积分积出来的就是连续的）
1.定义：概率密度积分（二二重积分）
2.联合概率密度
1）性质：1.非非负性；2.规范性
2）应用用：求P，就是求二二重积分
在f（x，y）的连续点上，分布求二二阶倒数就是概率密度
步骤：1）画图（为了了解不不等式）
2）讨论
3）代入入（注意端点）
第三章 多维随机变量量及其分布
知识点：一一 二二维随机变量量及其分布函数 二二 二二维离散型随机变量量 三 二二维连续型随机变量量 四 二二维随 机变量量函数的分布
一一 二二维随机变量量及其分布函数
1.二二维随机变量量就是一一个（X，Y）向量量
要注意是一一维的（是用用一一个变量量表示）
4.离散+连续（一一定是使用用全概率公式的）
定义：X为离散型，Y为连续型，且相互独立立
六 全概率公式与⻉贝叶斯公式（关键在于完备事件组）
1.完备事件组：互斥是对立立的前提条件
2.全概率公式：由因到果（推导，画图）（全部路路径）
3.⻉贝叶斯公式：由果到因（推导，画图）（所占的比比例例）
Note：关键是1.完备事件组必须完备；2.要画图3注意抽签原理理
题型一一：概率的基本计算
1.事件决定概率，但是概率推不不出事件
3.边缘概率密度
1）具体就是边缘分布函数求导（详⻅见笔记）
Note：注意边缘的公式，在求时，注意取值范围，以及上下限（一一根直线传过去）（类似于 二二重积分的先积部分——后积先定限，限内画条线）
2）G是从几几何看出来的，不不要死记公式，要结合图像（G为非非零区域）
Note：1.在写公式之前要先保证分⺟母不不为0，即要先确定范围
1.1(随机试验与样本空间)
如何学习“概率论与数理统计” 如何学习“概率论与数理统计” ？ 1、踏实的、良好的、正确的学习态度； 、踏实的、良好的、正确的学习态度； 2、课前预习 ， 课堂认真听讲 ， 课后复习是 、 课前预习，课堂认真听讲， 学习好任何一门课程亘古不变的真理； 学习好任何一门课程亘古不变的真理； 3、理解基本概念，掌握基本计算方法与技巧； 、理解基本概念，掌握基本计算方法与技巧；
帕斯卡
Hale Waihona Puke 费马【概率论简史】 概率论简史】
170018 世 纪 初 ， 伯 努 利 （ Bernoulli, 法 ,17001782）,棣莫弗（De.Moivre,法,1667-1754）、 蒲丰 1782） 棣莫弗（ De.Moivre,法 1667-1754） Buffon,法 1707-1788） 拉普拉斯（ Laplace， （ Buffon, 法 ,1707-1788 ） 、 拉普拉斯 （ Laplace ， 法 ， 1749-1827） 、 高斯 （ Gauss, 德 ,1777-1855 ） 和 1749-1827） 高斯（Gauss,德 1777-1855） 泊松（ Poisson,法 1781-1840） 泊松 （ Poisson, 法 ,1781-1840 ） 等一批数学家对概 率论作了奠基性的贡献． 率论作了奠基性的贡献．
自我介绍
李明 （1981---），河南延津县人， ） 河南延津县人 延津县 从事随机过程与应用研究。 随机过程与应用研究 从事随机过程与应用研究。 目前最高行政职位：辅导员（兼职） 目前最高行政职位：辅导员（兼职） 办公室：数信楼 101 办公室： 手 机：136******** Email：lim@ ： QQ: 66231067
之前，你是否学习过《概率论与数理统计》 1、之前，你是否学习过《概率论与数理统计》课程 中的有关知识？ 中的有关知识？ (A)学过一点 (B)没有 (B)没有 (A)学过一点 2、拿到教材后 (A)翻过 (B)看了一章 (A)翻过 (B)看了一章 (C)还没看 (C)还没看 还没
1.1随机试验、样本空间、随机事件
随机试验E
例如：抛一颗骰子，观察其出现的点数.
样本点
可能的结果：1 点、2 点、3 点、4 点、5 点、6 点.
所有可能结果的集合：{1 点、2 点、3 点、4 点、5 点、6 点}.
样本空间
随机试验、样本空间、随机事件
定义 随机试验 E 的所有可能结果组成的集合，称为 E 的样本空间， 记为 S. 样本空间的元素，即 E 的每个结果，称为样本点，记为ei .
结合律： AU( BUC) = ( AUB) UC ， ( AI B) I C = AI ( BI C) .
分配律： AU( BI C) = ( AUB) I ( AUC) ， AI ( BUC) = ( AI B) U( AI C) .
德摩根律： A U B = A I B ， A I B = A U B .
随机现象 概率论与数理统计
——研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科！
随机试验、样本空间、随机事件
二、随机试验 E1：抛一枚硬币，观察其出现正面 H 、反面T 的情况； E2 ：抛一颗骰子，观察其出现的点数； E3：抛一颗骰子，观察点数 2 是否出现； E4 ：记录车站售票处一天内售出的车票数； E5 ：任取同一生产线上生产的一只灯泡，测试其寿命； E6 ：在[0,1]之间随机地投一点，记录该点的坐标.
随机试验、样本空间、随机事件
例 1 设 A、B、C 为三个事件，试用其运算关系表示下列事件：
（1）A、B、C 同时发生；
ABC
（2）A、B、C 至少有一个发生；
AU B UC
（3）A、B、C 至少有两个发生；
AB U BC U AC
（4）A、B、C 都不发生；
ABC
（5）A、B、C 不都发生.
§1.1 随机事件与样本空间
§1.1 随机事件与样本空间随机事件与样本空间是概率论中的两个最基本的概念。
一、 基本事件与样本空间对于随机试验来说，我们感兴趣的往往是随机试验的所有可能结果。
例如掷一枚硬币，我们关心的是出现正面还是出现反面这两个可能结果。
若我们观察的是掷两枚硬币的试验，则可能出现的结果有（正、正）、（正、反）、（反、正）、（反、反）四种，如果掷三枚硬币，其结果还要复杂，但还是可以将它们描述出来的，总之为了研究随机试验，必须知道随机试验的所有可能结果。
1、 基本事件通常，据我们研究的目的，将随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件。
因为随机事件的所有可能结果是明确的，从而所有的基本事件也是明确的，例如：在抛掷硬币的试验中“出现反面”，“出现正面”是两个基本事件，又如在掷骰子试验中“出现一点”，“出现两点”，“出现三点”，……，“出现六点”这些都是基本事件。
2、 样本空间基本事件的全体，称为样本空间。
也就是试验所有可能结果的全体是样本空间，样本空间通常用大写的希腊字母Ω表示，Ω中的点即是基本事件，也称为样本点，常用ω表示，有时也用A,B,C 等表示。
在具体问题中，给定样本空间是研究随机现象的第一步。
例1、 一盒中有十个完全相同的球，分别有号码1、2、3……10，从中任取一球，观察其标号，令=i {取得球的标号为i }，=i 1,2,3,…,10. 则Ω={1,2,3,…,10},=i ω{标号为i },=i 1,2,3,…,101ω,2ω,…, 10ω为基本事件（样本点）例2 在研究英文字母使用状况时，通常选用这样的样本空间： Ω={空格，A,B,C,…,X,Y,Z}例 1，例 2讨论的样本空间只有有限个样本点，是比较简单的样本空间。
例3讨论某寻呼台在单位时间内收到的呼叫次数，可能结果一定是非负整数而且很难制定一个数为它的上界，这样，可以把样本空间取为Ω={0,1,2,3,…}这样的样本空间含有无穷个样本点，但这些样本点可以依照某种顺序排列起来，称它为可列样本空间。
1.1(随机试验与样本空间)
第1章 概率论基础 章
1.1 随机试验与样本空间 2.2 随机事件及其概率 3.3 古典概型与几何概型 3.4 条件概率与乘法公式 3.5 全概率公式和贝叶斯公式 3.6 独立性 3.7 Excel数据分析功能简介 数据分析功能简介
第1章 概率论基础 章
1.1 随机试验与样本空间
1.1.2 样本空间
在具体问题的 研究中 , 描述随机 现象的第一步就是 建立样本空间. 建立样本空间
☺课堂练习
写出下列随机试验的样本空间. 写出下列随机试验的样本空间 1. 同时掷三颗骰子 记录三颗骰子之和. 同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和 记录三颗骰子之和 2. 生产产品直到得到 件正品,记录生产产品 生产产品直到得到10件正品 记录生产产品 件正品 的总件数. 的总件数 答案
1.1.1 随机试验
实例4 实例
出生的婴儿可
能是男 也可能是 也可能是女 能是男,也可能是女. 实例5 实例 明天的天气可 能是晴 , 也可能是多云 能是晴 也可能是多云 或雨. 随机现象的特征 条件不能完全决定结果
1.1.1 随机试验
说明 (1) 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性 其数量关系无法用函数加以描述. 联系 , 其数量关系无法用函数加以描述 (2) 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶 然性, 但在大量试验或观察中, 然性 但在大量试验或观察中 这种结果的出现具 有一定的统计规律性 有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象 规律性的一门数学学科. 规律性的一门数学学科 如何来研究随机现象? 如何来研究随机现象 随机现象是通过随机试验来研究的. 随机现象是通过随机试验来研究的 什么是随机试验? 问题 什么是随机试验
1.1 随机试验、样本空间.1.2 随机事件 (1)
n
n
Cm n
即
n m
:
从n个相异元中取m个元素并成一组
P C P m m m(先取后排）
n
n
m
Pmn n (n 1) (n 2)
(n m 1)
n! (n m)
!
0！ 0.
m
P m Cn
n m
n(n
1)L (n m!
抽查式考勤，缺三次平时成绩为零，取消考试资格（学校规定），希望遵守公 德：不迟到 • 5.须按时、按质、按量完成作业。作业采用等级评分 • 6.复习微积分，保证学习正常进行 • 7注：平时成绩大于30分；别因中学“学过”而大意，应当重新审视这门课。
4
预备知识（排列组合） • 1. 两个基本原理 • 2. 排列、组合的意义 • 3. 排列数、组合数计算公式 • 4. 例题
解法一：先组队后分校（先分堆后分配） C62 C24 P33 540
解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士.
(C13 C62) (C12 C24) 1 540
引言
•概率是什么？
•1.概率是频率：
P A
fn
ALeabharlann nA 频数 n 试验次数
.
•2.概率是比例：
序
一、概率论 简史及概率论的应用
1. 概率论简史
1654年， 有一个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很久 的问题：“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢m 局就算赢，全部赌本就归谁．但 是当其中一个人赢了a 局，另一个人赢了b 局的时候，赌博中止．问：赌本应该 如何分法才合理？” ．
随机事件和样本空间
由此可知，事件 A B 的含意与集合论中的意义是一致的。 因为不可能事件 不含有任何 ，所以对任一事件 A，我们约定 A
图中的阴影部分是事件“AB”如在例 1.2 中，若 A={球的标号为偶数} B={球的标号≤3}
则 A B={球的标号为 1，2，3，4， ，6，8，10} 4．事件 A 与 B 同时发生“，这样的事件称作事件 A 与 B 的交（或 积） ，记作 A B（或ＡＢ） ，它对应图１．３种的阴影部分： 如在例１．２中，若Ａ、Ｂ同上，则
， 也就是说 A 与 B 互不
A
B
Байду номын сангаас图 1.5
7 . 若 A 是一个事件,令 A =
A 是 A 的对立事件或逆事 — A，称
件。容易知道在一次试验中，若 A 发生，则 A 必不发生（反之亦然） 即A与 有 A A =
A
二者只能发生其中之一，并且也必然发生其中之一。因而
A
A
=
（A B） C=（A C）（ B C） （1.5）
（4）德摩根定理（对偶原则）： ________
n
A =
i
_______ n i 1
Ai A = i 1
i i 1
n
__
（1.6）
A
i 1
n
__ i
（1.7）
证明：（略）.
n
Ai
An ；若“ A1 ，A2 ，…，
同时发生” ，这样的事件称作A1 ， A2 ，…，An 的交，记作
A 1
A2 …
An
或 i 1
n
Ai
《概率论与数理统计》第一章知识点
第一章随机事件及概率1.1随机事件1.1.1随机试验一、人在实际生活中会遇到两类现象：1.确定性现象：在一定条件下实现与之其结果。
2.随机现象（偶然现象）：在一定条件下事先无法预知其结果的现象。
二、随机试验满足条件：1.实验可以在相同条件写可以重复进行；（可重复性）2.事先的所有可能结果是事先明确可知的；（可观察性）3.每次实验之前不能确定哪一个结果一定会出现。
（不确定性）1.1.2样本空间1.样本点：每次随机试验E 的每一个可能的结果，称为随机试验的一个样本点，用w 表示。
2.样本空间：随机试验E 的所有样本点组成的集合成为试验E 的样本空间。
1.1.3随机事件1.随机事件：一随机事件中可能发生也可能不发生的事件称为试验的随机事件。
2.基本事件：试验的每一可能的结果称为基本事件。
一个样本点w 组成的单点集{w}就是随机试验的基本事件。
3.必然事件：每次实验中必然发生的事件称为必然事件。
用Ω表示。
样本空间是必然事件。
4.不可能事件：每次试验中不可能发生的事件称为不可能事件，用空集符号表示。
1.1.4事件之间的关系和运算1.事件的包含及相等“如果事件A 发生必然导致事件B 发生”，则称事件B 包含事件A ，也称事件A 是B 的子事件，记作A B B A ⊃⊂或。
2.事件的和（并⋃）“事件A 与B 中至少有一个事件发生”，这样的事件称为事件A 与B 的和事件，记作B A 。
3.事件的积（交⋂）“事件A 与B 同时发生”，这样的事件称作事件A 与B 的积（或交）事件，记作AB B A 或 。
4.事件的差“事件A 发生而事件B 不发生”，这样的事件称为事件A 与B 的差事件，记作A-B 。
5.事件互不相容（互斥事件）“事件A 与事件B 不能同时发生”，也就是说，AB 是一个不可能事件，即=AB 空集，即此时称事件A 与事件B 是互不相容的（或互斥的）6.对立事件“若A 是一个事件，令A A -Ω=,称A 是A 的对立事件，或称为事件A 的逆事件”事件A 与事件A 满足关系：=A A 空集，Ω=A A 对立事件一定是互斥事件；互斥事件不一定是对立事件。
小学六年级数学必须掌握的知识点概率的计算与应用
小学六年级数学必须掌握的知识点概率的计算与应用概率是数学中非常重要的一个概念，它涉及到我们生活中很多方面的计算与应用。
在小学六年级的数学课程中，学生需要掌握一些基本的概率知识点，以便能够正确地计算概率并应用到日常生活中。
本文将对小学六年级数学必须掌握的概率知识点进行概述和详细解释。
一、概率的定义和基本概念1.1 概率的定义概率是指某件事情发生的可能性大小。
用数学表示就是：概率 =有利结果的个数 / 总结果的个数。
1.2 随机试验与样本空间随机试验是指具有以下三个特点的试验：可在相同的条件下重复进行，每次试验的结果不确定，且试验的全部结果能够事先明确。
样本空间是指一个随机试验的所有可能结果所组成的集合。
例如，抛一枚硬币的样本空间为{正面，反面}，掷一颗骰子的样本空间为{1，2，3，4，5，6}。
1.3 事件与概率事件是指样本空间中的一个子集。
简单事件是指只包含一个样本点的事件，复合事件是指包含两个或两个以上样本点的事件。
概率是事件发生的可能性大小，用P(A)表示事件A的概率。
二、概率的计算方法2.1 基本事件的概率计算对于样本空间中的每个基本事件，其概率都是相等的。
所以，当一个基本事件中有n个有利结果时，该基本事件的概率为：P(A) = n /总结果的个数。
2.2 复合事件的概率计算对于复合事件的概率计算，可以利用以下方法：- 加法法则：当两个事件A和B互斥时，即它们没有共同的结果，有P(A∪B) = P(A) + P(B)。
- 减法法则：当事件A包含于事件B中时，有P(B-A) = P(B) -P(A)。
- 乘法法则：当两个事件A和B同时发生时，有P(A∩B) = P(A) × P(B|A)。
三、概率的应用3.1 抽奖问题抽奖问题是概率的一个常见应用场景。
当我们知道某个奖品总共有n个，其中有m个是我们想要的，那么我们中奖的概率就是：P(中奖) = m / n。
3.2 场景问题场景问题是指概率在日常生活场景中的应用。
1.1 样本空间与随机事件解析
H→正面，T→反面
S1 { H , T }.
(2)抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
可能结果为: “1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “6”.
S2 {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
(3)4件产品，2正，2次，从中任取3件，观察正次品出 现情况.
“点数不大于4”, “点数为偶数” 等均为随机事件
例2：将一枚硬币抛两次，事件A表示“第一次出现正 面”，事件B表示“两次出现同一面”，事件C表示“至 少出现一次正面”。试写出该试验的样本空间、随机 事件A,B,C。 练习：同时投掷两枚骰子，试写出该试验的样本空间、 随机事件A,B,C。事件A表示“出现的点数之和大于 10”, 事件B表示“出现的点数均为奇数”，事件C表示“出 现 的点数之差的绝对值小于2”。
习题3：袋中装有6个球，4白(a,b,c,d)，2红 (x,y)，试用列举法写出下列试验的样本空间。
E1( 放回抽样)：取一个，放回后，再取一个。
{(i1 , i2 ) 1 i1 , i2 6} 1 i1 i2 6}
n 6 6 n 65
65 n 15 1 2
练习4：观察某时间段内某交通路口的机动车流量情况。
综合习题：
试用列举法写出下列试验的样本空间、随机事件。 习题1：同时掷两枚硬币，观察正反面出现情况，事 件A表示掷出同一面，事件B表示其中一枚掷出正面。
习题2：将一枚骰子连续掷两次，记录骰子点数出现 情况，事件A表示点数之和等于7，事件B表示两枚 骰子点数之差等于1。
S5 {t t 0}. 其中t表示灯泡的使用寿命
注 1. 试验不同, 对应的样本空间一般不同. eg S={H,T} 可以作为抛掷硬币试验的样本空间
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第1章 概率论基础
1.1 随机试验与样本空间
1.1.1 随机试验
客观世界中存在着两类现象: 必然现象 随机现象
概括许多内容大不相同的实际问题.
例如 只包含两个样本点的样本空间
Ω {H, T }
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的 模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的 模型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排
队的模型等.
1.1.2 样本空间
在具体问题的 研究中 , 描述随机 现象的第一步就是 建立样本空间.
在一定条件下必然出现的现象，
称为必然现象；
实例: “太阳从东边升起” “水从高处向低处流” “同性电荷互斥”
1.1.1 随机试验
必然现象的特征
条件完全决定结果
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 称为随机现象. 实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况. 结果有可能出现正面也可能出现反面.
1827 ） 、 高 斯 （ Gauss, 德 ,1777-1855 ） 和 泊 松
（Poisson,法,1781-1840）等一批数学家对概率论作 了奠基性的贡献．
【概率论简史】
1812年，拉普拉斯所著《概率的分析理论》实现了
从组合技巧向分析方法的过渡，开辟了概率论发展的
新时期．
19世纪后期，极限理论的发展成为概率论研究的中 心课题，是概率论的又一次飞跃，为后来数理统计的 产生和应用奠定了基础．契比谢夫（Chebyhev，俄， 1821-1894）对此做出了重要贡献．他建立了关于独立
(2) 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶 然性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具 有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象 规律性的一门数学学科. 如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?
1.1.1 随机试验
概率论中把满足以下特点的试验称为随机试验：
1.1.2 样本空间
关于样本空间的几点说明：
(1) 样本空间中的元素可以是数也可以不是数；
(2) 样本空间中的样本点可以是有限多个的， 也可以是无限多个的．仅含两个样本点的样本空 间是最简单的样本空间．
Байду номын сангаас
1.1.2 样本空间
说明
(3) 建立样本空间,事实上就是建立随机现 象的数学模型. 因此 , 一个样本空间可以
1.1.1 随机试验
实例2
用同一门炮向同
一目标发射同一种炮弹多
发 , 观察弹落点的情况.
结果: 弹落点会各不相同. 实例3 抛掷一枚骰子,观 结果有可能为:
察出现的点数. 1, 2, 3, 4, 5 或 6.
1.1.1 随机试验
实例4
从一批含有正品
其结果可能为:
和次品的产品中任意抽取
一个产品.
正品 、次品.
科，20世纪以来，广泛应用于工业、国防、国民
经济及工程技术等各个领域．本章介绍随机事件 与概率、古典概型与几何概型、条件概率与乘法
公式等概率论中最基本、最重要的概念和概率计
算方法．
【概率论简史】
概率的概念形成于16世纪，与用投掷骰子的方法 进行赌博有密切的关系． 1654年，一个名叫德梅尔（De Mere，法）的赌 徒就“两个赌徒约定赌若干局，且谁先赢c局便算赢 家，若在一赌徒胜a局（a<c），另一赌徒胜b局（b<c） 时便终止赌博，问应如何分赌本”为题求教于数学家 帕斯卡（Pascal，法，1623-1662），帕斯卡与费玛 （Fermat，法，1601-1665）通信讨论了这一问题， 并用组合的方法给出了正确的解答．
☺课堂练习
写出下列随机试验的样本空间. 1. 同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和. 2. 生产产品直到得到10件正品,记录生产产品 的总件数. 答案
1. Ω {3, 4, 5, , 18}. 2. Ω {10, 11, 12, }.
概率论与数理统计
第1章 概率论基础
1.1 随机试验与样本空间 2.2 随机事件及其概率 3.3 古典概型与几何概型 3.4 条件概率与乘法公式 3.5 全概率公式和贝叶斯公式
3.6 独立性
3.7 Excel数据分析功能简介
第1章 概率论基础
概率论是从数量化的角度来研究现实世界中一
类不确定现象（随机现象）规律性的一门数学学
【概率论简史】
1657年惠更斯（Huygens，荷，1629-1695）发
表的《论赌博中的计算》是最早的概率论著作，论著
中第一批概率论概念（如数学期望）与定理（如概率
加法、乘法定理）标志着概率论的诞生． 18世纪初，伯努利（Bernoulli,法,1700-1782）, 棣莫弗（De.Moivre,法,1667-1754）、蒲丰（Buffon, 法 ,1707-1788 ） 、 拉 普 拉 斯 （ Laplace， 法 ， 1749-
(1) 可以在相同条件下重复进行；
(2) 每次试验的可能结果不止一个，并且能事 先明确试验的所有可能结果；
(3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会 出现． 随机试验通常用大写字母E表示．
1.1.1 随机试验
说明 随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包 括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行 的 “调查”、“观察”或 “测量” 等.
随机变量序列的大数定律，推广了棣莫弗—拉普拉斯
的极限定理．契比谢夫的成果后被其学生马尔可夫发 扬光大，影响了20世纪概率论发展的进程．
【概率论简史】
1933 年 ， 柯 尔 莫 哥 洛 夫 （ Kolmogorov ， 俄 ， 1903-1987）在他的名著《概率论基础》一书中，提 出了概率公理化定义，并得到数学家们的普遍承 认．公理化体系给概率论提供了一个逻辑上的坚实基 础，使概率论成为一门严格的演绎科学，取得了与其 他数学学科同等的地位，并通过集合论与其他数学分 支紧密联系起来．
1.1 随机试验与样本空间
1.1.2
样本空间
定义1.1 随机试验的一切可能基本结果组成 的集合称为样本空间，记为 = { }，其中 表 示基本结果，又称为样本点． 研究随机现象首先要了解它的样本空间． 【例1.1】下面给出几个随机试验的样本空间． “抛一枚硬币观察哪一面朝上”：
1 = {正面，反面}．
实例5
过马路交叉口时,
可能遇上各种颜色的交通
指挥灯.
1.1.1 随机试验
实例6
出生的婴儿可
能是男,也可能是女. 实例7 明天的天气可
能是晴 , 也可能是多云 或雨. 随机现象的特征 条件不能完全决定结果
1.1.1 随机试验
说明 (1) 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性
联系 , 其数量关系无法用函数加以描述.
1.1.2 样本空间
“抛一颗骰子观察朝上一面的点数”：
2 = {1，2，3，4，5，6}．
“某品牌电视机的寿命”：
3 = {t | t 0}．
“110每天接到的报警次数”：
4 = {0，1，2，…}．
“圆心在原点的单位圆内任取一点”：
5 = {(x，y) | x2 + y2 1}．