等效单摆

“等效单摆”周期的求解

浙江省苍南县灵溪第三高级中学 李求龙 （325800）

效单摆”的种类繁多，但由单摆的周期公式g

L

T π

2=可知，一般的等效单摆

实质上是改变摆长，或者是改变重力加速度，或者是同时改变摆长和重力加速度的情形。故等效单摆的周期公式*

*=g L T π

2，式中L*为等效摆长， g *为等效（类）重力加

速度。

我们要理解摆长L*是从悬点（静止）或系统中的质心（定点）算起；g *为等效（类）重力场中的等效（类）重力加速度，g *的大小和方向是恒定不变的。 一、 等效摆长L*： 1、 单线摆摆长的改变

例1、 如图所示，长为L 的单摆，如果在O 点的正下方L 43处的B 点固定一个光滑的钉子，使摆球A 通过最低点向右摆动，悬线被钉子挡住成为一个新的单摆，则这个单摆的振动周期是多少？（已知摆角θ<50） 解：其周期应是摆长为L 的单摆的周期T 1的一半与摆长为L 41的

单摆的周期T 2的一半之和。即

g l

T π21=

g

l

T 422π

=

g

l

T T T π232

2

1==

+

2、多线摆（双线摆、三线摆、四线摆等）

例2、 如图2所示，三线长均为L ，BC 、BD 线拴在天花板上，两

线与天花板的夹角均为θ，AB 线的下端拴上小球，现使球在垂直于纸面做小角度摆动，问此摆的周期。 解：此摆动方向在前后的竖直平面内，故该摆的等效摆长为OA 的 长即：

L*=（1+sinθ）L ，

周期为

g

L

g L T )sin 1(22θπ

π

+==*

*

3、单线连接的两球摆

例3、如图3所示，A 、B （m A = 3m 、m B =m ）两球作长为L 的细线相连，A 球穿过光滑的水平横杆且可以自由滑动，求此摆的周期？（振幅很小）

解：由于两球在摆动过程中沿水平方向所受的外力之和为零，故该系统有一定点

O （质点）是不变的，故O 点相当于摆的悬点，则求摆长就容易。 由水平方向的动量守恒得： ∵m A v A =m B v B

“等

图2

图1

∴3mv A =mv B

v A 、v B 分别是两球回到平衡位置时的速率，而周期T A =T B ，即

B

A

k m k m π

π

223= 据简谐运动的能量公式

221

2

21221221kA

mv kx mv E E E m P K ==+=+= 有2

21

2

213A

A A A k mv = 又2

21

2

21B

B B A k mv = 由上各式得

3

1=

B

A

A A

A A 或A

B 为振幅，由三角形相似有

L

L L L L A A B

A 4

3)(='=

'-

故该摆的周期为

g

L g

L B A T T 32π

π

==='

从种种摆长变化来看，将各种摆等效成一单线摆，确定摆动过程中系统中哪一点是固定的这点就相当于悬点，再确定摆球质心到悬点的距离，便可确定等效摆长，从而确定该摆运动的周期。 二、 等效重力加速度g *

m

F g *=

*、在某种物理条件下，让摆球在平衡位置静止，摆球所受的各力中去

掉悬绳的作用力，剩下各力沿绳方向合力即为F*，并且F*提供了简谐运动的回复力。

1、在加速的系统中：摆球所受的各力中包括惯性力，惯性力的大小F'= m a'，方向和a 的方向相反，此时对单摆受分析时，惯性力要看成一个独立存在的力。 例3、 如图4所示，一单摆在竖起向上的匀加速系统中（加速度为a ），求此单摆的

振动周期？ 解：如图4（a ）所示，摆球受到绳的拉力F T ，惯性力F '，重力G ，去掉绳的拉力F T ，如图4（b ）所示则摆球还受两个力G 和F '，这两个力在平衡位置沿绳方向的合力为

F*= G + F ' = m （g +a ）

图3

图4

∴

a

g L g L m

F T a

g g +*

*==+==

*π

π22

例5、如图5所示，一单摆在水平向右的匀加速系统内，单摆的摆长为L ，系统水平方向加速度为a ，求此单摆的振动周期？ 解：如图4（a ）所示摆球受到绳的拉力F T ，惯性力

F '，重力

G ，去掉绳的拉力F T ，如图4（b ）所示则摆

球还受两个力G 和F '，这两个力在平衡位置沿绳方向

的合力为

2

2

22222222a g L g L

T a g g a g m F G F +*

==∴+=*+='+=*π

π

2、 带电摆球在电场、磁场和重力场的复合场中运动，要弄清电场力或磁场力是否恒定不变（是否有提供回复力）。

例6、如图6所示，摆球的质量为m ，摆长为L ，若摆球的带电量为+q ，且在单摆的悬点处放一带电量为+Q 的点电荷，试求单摆的振动周期？ 解：本题中的带电摆球在重力场和电场的复合场中运动时，摆球在运动中的每个位置处所受的电场力是变化的（F 电的大小不变，

方向始终随线方向的变化而变化），故其不能合成一恒定不变的类

重力加速度g *。分析可知此电场力始终沿绳方向不提供回复力，

只有重力沿圆弧切线的分力提供摆球运动的回复力。故g *= g 。

g

L g L T π

π

22==*

*

例7、如图7所示，摆球的质量为m ，摆长为L ，若摆球的带电量为+q ，且单摆处在竖直向下电场强度为E 的匀强电场中，试求单摆的振动周期？

解：摆球受到绳的拉力F T ，电场力F 电，重力G ，去掉绳的拉力F T ，则摆球还

受两个力G 和F 电（均为恒力），这两个力在平衡位置沿绳方向的合力

为

F= G + F 电 = mg +qE

m

qE g L g L m

qE m

F

T g g +*

*==+

==*∴:22π

π

图7

（b ）

a 图5

图6

O