第一章 1.2.4诱导公式(二)

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1.2.4（二）
根据任意角的三角函数的定义推导诱导公式五．
∵sin α＝y，cos α＝x， π π sin2－α＝x，cos2－α＝y， π π ∴sin2－α＝cos α，cos2－α＝sin α. 答 由同角三角函数基本关系式得 π π tan2－α＝cot α，cot2－α＝tan α.
小结 利用诱导公式四和诱导公式五求值时，要注意沟通已知 π π π 条件中的角和问题结论中角之间的联系，注意 6 ＋α与 3 －α， 4 π －α与 ＋α等互余角关系的识别和应用． 4
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1.2.4（二）
跟踪训练1
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π 已知sin6＋α＝
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探究点三 诱导公式的理解、记忆与灵活应用
1.2.4（二）
公式一～三归纳：α＋2kπ(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等 于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数
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值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”． π 公式四～五归纳： ± α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦 2 (正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号， 简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、 符号象限定”． π 五组诱导公式可以统一概括为“k· ± α(k∈Z)”的诱导公式．当k 2 为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变；然后前 面加一个把α视为锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“奇变偶 不变，符号看象限”．请你根据上述规律，完成下列等式：
α； α；
α.
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[典型例题] 例1
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π 3 π 2π 3π 已知cosα＋6＝ ， ≤α≤ ，求sinα＋ 3 的值． 2 5 2
π π 2π 解 ∵α＋ ＝α＋6＋ ， 3 2 π π π 3 2π ∴sin(α＋ )＝sin α＋6＋2＝cosα＋6＝ . 3 5
1.2.4（二）
1.2.4 诱导公式(二)
【学习要求】 1．掌握诱导公式四、五的推导，并能应用解决简单的求值、化简 与证明问题． 2．对诱导公式一至五，能作综合归纳，体会出五组公式的共性与 个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力． 3．继续体会知识的“发生”、“发现”过程，培养研究问题、发 现问题、解决问题的能力． 【学法指导】 五组诱导公式可以概括为一句口诀： “奇变偶不变， 符号看象限”， π 即诱导公式左边的角可统一写成 k·± α(k∈Z)的形式，当 k 为奇数 2 时公式等号右边的三角函数名称与左边的三角函数名称正余互变， 当 k 为偶数时，公式符号右边的三角函数名称与左边一样；而公式 π 右边的三角函数之前的符号，则把 α 当成锐角，看 k·± 为第几象 α 2 限角.
sin2αcos αsin α ＝ －cos αsin2αcos α sin α ＝－cos α＝－tan α.
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例3 已知sin(5π－θ)＋sin cos
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43
1.2.4（二）
7 4 π ＝ ，求sin 2－θ ＋ 2
5 π－θ 2
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1.2.4（二）
点 M 关于 y 轴的对称点为 N，点 N 也在单位圆上，且 N 点坐 标为 (－sin α，cos α) ． 另一方面，点 P 经过以上两次轴对称变换到达点 N，等同于点
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P 沿单位圆旋转到点 N，且旋转角的大小为∠PON＝2(∠AOM π π π ＋∠MOB)＝2× ＝ .因此点 N 是角 α＋2 与单位圆的交点， 4 2 π π cosα＋ ，sinα＋ 2 2 . 点 N 坐标为 π π 所以，有 cosα＋2＝ －sin α ，sinα＋2 ＝ cos α ， π π 从而，tanα＋2 ＝ －cot α ，cotα＋2 ＝ －tan α .
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3 sin2π－α＝ －cos 3 sin2π＋α＝ －cos 3 α ，cos π－α＝ 2 3 α ，cos π＋α＝ 2
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－sin α ， sin α .
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你能根据相关的诱导公式给出上述等式的证明吗？
证明
3 π π sin2π－α＝sinπ＋2－α＝－sin2－α＝－cos
α；
3 π π cos2π－α＝cosπ＋2－α＝－cos2－α＝－sin 3 π π sin2π＋α＝sinπ＋2＋α＝－sin2＋α＝－cos 3 π π cos2π＋α＝cosπ＋2＋α＝－cos2＋α＝sin
π 从而：tan2－α＝
cot α
π ，cot2－α＝ tan
α .
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π 方法2：如图，设角α与 －α的终边分别与单位 2 π 圆交于点P与P′，因为角α与 －α的终边关于 2 直线y＝x对称，若设P(x，y)，则P′(y，x)．
3 π 2sinθ－2πcosθ＋ 2－1 tan9π＋θ＋1 求证： ＝ . 3 tanπ＋θ－1 1－2cos2θ＋2π
3 －2sin2π－θ－sin
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θ－1
证明 ∵左边＝
1－2sin2θ θ－1
探究点一
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诱导公式四
(1)公式内容： π π π sin2＋α＝cos α，cos 2＋α＝－sin α，tan 2＋α＝－cot α， π cot2＋α＝－tan α. (2)公式推导： 如图所示，设角 α 的终边与单位圆交于点 P，则 点 P 的坐标为 (cos α，sin α) ． 点 P 关于直线 y＝x 的对称点为 M，点 M 也在单 位圆上，且 M 点坐标为 (sin α，cos α) ．
＝
π －2sinπ＋2－θ－sin
1－2sin2θ
π 2sin2－θ－sin
θ－1
＝
1－2sin2θ －2sin θcos θ－1 ＝ 2 sin θ＋cos2θ－2sin2θ
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sin θ＋cos θ2 sin θ＋cos θ ＝ ＝ sin2θ－cos2θ sin θ－cos θ tan θ＋1 右边＝ tan θ－1 sin θ ＋1 sin θ＋cos θ cos θ ＝ ＝ . sin θ sin θ－cos θ －1 cos θ ∴左边＝右边，故原等式成立．
π 3 ，求cosα－3的值． 3
π π π π 解 ∵cosα－3＝cos3－α＝cos2－6＋α π 3 ＋α＝ ＝sin 6 . 3
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例2

π＋θ的值． 2
5 解 ∵sin(5π－θ)＋sin2π－θ π ＝sin(π－θ)＋sin2－θ
7 ＝sin θ＋cos θ＝ 2 ， 1 ∴sin θcos θ＝2[(sin θ＋cos θ)2－1] 3 1 72 ＝2 －1＝8， 2
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1.2.4（二）
3 3 3 3 π 跟踪训练3 已知sin(θ－ π)＋cos 2π＋θ ＝ ，求sin 2＋θ － 2 5 33π cos 2 －θ.
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π －sin α－cos α－sin αcos5π＋2－α 解 原式＝ π －cos αsinπ－α[－sinπ＋α]sin4π＋2＋α π 2 －sin αcos α－cos2－α ＝ π －cos αsin α[－－sin α]sin2＋α
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探究点二 诱导公式五
1.2.4（二）
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(1)公式内容： π π sin2－α＝cos α，cos2－α＝sin α， π π tan2－α＝cot α，cot2－α＝tan α. (2)公式推导： 方法1：利用公式二和公式四可得： π π sin2＋－α ＝ cos(－α) ＝ cos α ， sin2－α＝ π π cos2＋－α －α＝ ＝ －sin(－α) ＝ sin α ， cos 2
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填一填·知识要点、记下疑难点
1.2.4（二）
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1．诱导公式四～五 π π (1)公式四：sin2＋α＝ cos α ，cos2 ＋α＝ －sin α ， π π tan2＋α＝ －cot α ，cot2＋α＝ －tan α . 以－α 替代公式四中的 α，可得公式五． π π (2)公式五：sin2－α＝ cos α ，cos2 －α＝ sin α ， π π tan2－α＝ cot α ，cot2－α＝ tan α .
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1.2.4（二）
∴sin
4π

43 －θ＋cos π＋θ＝cos4θ＋sin4θ 2 2
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＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ 3 23 2 ＝ . ＝1－2× 8 32
小结 解答本题时，应先利用诱导公式将已知式子和所求式分 别化简，再利用sin θ± θ与sin θcos θ之间的关系求值． cos
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1.2.4（二）
2．诱导公式四～五的记忆 π π ＋α， －α 的三角函数值，等于 α 的 异名 三角函数值，前 2 2
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面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的 符号 ，记忆口诀为 “函数名改变，符号看象限”.
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1.2.4（二）
1.2.4（二）
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小结 三角函数恒等式的证明过程多数是化简的过程，一般是 化繁为简，可以化简一边，也可以两边都化简，同时注意诱导 公式的灵活应用，避免出现符号错误．
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1.2.4（二）
跟踪训练2
π 11 sin2π－αcosπ＋αcos2＋αcos 2 π－α 9 . cosπ－αsin3π－αsin－π－αsin2π＋α