量子力学1-2

对自由粒子，通过Fourier变换，可以得到
(r , t )
1 3 3 ip( r r ') / iEt / d r ' d pe (r ' ,0) 3 (2) 这样，体系的初始状态 (r ,0)完全决定了 以后任何时刻t的状态 (r , t )
(r )T (t )


左右两边同除 得
dT (t ) 1 1 ˆ i H (r ) dt T (t ) (r )

左端为粒子总几率在单位时间的增量， 矢量 j 是几率流密度矢量。
(12), (15)是几率守恒的积分表达式。
15
利用给出的几率密度和几率流密度的表达
* 2 式，方程 i ( ) ( * * ) t 2m 可以写为 j 0 t
（11）
在闭区域

中积分，根据Gauss公式：
矢量散度的体积分等于矢量的面积分，有
2 i *d ( * * ) dS t 2m S 其中S 是 的表面
（12）
13
* 令 (r , t ) (r , t ) (r , t ) 几率密度 i j (r , t ) ( * * ) 2m 1 ˆ ˆ ( * p p * ) 几率流密度 2m
2 2 ( x, t ) i ( x, t ) t 2m x 2
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（3）有势场中粒子的薛定谔方程 ①一维有势场V(x,t) 中的粒子
Px2 E V ( x, t ) 2m
•经典关系式
•替换后关系式
ˆ Px2 ˆ E V ( x, t ) 2m
• 令其作用于波函数 ( x, t ) •得到一维有势场中粒子满足的薛定谔方程 2 2 V ( x, t )] ( x, t ) i ( x, t ) [ 2 t 2m x
薛定谔方程为
ˆ (r,t) i (r ,t ) H t
﹟
10
§1.2.2 Schrö dinger方程的讨论
（1）定域几率守恒和流方程 Schrö dinger方程是非相对论量子力学的基 本方程，而在低能非相对论时，粒子没有产 生、湮灭，所以粒子数是守恒量。 对于单粒子而言，几率之总和恒定，即
定义
则有
* (r , t ) (r , t ) (r , t ) 1 * ˆ p * ) ˆ j (r , t ) ( p 2m j 0 t
概率守恒的表达：
d (r , t )d 0 dt V
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5)初值问题：
( p)正是 (r ,0)的Fourier 展开的振幅，它 并不依赖于t。
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代入 (r , t )即得 1 3 3 ip( r r ') / iEt / (r , t ) d r ' d pe (r ' ,0) 3 (2) 2 式中E p / 2m(自由粒子）。 这样，体系的初始状态 (r ,0)完全决定了 以后任何时刻t的状态 (r , t ) ﹟
作业： P24 Ex. 1.1, 1.4
20
上式之逆变换为 1 ipr / 3 ( p) (r ,0)e dr 3/ 2 (2)
上次课复习：
1)力学量平均值公式：
ˆ 3 A (r ) A (r )d r ˆ (r ), A (r )
*


其中波函数是归一化的。 2)波函数的标准条件： 单值、有限（归一）、连续 3)薛定谔方程的建立： 先写出经典能量方程
P2 E V (r , t ) 2m
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2 2 i (r , t ) V (r ,t ) (r, t) t 2m ˆ i (r , t ) H (r, t) t 4)流体的连续性方程：
（1）自由粒子满足的方程 已经知道，自由粒子波函数是单色平面波
i ( Px x E t) Ae
( x,t )
薛定谔给出自由粒子波函数满足的微分方程是
2 2 i ( x, t ) ( x, t ) 2 t 2m x
同学们可以将波函数代入，验证该方程
可以与经典的波动方程比较形式的不同
薛定谔方程是非相对论量子力学的基本方程 它不是推出来的。 是量子力学的基本假设。
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(4)用哈密顿量表示薛定谔方程
2 2 V (r , t )] (r, t) i (r , t ) [ t 2m
引人哈密顿量
2 2 ˆ V (r ,t ) H 2m
仍然满足方程
2 2 ( x, t ) i ( x, t ) t 2m x 2
所以上述方程是任何自由粒子的波函数都满 足的方程。
5
（2） 写薛定谔方程的简单方式 自由粒子波函数 ( x,t )
i ( Px x E t) Ae
微分
( x,t ) i － E ( x,t ) t
2
经典波动方程
y A cos[ (t )]
令
x
y x V A sin[ (t )] t y x L A sin[ (t )] x
y y v t x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

则有
与上述Schrö dinger方程比较,可以发现其不同.
3
描述自由粒子一般状态的波函数具有波包的 形式，可以视为许多平面单色波的叠加，即 i ( pr Et ) / 3 1 (r , t ) ( p )e d p 3/ 2 (2) p2 式中 E 2m 容易证明 1 i ( pr Et ) / 3 i ( p) Ee d p 3/ 2 t (2) 2 i ( pr Et ) / 3 1 2 2 ( p) p e d p 3/ 2 (2) 从而有
注意到
i E t
( x,t ) i Px ( x,t ) x
i Px x
Px2 2 x
2 2
2 ( x,t ) Px2 2 ( x,t ) x2
替换关系
6
写出薛定谔方程的基本过程 •写出非相对论经典粒子能量动量关系式 2 Px 如自由粒子 E＝ 2m •将替换关系代入 2 2 写成 i 2 t 2m x •令上述关系作用于波函数 ( x, t ) •得到自由粒子满足的薛定谔方程
（10）
* 左乘（8）- 左乘（10），有
* 2 * 2 i ( ) 2 * t 2m 2 ( * * ) 2m


（11）
12
对刚才所得方程
* 2 i ( ) ( * * ) t 2m
代入
2 * * * i d ( ) dS t 2m S
可得
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dS
二者之间的关系可以表示为
d (r , t )d - j dS dt S
（15）
S
τ
右端则表示单位时间内通过 的封闭表面 S 而流入 内的几率，
2 3 d | (r , t ) | d r 0 dt
11
验证： 对Schrö dinger方程
2 2 V (r ,t )] (r ,t ) i (r ,t ) [ t 2m 取复共轭，有
（8）
2 2 * * i (r , t ) V (r ) (r , t ) t 2m
流体连续性方程
2 * * * 对方程 i d ( ) dS t 2m S
令 （V全部），由于波函数平方可积， 则 ~ r (3 / 2 s ) , s 0, 代入上式，可知右端→0 所以
16
d (r , t )d 0 dt V
即归一化不随时间变化, 粒子既不产生, 也不湮灭
几率守恒.
几率守恒具有定域性质。一处几率减 少必然伴随着另一处几率增加，并伴有 几率流存在。
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（2）初值问题 由于Schrö dinger方程只含时间的一次微商， 只要在初始时刻 (t=0) 体系的状态ψ(r,0)给 定，则以后任何时刻的状态ψ(r,t)原则上就 完全确定了。 一般情况下这个初值问题不易求解，但对 于自由粒子可以给出严格的解。
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已经知道，如下形式的解
(r , t )
i ( pr Et ) / 3 1 ( p )e d p 3/ 2 (2)
满足自由粒子的Schrö dinger方程。
(r , t )的初态波函数为
(r ,0)
ipr / 3 1 ( p )e d p 3/ 2 (2)
4
2 2 1 p 2 i ( pr Et ) / 3 i d p t 2m (2)3 / 2 ( p) E 2m e
0
即波包
(r , t )
i ( pr Et ) / 3 1 ( p )e d p 3/ 2 (2)
2 2 ˆ V (r ) 不显含时间 则哈密顿量 H 2m
这时波函数就可分离变量求解
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波函数写成
(r , t ) (r )T (t )
ˆ (r,t) 将其代入 i (r ,t ) H t
得
dT (t ) ˆ (r ) T (t ) i (r ) H dt
物理上通过解方程得到波函数 下面需要回答的问题是: 怎么解薛定谔方程?物理上波函数一般形式?
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怎么解方程？ 波函数ψ(r,t)是位置 r 和时间 t 变量的函数 数学上好用的办法是分离变量求解 物理问题通常都满足分离变量的条件 当粒子在一个与时间无关的有势场中运动 时,
即 V V (r ) 与时间 t 无关
§1.2 Schrö dinger方程
薛定谔方程是非相对论微观粒子的基本方 程----量子力学的又一基本假设，地位同经典 物理的牛顿定律。
薛定谔 Erwin Schrö dinger 奥地利人 1887-1961 创立量子力学 获1933年诺贝尔物理学奖
1
§1.2.1 Schrödinger方程的引进
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②三维有势场中粒子的薛定谔方程
i ( 2 2 2 ) V (r , t ) t 2m x y z
2 2 2 2
利用
2 2 2 2 2 2 2 x y z
2 2 V (r , t )] (r, t) 写为 i (r , t ) [ t 2m
然而在一般情况下，由初始态求任意时刻 的状态是不容易的。
有种特殊情况可以用分离变量法求特解。
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§1.2.3 能量本征值方程
有势场中粒子的薛定谔方程是
其中
ˆ (r,t) i (r ,t ) H t 2 ˆ 2 V (r ,t ) 是哈密顿量 H 2m