线性规划数学模型

矩阵对策数学模型
矩阵对策就是二人有限零和对策，指的是参加对策的 局中人只有两方，每个局中人都只有有限个策略可供选择。 在任一局势下，两个局中人的赢得之和总是零，即一方局 中人的收入总等于另一方的支付，这表明双方的利益是激 烈对抗的。
用甲、乙表示局中人双方。假设局中人甲有m个策略 (纯策略)，分别以α1，α2，…… αm表示，局中人乙有n个策 略(纯策略) ，分别以表β1，β2 ，…… βn示，则局中人甲乙 的策略集分别为：
✓当各局中人得失的总和为零时，称这类对策为零和对 策，否则称为非零和对策。
✓零和对策中存在两个局中人，其中一个局中人的支出 或损失恰好等于另一局中人的收入或赢得。
✓二人零和对策双方的得失用矩阵形式表示，通常称为 支付矩阵，二人零和对策也被习惯地称为矩阵对策。
对策问题举例
✓ 市场购买力竞争问题 ✓ 销售竞争问题 ✓ 费用分摊问题 ✓ 拍卖问题
引例
在社会生活中，经常碰到各种各样具有竞争或利益相 对抗的活动，如下棋、打扑克、为争夺市场开展的广告战、 军事斗争中双方兵力的对垒等，竞争的各方总是希望击败 对手，取得尽可能好的结果。竞争各方都想用自己最好的 战术去取胜，这就是对策现象。
对策现象实际上是一类特殊的决策，在不确定型的决 策分析中，决策者的对手是“大自然”，它对决策者的各 种策略不产生反应，更没有报复行为。但在对策现象中， 代替“大自然”的是有理智的人，因而任何一方做出决定 时都必须充分考虑其他对手可能作出的反应。我国历史上 齐王和田忌赛马的故事，生动的说明研究对策问题的意义。
引例
囚徒困境： 甲、乙两个人一起携枪准备作案，被警察发现抓了起来。如果两个人 都不坦白，警察会以非法携带枪支罪而将二人各判1年；如果其中一 人招供而另一人不招，坦白者作为证人将不会被起诉，另一人将会被 重判15年；如果两人都招供，则两人都会因罪名各判10年。这两个囚 犯该怎么办？ 斗鸡博弈： 两只斗鸡遇到一起，每只斗鸡都有两个行动选择：一是退下来，一是 进攻。如果一方退下来，而对方没有退下来，对方获得胜利，这只公 鸡则很丢面子；如果对方也退下来，则双方打个平手；如果自己没退 下来，而对方退下来，自己则胜利，对方则失败；如果两只公鸡都前 进，那么则两败俱伤。这两只公鸡该怎么办？
a1n
a2
n
M
amn
为局中人甲的赢得矩阵(或为局中人乙的支付矩阵)。
当局中人甲、乙和策略集S甲、 S乙及局中人的赢得矩阵A确定后， 一个矩阵对策也就给定了。通常将一个矩阵对策记成：
G={甲，乙； S甲， S乙；A}或G={S甲， S乙；A}
矩阵对策数学模型
齐王赛马中齐王的赢得如下表
田忌策略 [β1]
- 6 1 - 8
A
=
3 9
2
4
-1 -10
- 3 0
6
矩阵对策的解与对策值
1.求对策问题的解是建立在以下假设基础上 ✓ 每个局中人对双方拥有的全部策略及当各自采 取某一策略时的相互得失有充分了解； ✓ 对策的双方是理智的，他们参与对策的目的是 力图扩大自己的收益，因而总是采取对自己有 利的策略； ✓ 双方在相互保密的情况下选择自己的策略，并 不允许存在任何协议。
[β2]
[β3]
[β4]
[β5]
[β6]
齐王策略
(上,中,下) (上,下,中) (中,上, 下) (中,下,上) (下,中,上) (下,上,中)
α1(上,中,下)
3
1
1
1
1
-1
α2(上,下,中)
1
3
1
1
-1
1
α3 (中,上, 下)
1
-1
3
1
1
1
α4 (中,下,上)
-1
1
1
3
1
1
α5 (下,中,上)
1
产生与发展
✓ 1944年，冯诺依曼与曼彻斯特发表了题为《对策论和经 济行为》。
✓ 50年代是对策论发展的鼎盛时期，纳什和夏普利等提出 了讨价还价模型和合作对策的“核”的概念。同时，非 合作对策也开始创立。
✓ 纳什于1950和1951年发表了两篇关于非合作对策的文章， 图克于1950年定义了“囚徒困境”问题。
矩阵对策的解与对策值
2.对策问题中，任何一方对对方在下次行动中准备采取的 策略可以说是一无所知，双方处于完全对抗的环境中，因 而各自都采取保守的态度，从最坏处着眼，并力争较好的 结局。 3.对策问题的解：对策双方遵循的对局中人A是最大最小 准则，对局中人B则是最小最大准则，相应于这种准则下 的对策双方各自采取的策略，称为对策问题的解。 4.对策值：双方采取上述策略，连续重复进行对策，其输 赢的平均值称为相应对策问题的对策值，通常用v表示。
✓ 60年代，泽尔腾(1965)引入动态分析，提出“精练纳什 均衡”概念。海萨尼(1967-1968)则把不完全信息引入对 策论的研究。
对策的基本要素
局中人：在一个对策行为中，有权决定自己行动方案 的对策参加者。
✓ 它可是一个人，也可以是一个集团 ✓ 局中人必须是有决策权的主体，而不是参谋或
从属人员 ✓ 局中人可以有两方，也可以有多方 ✓ 当存在多方的情况下，局中人之间可以有结盟
1
-1
1
3
1
α6 (下,上,中)
1
1
1
-1
1
3
3 1 1 1 1 -1
1
3
1
1
-1
1
A
=
1 - 1
-1 1
3 1
1 3
1 1
1
1
1 1 -1 1 3 1
1 1 1 -1 1 3
矩阵对策的解与对策值
设有一矩阵对策G={S甲，S乙；A}，其中S甲={α1，α2，α3，α4}， S乙 ={β1 ， β2 ， β3 }
S甲={α1，α2，……，αm} S乙={β1，β2 ，…… ，βn }
矩阵对策数学模型
当局中人甲选定策略αm和局中人乙选定策略βn后，就形成了一 个纯局势(αi，βj)。对任一纯局势(αi，βj)，记局中人甲的赢得值为aij ， 并称
a11 a12 L
A
=
Байду номын сангаас
a21 M
a22 M
L L
am1 am2 L
和不结盟之分
对策的基本要素
策略：在一局对策中，把局中人的一个可行方案称为 它的一个策略，把局中人的策略全体叫做策略集。
✓ 这个方案必须是一个独立的完整的行动，而不 能是若干相关行动中的某一步；
✓ 一个局中人可以拥有多个策略； ✓ 一个局中人所拥有的策略的总和构成该局中人
的策略集。
对策的基本要素
局势：当每个局中人从自己的策略集中选择了一个策略组 成的策略组就称为一个局势。 支付(赢得)：局势出现后，对策的结果也就确定了，对任 一局势，任一局中人都有一个支付值。显然，支付是局势 的函数，该函数称为支付函数或赢得函数。