高一基本不等式讲义

(当且仅当 a b 时取“=” ）
若 x 0 ，则 x 1 2即x 1 2或x 1 -2 x x x 5.若 ab 0 ，则 a b 2 b a 若 ab 0 ，则
(当且仅当 a b 时取“=” ） (当且仅当 a b 时取“=” ）
a b a b a b 2即 2或 -2 b a b a b a
变式：1.已知 a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求 a＋b 的最小值。 2.若直角三角形周长为 1，求它的面积最大值。
3
技巧九、取平方 5、已知 x，y 为正实数，3x＋2y＝10，求函数 W＝ 3x ＋ 2y 的最值. a＋b a 2＋b 2 解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系， ≤ ，本题很简单 2 2 3x ＋ 2y ≤ 2 （ 3x ）2＋（ 2y ）2 ＝ 2 3x＋2y ＝2 5
1 1 1 1 1 1 8 a b c
1）正数 a，b，c 满足 a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc 例 6：已知 a、b、c R ，且 a b c 1。求证：

分 析 ： 不 等 式 右 边 数 字 8 ， 使 我 们 联 想 到 左 边 因式 分 别 使 用 均 值 不 等 式可 得 三 个 “ 2 ” 连 乘 ， 又
应用四：均值不等式与恒成立问题
例：已知 x 0, y 0 且
1 9 1 ，求使不等式 x y m 恒成立的实数 m 的取值范围。 x y 1 9 x y 9x 9 y 10 y 9 x 1 ， 1. 1 x y kx ky k kx ky
2
1
因 t 0, t 1 ，但 t 解得 t 1 不在区间 2, ，故等号不成立，考虑单调性。 因为 y t 在区间 1, 单调递增，所以在其子区间 2, 为单调递增函数，故 y 所以，所求函数的值域为 , 。 练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.
ab 的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等 ab（a, b R ） 2

（a, b R ） 式 ab a 2b 30 出发求得 ab 的范围，关键是寻找到 a b与ab 之间的关系，由此想到不等
式
ab ，这样将已知条件转换为含 ab 的不等式，进而解得 ab 的范围. ab（a, b R ） 2

变式： （1）若 x, y R 且 2 x

y 1 ，求 1 1 的最小值
x y
(2)已知 a, b, x, y R 且 a b 1 ，求 x x y
y 的最小值
y2 技巧七、已知 x，y 为正实数，且 x 2＋ ＝1，求 x 1＋y 2 的最大值. 2 a 2＋b 2 分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式 ab≤ 。 2 同时还应化简 1＋y 2 中 y2 前面的系数为 下面将 x， 1 y2 ＋ 2 2 1 ， 2 x 1＋y 2 ＝x 1＋y 2 2· ＝ 2 x· 2 1 y2 ＋ 2 2
1 1 a b c 2 bc，可由此变形入手。 1 a a a a
解： a、b、c R ， a b c 1。 上述三个不等式两边均为正，分别相乘

1 2 ac 1 1 1 a b c 2 bc 2 ab 。同理 1 ， 1 。 1 b b a a a a c c
均值不等式应用（技巧）
一．均值不等式 1. （1） 若 a, b R ， 则 a 2 b 2 2ab
2. (1)若 a, b R * ，则
2 2 (2)若 a, b R ， 则 ab a b （当且仅当 a b 时取 “=” ）
2
ab ab 2
2
(2)若 a, b R * ，则 a b 2 ab （当且仅当 a b 时取“=” ） (当且仅当 a b 时取“=” ）
a b a b
变式：若 log 4 x log 4 y 2 ，求
1 1 的最小值.并求 x,y 的值 x y
2
技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。 。 2：已知 x 0, y 0 ，且
1 9 1 ，求 x y 的最小值。 x y
注： （1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大” ． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” （3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应 用．
应用一：求最值
例 1：求下列函数的值域 1 （1）y＝3x 2＋ 2 2x 1 （2）y＝x＋ x
解题技巧： 技巧一：凑项 例 1：已知 x
5 ，求函数 y 4 x 2 1 的最大值。 4 4x 5
时，求 y x(8 2 x) 的最大值。
技巧二：凑系数 例 1. 当 变式：设 0 x
2 2
评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。 总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积 极创造条件利用均值不等式。
应用三：利用均值不等式证明不等式
1．已知 a, b, c 为两两不相等的实数，求证： a
2
b 2 c 2 ab bc ca
a b * (3)若 a, b R ，则 ab 2
3.若 a, b R ，则 ( 4.若 x 0 ， 则x
a b 2 a2 b2 （当且仅当 a b 时取“=” ） ) 2 2
1 1 “=” ） ;若 x 0 ， 则 x 2 (当且仅当 x 1 时取 “=” ） 2 (当且仅当 x 1 时取 x x
3 ，求函数 y 4 x(3 2 x) 的最大值。 2
1
技巧三： 分离 x 2 7 x 10 例 3. 求 y ( x 1) 的值域。 x 1
技巧四：换元 (t 1)2 7(t 1 ） +10 t 2 5t 4 4 y = t 5 t t t
技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数 f ( x) x 例：求函数 y
a 的单调性。 x
x2 5 x2 4
的值域。
2 2 解：令 x 4 t (t 2) ，则 y x 5 x2 4
x2 4
1 t (t 2) t x 4
1 y2 ＋ 分别看成两个因式： 2 2 x 2＋( ≤ 1 y2 ＋ 2 2 2 )2 y2 1 x 2＋ ＋ 2 2 3 ＝ ＝ 2 4 1 y2 3 ＋ ≤ 2 2 4
x·
即 x 1＋y 2 ＝ 2 · x
2
1 技巧八：已知 a，b 为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数 y＝ 的最小值. ab 分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调 性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条 件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式 的途径进行。 30－2b 法一：a＝ ， b＋1 30－2b －2 b 2＋30b ab＝ ·b＝ b＋1 b＋1 16 t· ＝8 t
解：令 x y k , x 0, y 0,
1
10 3 2 。 k 16 ， m ,16 k k
4
由 a＞0 得，0＜b＜15 －2t 2＋34t－31 16 16 令 t＝b+1，1＜t＜16，ab＝ ＝－2（t＋ ）＋34∵t＋ ≥2 t t t ∴ ab≤18 ∴ y≥ 1 当且仅当 t＝4，即 b＝3，a＝6 时，等号成立。 18
法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥2 2 ab ∴ 30－ab≥2 2 ab 2 令 u＝ ab 则 u ＋2 2 u－30≤0， －5 2 ≤u≤3 2 1 ∴ ab ≤3 2 ，ab≤18，∴y≥ 18 点评：①本题考查不等式
解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和 为定值”条件靠拢。 W＞0，W2＝3x＋2y＋2 3x · 2y ＝10＋2 3x · 2y ≤10＋( 3x )2·( 2y )2 ＝10＋(3x＋2y)＝20 ∴ W≤ 20 ＝2 5 变式: 求函数 y 2 x 1 5 2 x ( 1 x 5 ) 的最大值。
1 t
1 t
1 t
5 。 2
5 2

1 x 2 3x 1 ,x 3 , ( x 0) （2） y 2 x （1） y x 3 x
应用二：条件最值
1.若实数满足 a b 2 ，则 3 3 的最小值是
a b
(3) y
2sin x
1 , x (0, ) sin x
.
a b
分析： “和”到“积”是一个缩小的过程，而且 3 3 定值，因此考虑利用均值定理求最小值， 解： 3 和3 都是正数， 3 3 ≥ 2 3 3 2 3
a b a b
a
b
a b
6
a b
当 3 3 时等号成立，由 a b 2 及 3 3 得 a b 1 即当 a b 1 时， 3 3源自文库的最小值是 6．